1-1-1數與數線-數與數線

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(1)(99 課綱) 第一冊第一章 1-1 數與數線. 數與式. 【目標】能了解實數的意涵：選定一線段作為單位長度，以它去度量另一線段，賦予此線段一個數，這個數就是正實數。進而能建構數線，理解數線上每一點都有一個實數為其坐標，且每一個實數都有一點與之對應；並藉由有理數的十進位表示法，理解無理數的無限小數的十進位表示法的意義。再者，能操作實數的四則運算，並熟悉以文字代替數字的形式操作﹑根式的運算﹑實數的大小，以及絕對值的意義。【問題】 1. 是否任何兩線段的長度比都是整數比？解答：在下圖中， AB 與 CD 是兩條任意的線段：. CD : AB 是否一定是整數比呢？也就是說是否可以將 AB 適當 n 等分， CD 適當 m 等分，其中 m, n 都是正整數，使所得的每一等分一樣長。如果可以， m m 那麼 CD : AB  m : n ，而 CD  AB 。此時，若令 AB  1，則 CD  。很可惜， n n 答案是否定的。例如：正方形的對角線長與邊長的比是 2 ，它不是整數比。. 對任意兩線段 AB 與 CD ，儘管 CD : AB 未必是整數比，但我們知道必有一個數 x ，使 CD  xAB 。若令 AB  1 ，則 CD  x ，這樣的數 x 就是實數，它可能是 1, 2, 3, 4, 5, …這些整數，也可能是像. m 這類分數(其中 m, n 是正整數)，但也可能無法表為 n. 分數(例如 2 )，也就是不能找到一個最小單位來「公度量」此兩線段。以上這些數都是正實數，為了方便，0 以及將正實數前加上負號所得的負數(例 4 3 試證： 2 為無理數。. 如 5,  ,  2 )也都算是實數。 2.. 證明：假設正實數 x 滿足 x 2  2 ，且存在整數 p, q ，使 x  於是存在互質的正整數 m, n ，使 x . q ， p. m 。 n. m m2 m2  x 2  2  2  2  m2  2n2  m2 是偶數  m 是偶數。 n n n 令 m  2k ，其中 k 是正整數，於是 m2  2n2  4k 2  2n2  n2  2k 2  n2 是偶數  n 是偶數。 x. m, n 都是偶數與 m, n 互質矛盾，所以不存在整數 p, q 使 x . 1. q 。 p.

(2) 【說明】 1. 我們用一支以. 1 公分為最小單位的直尺來度量一張名片的長與寬。如果 10. 長﹑寬恰好在分割線上，我們可以準確的讀出其長與寬(不考慮視覺的誤差)。如果長或寬不恰好落在分割線上時，例如：寬落在 5.4 與 5.5 公分之間，那麼我們就可在 5.4 與 5.5 公分之間估計一個數值，如：5.43 公分﹐ 5.46 公分，…等等；但如果想更準確時，就要在 5.4 與 5.5 公分的線段上，再以 0.01 公分為單位細分下去。 2. 度量長度就是測量長度之意，測量可以定義為一個數據配以單位做為描述人或物的一些性質之用。測量的重要部分為測量的單位。測量用來決定事物的大小，用同一單位測量幾個不同的物件可直接比較這些物件的大小，用不同的單位測量同一個物件，所得到的單位數不同；這種測量得到的單位數就是實數。測量物件時，必須取適當的單位，否則得到的單位數可能太大或太小，不便使用。【定義】 1. 離散量：一種是有自然單位且不宜分割的物件，這些整數計數的量稱為離散量。註：整數的離散性：任意兩個相異整數的距離至少為 1 。 2. 連續量：需人為地取定單位，並以此單位來度量，其數值未必是整數，這種量稱為連續量。例如：長度﹑質量﹑時間。 3. 單位長：取定單位長，任取線段的長度都是單位長的實數倍。 4. 有理數： m 能夠表成兩個整數 m, n 的比值 (n  0) 的實數稱為有理數。 n 註： (1) 每個整數都是有理數，每個有理數都是實數。 (2) 有理數的稠密性：任意兩個不相等的有理數之間，至少有一個有理數存在。 5. 無理數：不是有理數的實數稱為無理數， 2 及  (圓周率)都是無理數。註： (1) 無理數就是不循環的無限小數。 (2) 使用無理數時，常只考慮它的近似值，可使用二分逼近法或十分逼近法求之。 6. 小數：每一個實數都可以表成小數，有理數表成有限小數或循環小數，無理數表成不循環的無限小數。註：循環小數的小數位數有無限多，是無限小數的一種，一般小數位數有限的小數，可以稱為有限小數。 2.

