中二試卷連答案 2011

第九屆“走進美妙的數學花園”中國青少年數學論壇

趣味數學解題技能展示初賽

注意事項： 1. 考生要按要求在密封線內填好考生的有關信息。 2. 不允許使用計算器。 3. 考試時間：90 分鐘。 4. 滿分：150 分。

中二年級試卷（A 卷）

一、填空題Ⅰ（每題 8 分，共 40 分） 1. 對於任意的數a，b，關於x，y的二元一次方程(a b x )  (a b y)  a b都有一組公 共解，這組公共解為_________________。 2. 已知2₂ 3 1 x A B x x x x  _{ }   ，其中A, B為常數，那麼A+B的值為 。 3. 函數 1 3 1    x x y 的圖像不經過第 象限。 4. 已知方程 2 0 x px q 的兩根之差等于方程 2 0 x qx p 的兩根之差。 pq （pq）的值是 。 5. 如下圖所示，2 4 的長方形紙片，8 個方格標上不同的字母. 剪掉四個方格，剩下一 個四連塊(即 4 個小正方形連在一起)。一共有 種不同的剪法。 二、填空題Ⅱ（每題 10 分，共 50 分） 6. 定義一種運算_，具有性質：(1) 對所有數a，有0 a_ a；(2) 對所有數a b c, , ，有 (a b_{ }) cc_(ab) ( a c_ ) ( b c_ ) 2 c. (6 4) 200 _______   。 7. 以下是麵點師一個工作環節的數學模型：在數軸上取閉區間[0, 1]。對折後（坐標 1 所對應的點與原點重合）再均勻地拉成 1 個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作 （例如在第一次操作完成後，原來的坐標 4 3 4 1 、 變成 2 1 ，原來的坐標 2 1 變成 1，等等）。 原閉區間[0, 1]上（除兩個端點外）的點，在第二次操作完成後，恰好被拉到與 1 重 合的是 。原閉區間[0, 1]上（除兩個端點外）的點，在第 5 次操作完成後， 恰好被拉到與 1 重合的有 個。 總分 A B C D E F G H

8. 某班在學科論文評比中所獲獎勵人次（一名學生一科可以參評多篇論文）的情況如下表。 語文 數學 英語 省級 3 人次 2 人次 3 人次 市級 18 人次 6 人次 12 人次 已知共有 28 人獲得獎勵，其中獲得兩項獎勵的有 13 人。獲得獎勵最多的一位同學可能獲得 的獎勵為 項。 9. 如圖所示的數陣中，最大的有理數所在位置是第 行、第 列。 10. 如圖，D在直角三角形ABC的斜邊AB上，AD=7，DB=11，CDB 2 B，則 CD = 。 D B C A 三、填空題Ⅲ（每題 12 分，共 60 分） 11. 從正六邊形的頂點和中心這 7 個點中，任意選取n個點. 如果其中必有 3 個點構成正三角形 的 3 個頂點，那麼n的最小值是 。 B A F

12. 設正整數數對（a, b）(ab)滿足a與 b的倒數之差等於 1

12。這樣的數對有 個。

13. 已知25x 2000，80y 2000，則 1 1

x y 。

14. 如 圖 ， 邊 長 為 1 的 正 方 形 ABCD 被 分 成 四 個 三 角 形 . 已 知 這 四 個 三 角 形 的 面 積 滿 足

CEF ABE ADF AEF

S_ S_ S_ S_ ，且成等差數列,則S_AEF  。 15. 在直角三角形 ABC 中，a b c, , 表示各邊的長，其中c為斜邊，若 61 2 b a c a c b  ，則 : : a b c= 。 F E D C B A

中二年級初賽答案

1． 对于任意的数a，b，关于 x，y 的二元一次方程 (a b x )  (a b y)   都有一组 a b 公共解，这组公共解为_________. 【答案】 1, 0. x y      【解答 1】将方程整理为a x



  y 1

 

b x  y 1



0，令 1 0, 1 0, x y x y          解得 1, 0. x y      【解答 2】任取两组 ,a b 的值，求所得两个二元一次方程的公共解. 2． 已知2₂ 3 1 x A B x x x x  _{ }   ，其中 A, B 为常数，那么 A+B 的值为 . 【答案】2. 【解答】通分，得





2 1 A B x B A B x x x x       . 与 2 2x 3 x x   比较系数，得A  . B 2 3． 函数 1 3 1    x x y 的图象不经过第 象限． 【答案】二. 【解答 1】当x1时，1 3 x0,x 1 0,y ，所以函数图象经过第四象限； 0 当1 1 3  时，1 3x  x0,x 1 0,y ，所以函数图象经过第一象限； 0 当x0时，1 3 x0,x 1 0,y ，所以函数图象经过第三象限. 0 因此，函数图象不经过第二象限. 【解答 2】可取函数图象在第一、三、四象限的点. 4. 已 知 方 程 x2px  的 两 根 之 差 等 于 方 程q 0 x2qx  的 两 根 之 差 .p 0 pq （pq）的值是 . 【答案】p   . q 4 【解答】设方程 2 0 x px  的两根为q x x ，方程₁, ₂ x2qx  的两根为p 0 x x ，₃, ₄ 则有 2 1 2 |x x | p 4q，|x₃x₄| 824p，所以 2 2 4 4 p  qq  p，p2q24p4q ， 0

