3-2-1直線與圓-直線方程式及其圖形

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(1)(99 課綱) 第三冊第二章直線與圓 2-1 直線方程式及其圖形【目標】首先在直角坐標平面上，將直線以代數方程式表示，並利用直線的斜率探討平行或垂直的兩直線方程式之關係，進而以代數的運算來解決與直線相關的幾何問題及其應用。【定義】在坐標平面上，垂直 x 軸的直線稱為鉛直線。對非鉛直線，我們用斜率描述它相對於 x 軸的傾斜度。設 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 是一條非鉛直線 L 上任意兩相異點，此時 x1  x2 ，令 m . y2  y1 ， x2  x1. 則 m 的值由 L 的傾斜情況決定而與 P1 , P2 的選取無關，實數 m 就是直線 L 的斜率。一條直線 L ，當其斜率 m  0 時，表示直線 L 平行於 x 軸，或為 x 軸，稱 L 為水平線；斜率 m  0 時， L 由左而右上升；斜率 m  0 時， L 由左而右下降。 | m | 愈大，表示 L 愈陡。直線 L 上的一個動點在線上每往右平移一單位時，會上升( m  0 )或下降( m  0 ) | m | 單位。由斜率的意義可知：鉛直線沒有斜率。直線的斜率： y. P2 ( x 2 , y 2 ). P1 ( x1 , y1 ). O. x. 設直線 L 不是鉛直線，若 P1 ( x1 , y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) 是 L 上相異兩點： 1. 當 x1  x2 時， y 鉛直位移 y 2  y1 則 L 的斜率為 m     tan  (  為斜角)， x 水平位移 x2  x1 稱為直線 P1 P2 的斜率。 2. 當 x1  x2 時，直線 P1 P2 為鉛直線，沒有斜率。註： 1. 斜率的值不因 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 的位置不同而改變。. 1.

(2) 【性質】斜率有以下的性質： 1. 當斜率 m  0 時，表示是水平線。 2. m  0 時，表示由左而右是上升的。 3. m  0 時，表示由左而右是下降的。 4. m 的絕對值愈大，表示愈陡。 5. 直線上的一點在線上往右移動 1 單位時，會上升 ( 當 m  0 ) 或下降 ( 當 m  0 ) | m | 單位。 6. 由斜率的定義可知鉛直線沒有斜率。【問題】 1. 直線上任取相異兩點所決定的斜率會不同嗎？ 2. 過一點的直線有幾條？ 3. 斜率為某一定值的直線有幾條？ 4. 過一點且斜率為某一定值的直線有幾條？ 5. 如何描述一條直線？. 2.

(3) 【性質】 1. 直線的平行：直觀而言，直線的斜率表示它的傾斜度，所以斜率相等的相異兩直線，傾斜度相同，彼此就平行；反之，平行的直線，其傾斜度相同，斜率就相等。因此，相異兩直線 L1 , L2 的斜率依序為 m1 , m2 時，若 L1 // L2 ，則 m1  m2 ；反之，若 m1  m2 ，則 L1 // L2 。證明：設 A(0, a), B(1, b) 是直線 L1 上的點， C (0, c), D(1, d ) 是直線 L2 上的點，且 a  c ，如圖，. ba d c  b  a, m2   d c 。 1 0 1 0 (1) 當 L1 // L2 時，. 則 m1 . 由於直線 AC 與 BD 都是鉛直線， AC // BD ，故 ACDB 是平行四邊形，其對邊等長，得 AC  BD ，故ac bd ，即ba  d c ，所以 m1  m2 。 (2) 當 m1  m2 時， ba  d c ，即ac bd ，故 AC  BD 。四邊形 ABDC 中， AC 與對邊 BD 平行且等長，故為平行四邊形，得到 L1 // L2 。註：兩直線平行的充要條件為此兩直線的斜率相同或此兩直線都沒有斜率。. 3.