(3) 【討論】數線： 1. 在一直線上任取一點 O 做原點，再另取一點 U 做單位點，就以 OU 為單位長，即 OU  1 。這時，以原點 O 為界將直線分為兩側：一側為單位點 U 所在，稱為正向；另一側則為負向(在水平直線上，通常以右方為正向，左方為負向)，於是直線上任一點 P ，依 P 所在的位置分三種情形規定點 P 的坐標如下：. (1) 點 P 落在正向時，若 OP  pOU  p ，則點 P 坐標為 p 。 (2) 點 P 為原點 O 時，點 P 坐標為 0 。 (3) 點 P 落在負向時，若 OP  pOU  p ，則點 P 坐標為  p 。 2. 設點 P 是數線上異於原點的一點，我們已經知道 OP : OU 未必是整數比，分成兩種情形： (1) OP : OU 是整數比，令 OP : OU  m : n ，其中 m, n 是正整數，於是 OP . m m OU  ， n n. m ； n m m m 當 P 落在負向，點 P 坐標是   。  n n n. 當 P 落在正向，點 P 坐標是實數. 此時，點 P 坐標可以表成兩個整數的比值，這種實數稱為有理數，這種點稱為有理點。 (2) OP : OU 不是整數比。此時，點 P 坐標不是有理數，就稱為無理數(如 2 )，而該點稱為無理點。在數線上，所有實數與所有點一一對應。有理數對應的點稱有理點，無理數對應的點稱無理點。 3. 由於非零整數 m . m 0 ，都是有理數，而原點 0 的坐標 0  ，也算是有理數。 1 1. 因此，所有整數都是有理數。【說明】 1. 可將此線上任意點的位置賦予一個數，此直線就是一條數線；我們要強調的  是數線上的點與實數全體中的數是一一對應的；確定有些數，例如：  ﹐ 2. 不能用直尺與圓規依作圖的方式作出來，但數線上恰有一點其坐標為  ，也  恰有一點其坐標為，這是直觀明確的。 2. 2. 數線上，點的坐標是一維幾何的基礎概念，也是解析幾何的最基礎概念。每一點有一坐標，每個數有一點與之對應。以此延伸，可建立平面坐標，再建立空間坐標。因此，在這裡要確實了解坐標與一一對應的意涵。. 3.

(4) 【問題】 1. 在數線上將 AB 線段 m 等分。註：利用平行線比例的性質處理。解答： Q1 Q2 Q3. Qm-1. A. B. P1 P2 P3 Pm-1 P 如圖過點 A 作線段 AP ，在 AP 上取點 P1 , P2 , P3 ,, Pm 1 ，使 AP1  P1P2  P2 P3    Pm 1P ，連 BP ，並分別過 P1 , P2 , P3 ,  , Pm 1 作 BP 的平行線， 1 分別交 AB 於 Q1 , Q2 , Q3 ,, Qm 1 ，得 AQ1  AB 。 m 8 3. 2. 給定 AB 如下，令 AB  1 。試作一線段，使它的長度是。解答： 8 3. 2 3. 由於  2 ，故可依序作圖如下： (1)作一線段 CX ，取 CD  DE  EF  AB  1 。 (2)過點 E 作適當線段 EY ，在 EY 上，取 EP1  P1 P2  P2 P3 。. (3)連 P3 F ，過點 P2 作 P3 F 的平行線交 EF 於 P 。由於平行線截比例線段，故. EP EP2 2   ， EF EP3 3. 2 3. 又 EF  1 ，得 EP  。 2 3. 8 3. 因此， CP  CE  EP  2   。. 4.

