三次多項式圖形的基本探討
張海潮
照現行高中課程的設計, 到了高三才開始學多項式的微分; 學了之後, 要分析三次多項式 (註一) 的函數圖形當然不是問題。 但是考量到高一上就要學多項式根的初步理論和勘根定理; 此時, 除了理解一次和二次多項式之外, 如果同時也能理解三次多項式的圖形, 對掌握根的性質 和勘根定理一定更有幫助。 本文因此嘗試以基本幾何和代數的方法來探討三次多項式的函數圖 形, 期望能夠提供高一教學現場有關多項式的學習資料 (註二)。 給定多項式 x3 + ax2 + bx + c, 將 x 以 x − 1 3a 代入, 得到一個缺 x 2 項的多項式 x3 + px + q。 這個代換, 就函數圖形而言, 只是作了一個向左或向右的平移, 因此在往後的討論 中, 我們假設 f (x) = x3 + px + q, p > 0, 或是 f (x) = x3 −px + q, p > 0(註三)。 先討論 f (x) = x3 + px + q, 並設 g(x) = x3 + px, 顯然, g 的圖形和 f 的圖形只差一個 向上或向下的平移, 並且 g 的圖形與原點對稱。 當 x 從很負變化到很正, 函數 g(x) = x3 + px 的圖形從坐標平面的左下變化到右上, 其間至少穿過 x 軸一次, 我們要說明這個圖形是上升的。 因為如果 β > α, 則 g(β) − g(α) = β3 + pβ − α3 −pα = (β − α)(β2 + βα + α2 + p), 又因為 β2 + βα + α2 + p 恆正 (註四), 所以 g(β) − g(α) > 0, 這表示 g(x) = x3 + px 有一 個上升的圖形, 因此圖形與任意水平軸只交一點, 圖形如下 (圖一)。 注意 x3 + px 的圖形對稱 於原點, 此時由於 f (x) = x3 + px + q 沒有 x2 項, 所以 f (x) = 0 只能有一個實根 (註五)。 (圖一) 54接著討論 p > 0 但是 g(x) = x3 −px 的情形; 不如先看看 y = x3 和 y = −px 的圖形。 y = x3 的圖形如下 (圖二): (圖二) y = −px (p > 0) 的圖形如下 (圖三): (圖三) g(x) 的圖形是 (圖二) 和 (圖三) 相加, 因此就 (圖二) 而言, x < 0 的部份會略微抬起而 x > 0 的部分會略微下降 (圖四)。 (圖四) 由於 g(x) = x3 −px 的圖形對稱於原點, 在下面的討論中, 我們只看 x > 0 的部份。
在 x > 0 的部分, 假設圖形的最低點發生在 x = α, 也就是說, 若 x > α, 則 g(x) − g(α) = x3 −α3 −p(x − α) = (x − α)(x2 + xα + α2 −p) ≥ 0 並且, 若 0 < x < α, 一樣有 g(x) − g(α) = (x − α)(x2 + xα + α2 −p) ≥ 0 這相當於 x > α 則有 x2 + xα + α2 −p ≥ 0, 0 < x < α 則有 x2 + xα + α2 −p ≤ 0 因此可得 (註六) 當 x = α 時, α2 + α · α + α2 −p = 0, 或者 3α2 −p = 0 也就是說在 x > 0 的部份, 最低點發生在 α = pp/3。 再看 α 的右邊, 假設 α < β < γ, 則 g(γ) − g(β) = (γ − β)(γ2 + γβ + β2 −p) 但是因為 γ > β > α > 0 γ2 + γβ + β2 > 3α2 = p 所以 g(γ) − g(β) > 0 同理, 如果 0 < β < γ < α 則 g(γ) − g(β) = (γ − β)(γ2 + γβ + β2 −p) 因為 γ2 + γβ + β2 < 3α2 = p, 所以 g(γ) − g(β) < 0 換句話說, 圖形在 x > α 這個部分是上升, 但是在 0 < x < α 這個部分是下降。 以上的討論 說明了 g(x) = x3 −px, p > 0 的圖形如下 (註七):
(圖五) 由於 x3 −px 對稱於原點, 因此圖五的左邊有一個波峰, 右邊是一個波谷, 波峰和波谷到 x-軸 的垂直距離都是 g−r p 3 = pr p 3 − p 3 r p 3 =2 3p r p 3 回到 f (x) = x3 −px + q, p > 0, f (x) 的圖形是 g(x) 的圖形 (圖五) 在鉛垂方向移動 q 單位。 如果 q > 0, 圖五向上移動, 當 q = 2 3p r p 3 時 f (x) 的圖形如下 (圖六): (圖六) 此時 f (x) = 0 有二重根 pp/3, 同理當 q = −2 3p r p 3 時 f (x) 的圖形如下 (圖七):
(圖七) 此時 f (x) = 0 有二重根 −pp/3; 當 q 介於 −2 3p r p 3 和 2 3p r p 3 時 f (x) 的圖形如下 (圖 八): (圖八) 此時, f (x) = 0 有三相異實根; 最後, 如果 q > 2 3p r p 3 或 q < − 2 3p r p 3 時, f (x) 的圖形如 下 (以 q > 2 3p r p 3 為例): (圖九) 此時 f (x) = 0 只有一根。
下表是本文的結論 (註八): f (x) 的函數圖形 f (x) = 0 的根 q, p 的關係 f (x) = x3 自左向右上升 f (x) = 0 有三重根 f (x) = x3 + q, q 6= 0 自左向右上升 f (x) = 0 只有一個實根 f (x) = x3 + px + q, p > 0 自左向右上升 f (x) = 0 只有一個實根 f (x) = x3 −px + q, p > 0 q = ±2 3p r p 3 有一波峰和一波谷 f (x) = 0 有二重根 和另一實根 27q 2 = 4p3 f (x) = x3 −px + q, p > 0 −2 3p r p 3 < q < 2 3p r p 3 有一波峰和一波谷 f (x) = 0 有三個相異實根 27q2 < 4p3 f (x) = x3 −px + q, p > 0 q > 2 3p r p 3 或 q < −2 3p r p 3 有一波峰和一波谷 f (x) = 0 只有一個實根 27q2 > 4p3 註一: 本文只談實係數多項式。 註二: 本文的論證難免有不夠嚴謹之處, 敬請各界指正。 註三: p = 0 是簡單的情形, 不特別討論。 註四: β2 + βα + α2 =β + 1 2α 2 +3 4α 2 ≥0。 註五: 此時因為 p > 0, f (x) = 0 只可能有一個實根, 不能有三重根。 註六: 論證的依據可以是勘根定理。 註七: 圖中上升, 下降的區域是確定的, 以 −pp/3, pp/3 為分界, 因為缺乏微積分的工具, 不 談兩個局部極值的平滑性。 註八: 對多項式實根完整的處理, 請見網站 http : //scicomp.math.ntu.edu.tw/calculus/ 有 關 Sturm 定理的討論。 —本文作者為台大數學系退休教授—