(4) 2. 直線的垂直：兩直線 L1 , L2 垂直時，其斜率有何關係呢？首先，直觀來看，作圖，. 其中直線 L1 與 L2 垂直交於 A，設 C 點在 L1 上， AB 與 CB 分別是水平線與鉛直線，則直線 L1 的斜率 m1 . CB ； AB. 將 ABC 繞 A 點旋轉 90 得 AB'C ' ，則 C  點落在 L2 上，且 L2 的斜率 m2  . 1 AB AB ，   m1 C B CB. 於是有 m1  m2  1 。一般而言，兩直線 L1 , L2 的斜率依序為 m1 , m2 時，若 L1  L2 ，則 m1m2  1 ；反之，若 m1m2  1 ，則 L1  L2 。證明：設兩直線 L1 , L2 交於點 A( x, y) ，且 B( x  1, b) 是 L1 上的點， C ( x  1, c) 是 L2 上的點，如圖。. m1 . b y c y  b  y, m2  c y。 1 1. 以下各式中，相鄰兩式都可互推： L1  L2 2. 2. 2.  AB  AC  BC  12  (b  y)2  12  (c  y)2  (b  c)2  2  2by  2cy  2 y 2  2bc  bc  by  cy  y 2  1  (b  y)(c  y)  1  m1m2  1 。. 故得證。. 4.

(5) 【意義】坐標平面上，若直線 L 是水平線，則規定 L 的斜角為 0 ；若 L 不是水平線，也不是鉛直線，則 L 與 x 軸相交，且 L 有斜率 m  0 ，就 m 討論如下： (1) m  0 時， L 與 x 軸正向有一夾角  ， 0    90 ，如圖所示。 (2) m  0 時， L 與 x 軸正向有一夾角  ， 90    180 ，如圖所示。. (a). (b). 上述夾角，稱為直線 L 的斜角；鉛直線的斜角則定為 90 。總之，當直線 L 的斜角為  時，由斜率與正切( tan )的意義可知：當直線 L 有斜率 m 且斜角為  時， m  tan  。【定義】 1. 截距：若直線 L 與 x 軸交於點 ( , 0) ，則稱  為 L 的 x 截距；若直線 L 與 y 軸交於點 (0,  ) ，則稱  為 L 的 y 截距，【討論】在坐標平面上過定點 A(3,  1) 的直線有很多，可以繞著 A 點旋轉；另一方面，斜率 m  2 的直線也很多，彼此平行。但是，通過點 A(3,  1) 且斜率 m  2 的直線就只有唯一的一條，如圖所示。令 P( x, y) 為直線 L 上一點，分兩種情形討論： y  (1)  2 ，得 y  1  2( x  3) 。 x3 (2)若 P  A ，則 x  3, y  1 ，仍滿足 y  1  2( x  3) 。所以，只要 P( x, y) 是直線 L 上一點， y  1  2( x  3) 恆成立。反之，坐標平面上一點 P( x, y) 滿足 y  1  2( x  3) 時，也分兩種情形： y 1 (1)若 x  3 ，則  2 ，得點 P 在過點 A 且斜率為 2 的直線 L 上。 x3 (2)若 x  3 ，則 y  1 ，得 P  A ，點 P 在直線 L 上。於是，點 P( x, y) 在直線 L 上  y  1  2( x  3) 。便得直線 L 的方程式為 y  1  2( x  3) 。一般而言，坐標平面上過點 ( x0 , y0 ) 且斜率為 m 的直線，仿上述論證，可知其方程式為 y  y0  m( x  x0 ) 。 y 截距為 k ，表示該直線過點 (0, k ) ，由點斜式 y  k  m( x  0) ，整理得 y  mx  k 。. (1)若 P  A ，則由斜率. 5.

(6) 【定義】 1. 點斜式：坐標平面上通過點 ( x0 , y 0 ) 且斜率為 m 的直線，其方程式為 y  y0  m( x  x0 )。 2. 斜截式：斜率為 m ， y 截距為 b 之直線方程式為 y  mx  b 。 3. 兩點式：過相異兩點 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 )( x1  x2 ) 之直線方程式為 y y y  y 2  ( 1 2 )( x  x2 ) 。 x1  x2 4. 截距式： x y 若直線 L 的 x 截距為  ， y 截距為  ，且   0 ，則 L 的方程式為   1 。. . . 證明：直線 L 過點 ( , 0), (0,  ) ，故斜率為. 0   ，  0 .  x y 由點斜式知 L 的方程式為 y   ( x   ) ，  x   y   ，   1 。    5. 參數式： a  過點 ( x0 , y 0 ) ，斜率為 m  之直線方程式中， v  (b,a) 稱直線的方向向 b  x  x0  bt  量， n  (a, b) 稱直線的法向量，且  稱為直線的參數式。  y  y 0  at 註：不論各種形式，基本上都是由直線上一點與直線的斜率所決定的。 6. 一般式：坐標平面上，直線的方程式都可表為 ax  by  c  0 ，其中 a 2  b 2  0 ；反之，當 a 2  b 2  0 ，方程式 ax  by  c  0 的圖形為一直線。證明：可就 b 加以討論： c b. a b a c 由點斜式知，圖形為過點 (0,  ) 且斜率為  的直線。 b b c c (2) b  0 時， a  0 ，方程式化為 x   ，故圖形為過點 ( , 0) 的鉛直線。 a a 因此， a, b 不全為為 0 時，方程式 ax  by  c  0 的圖形必為一條直線。. (1) b  0 時，方程式化為 y    x ，. 設 a, b, c 是實數且 a2  b2  0 (即 a, b 不全為為 0 )，形如 ax  by  c  0 的方程式稱為二元一次方程式。由上面的說明可知：直線的方程式都可表為二元一次方程式；反之，二元一次方程式的圖形都是直線。 a b 此後，就稱方程式 ax  by  c  0 的圖形為直線 ax  by  c  0 ，又 L : ax  by  c  0 表示 L 是直線 ax  by  c  0 。. 當 b  0 時，方程式 ax  by  c  0 圖形(直線)的斜率為  。. 6.