(5) 3 5. 3. 給定 AB 如下，令 AB  1 。試作一線段，使它的長度是。解答：過 A 任作一直線，並在上取 C1 ﹐ C2 ﹐ C3 ﹐ C4 ﹐ C5 ，使 AC1  C1C2  C2C3  C3C4  C4C5 ，如圖，. 連接 C5 B ，再過 C3 作 C3 D // C5 B 且直線 C3 D 交 AB 於 D ， 3 5. 則 AD  為所求。 4. 在數線上標出有理數. n 。 m. 解答：一個正有理數 r  可將數線以. n ，其中 m, n 都是正整數時， m. 1 n 為最小刻度，在原點右方的第 n 個刻度即是。 m m. n ，其位置在原點左方(負方向)的第 n 個刻度點。 m 可知，每一個有理數都可以標示在數線上。若r  . 5. 給定 AB  1 ，在數線上標出 2 。解答：. 作 CD  2 AB  2 ，以 C 為圓心，適當長為半徑畫弧，再以 D 為圓心相同長為半徑畫弧，兩弧交於 E, F ，連 EF 交 CD 於 M 。在 ME 上取 MP  AB  1 ，連接 CP ，則 CP 即為所求。 2. 2. 2. 由於 EF 垂直平分 CD ， CP  CM  MP  12  12  2 (畢氏定理)，所以 CP  2 。 5.

(6) 6. 給定 MN 如下，令 MN  1 ，試作一線段，使其長度為. 3 。 2. 解答：作 PZ ，並取 PQ  1 ， QR  3 ，以 PR 為直徑作半圓，並過 Q 作 PR 的垂線，交半圓於 T ，. 並取 QT 的中點 K ，則 QK . 3 。 2. 6.

(7) 【說明】人類或許是因為有 10 根手指頭，所以偏愛十進位數字系統。整數用十進位，小數也用十進位。其實小數就是分母為 10, 100, 1000, …的分數的另一種表法。例 7 123 如： 0.7  ,1.23  。 10 100 數線上， 0.36 介於 0 與 1 之間，若將 0 與 1 區間十等分，則 0.36 在 0.3 與 0.4 之間，再將此區間十等分，就可明確定出 0.36 的位置。循環小數 0.36  0.363636 ，就在 0.36 與 0.37 之間，將此區間十等分，再十等分，… 作下去，它也有唯一確定的位置，此位置就是. 4 36 ，即的位置。 11 99. 循環小數的小數位數有無限多，是無限小數的一種，一般小數位數有限的小數，可以稱為有限小數。有限小數與循環小數都是有理數，循環小數必為有理數。【問題】 1. 試將下列分數化為小數。 (1). 21 7 。(2) 。 8 12. 解答： (1) 利用長除法將 21 除以 8 ，過程如下： 2.625 8 21 16 50 48 20 16 40 40 0. 得. 21  2.625 。 8. (2) 利用長除法將 7 除以 12 ，過程如下： 0.5833 12 70 60 100 96 40 36 40. 得. 7  0.583 (即 0.5833 ，循環節為 3 )。 12. 7.

(8) 2. 試證：有理數都可以化成有限小數或循環小數。證明： m 化成小數時， n 用長除法以 m 除以 n ，則每回的餘數只能是 0, 1, 2, , n  1 ，. 一般而言，當 m, n 是正整數，而要將反覆操作時，若出現餘數 0 ，則. m 化成有限小數； n. 若不出現 0 ，則餘數必然重複出現，. m 也就成了循環小數， n. 所以有理數都可以化成有限小數或循環小數。 3. 將小數 0.36 及循環小數 0.36 (即 0.3636 ，循環節為 36 )化為最簡分數。解答： 0.36 . 36 9 ，設 x  0.36 ，  100 25. 則 100x  36.36  36  0.36  36  x ， 99 x  36 ， x . 36 4  ， 99 11. 4 。 11 求 3.2567 的分數表示時。. 即 0.36  4.. 註：循環小數可以用一個有理數來代表。解答：令 x  3.2567 ，則 10 x  32.567567 ， 10000 x  32567.567567 ， (10000  10) x  32567  32 ，可得知 x . 32535 就是 3.2567 的分數表示； 9990. 它在數線上可以明確的作出來。 5. 無理數是否可以表示成小數呢？解答：無理數表成小數都是不循環的無限小數。 6. 寫出無理數 2 用小數表示的前三位小數。解答：我們用十等分法逐步逼近如下：首先， 1  2  4 ，故 1  1  2  4  2 ，即 2  1. 將 1 ~ 2 之間十等分，分點為 1.1, 1.2, , 1.9 ，. 。. 分別計算這些數的平方，得 (1.4) 2  1.96  2  2.25  (1.5) 2 ，故 1.4  2  1.5 ，即 2  1.4 。次將 1.4 ~ 1.5 之間十等分，又求得 (1.41)2  1.9881  2  2.0164  (1.42) 2 ，故 1.41  2  1.42 ，即 2  1.41 。再將 1.41 ~ 1.42 之間十等分，求得 (1.414)2  1.999396  2  2.002225  (1.415) 2 。故 1.414  2  1.415 ，即 2  1.414 。(以上計算可利用電算器) 8.

