1-1
多項式的四則運算
=== 第四章 不等式及其應用 ======
將
2 3 43
x
+ −
5 2
x
+
x
−
4
x
多項式作降次排列，並指出其次
數、領導係數、3 次項係數及常數項各為何？
多項式
2 3 43
x
+ −
5 2
x
+
x
−
4
x
作降次排列後為
4 3 22
3
4
5
x
−
x
+
x
−
x
+ 且
(1)次數為4
(2)領導係數為1
(3) 3次項係數為 2
−
(4)常數項為5。
1-1 多項式的四則運算3
將多項式
3 5 4 23
8
5
2
1
x
−
x
+
x
+
x
−
x
+ 作降次排列，並指出
其次數、領導係數、1次項係數及常數項各為何？
3 5 4 2 5 4 3 23
8
5
2
1
8
5
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
+
−
+
=
+
−
−
+ +
(1)次數為5
(2)領導係數為8
(3)一次項係數為1
(4)常數項為1。
1-1 多項式的四則運算2
設
a , b , c
為實數，且
f x
( ) (
= +
a
1)
x
2+ − + − 為零多項式，
(2 1)
b
x c
2
求
a , b , c
的值。
因為 ( )
f x 為零多項式，所以各項係數都為零，
因此
a
+ =
1 0
,
2
b
− =
1 0
,
c
− = ，
2 0
1
a
⇒ =−
,
1
2
b
=
,
c
= 。
2
1-1 多項式的四則運算5 4
設
a , b , c
為實數，且
f x
( )
= −
(
a
1)
x
2+
(3
b
+
2)
x c
+ + 為零多項
3
式，求
a , b , c
的值。
1 0
a
− =
,
3
b
+ =
2 0
,
c
+ =
3 0
⇒ =
a
1
,
2
3
b
= −
,
c
= − 。
3
1-1 多項式的四則運算設 a , b , c , d 為實數，且
3 2( )
(
1)
3
(
1)
2
f x
= +
a
x
−
x
− −
c
x
+ ,
3 2( )
2
5
(
1)
g x
=
x
+
bx
+
x
+ − ，若 ( )
d
f x
=
g x
( )
，求
a , b , c , d
的值。
因為 ( )
f x
=
g x
( )
，所以其各項對應的係數相同，
即
a
+ =
1 2
,
− =
3 b
,
− − =
(
c
1) 5
,
2
= −
d
1
1
a
⇒ =
,
b
= −
3
,
c
= −
4
,
d
= 。
3
1-1 多項式的四則運算7
設
a , b , c , d
為實數，且
f x
( )
= − +
(
a
1)
x
3−
2
x
2+ +
(
c
1)
x
+
2
,
3 2( )
(
2)
3
(
1)
g x
= + −
x
b
x
+ + + ，若 ( )
x
d
f x
=
g x
( )
，求a , b , c , d的值。
(
a
1) 1
− + =
,
− = −
2
b
2
,
c
+ =
1 3
,
2
= +
d
1
2
a
⇒ = −
,
b
=
0
,
c
=
2
,
d
= 。
1
1-1 多項式的四則運算 6設多項式
4 3 2( )
2
5
3
4
f x
=
x
+
x
−
x
− +
x
,
g x
( )
=
6
x
3−
2
x
+ ，求
5
(1) ( )
f x
+
g x
( )
(2) ( )
f x
−
g x
( )
。
(1)
f x
( )
+
g x
( )
=
(2
x
4+
5
x
3−
3
x
2− + +
x
4) (6
x
3−
2
x
+
5)
4 3 22
x
(5 6)
x
3
x
( 1 2)
x
(4 5)
=
+ +
−
+ − −
+ +
4 3 22
x
11
x
3
x
3
x
9
=
+
−
−
+ 。
(2)
f x
( )
−
g x
( )
=
(2
x
4+
5
x
3−
3
x
2− + −
x
4) (6
x
3−
2
x
+
5)
4 3 22
x
(5 6)
x
3
x
[ 1 ( 2)]
x
(4 5)
=
+ −
−
+ − − −
+ −
4 3 22
x
x
3
x
x
1
=
− −
+ − 。
1-1 多項式的四則運算9
設多項式
3 2( )
3
2
5
f x
=
x
+
x
− +
x
,
g x
( )
=
3
x
3−
4
x
+ ，求
7
(1) ( )
f x
+
g x
( )
(2) ( )
f x
−
g x
( )
。
(1)
f x
( )
+
g x
( )
=
(3
x
3+
2
x
2− + +
x
5) (3
x
3−
4
x
+
7)
3 26
x
2
x
5
x
12
=
+
−
+ 。
(2)
f x
( )
−
g x
( )
=
(3
x
3+