(7) 【問題】. y  y0  m 是否有差別？ x  x0 2. 求過點 P( x0 , y0 ) 且與直線 ax  by  c  0 平行的直線方程式？ 3. 求過點 P( x0 , y0 ) 且與直線 ax  by  c  0 垂直的直線方程式？ 4. 兩條直線 L1 : a1 x  b1 y  c1 , L2 : a2 x  b2 y  c2 的解的個數與此兩直線的交點數之間有何關係？幾何關係為何？係數關係為何？ 5. 點 P( x0 , y0 ) 對於直線 L : ax  by  c 的對稱點如何求？ 6. 三點共線時，此三點坐標之間有何關係？ 7. 三線共點時，此三線係數之間有何關係？【公式】 1. 一維中點公式： 1. 試問表示法 ( y  y0 )  m( x  x0 ) 與. 數線上相異兩點 P1 ( x1 ), P2 ( x2 ) 的中點坐標為. x1  x2 ， 2. 再由圖即可得坐標平面上的中點公式。 2. 一維分點公式：設 A( x1 ), B( x2 ) 為數線上相異兩點，若 P(x) 為線段 AB 上一點，且滿足 AP : PB  m : n ， nx  mx2 則x  1 。 mn 3. 二維分點公式：設 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 為相異兩點，若 P( x, y) 為線段 AB 上一點，且滿足 AP : PB  m : n ， nx  mx2 ny1  my2 則 ( x, y)  ( 1 , )。 mn mn 【定義】 1. 兩點間的距離：坐標平面上兩點 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 的距離 P1 P2  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 。. 7.

(8) 【性質】 a1 x  b1 y  c1  0 的解， a2 x  b2 y  c2  0. 一般情形，探討二元一次方程組 . 可令直線 L1 : a1 x  b1 y  c1  0, L2 : a2 x  b2 y  c2  0 。 L1 與 L2 在坐標平面上的關係有三種，即(1)相交於一點，(2)平行，(3)重合。對應到方程組的解依序為 (1)唯一解，稱為相容方程組。 (2)無解，稱為矛盾方程組。 (3)無窮多解，稱為相依方程組。當 L1 或 L2 的方程式中有係數為為 0 時，表示是水平線﹑鉛直線﹑過原點的直線，則 L1 與 L2 的關係不難判定。而係數皆不為為 0 時，常由方程式的係數比，判別方程組為何種方程組，討論如下： (1). a1 b1 a a  ：此時，  1   2 ，表示斜率不相等，兩直線交於一點， b1 b2 a2 b2. 方程組有唯一解，是相容方程組。 (2). a1 b1 c1 a c a c   ：此時，  1   2 ，表示斜率相等，但 y 截距  1   2 ， a2 b2 c2 b1 b1 b2 b2. 故兩直線平行，方程組無解，是矛盾方程組。 (3). a a a1 b1 c1 c c   ：此時，斜率  1   2 ，y 截距  1   2 ，故兩直線重合， b1 b2 a2 b2 c2 b1 b2. 方程組有無窮多解，是相依方程組。【定義】 1. 二元一次方程組的判別： a1 x  b1 y  c1  0 中係數皆不為為 0 時，可判別如下： a2 x  b2 y  c2  0. 方程組 . a1 b1  方程組為相容方程組。 a2 b2 a b c (2) 1  1  1 方程組為矛盾方程組。 a2 b2 c2 a b c (3) 1  1  1 方程組為相依方程組。 a2 b2 c2. (1). 2. 方程組與幾何意義：設直線 L1 : a1 x  b1 y  c1  0 ， L2 : a2 x  b2 y  c2  0 ， a x  b1 y  c1  0 則方程組  1 的解如下： a2 x  b2 y  c2  0 (1)當 a1b2  a2b1 時， L1 , L2 交於一點，方程組有唯一解，稱為相容方程組。 (2)當 a1b2  a2b1 ，且 b1c2  b2c1 時， L1 , L2 平行，方程組無解，稱為矛盾方程組。 (3)當 a1b2  a2b1 ，且 b1c2  b2c1 時， L1 , L2 重合，方程組有無限多解，稱為相依方程組。. 8.