5．如下图所示，2 4 的长方形纸片，8 个方格标上不同的字母. 剪掉四个方格，剩下一 个四连块(即 4 个小正方形连在一起). 一共有 种不同的剪法. 【答案】21. 【解答】 一共有 21 种不同的剪法. 6. 定义一种运算_{ ，具有性质：} (1) 对所有数a，有0 a_ a； (2) 对所有数a b c ，有, , (a b_{ }) cc_(ab) ( a c_ ) ( b c_ ) 2 c. (6 4) 200_{ } _______. 【答案】7034. 【解答】取a0，得b c_ (0_{ }b) cc_0 c (b c_ ) 2 , c c_0c. 再取c0，得a b_ (a b_{ }) 0ab a b. 从而(6 4) 200_{ } 34 200_ 7034. 7． 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上取闭区间[0, 1]. 对折后 （坐标 1 所对应的点与原点重合）再均匀地拉成 1 个单位长度的线段，这一过程称 为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标 4 3 4 1 、 变成 2 1_{，原来的坐标} 2 1 变成 1，等等）. 原闭区间[0, 1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后， 恰好被拉到与 1 重合的是 . 原闭区间[0, 1]上（除两个端点外）的点， 在第 5 次操作完成后，恰好被拉到与 1 重合的有 个. 【答案】1 4或 3 4；16. 【解答】在第n次操作完成后，恰好被拉到与 1 重合的点所对应的坐标是 2n i ，其中   21 0 1 A B C D E F G H 8 个 2 个 3 个 _{4 个} 4 个

A F i 是_1, 25 _{ 中的所有奇数.} 8. 某班在学科论文评比中所获奖励人次（一名学生一科可以参评多篇论文）的情况如 下表. 语文 数学 英语 省级 3 人次 2 人次 3 人次 市级 18 人次 6 人次 12 人次 已知共有 28 人获得奖励，其中获得两项奖励的有 13 人. 获得奖励最多的一位同学 可能获得的奖励为 项. 【答案】4. 【解答】全部获奖人次共 3+2+3+18+6+12=44，其中获得两项奖励的 13 人共获奖 132=26 人次，另 15 人至少获得奖项 15 人次，由 44-26-15=3，说明获得奖励最多 的一位同学可能获得的奖励为 3+1=4 项. 9. 如图所示的数阵中，最大的有理数所在位置是第 行、第 列. 【答案】17,2. 【解答】数阵中数的规律是 2n ，1 n 102，显然其中最大的有理数是第 98 个数 2 98 14，排在第 17 行第 2 列. 10． 如图，D 在直角三角形 ABC 的斜边AB上，AD=7，DB=11，CDB 2 B，则 CD= . D B C A D E B C A 【答案】9. 【解答】取斜边 AB 的中点 E，连结 CE，则 CE=EB，CED   2 B CDB，CD=CE=1

2AB=9. 11. 从正六边形的顶点和中心这7 个点中，任意选取n个点. 如果其中必有 3 个点构成 正三角形的 3 个顶点，那么n的最小值是 . 【答案】5. 【解答】当n4时，取 A、C、D、F 四点可否定； 当n5时，若选取点 O，则其他四点中必有两点是六

若不取点 O，则五点中必选 A、C、E 或 B、D、F，从而与这三点构成正三角形. 因此，n的最小值是 5. 12．设正整数数对（a, b）(ab)满足 a 与 b 的倒数之差等于 1 12. 这样的数对有 个. 【答案】7. 【解答】1 1 1 1 1 1 1 1 3    4 4 6 6 12  8 24 1 1 1 1 1 1 1 9 30 10 60 11 11 12 12         . 13. 已知25x 2000， 80y 2000，则 1 1 x  . y 【答案】1. 【解答】由条件，得 1 252000x， 1 802000y . 两式相乘，得 1 1 1 1 2000 2000x 2000y 2000x y     ，所以1 1 x  1. y 14. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 被分成四个三角形. 已知这四个三角形的面积满足 CEF ABE ADF AEF

S_ S_ S_ S_ ，且成等差数列，则 AEF S_  ． 【答案】5 3 2 2  . 【解答】设CEx CF,  . y

由S_CEF S_AEF S_ABES_ADF，得 1 1

2 2

ABE ADF ABCD

S_ S_  S  ，即









1 1 1

1 1

2  x 2 y  .① 2

由S_CEF S_ADF 2S_ABE，得1 1



1



1



1



2xy2 y 2  .② x 由①②，解得x 2 2(x 2 2 2 1舍去)，y 2 1 . 所以，S_AEF  1 1 2SABCD SCEF  2 xy 5 3 2 2  . 15. 在直角三角形ABC 中， , ,a b c 表示各边的长，其中c为斜边，若 61 2 b a c a c b  ， 则a b c: : = ． 【答案】12 : 5 :13或5 :12 :13. 【解答】令x a c  ，y b c  ，则由 2 2 2 a b  ，得 c x2y2  . ① 1 由 13 2 b a c a c b  得 13 1 1 2 y x x y    ，即 13xy15(xy) 15 . ② F E D C B A

解得 17 13 x  （负值已舍）。于是由 y 2 2 17 , 13 1, x y x y          解得 5 13 x ， 12 13 y ；或 12 13 x ， 5 13 y . 故 : :a b cx y: :1，从而得 a b c: : 12 : 5 :13，或a b c: : 5 :12 :13.