2020届高三下学期3月质量检测数学（理）试题

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2020

届高三质量检测

数 学 （ 理 科 ） 试 卷

（完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页．满分 150 分.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1.已知集合U 



x x5



，A



x3x„ 27



，则 A ð_U A．



x x„ 3



B．



x x5



C．



x3 x 5



D．



x x„ 0 3或  x 5



2.已知复数 z 满足z z_{  ，且}0 z z_{  ，则 z }9 A．3 B． 3i C． 3 D． 3i 3.已知两个力F1



4, 2



，F2  



2,3



作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保 持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3 ，则F3 A．



 2, 5



B．

 

2,5 C．



 5, 2



D．

 

5, 2 4.已知等比数列

 

an 的前 n 项和为Sn，若a2a4 2



a1a3



，且a a a1 3 5 512，则S10  A.1022 B. 2046 C. 2048 D. 4094 5.如图 1 为某省 2019 年 1~4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1~4 月快递业务收入统 计图，下列对统计图理解错误的是 A．2019 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B．2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C．从两图来看 2019 年 1~4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从 1~4 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 6.已知f x

 

x22xf 

 

2 ，则曲线y f x

 

在点



1，f

 

1



处的切线方程为 A．4x y  9 0 B．6x y  1 0

C．10x y  1 0 D．6x y  1 0 7.若



1 2 (1 x



ax)4展开式中x 的系数为78 ，则整数a 的值为2 A．3 B．2 C．2 D．3 8.已知函数 ( ) e e x x f x    ，若a0.60.5，blog 0.60.5 _，clog 50.6 _，则 A． f a( ) f b( ) f c( ) B． f c( ) f b( ) f a( ) C． f b( ) f a( )f c( ) D． f c( ) f a( ) f b( ) 9.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为 A. 4 B. 16₃ C. 32 3 D. 16 10.将曲线 2sin 1 1 2 4 y _ x_   向左平移4  个单位长度，得到曲线的对称中心为 A.



2 ,0 ,k



k Z _B. 2 ,0 , 4 k  k  _{ }  _     Z C. 2 ,1 , 4 k  k  _{ }  _     Z D. 2k 4 ,1 ,k   _{ }  _     Z 11.已知双曲线





2 2 2 2 :x y 1 0, 0 E a b a b    的右焦点 F 的坐标为

 

c,0 ，过 F 作与 E 的两条渐近 线平行的直线l l1,2 ，若l l1,2 与 E 的渐近线分别交于A B, 两点，且四边形OAFB （O 为坐标原 点）的面积为

bc

，则E的离心率为 A．3 B．2 C． 3 D． 2 12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边 形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一 顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥， 得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个 为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体. 若棱长为 2 的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球 的表面积为 A．_16π B．32π₃ C．_8π D．_4π

第Ⅱ卷

注意事项：

用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13.已知 3sin tan 8 0, , 2    _ _   ，则 tan ______. 14.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为5 4 2, , 6 5 5 ，只有通过前一关才能 进入下一关，且通过每关相互独立．某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为__ _______. 15.已知等差数列

 

an _{的前 n 项和为}S ，且n a1a310_，S972_.数列

 

bn _{的首项为 3，且} 1 3 n n b b_{   ，则}

a b

10 2020



_{________.} 16.过点M



1,0



的直线 l 与抛物线 C ：y24x交于 ,A B 两点（ A 在 ,M B 之间）， F 是C 的 焦点，点N 满足NF 6AF   ，则 ABF△ 与△AMN的面积之和的最小值是______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.（本小题满分 12 分）

已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为a b c, , ，设 7



acosB b cosA



ac，且 sin 2AsinA.

（1）求 A 及 a；

（2）若b c_{  ，求 BC 边上的高.}2

18. (本小题满分 12 分)

如图，四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，且平面 ABCD  平面 CDEF ，

90 BAD CDA      ， 1 2 2 ABAD DE  CD_{ ，} M是AE的中点. （1）证明： AC ∥ 平面 MDF ； （2）求平面 DMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 2019年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中 华人民共和国成立 70 周年活动新闻中 心举办新闻发布会指出，1952 年～ 2018年，我国 GDP 查 679.1 亿元跃升 至 90.03 万亿元，实际增长 174 倍；人

均 GDP 从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实 现了经济社会的跨越式发展.如图是全国 2010 年至 2018 年 GDP 总量 y （万亿元）的折线图. 注：年份代码 1～9 分别对应年份 2010～2018. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与年份代码 t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），并预测 2021 年全国 GDP 的总量. 附注： 参考数据：









9 9 2 2 1 1 1 1 9 9 582.01, 64.668, 3254.80, _{i i} 345.900 i i i i i i i t t y y y y t y          









_. 参考公式：相关系数



 











1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i t t y y r t t y y        







； 回归方程

y a bt

 

$ $ $

中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

  



 

1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t      





$ ， a y bt $ $ . 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆





2 2 2 2 :x y 1 0 C a b a b    过点P

 

2,1 ，且离心率为 3 2 . （1）求C的方程； （2）已知直线l_不经过点P，且斜率为 1 2_，若l_与C_{交于两个不同点 ,A B ，且直线PA PB 的}, 倾斜角分别为 , ，试判断  是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由． 21. (本小题满分 12 分) 已知函数f x

 

lnx x 2sinx，证明： （1） f x

 

在区间



0,



存在唯一极大值点； （2） f x

 

有且仅有 2 个零点. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第 一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分 10 分）选修 4 4 ：坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 3 2 2 1 2 x t y t          ( t为参数)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为4cos6sin. （1）求 C 的直角坐标方程； （2）设 C 与l交于点 M N， ，点A的坐标为

 

3,1 ，求 AM  AN . 23.（本小题满分 10 分）选修4 5 ：不等式选讲 已知函数f x

 

 2x 1 ax1 , （1）当a 时，求不等式2 f x

 

1的解集； （2）当x

 

1,2 时，不等式f x

 

 1 x成立，求实数 a 的取值范围.