三角形中位线定理 巩固练习
【巩固练习】 一.选择题
1. 某花木场有一块等腰梯形 ABCD 的空地，其各边的中点分别是 E、F、G、H 测量得对角线 AC＝10 米，现 想用篱笆围成四边形 EFGH 场地，则需篱笆总长度是（ ）
A. 40 米 B. 30 米 C.20 米 D.10 米
2. 如图，点 D、E、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为 10，则△ABC 的周长为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
3. （2016•河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E，则 DE 的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点， 则四边形 EFGH 的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
5. 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，M，N 分别是 AB，AC 的中点，D，E 为 BC 上的点，连接 DN、EM，若 AB ＝5
cm
，BC＝8cm
，DE＝4cm
，则图中阴影部分的面积为（ ）6.如图，点A，B 为定点，定直线 l∥AB，P 是 l 上一动点，点 M，N 分别为 PA，PB 的中点，对下列各值： ①线段 MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线 MN，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大 小． 其中会随点P 的移动而变化的是（ ） A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤ 二.填空题 7. 顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是_________________. 8. 如 图 , E 、 F 分 别 是
ABCD 的 两 边 AB 、 CD 的 中 点 , AF 交 DE 于 P, BF 交 CE 于 Q, 则 PQ 与 AB 的 关 系 是 .9. 如图，E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 各边的中点，对角线 AC、BD 的长分别为 7 和 9，则四边形 EFGH 的周长是______.
10.如图，△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，点 D 为 AB 的中点，连接 DE，则△BDE 的周长是________.
11.如图，∠ACB=9O°，D 为 AB 中点，连接 DC 并延长到点 E，使 CE= CD，过点 B 作 BF∥DE 交 AE 的 延长线于点F．若 BF=10，则 AB 的长为 ．
12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F，过点 O 作 OD⊥AC 于 D．下列三个结论：
①∠BOC＝90°＋
1
2
∠A；②设 OD＝
m
，AE＋AF＝n
，则S
△AEF
mn
； ③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.
三.解答题
13. （2016•淄博）如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BC 的中点为 M，ME∥AD，交 BA 的延长线于点E，交 AC 于点 F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：BE= （AB+AC）．
14.已知：在△ABC 中，BC＞AC，动点 D 绕△ABC 的顶点 A 逆时针旋转，且 AD＝BC，连接 DC．过 AB、DC 的 中点 E、F 作直线，直线 EF 与直线 AD、BC 分别相交于点 M、N．
（1）如图 1，当点 D 旋转到 BC 的延长线上时，点 N 恰好与点 F 重合，取 AC 的中点 H，连接 HE、HF，根 据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；
（2）当点 D 旋转到图 2 或图 3 中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一 种情况证明． 15. 在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 为 AC 的中点． （1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF，连接 CF，过点 F 作 FH⊥FC，交直线 AB 于点 H．判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明； （2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论 是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C； 【解析】四边形 EFGH 是边长为 5 米的菱形. 2.【答案】C； 【解析】根据中位线定理可得 BC＝2DF，AC＝2DE，AB＝2EF，继而结合△DEF 的周长为 10，可得出△ABC 的周长． 3.【答案】D． 【解析】∵在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10， ∴BC=6． 又∵DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E， ∴DE 是△ACB 的中位线， ∴DE= BC=3． 故选：D． 4.【答案】D； 【解析】EF＝HG＝
1
2
BC，EH＝FG＝1
2
AD，所以四边形 EFGH 是平行四边形，由勾股定理 BC＝5，所以周长 等于 3＋3＋5＝11. 5.【答案】B； 【解析】连接 MN，作 AF⊥BC 于 F．∵AB＝AC，∴BF＝CF＝1
2
BC＝1
2
×8＝4，在 Rt△ABF 中，AF＝ 2 2AB
BF
＝5 4
2
2 ＝3，∵M、N 分别是 AB，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且 MN＝8÷2 ＝4，∴NM＝1
2
BC＝DE，∴△MNO≌△EDO，O 也是 ME，ND 的中点，∴阴影三角形的高是1
2
AF÷2＝ 1.5÷2＝0.75，∴S
阴影＝4×0.75÷2＝1.5． 6.【答案】B； 【解析】解：∵点 A，B 为定点，点 M，N 分别为 PA，PB 的中点， ∴MN 是△PAB 的中位线， ∴MN= AB， 即线段 MN 的长度不变，故①错误； PA、PB 的长度随点 P 的移动而变化，∵MN 的长度不变，点 P 到 MN 的距离等于 l 与 AB 的距离的一半， ∴△PMN 的面积不变，故③错误； 直线 MN，AB 之间的距离不随点 P 的移动而变化，故④错误； ∠APB 的大小点 P 的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点 P 的移动而变化的是②⑤．故选：B． 二.填空题 7.【答案】菱形； 8.【答案】PQ∥AB，PQ＝
1
2
AB； 【解析】P，Q 分别是 AF，BF 的中点. 9.【答案】16； 【解析】根据三角形中位线的性质得出 HG1
2
AC，EF1
2
AC，HE1
2
DB，GF1
2
BD，进而得出 HE ＝GF＝1
2
BD，HG＝FE＝1
2
AC，即可得出答案． 10.【答案】10；【解析】∵在△ABC 中，AB＝AC＝6，AE 平分∠BAC，∴BE＝CE＝
1
2
BC＝4，又∵D 是 AB 中点，∴BD＝1
2
AB ＝3，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE＝1
2
AC＝3，∴△BDE 的周长为 BD＋DE＋BE＝3＋3＋4＝10． 11.【答案】8； 【解析】∵点 D 是 AB 的中点，BF∥DE， ∴DE 是△ABF 的中位线． ∵BF=10， ∴DE= BF=5． ∵CE= CD， ∴ CD=5，解得 CD=4． ∵△ABC 是直角三角形， ∴AB=2CD=8． 12.【答案】①，③；【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF 的面积＝△AOE 的面积＋△AOF 的面积求解；③若 此三角形为等边三角形，则 EF 即为中位线． 三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵DA 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD∥EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF． （2）作 CG∥EM，交 BA 的延长线于 G． ∵EF∥CG， ∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE， ∵∠AEF=∠AFE， ∴∠G=∠ACG， ∴AG=AC， ∵BM=CM．EM∥CG， ∴BE=EG，
∴BE= BG= （BA+AG）= （AB+AC）．
14.【解析】
解：图 1：∠AMF＝∠ENB；图 2：∠AMF＝∠ENB；图 3：∠AMF＋∠ENB＝180°． 证明：如图 2，取 AC 的中点 H，连接 HE、HF． ∵F 是 DC 的中点，H 是 AC 的中点， ∴HF∥AD，HF＝
1
2
AD， ∴∠AMF＝∠HFE， 同理，HE∥CB，HE＝1
2
CB， ∴∠ENB＝∠HEF． ∵AD＝BC， ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴∠ENB＝∠AMF． 如图 3：取 AC 的中点 H，连接 HE、HF． ∵F 是 DC 的中点，H 是 AC 的中点， ∴HF∥AD，HF＝1
2
AD，同理，HE∥CB，HE＝