2
x
2− + −
x
5) (3
x
3−
4
x
+
7)
22
x
3
x
2
=
+
− 。
1-1 多項式的四則運算 8求多項式
22
x
+
3
x
− 與3
5
x
− 的乘積。
2
一、橫式計算法
2(2
x
+
3
x
−
5)(3
x
−
2)
2 2(2
x
3
x
5) 3
x
(2
x
3
x
5) ( 2)
=
+
− ⋅
+
+
− ⋅ −
(分配律)
2(2
x
3
x
3
x
3
x
5 3 )
x
=
⋅
+
⋅
− ⋅
2[2
x
( 2) 3
x
( 2) 5 ( 2)]
+
⋅ − +
⋅ − − ⋅ −
(分配律)
3 2 26
x
9
x
15
x
4
x
6
x
10
=
+
−
−
−
+
3 26
x
[9 ( 4)]
x
[( 15) 6]
x
10
=
+ + −
+ −
−
+
(同次項合併)
3 26
x
5
x
21
x
10
=
+
−
+ 。
1-1 多項式的四則運算11 二、直式計算法：將兩式之同次項的位置上下對齊，然後再運算 2 2 2 3 2 2 3 2
2
3
5
)
3
2
4
6
10
(2
3
5) ( 2)
6
9
15
(2
3
5) 3
6
5
21
10
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
×
−
−
−
+
←
+
− ⋅ −
+
−
←
+
− ⋅
←
+
−
+
上下兩式相加
三、分離係數法：省略文字符號 x
後運算
2
3 5
)
3 2
4
6
10
6 9 15
6 5 21 10
+ −
×
−
− − +
+ −
+ −
+
所以兩式乘積為
3 26
x
+
5
x
−
21
x
+ 。
10
1-1 多項式的四則運算求多項式
2 32
x
+
4
x
− 與
1
− +
3
x
x
2+ 的乘積。
2
2 3 2(2
x
+
4
x
− − +
1)( 3
x
x
+
2)
3 2 2(4
x
2
x
1)(
x
3
x
2)
=
+
−
−
+
5 4 3 24
x
10
x
2
x
3
x
3
x
2
=
−
+
+
+
− 。
1-1 多項式的四則運算13 11
求
32
3
x
+
x
+
除以
x
2+ +
x
1
的商式與餘式。
)
)
)
(1) 仿照整數的除法，將
x
3+
2
x
+
3
與
x
2+ +
x
1
缺項補零後
填入，如下式：
21
x
+ +
x
x
3+
0
x
2+
2
x
+
3
(2) 因為
x
3=
x
2⋅ ，所以將 x
x
填入
x 上方，如下式：
3x
21
x
+ +
x
x
3+
0
x
2+
2
x
+
3
(3) 計算
x
⋅
(
x
2+ +
x
1)
得
x
3+
x
2+
x
填入
x
3+
0
x
2+
2
x
+
3
下
方，如下式：
x
21
x
+ +
x
x
3+
0
x
2+
2
x
+
3
得
3 2x
+
x
+
x
乘以
1-1 多項式的四則運算)
)
(4) 將(3)中的上下兩式相減後填入
x
+
x
+
x
下方，如下式：
x
21
x
+ +
x
x
3+
0
x
2+
2
x
+
3
3
+
2+
x
x
x
− +
x
2x
(5) 將 3 下移，因為
− = − ⋅
x
2( 1)
x
2，
所以將 1
− 填入
x 上方，如
2下式：
1
−
x
21
x
+ +
x
x
3+
0
x
2+
2
x
+
3
3 2+
+
x
x
x
−
x
2+
x
+
3
1-1 多項式的四則運算15
)
)
(6) 計算
( 1) (
− ⋅
x
2+ +
x
1)
得
− − −
x
2x
1
填入
− + +
x
2x
3
下方，
如下式：
x
−
1
21
x
+ +
x
x
3+
0
x
2+
2
x
+
3
3 2
+
+
x
x
x
−
x
2+
x
+
3
21
−
x
−
x
−
(7) 將前式的上下兩式相減後填入
−
x
2− −
x
1
下方，如下式：
1
−
x
21
x
+ +
x
x
3+
0
x
2+
2
x
+
3
3 2+
+
x
x
x
−
x
2+
x
+
3
−
x
2−
x
−
1
2
x
+
4
乘以
得
1-1 多項式的四則運算16
)
(8) 因為
2
x
+
4
的次數小於
x
2+ +
x
1
的次數，所以從(7)
中可得商式為
x
−
1
，餘式為
2
x
+
4
上述的演算也可用分離係數法來表示如下：
1
−
1
1 1 1
+ +
1 0
+ + +
2 3
1 1 1
+ +
1 1 3
− + +
− − −
1 1 1
2
+
4
17
求
4 3 22
x
+
3
x
−
5
x
+
4
x
+
1
除以
x
2+
1
的商式與餘式。
)
商式為
22
x
+
3
x
−
7
，餘式為
x
+
8
22
x
+
3
x
−
7
20
1
+
+
x