(9) 【說明】透過整數的除法得到的有理數可以表示為有限小數或循環小數，並熟悉兩者之間的互換。進而理解無理數的十進位表示法可利用不斷作「十等分的細分」，由有限小數逐步逼近，而得到無窮不循環小數。由 2 的定義：正數 x 使 x2  2 時， x 就以 2 表示。我們可透過尺規作圖，在數線上找到 2 的明確位置。利用代數關係(用電算器計算)： 1.42  1.412  1.4142  1.41422   2   1.41432  1.4152  1.422  1.52 ，我們可確定 1.4  1.41  1.414  1.4142   2   1.4143  1.415  1.42  1.5 ，利用有理數列(即小數數列)可以逼近 2 的位置，也就是 2 的小數表示為 1.4142 ，它是一個無限不循環小數；更一般的說：任意一個無理數的小數表示都是無限不循環小數。在實際應用上，我們視需要取適當的近似值表示之。利用電算器可求 1.42 ， 1.412 ， 1.4142 ，…，如果不使用電算器時，我們由 1.42  1.96 ，又 1.412  (1.4  0.01) 2  1.42  2  1.4  0.01  0.012  1.96  0.028  0.0001  1.9881，又 1.4142  (1.41  0.004) 2  1.412  2  1.41  0.004  0.0042  1.999396 ，也可推得 1.42  1.412  1.4142   2 的關係。這個過程就是要說明推導恆等式 (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 的目的。【定理】 b 1. 最簡分數是有限小數之充要條件為分母只含 2 或 5 的質因數。 a 有理數就是整數或有限小數或循環小數： b  Q, a  0 ，在除的過程中 a b (1) 若 r  0 ，則為整數或有限小數。 a (2) 若 r  0 ，則 r  1,2,, | a | 1 ，至多 | a | 次必循環且循環節 | a | 1 ， b 則為循環小數。 a. 9.

(10) 【性質】實數加法與乘法的基本性質： 1. 交換律： a  b  b  a ， ab  ba 。 2. 結合律： (a  b)  c  a  (b  c) ， (ab)c  a(bc) 。 3. 分配律： a(b  c)  ab  ac 。註：其中分配律可以推廣：對任意實數 a1 , a2 , (a1  a2   an )(b1  b2   bm )  a1b1  a1b2   a1bm  a2b1  a2b2 . , an 及 b1 , b2 ,.  a2bm . , bm ，恆有.  anb1  anb2 .  anbm 。. 【公式】常用的乘法公式： 1. (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 。 2. (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 。 3. (a  b)(a  b)  a 2  b 2 。 4. (a  b)3  a 3  3a 2b  3ab2  b3 。 5. (a  b)3  a 3  3a 2b  3ab2  b3 。證明： (a  b)3  (a  b) 2 (a  b)  (a 2  2ab  b 2 )(a  b).  a3  2a2b  ab2  a2b  2ab2  b3  a3  3a2b  3ab2  b3 。. (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3 。. 6. 7.. (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3 。證明： (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  a 2b  ab 2  a 2b  ab 2  b 3  a 3  b 3 。. 註： (1) (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3 ， (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3 ，常誤用為 (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3 ， (a  b)(a 2  ab  b 2 )  a 3  b3 ，請小心引用之。 (2) 應用乘法公式 ( a  b)3 展開 (2 x  3 y )3 時，只要將 2 x 視為 a ， 3 y 視為 b ，即可應用之。此目的在建立形式與抽象符號操作的能力。 (3) 乘法公式 (a  b)(a  b)  a 2  b 2 具有一體兩面的意涵，如果由左往右是乘開，而由右往左，即 a 2  b 2  (a  b)(a  b) ，就是因式分解之意。所有的乘法公式都有此意涵。但分解因式需要多練習才能熟練之。. 10.

