《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】 1.了解二元一次方程组及其解的有关概念； 2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法； 3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解； 4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用； 5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用x
和y
），并且未知数的次数都是 1，像这样 的方程叫做二元一次方程. 要点诠释： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释： 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来， 即二元一次方程的解通常表示为
b
a
＝
＝
y
x
的形式.3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程 组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数 .例如，二元一次方程组
3
4
5
2
x
y
x
. 要点诠释： （1）它的一般形式为 1 1 1 2 2 2a x b y c
a x b y c
（其中a
1，a
2，b
1，b
2不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次 方程组． （3）符号“
”表示同时满足，相当于“且”的意思． 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释： （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把 数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某 一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组
6
2
5
2
y
x
y
x
无 解，而方程组
2
2
2
1
y
x
y
x
的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 转化 消元 一元一次方程 二元一次方程组 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x
（或y
）的代数式 表示y
（或x
），即变成yaxb（或xayb）的形式； ②将yaxb（或xayb）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y
（或x
），得到一个关于x
（或y
）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x
（或y
）的值； ④把x
（或y
）的值代入yaxb（或xayb）中，求y
（或x
）的值； ⑤用“
”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简 单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体 用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程 这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使 运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 0 的数，等式仍然成立”的性质，将 原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质， 将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“
”联立在一起即可. 要点诠释： 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加 减消元法较简单. 要点三、实际问题与二元一次方程组 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的 结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫做三元一次方程； 含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程， 像这样的方程组叫做三元一次方程组.4
12,
3
2
5,
5
1,
x y z
x
y z
x y
z
2
7
3,
3
1,
3
4
a
b
a c
b
c
等都是三元一次方程组. 要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知 数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一 个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组 中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一 元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释： （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解 法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代 入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组 的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如 x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知 数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点诠释： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果 是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】 类型一、二元一次方程组的相关概念
1.
在下列方程中，只有一个解的是（ ） A.1
3
3
0
x y
x
y
B.1
3
3
2
x y
x
y
C.1
3
3
4
x y
x
y
D.1
3
3
3
x y
x
y
【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案 【答案】C. 【解析】选项 A、B、D 中，将方程x y
1
，两边同乘以 3 得3
x
3
y
3
，从而可以判 断 A、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而 D 中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为 C. 【总结升华】在 1 1 1 2 2 2
a x b y c
a x b y c
（其中
a
1，
a
2，
b
1，
b
2均不为零），
（1）当 1 2 1 2 2 2a
a
c
a
b
c
时，方程组无解；（2）当 1 2 1 2 2 2a
a
c
a
b
c
，方程组有无数组解； （3）当 1 2 2 2a
a
a
b
，方程组有唯一解． 举一反三： 【高清课堂：二元一次方程组章节复习 409413 例 1（3）】 【变式 1】若关于 x、y 的方程
1
m2
m
x y
是二元一次方程，则 m = ． 【答案】1． 【变式2】已知方程组5
3
1
x y
ax