x
2
x
4+
3
x
3−
5
x
2+
4
x
+
1
4 3 22
x
+
0
x
+
2
x
3 23
x
−
7
x
+
4
x
3 23
x
+
0
x
+
3
x
27
1
−
x
+
x
+
27
0
7
−
x
+
x
−
8
+
x
1-1 多項式的四則運算 1219
設多項式
f x
( )
除以
2
x
2−
4
x
+
1
，得商式為
x
+
1
，餘式為
4
x
+
2
，求多項式
f x 。
( )
根據除法原理可得
2( )
=
(2
−
4
+
1)(
+ +
1) 4
+
2
f x
x
x
x
x
3 2 22
2
4
4
1 4
2
=
x
+
x
−
x
−
x
+ + +
x
x
+
3 22
(2 4)
( 4 1 4)
(1 2)
=
x
+ −
x
+ − + +
x
+ +
3 22
2
3
=
x
−
x
+ +
x
。
1-1 多項式的四則運算 13設多項式
f x
( )
除以
3
x
2+
2
，得商式為
2
x
−
1
，餘式為
2
1
− +
x
，求多項式 ( )
f x 。
2( )
=
(3
+
2)(2
− −
1) 2
+
1
f x
x
x
x
3 26
3
4
2 2
1
=
x
−
x
+
x
− −
x
+
3 26
3
2
1
=
x
−
x
+
x
−
。
1-1 多項式的四則運算 1421
利用綜合除法求
3 23
x
−
5
x
+
2
x
−
7
除以
x
−
2
的商式與餘式。
因為除式為
x
−
2
所以運算時以 2 來運算，運算過程分解如下：
(1)
將被除式分離係數且缺項補 0 後，與 2 一起填入，如下式：
3 5 2 7
− + −
2
(2)
將 3 下移至橫線下後，乘以 2 得 6 放置於
− 下，如下式：
5
3 5 2 7
6
3
− + −
+
2
(3)
將
− 加 6 得 1，放置於 6 下，如下式：
5
3 5 2 7
6
3
1
− + −
+
+
2
得
乘以
相加 1-1 多項式的四則運算 15(4)
將 1 乘以 2 得 2，放置於 2 下，如下式：
3 5 2 7
6 2
3
1
− + −
+ +
+
2
(5)將 2 加 2 得 4，放置於 2 下，如下式：
3 5 2 7
6 2
3
1
4
− + −
+ +
+ +
2
(6)
將 4 乘以 2 得 8，放置於
−
7
下，如下式：
3 5 2 7
6 2 8
3
1
4
− + −
+ + +
+ +
2
得 相加 乘以 得 乘以 1-1 多項式的四則運算23
(7)
將
−
7
加 8 得 1，放置於
−
7
下，如下式：
3 5 2 7
6 2 8
3 1 4 1
− + −
+ + +
+ + +
2
(8)
因為除式為一次式，所以餘式為常數，即只有一項係
數，因此從下式中可得商式為
23
x
+ +
x
4
，餘式為
1。
3 5
2
7
6
2
8
3 1
4 1
− + −
+ + +
+ + +
2
相加
1-1 多項式的四則運算利用綜合除法求
4 3 23
x
−
5
x
+
9
x
−
12
x
+
7
除以
x
−
1
的商式
與餘式。
3 5 9 12 7
3 2
7 5
3 2 7
5
2
− + −
+
+ − + −
− + −
∥
+
1
商式為
3 25
3
x
−
2
x
+
7
x
−
，餘式為
2。
1-1 多項式的四則運算 1625 因為 2 1 2( 1) 2 − = − x x ，所以先計算 2x4 − 5x3 + 7x + 2 除以 1 2 − x ， 利用綜合除法 2 5 0 7 2 1 2 1 3 2 4 2 6 5 − + + + + − − + − − + + 1 2 所以得商式為 3 2 2x − 4x − 2x + 6，餘式為 5。由除法原理可得 4 3 1 3 2 2 5 7 2 ( )(2 4 2 6) 5 2 − + + = − − − + + x x x x x x x 3 2 1 ( ) 2 ( 2 3) 5 2 = x − ⋅ ⋅ x − x − +x + 3 2 (2 1)( 2 3) 5 = x − x − x − +x + 所以所求之商式為 3 2 2 3 − − + x x x ，餘式為 5。
求
4 32
x
−
5
x
+
7
x
+
2
除以
2
x
−
1
的商式與餘式。
1-1 多項式的四則運算 17求
4 24
x
+
x
−
3
x
−
3
除以
2
x
+
1
的商式與餘式。
4
0
1
3
3
2
1 1
2
4 2
2
4
1
2 1
1
2
+ + − −
− + − +
− + −
−
− + −
∥
1
2
−
商式為
3 22
x
−
x
+ −
x
2
，餘式為 1
− 。
1-1 多項式的四則運算 1827
設
a , b , c , d , e
為實數，且
f x