(11) 【問題】 1. 設 a, b 為任意實數，乘開並化簡 (a  b) 4 。解答： (方法一) (a  b) 4  (a  b)(a  b)3  (a  b)(a 3  3a 2b  3ab 2  b3 ).  a4  3a3b  3a2b2  ab3  a3b  3a2b2  3ab3  b4  a4  4a3b  6a2b2  4ab3  b4 。. (方法二) (a  b) 4  (a  b) 2 ( a  b) 2  ( a 2  2ab  b 2 )(a 2  2ab  b 2 ).  a4  2a3b  a2b2  2a3b  4a2b2  2ab3  a2b2  2ab3  b4  a4  4a3b  6a2b2  4ab3  b4 。. 2. 展開 (1  x)(1  x  x 2 ) 。解答： (1  x)(1  x  x 2 )  1  x  x 2  x  x 2  x 3  1  x 3 。. 3. 分解 x4 1 。解答： x 4  1  ( x 2  1)( x 2  1)  ( x  1)( x  1)( x 2  1) 。. 【性質】 a b. 當 b  0 時，實數 a 比 b 的比值就是。關於分式的運算，我們知道： 1. 2. 3.. a a。 1 a c ac ( b  0, d  0 )。   b d bd ac a  ( b  0, c  0 )。 bc b. 【說明】 ac a  為約分與擴分的一體兩面形式，視其需要引入。 bc b 48 48 16  3 3 如分數化為簡單分數，   ，就是約分。 80 80 16  5 5 1 1 1 2 4 6 12 1 1 1 但合併   時，就引入擴分，        1 。 6 3 2 12 12 12 12 6 3 2. 式. 11.

(12) 【作圖】 1. 根式作圖：在圖中，. 設 ACB 為直角，且 CD 垂直 AB 於 D ，則 CAD ~ BCD ，於是. AD CD 。  CD BD. 令 AD  1, BD  a, CD  x ， 1 x. 上式即 . x ，得 x2  a 。 a. 由此性質，可知：對任意正實數 a ，都可利用尺規作圖，作出正實數 x ，使 x2  a ，此處 x 即為 a 。因此， ( a ) 2  a 。 2. 以下方線段為單位長(長度為 1)，. 試作出長度為 5 的線段。解答：. 利用直尺及圓規作圖。首先作一線段 AB  6 ，以 AB 為直徑作一半圓，在 AB 上取點 D ，使 AD  1 ，過點 D 作 AB 的垂線交半圓於 C 。由於 ACB  90 ，故 CD  5 。. 12.

(13) 【定義】 1. 平方根： a  0 時， a  0 ，且 ( a )2  a 。註：設 a 是一個正實數，若實數 x 滿足 x2  a ，則 x 是 a 的一個平方根。 a 的平方根有 a 與  a 。【性質】運算性質：設 a, b 是正實數，則 1. a b  ab 。 2. 3.. a a 。  b b 2 a  a。證明：由於 ( a  b ) 2  a  b  a  b  ( a ) 2 ( b ) 2  ab ，所以 a  b  ab 。仿此，可得. a b. a 。 b. . 又當 a  0 時， a 2  a  a  a  a  ( a )2  a ，故 a2  a 。【性質】 1. 設 a, b, c 是有理數，其中 b  0 ，且 c 是無理數，則 a  b c 是無理數。證明： ra 因為如果 a  b c  r 是一個有理數，會導致 c  是有理數的矛盾。 b b 乘 c 的積記為 b c ，它也是一個無理數， r 因為如果 b c  r 是一個有理數，會導致 c  是有理數的矛盾。 b 2. 設 a, b, c, d 是有理數，若 a  b 2  c  d 2  a  c, b  d 。 3. 若自然數 n 的質因數分解中(標準分解式)，至少有一個質因數出現了奇數次，則 n 為無理數。【說明】 1. 當根號中是正整數時，我們都儘量分解出平方數，使根號中的整數變小。 2. 以兩層根號表示的實數有些不能化簡成一層根號；但有些根號內之根式 a  2 b 為完全平方式，即 a  2 b  ( p  q )2 ，可以化簡成一層根號。 3. 將原分式的分母化成有理數的過程稱為分母的有理化。通常在做根式的運算時，把分母有理化會比較容易處理。 4. 我們常利用代數性質與簡單操作來比較 2  5 與 13 的大小，由 2. ( 2  5 )2  13  0 來判斷 2  5 與 13 的大小，通常平方根式的比較利用平方之後的比較大小是可行的。. 13.

