一元二次方程的解法（三）
--公式法，因式分解法—巩固练习（提高）
【巩固练习】 一、选择题 1. （2016•天津）方程 x2+x﹣12=0 的两个根为（ ） A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3 2．整式 x+1 与整式 x-4 的积为 x2 -3x-4，则一元二次方程 x2 -3x-4＝0 的根是( )． A．x1＝-1，x2＝-4 B．x1＝-1，x2＝4 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝-4 3．如果x2+x-1＝0，那么代数式x
3
2
x
2
7
的值为( ) A．6 B．8 C．-6 D．-8 4．若关于x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2＝0 的常数项为 0，则 m 的值等于( ) A．1 B．2 C．1 或 2 D．0 5．若代数式(
2)( 1)
| | 1
x
x
x
的值为零，则 x 的取值是( )． A．x＝2 或 x＝1 B．x＝2 且 x＝1 C．x＝2 D．x＝-1 6．（2015·广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2 -7x+10=0 的两根，则该等腰三角形周长是( )． A．12 B．9 C．13 D．12 或 9 二、填空题 7．已知实数 x 满足 4x2 -4x+1＝0，则代数式2
1
2
x
x
的值为________． 8．已知 y＝x2 +x-6，当 x＝________时，y 的值是 24． 9．若方程x
2
mx n
可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则 m＝________，n＝________．10．若规定两数 a、b 通过“※”运算，得到 4ab，即 a※b＝4ab，例如 2※6＝4×2×6＝48．
(1)则 3※5 的值为 ；
(2)则 x※x+2※x-2※4＝0 中 x 的值为 ；
(3)若无论 x 是什么数，总有 a※x＝x，则 a 的值为 ．
11．（2014 秋•王益区校级期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得 y1=1，y2=4．
当y=1 时，x2=1，∴x=±1； 当y=4 时，x2=4，∴x=±2； ∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想． （2）方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0 的解为 ． 12．（2016•柘城县校级一模）三角形两边的长分别是 8 和 6，第 3 边的长是一元二次方程 x2﹣16x+60=0 的 一个实数根，则该三角形的面积是 ．
三、解答题 13. 用公式法解下列方程： 2
(1)
x
2
ax
；
1 0
（2）ab x
(
2
1)
a x b x a
2
2(
2
b
2)
． 14．(2015 春·北京校级期中)用适当方法解下列方程： （1）（2x-3）2 =25 (2)x2 -4x+2=0 (3)x2 -5x-6=0 15．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想? ①方程 x2 +2x+1＝0 的根为 x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． ②方程 x2 -3x-1＝0 的根为 x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． ③方程 3x2 +4x-7＝0 的根为 x1＝_______，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． (2)利用求根公式计算：一元二次方程 ax2 +bx+c＝0(a≠0，且 b2 -4ac≥0)的两根为 x1＝________， x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________． (3)利用上面的结论解决下面的问题： 设 x1、x2是方程 2x 2 +3x-1＝0 的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值： ① 1 21
1
x
x
； ②x
12
x
22．一、选择题 1.【答案】D 【解析】x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则 x+4=0，或 x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．故选 D． 2．【答案】B； 【解析】∵
x
2
3
x
4 (
x
1(
x
4)
，∴x
2
3
x
4 0
的根是x
11
，x
24
． 3．【答案】C． 【解析】∵x