( )
=
5
x
4−
7
x
3−
2
x
2+
3
x
+
9
=
a x
(
−
1)
4+
3 2(
−
1)
+
(
−
1)
+
(
− +
1)
b x
c x
d x
e，求
a , b , c , d , e
的值。
透過綜合除法的連續使用來求 a , b , c , d , e
的值：
右圖第一層綜合除法（計算 ( ) (
f x
÷ −
x
1)
）
得到
3 2( ) (
= − ×
1) (5
−
2
− − +
4
1) 8
f x
x
x
x
x
第二層綜合除法（計算
3 2(5
x
−
2
x
− − ÷ −
4
x
1) (
x
1)
）得到
3 2 2(5
x
−
2
x
− − = − ×
4
x
1) (
x
1) (5
x
+ − −
3
x
1) 2
第三層綜合除法（計算
2(5
x
+ − ÷ −
3
x
1) (
x
1)
）得到
2(5
x
+ − = − ×
3
x
1) (
x
1) (5
x
+ +
8) 7
1
5
7
2
3
9
5
2 4
1
←
− − + +
+ − − −
除式
5 2
4 1
8
5
3 1
− − − + →
+ + −
e
5 3
1 2
5
8
+ − − →
+ +
d
7
5 8
5
5
13
+ ←
+
+
→ + ←
c
a
b
1-1 多項式的四則運算 19第四層綜合除法 （計算(5x+ ÷ −8) (x 1)）得到 (5x+ = − × +8) (x 1) 5 13 整理這四個等式得到 3 2 ( )= − ×( 1) (5 −2 −4 − +1) 8 f x x x x x 2 2 2 2 3 2 3 2 4 3 2 ( 1) [( 1) (5 3 1) 2] 8 ( 1) (5 3 1) 2( 1) 8 ( 1) [( 1) (5 8) 7] 2( 1) 8 ( 1) (5 8) 7( 1) 2( 1) 8 ( 1) [( 1) 5 13] 7( 1) 2( 1) 8 5( 1) 13( 1) 7( 1) 2( 1) 8 = − × − × + − − + = − + − − − + = − − × + + − − + = − + + − − − + = − − × + + − − − + = − + − + − − − + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以 a =5 , b =13,c =7 ,d = −2 ,e =8。 1 5 7 2 3 9 5 2 4 1 ← − − + + + − − − 除式 5 2 4 1 8 5 3 1 − − − + → + + − e 5 3 1 2 5 8 + − − → + + d 7 5 8 5 5 13 + ← + + → + ← c a b 1-1 多項式的四則運算
29
設
a , b , c , d , e
為實數，且
f x
( )
=
6
x
4+
7
x
3−
3
x
2−
2
x
−
5
4(
1)
a x
=
+
3 2(
1)
(
1)
(
1)
+
b x
+
+
c x
+
+
d x
+ +
e，
求
a b c
+ + + +
d
e
的值。
0
=
x
代入可得
0 0 0 0 5
+ − − − = + + + +
a b c
d
e
5
⇒ + + + + = −
a b c
d
e
。
1-1 多項式的四則運算 201-1.8
多項式各項係數的求法
31
設多項式
3 2 3( )
=
(2
+
3
−
4
+
1)
f x
x
x
x
，求
(1) ( )
f x
之常數項 (2) ( )
f x
之各項係數和
(3) ( )
f x
之偶次項係數和 (4) ( )
f x
之奇次項係數和。
將
x
=
0 ,
x
=
1
與
x
= −
1
分別代入
f x
( )
，得
3 2 3 3(0)
= ⋅ + ⋅ − ⋅ +
(2 0
3 0
4 0 1)
= =
1
1
f
，
3 2 3 3 3(1)
= ⋅ + ⋅ − ⋅ +
(2 1
3 1
4 1 1)
= + − +
(2 3 4 1)
=
2
=
8
f
，
3 2 3 3( 1) [2 ( 1)
3 ( 1)
4 ( 1) 1]
( 2 3 4 1)
f
− = ⋅ −
+ ⋅ −
− ⋅ − +
= − + + +
36
216
=
=
。
21 1-1 多項式的四則運算所以，
(1)
f x
( )
的常數項為
f
(0) 1
=
，
(2)
f x
( )
的各項係數和為 (1) 8
f
=
，
(3) ( )
f x
之偶次項係數和為
(1)
( 1)
8 216
112
2
2
+
−
+
=
=
f
f
，
(4)
f x
( )
之奇次項係數和為
(1)
( 1)
8 216
104
2
2
−
−
−
=
= −
f
f
。
33