(14) 【問題】 1. 有理數的加減乘除都還是有理數？解答：有理數的基本運算： b d bc  ad (1) 加法：   ， ac  0 。 a c ac b d bc  ad (2) 減法：   ， ac  0 。 a c ac b d bd (3) 乘法：   ， ac  0 。 a c ac b d bc (4) 除法：   ， acd  0 。 a c ad 故有理數的加減乘除都還是有理數。 2. 無理數的加減乘除都還是無理數？解答：不一定。 3. 有理數與無理數的加減乘除是什麼數？解答：一般而言，有理數與無理數之和必為無理數，但無理數之「和」﹑「差」﹑「積」或「商」不必然是無理數。 4. 是否可由一個數 k 不是平方數，便說 k 是無理數？解答：不行。 5. 試證： 2 為無理數。證明：設 x  2 為有理數，則存在互質的正整數 m, n ，使 x . n n2  2  2 ，即 n 2  2m 2 ， m m. 故 2 | n 2 ，又 2 為質數  2 | n ，令 n  2k ，其中 k 為正整數，於是 2k 2  m 2 ，故 2 | m 2 ，又 2 為質數  2 | m 得 2 | (m, n) ，矛盾，故 x  2 不為有理數。 6. 證明 3 2 為無理數。 7. 證明 3  2 為無理數。 8. 證明 3 2 為無理數。 9. 證明 2  3 7 為無理數。 10.化簡： 4  2 3 。解答： 4  2 3  1  2 3  ( 3) 2  (1  3) 2  3  1 。. 註：不要寫成 1  3 。 14.

(15) 【性質】實數次序的基本性質： 1. 三一律：兩實數 a, b ，必有 a  b 、 a  b 、 a  b 三者中恰一成立。註： (1) 要比較 x 與 y 的大小，可以先比各自平方的大小。當正數 x, y 滿足 x 2  y 2 時， x 2  y 2  0 ，即 ( x  y)(x  y)  0 ， 1 兩端同乘，便得 x  y  0 ，故 x  y 。 x y (2) 兩實數 a, b ，當 a  b 不成立時，必有 a  b 或 a  b ，記為 a  b ；另一方面，當 a  b 不成立時，必有 a  b 或 a  b ，記為 a  b 。 (3) 由乘法的符號規律可知：對任意實數 a ，恆有 a 2  0 。 2. 遞移律：若 a  b 且 b  c ，則 a  c 。(記為 a  b  c )。 3. 兩數同加一數的規律：若 a  b ，則 a  c  b  c 。註： (1) 若 a  b ﹐則 a  c  b  c ﹒ 4. 兩數同乘一數的規律： (1)若 a  b 且 c  0 ，則 ac  bc ； (2)若 a  b 且 c  0 ，則 ac  bc 。註： (1) 若 a  b 且 c  0 ，則 ac  bc ； (2) 若 a  b 且 c  0 ，則 ac  bc 。【定理】 1. 算幾不等式： ab ab 對任意正實數 a, b，  ab 恆成立，且只有當 a  b 時，才有  ab。 2 2 證明：. 2.. ab 1 1 1  ab  (a  2 ab  b)  [( a )2  2 ab  ( b )2 ]  ( a  b ) 2  0 ， 2 2 2 2 ab 故  ab 。 2 ab ab 1 當 a  b 時， ( a  b )2  0 ，故  ab  0 ，即  ab 。 2 2 2 ab ab 1 當 a  b 時， ( a  b )2  0 ，故  ab  0 ，即  ab 。 2 2 2 ab  ab 。所以只有當 a  b 時，才有 2 a 2  b2 設 a, b 是實數，則  ab 。 2. 15.

