2-2-5三角函數的基本概念-正弦定理與餘弦定理

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(1)第二冊 2-5 三角函數的基本概念-正弦定理與餘弦定理 【定理】 1. 三角形的面積: 在 ∆ABC 中,以 a, b, c 分別表示 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長, ∆ 表示 ∆ABC 的面積, 1 1 1 則 ∆ = ab sin C = bc sin A = ca sin B 。 2 2 2 證明: (1) ∠A 為銳角 (2) ∠A 為直角 (3) ∠A 為鈍角 C. A. 1 c ⋅ (b sin A) 2. A. B. D. B. A. B. 1 1 1 c ⋅ b = c ⋅ (b sin 90°) ∆ = c ⋅ (b sin(180° − A)) 2 2 2 1 1 = c ⋅ (b sin A) = c ⋅ (b sin A) 2 2 各種 ∆ABC 的面積表示公式(高中階段會學到的求三角形的面積公式): 1 (1).基礎公式: × (底) × (高) 。 2 1 1 1 (2).正弦表示公式: ab sin C = bc sin A = ca sin B 。 2 2 2 a+b+c 為周長之半。 (3).海龍公式: s ( s − a)(s − b)(s − c) ,其中 s = 2 abc ,其中 R 為外接圓半徑。 (4).外接圓半徑表示公式: 4R (5).內切圓半徑表示公式: rs ,其中 r 為內切圓半徑。 1 (6).內積表示公式: | AB |2 × | AC |2 − ( A B ⋅ A C ) 2 。 2 1 (7).外積表示公式: | AB × AC | 。 2 x1 y1 1 1 (8).行列式表示公式: | x 2 y 2 1 | 。 2 x3 y 3 1 ∆=. 2.. D. C. C. ∆=. v v v v. x1 1 x (9).行列式速算法表示公式: | 2 2 x3 x1. vv. y1 y2 |。 y3 y1.

(2) 【定理】 正弦定理: 設 a, b, c 分別表示 ∆ABC 中 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長,則. c a b = = = 2R , sin A sin B sin C. 其中 R 表示 ∆ABC 的外接圓的半徑。 證明: 1 1 1 (1) ∆ = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 a b sin A sin B sin C c 。 ⇒ = = ⇒ = = sin A sin B sin C a b c (2)再證明等於 2 R 部分。 (b) ∠A 為直角 (c) ∠A 為鈍角 (a) ∠A 為銳角 C. 2R O A. C. C A. a = 2R. a. a. O B. A. O A' 2 R. B. B A' a a a 2R a a a = = 2R = = 2R = = = 2R sin A sin A' sin A sin 90° sin A sin(180° − A' ) sin A' 註: 1. 正弦定理即邊長比等於對角的正弦比。 ( a : b : c = sin A : sin B : sin C ) 2. 正弦定理可說是三角形大邊對大角的性質。 (注意: a : b : c ≠ ∠A : ∠B : ∠C ) 【問題】 在 ∆ABC 中的三個角度 ∠A, ∠B, ∠C 與三個邊長 a, b, c 共計六個條件中,給定哪幾 個條件後可以利用正弦定理決定三角形? 註: a b c 至少 , , 等三個比值至少要有一個能夠求得出來,才能使用正弦 sin A sin B sin C 定理。.

(3) 【定理】 餘弦定理: 設 a, b, c 分別表示 ∆ABC 中 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長,則 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A , b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B , c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C 。 證明: (2) ∠A 為直角 (3) ∠A 為鈍角 (1) ∠A 為銳角 y. C (b cos A, b sin A). y C (b cos A, b sin A). b. b. a x B (c,0). A(0,0). A(0,0). y C (b cos A, b sin A). a x B (c,0). a. b A(0,0). x B (c,0). 上述三種情形皆滿足下式 2. a 2 = BC = (c − b cos A) 2 + (0 − b sin A) 2 = c 2 + b 2 cos 2 A − 2bc cos A + b 2 sin 2 A 同理可證其餘兩式。 【討論】 使用時機: 1. 知道任兩邊及一角,就可以使用餘弦定理。 2. 知道三邊,就可以使用餘弦定理。.

(4) 【定理】 1. 四邊形面積: 若給定四邊形 ABCD (凹四邊形或凸四邊形都可), 1 則四邊形面積為 AC ⋅ BD sin θ ,其中 θ 為四邊形兩對角線夾角之一。 2 B. C P. θ. D. A. 2.. 證明: 設兩對角線交點為 P , 四邊形面積為 ∆PAB + ∆PBC + ∆PCD + ∆PDA 1 1 = PA ⋅ PB sin θ + PB ⋅ PC sin(180° − θ ) 2 2 1 1 + PC ⋅ PD sin θ + PD ⋅ PA sin(180° − θ ) 2 2 1 = sin θ ⋅ ( PA ⋅ PB + PB ⋅ PC + PC ⋅ PD + PD ⋅ PA) 2 1 = sin θ ⋅ [ PB ⋅ ( PA + PC ) + PD ⋅ ( PC + PA)] 2 1 1 = sin θ ⋅ ( PB + PD ) ⋅ ( PA + PC ) = AC ⋅ BD sin θ 。 2 2 內角平分線長: 設 ∆ABC 中 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長分別為 a, b, c , A 2bc ⋅ cos bc ⋅ sin A 2)。 則內角平分線長為 (= A b+c (b + c) ⋅ sin 2 A A 2. B. D. A 2. C. 證明: 1 A 1 A 1 由 bc ⋅ sin A = b ⋅ AD ⋅ sin + c ⋅ AD ⋅ sin , 2 2 2 2 2 A 2bc ⋅ cos bc ⋅ sin A 2)。 得 AD = (= A b+c (b + c) ⋅ sin 2.