2
x
1 0
，∴x
2
x
1
． ∴x
3
2
x
2
7
x
3
x
2
x
2
7
x x
(
2
x x
)
2
7
x x
2
7 1 7
6
． 4.【答案】B； 【解析】由常数项为0 可得 m2-3m+2＝0，∴ (m-1)(m-2)＝0，即 m-1＝0 或 m-2＝0， ∴ m＝1 或 m＝2，而一元二次方程的二次项系数 m-1≠0，∴ m≠1，即 m＝2． 5．【答案】C； 【解析】(
x
2)( 1) 0
x
且| | 1
x
，∴x
2
． 6．【答案】A ； 【解析】x2 -7x+10=0，x1=2，x2=5，此等腰三角形的三边只能是 5，5，2，其周长为 12． 二、填空题 7．【答案】2； 【解析】用因式分解法解方程4
x
2
4
x
1 0
得原方程有两个等根，即 1 21
2
x
x
， 所以2
1
1 1 2
2
x
x
． 8．【答案】5 或-6； 【解析】此题把y
的值代入得到关于x
的一元二次方程，解之即可． 如：根据题意，得x
2
x
6 24
，整理得x
2
x
30 0
，解得x
15
，x
26
． 9．【答案】 1 ； -12 ； 【解析】x
2
mx n
(
x
3)(
x
4)
x
2
x
12
，∴ m＝1，n＝-12． 10．【答案】(1)60；(2)x
12
，x
24
；(3)1
4
a
． 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60； (2)∵x
※x
+2※x
2
※4＝4(
x
2
2
x
8) 0
，∴x
12
，x
24
； (3)∵a
※x
4
ax
x
，4
ax x
(4
a
1)
x
0
， ∴ 只有4
a
1 0
，等式才能对任何x
值都成立．∴
1
4
a
． 11．【答案】(1) 换元； 降次； (2)x1=﹣3，x2=2． 【解析】解：（1）换元，降次 （2）设 x2+x=y，原方程可化为 y2﹣4y﹣12=0， 解得y1=6，y2=﹣2． 由x2+x=6，得 x1=﹣3，x2=2． 由x2+x=﹣2，得方程 x2+x+2=0， b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根． 所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2． 12.【答案】24 或 8 ． 【解析】解：∵x2﹣16x+60=0， ∴（x﹣6）（x﹣10）=0， 解得：x1=6，x2=10， 当x=6 时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD 是高， ∴BD=4，AD= =2 ， ∴S△ABC= BC•AD= ×8×2 =8 ； 当x=10 时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10， ∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°， S△ABC= BC•AC= ×8×6=24． ∴该三角形的面积是：24 或 8 ． 故答案为：24 或 8 ． 三、解答题 13.【答案与解析】 （1）∵a
1,
b
2 ,
a c
1,
∴b
2
4
ac
( 2 )
a
2
4 1 ( 1) 4
a
2 ＞
4 0
∴ 2 22
4
4
1
2
a
a
x
a
a
∴x
1
a
a
2
1,
x
2
a
a
2
1.
（2）
ab x
(
1)
a x b x
， 即abx
2
(
a b x ab
2
2)
0
， 令 A＝ab，B＝
(
a b
2
2)
，C＝ab． ∵B
2
4
AC
(
a
2
b
2)
2
4
ab ab
(
a
2
b
2 2) 0
＞ ，
∴ 24
2 2(
2 2)
2
2
B
B
AC a b
a b
x
A
ab
， ∴ 2 2 2 2 2 12
2
2
a b
a b
a
a
x
ab
ab b
， 2 2 2 2 2 2(
) 2
2
2
a b
a b
b
b
x
ab
ab a
， ∴x
1a
b
，x
2b
a
． 14.【答案与解析】 解：（1）直接开平方得：2x-3=±5， ∴2x-3= 5 或 2x-3=-5 ∴x1= 4，x2= -1 （2）∵a=1,b=-4,c=2, ∴△=b2 -4ac=16-8=8. ∴ 4 2 2 =2 2 2 x ， ∴x1=2 2，x2=2 2 . （3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0 ∴ x-6= 0 或 x+1=0 ∴x1= 6，x2= -1. 15.【答案与解析】 (1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数． ① -1 ； -1 ； -2 ； 1. ②3
13
2
；3
13
2
； 3 ；-1. ③7
3
； 1 ；4
3
；7
3
. (2) 24
2
b
b
ac
a
； 24
2
b
b
ac
a
；b
a
；c
a
.(3) 1 2