(16) 【定義】 1. 絕對值：實數 x 的絕對值記作 | x | ，意義如下：  x  0時, | x | x,   x  0時, | x | 0, 。  x  0時, | x |  x.  註：.  x  0時, | x | x, (1) 絕對值可以簡化為兩種：  。  x  0時, | x |  x. (2) 當 a, b 為數線上任意兩點 A, B 的坐標時， A 與 B 的距離為 | a  b | ，這就是絕對值的幾何意涵： x 為數線上任意點的坐標，則 | x | 表示此點與原點的距離。【性質】絕對值的基本性質：設 x, y 為實數，則 1. | x | 0 。 2. | x | x 。 3. |  x || x | 。. x 2 | x | 。 5. | x  y || y  x | 。 6. | xy || x || y | 。 7. | x  y || x |  | y | 。註： (1) | x  y || x |  | y | 不恆成立。必須在 x, y 同號或至少有一數為 0 時才成立；同樣地， | x  y || x |  | y | 必須在 x, y 異號或至少有一數為 0 時才成立，不可錯用這些性質。 x | x| ,y  0。 (2) | | y | y| (3) | x  y || x |  | y | (4) | x  y  z || x |  | y |  | z | 。 (5) | xyz || x || y || z | 。 (6) 設 x, y 為實數，且 x 2  y 2 ，則 | x || y | ，在數線中，其關係如下： 4.. 【說明】. a, b 為兩正數， a2  2ab  b2  (a  b)2  | a  b | ，必須確定 a 與 b 的大小，才能刪掉絕對值符號，例如： ( 2  3)2  | 2  3 |  3  2 。常誤寫成 ( 2  3)2  2  3 ，應多注意。. 16.

(17) 【問題】 1. 設. 1 2.  x  1 ，化簡 1  2 x 1  x 2  1  2 x 1  x 2 。. 解答：由. 1 2.  x  1得. 1  x2  1 ， 2. 即 1  x2  0 ，且 1  2 x2  0 ，令 A  1  2 x 1  x2  1  2 x 1  x2 ，則 A  (1  x 2 )  2 x 1  x 2  x 2  (1  x 2 )  2 x 1  x 2  x 2  ( 1  x 2  x) 2  ( 1  x 2  x) 2 ，. 又 ( 1  x 2 )2  x 2  1  x 2  x 2  1  2 x 2  0，即 ( 1  x 2 )2  x 2，可得 1  x2  x  0 ，所以 A  ( 1  x 2  x)  ( x  1  x 2 )  2 x ，所以，原式化簡結果為 2 x 。 2.. x  1 ，化簡 2 x 2  1  2 x x 2  1  x 2  1 。. 解答： 2 x 2  1  2 x x 2  1  x 2  2 x x 2  1  ( x 2  1)  ( x  x 2  1)2  | x  x 2  1 | ，. 當 x  1 時， x2  1 ，故 x2  1  0 且 x  x2  1  0 ， ∴原式  ( x  x 2  1)  x 2  1   x 。【性質】 1. 數系間的關係：    正整數(自然數) Z   N      整數Z 零  實數R 有理數Q  負整數Z      複數C  。  分數F (有限小數, 循環小數)     無理數(不循環的無限小數)   虛數【說明】 1. 97 年修正發布之「普通高級中學必修科目數學課程暨選修科目數學課程綱要中，第一學期數學Ⅰ的數與式主題裡，直接了當的說明實數是度量連續量的符號，並以建構直尺為目標，以學習實數的十進位表示法。並將建構的直尺建立數線，其中每個點與一個實數一一對應。 2. 在實數中，正整數﹑負整數﹑有理數及無理數都是實數的一部分。整數中的因數，倍數及其性質，為國中的基礎概念，最大公因數，最小公倍數也為基礎概念。. 17.

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