(5) 3.. 投影定理: 在 ∆ABC 中,以 a, b, c 分別表示 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長,則. ⎧a = b cos C + c cos B ⎪ ⎨b = c cos A + a cos C 。 ⎪c = a cos B + b cos A ⎩ (證法一):. b cos C + c cos B = b ⋅ (證法二): (1) ∠A 為銳角 C. A D B c = AB = DB + DA = a cos B + b cos A 4.. a 2 + b2 − c2 a 2 + c2 − b2 =a。 +c⋅ 2ab 2ac (2) ∠A 為直角 C. A B c = AB = a cos B = a cos B + b cos 90° = a cos B + b cos A. (3) ∠A 為鈍角 C. A B D c = AB = DB − DA = a cos B − b cos(180° − A) = a cos B + b cos A. 海龍(Heron)公式:. ∆ABC 的面積為 s( s − a)(s − b)(s − c) ,其中 s =. a+b+c 為周長之半。 2. 註: 圓內接四邊形 ABCD 的面積為 ( s − a)(s − b)(s − c)(s − d ) , a+b+c+d 。 其中 s = 2 證明: 1 1 ∆ABC = ab ⋅ sin C = ab ⋅ 1 − cos 2 C 2 2. =. 1 a 2 + b2 − c2 2 ab ⋅ 1 − ( ) 2 2ab. =. 1 a 2 + b2 − c2 a 2 + b2 − c2 ab ⋅ (1 + ) ⋅ (1 − ) 2 2ab 2ab. =. 1 [(a 2 + 2ab + b 2 ) − c 2 ] [c 2 − (a 2 − 2ab + b 2 )] ab ⋅ ⋅ 2 2ab 2ab. =. [(a + b) 2 − c 2 ] ⋅ [c 2 − (a − b) 2 ] 16. ( a + b + c ) ( a + b − c ) (c + a − b ) ( c − a + b ) ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 = s ( s − a)(s − b)(s − c) 。. =.

(6) 5.. 中線長: 在 ∆ABC 中,以 a, b, c 分別表示 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長,. 2b 2 + 2c 2 − a 2 。 2. 則三角形 A 至 BC 邊的中點 D 連線所得的中線長 AD =. A B. C. D. 證明: 2 2 ⎧ AD + BD − c 2 ⎪cos ∠ADB = ⎪ 2 AD ⋅ BD 已知 ⎨ , 2 2 AD + CD − b 2 ⎪ ⎪⎩cos ∠ADC = 2 AD ⋅ CD 又 ∠ADB + ∠ADC = 180° , 2. 2. 2. 2. AD + BD − c 2 AD + CD − b 2 即 ), = −( 2 AD ⋅ BD 2 AD ⋅ CD. 2b 2 + 2c 2 − a 2 。 2 6. 平行四邊形定理: 平行四邊形中兩對角線平方和等於四邊平方和。 可得 AD =. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 即若 ABCD 為平行四邊形,則 AC + BD = AB + BC + CD + DA 。. B. C. D. A 證明: 2 2 2 ⎧ AB + BC − AC cos ABC ∠ = ⎪ ⎪ 2 AB ⋅ BC 由⎨ , 2 2 2 ⎪ AB + AD − BD ⎪⎩cos ∠BAD = 2 AB ⋅ AD 又 ∠ABC + ∠BAD = 180° , 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. AB + BC − AC AB + AD − BD =0 ⇒ + 2 AB ⋅ BC 2 AB ⋅ AD ⇒ AB + BC − AC + AB + AD − BD = 0 ⇒ AB + BC − AC + CD + DA − BD = 0 ⇒ AC + BD = AB + BC + CD + DA 。.

(7) 7.. 圓內接四邊形之對角線長: 設四邊形 ABCD 內接於一圓且 AB = a, BC = b, CD = c, DA = d ,求對角線長。. B. a. θ. b. A d. 180°−θ. C. c. 證明: 由餘弦定理知 2 ⎧ a 2 + d 2 − BD ⎪cos ∠BAD = ⎪ 2ad ⎨ 2 ⎪ b 2 + c 2 − BD ⎪⎩cos ∠BCD = 2bc 2. 2. a 2 + d 2 − BD b 2 + c 2 − BD ⇒ + =0 2ad 2bc 可求出 BD , 同理可求出 AC 。. D.

(8) 【問題】 1. 一個三角形為直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的條件分別為何? 討論: b2 + c2 − a2 > 0 ⇔ b2 + c2 > a2 。 (1) ∠A 為銳角 ⇔ cos A > 0 ⇔ cos A = 2bc 2 b + c2 − a2 (2) ∠A 為直角 ⇔ cos A = 0 ⇔ cos A = = 0 ⇔ b2 + c2 = a2 。 2bc 2 b + c2 − a2 (3) ∠A 為鈍角 ⇔ cos A < 0 ⇔ cos A = < 0 ⇔ b2 + c2 < a2 。 2bc 2. 若給定 b, c, ∠B ,可否作出三角形? 討論: (1)若 ∠B 為銳角,則 (a) b < c sin B ⇒ 無解。 A. b. c B (b) b = c sin B ⇒ 恰一解。. A b. c B. C. (c) csin B < b < c ⇒ 兩解。. A b. c B. C. C. (d) c ≤ b ⇒ 恰一解。. A b. c B. (2)若 ∠B 為鈍角或直角,則 (a) b ≤ c ⇒ 無解。. C. A. b c B. (b) b > c ⇒ 恰一解。. A b. c B. C.

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參考文獻

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