y b
有无数多个解，则a、b 的值等于 ． 【答案】a＝﹣3，b＝﹣14． 类型二、二元一次方程组的解法 2. (黄冈调考)解方程组2
(
)
5
3
3
5
(
)
3
2
2
x y
y
x y
y
①
②
【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方 程组中的每一个方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一个整体，消去(x-y)可得到一个关 于 y 的一元一次方程． 【答案与解析】 解：由①×9 得：6(x-y)+9y＝45 ③ ②×4得：6(x-y)-10y＝-12 ④ ③-④得：19y＝57， 解得 y＝3． 把 y＝3 代入①，得 x＝6． 所以原方程组的解是6
3
x
y
． 【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求 方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果． 举一反三：【变式】(换元思想)解方程组
1
6
10
5
6
10
x y
x y
x y
x y
【答案】 解：设6
x y
m
，10
x y
n
． 则原方程组可化为1
5
m n
m n
，解得3
2
m
n
． 所以3
6
2
10
x y
x y
即18
20
x y
x y
． ∴1
19
x
y
． 3.（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组 小明正确解得 小文因抄错了 c，解得 已知小文除抄错了 c 外没有发生其他错误，求 a+b+c的值． 【思路点拨】把 代入方程组第一个方程求出 c 的值，将 x 与 y 的两对值代入第二 个方程求出 a 与 b 的值，即可求出 a+b+c 的值． 【答案与解析】 解：把 代入 cx 3y= 2﹣ ﹣ ，得 c+3= 2﹣ ， 解得：c= 5﹣ ， 把 与 分别代入 ax+by=2，得 ， 解得： ， 则 a+b+c=2 + ﹣5=3 5= 2﹣ ﹣ ．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立 的未知数的值． 举一反三： 【变式】已知二元一次方程组
17
5
1
9
4
y
x
y
x
的解为x
a
，yb，则a b . 【答案】11. 类型三、实际问题与二元一次方程组 4.用 8 块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示， 求每块地砖的长与宽. 60cm 【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两 条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出一个关于x、y 的二元一次方程组. 【答案与解析】 解：设每块地砖的长为 xcm 与宽为 ycm，根据题意得：60
2
3
x y
x x
y
，解得：45
15
x
y
答：每块地砖长为45cm，宽为15cm 【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法 提炼出题目中隐含的相等关系. 举一反三： 【变式】如图，长方形 ABCD 中放置 9 个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求 图中阴影部分的面积. 【答案】解：设每个小长方形的长为 x，宽为 y，根据题意得：
4
22
(
2 ) 3
7
x
y
x
y
y
，解得10
3
x
y
所以阴影部分的面积为：22(7 3 ) 9
y
xy
22(7 9) 9 10 3 82
. 答：图中阴影部分的面积为 82. 5.（龙岩）已知：用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满货物一次可运货 10 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满货物一次可运货 11 吨．某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： （1）1 辆 A 型车和 1 辆车 B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若 A 型车每辆需租金 100 元/次，B 型车每辆需租金 120 元/次．请选出最省钱的租 车方案，并求出最少租车费． 【答案与解析】 【总 结升华】本题实际上是求二元 一次方 程组的正整数． 举一反三： 【变式 1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：甲班分两次共购买苹果 70 千克(第二次多于第一次)，共付出 189 元，而乙班则一次购买 苹果 70 千克。 (1)乙班比甲班少付出多少元？ (2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 【答案】 解：（1）
189 70 2 49
（元） 答：乙班比甲班少付出 49 元． （2）设甲班第一次、第二次分别购买苹果x
、y
千克，则依据题意得： ①当0
x
30
，30
y
50
，则有：70
3
2.5
189
x y
x
y
，解得：28
42
x
y
，经检验满足题意； ②当0
x
30
，y
50
，则有：70
3
2
189
x y
x
y
，解得：49
21
x
y
，经检验不满足题意； ③当30
x
50
，30
y
50
，则有：2.5 70 175 189
，不满足题意． 答：甲班第一次购买苹果 28 千克，第二次购买 42 千克． 【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例 3、】 【变式 2】某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住 5 人，则有 4 人住不下；若每间宿 舍住 6 人，则有一间只住 4 人，且空两间宿舍，求该年级寄宿生人数及宿舍间数. 【答案】 解：设该年级有寄宿生 x 人，宿舍 y 间. 答：该年级寄宿生有 94 人，宿舍 18 间. 类型四、三元一次方程组 6.（2015•滨州）某服装厂专门安排 210 名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由 2个小袖、1 个衣身、1 个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖 10 个，或衣身 15 个， 或衣领 12 个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣 领正好配套． 【思路点拨】可设应该安排 x 名工人缝制衣袖，y 名工人缝制衣身，z 名工人缝制衣领，才 能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共 210 名工人；②小 袖的个数：衣身的个数：衣领的个数=2：1：1；依此列出方程组求解即可． 【答案与解析】
5
4
6
3
4
x
y
x
y
94
18
x
y
解：设应该安排 x 名工人缝制衣袖，y 名工人缝制衣身，z 名工人缝制衣领，才能使每天缝 制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，依题意有 ， 解得 ． 故应该安排 120 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 答：应该安排 120 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 【总结升华】考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑 设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． 举一反三： 【变式】解方程组