(9) 【討論】.  a x  b1 y  c1    (1) 1. 二元一次方程組：  1 a 2 x  b2 y  c2    (2)  (a b  a 2 b1 ) x  (c1b2  c2 b1 ) 使用代入消去法解之得  1 2 ， (a1b2  a 2 b1 ) y  (a1c2  a 2 c1 ). c1b2  c 2 b1   x  a b  a b 1 2 2 1 當 a1b2  a2 b1  0 時，解得唯一解  。 a1c 2  a 2 c1 y   a1b2  a 2 b1 為了簡化過程與符號，我們引進二階行列式。 a b 當 a, b, c, d 為 4 個實數，則稱為二階行列式，它的值為 ad  bc 。 c d  a x  b1 y  c1    (1) 有了行列式的符號，此時方程組  1 的解， a 2 x  b2 y  c2    (2) a b1   x   x 當  1 ，  0 時，可表為    y   a 2 b2 y . 其中  . a1 a2. c b1 ， x  1 c2 b2. a b1 ，y  1 a2 b2. c1 。 c2. 【公式】 1. 二元一次聯立方程式的解： a  a x  b1 y  c1 方程組  1 ，當 x, y 的係數行列式   1 a2 a2 x  b2 y  c2 c b1  y 有唯一解 ( x, y )  ( x , ) ，其中  x  1 , y  c 2 b2  . b1 b2. a1 a2.  0 時，. c1 。 c2. 證明：.  (a b  a2b1 ) x  (c1b2  c2b1 ) 使用代入消去法解之得  1 2 ， (a1b2  a2b1 ) y  (a1c2  a2 c1 )   x   x  y 即 ，當   0 時，解得唯一解 ( x, y )  ( x , ) 。     y   y 註：  y (1)當   0 時，方程組有唯一解 ( x, y )  ( x , ) (稱為克拉瑪公式)(Kramer   formula)。以幾何意義表示即為兩直線不平行也不重合，也就是恰有一交點。 (2)當   0, 2x  2y  0 時，方程組無解，表示這兩直線平行。 (3)當    x   y  0 時，方程組無限多解，表示這兩直線重合。. 9.

(10) 2.. 二元一次方程組解及其幾何意義：項目. 方程組. 判別式. (1). 相容方程組. 0. (2). 矛盾方程組.   0, 2x  2y  0. (3). 相依方程組.   x  y  0. 幾何意義. 交點數. 係數. 兩相交直線. 1. a1 b1  a 2 b2. 無解. 兩平行直線. 0. 無限多解. 兩重合直線. . 解個數唯一解 ( x, y )  (. x y , )  . 【定義】三角形的心：設 ABC 的三頂點坐標為 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 ) ，則 ABC 的各心定義如下： 1. 重心：三中線交點，將三角形的面積六等分， x  x2  x3 y1  y 2  y3 坐標為 G( 1 , )。 3 3 註：利用兩次分點公式可以得證。 2. 內心：三內角平分線交點，或內切圓圓心，到三邊等距離， ax  bx2  cx3 ay1  by 2  cy 3 坐標為 I ( 1 , )， abc abc 其中 a, b, c 依序為 A, B, C 的邊長。註：利用兩次分點公式可以得證。 3. 外心：三中垂線交點，到三頂點等距離。一線段之垂直平分線上的點到此線段兩端等距離，故三角形中，任兩邊的垂直平分線之交點到三頂點等距離，以此交點為圓心，相等距離為半徑，就可得出三角形的外接圓，如圖所示，而外接圓的圓心就是三角形的外心。 4. 垂心：三邊的高之交點。 5. 旁心：兩外角平分線與一內角平分線之交點，共有三個。. 10. a1 b1 c1   a 2 b2 c 2 a1 b1 c1   a 2 b2 c 2.

(11) 【定義】 1. 對稱：若 AA 的垂直平分線是 L ，則稱點 A 與 A 對直線 L 對稱，也稱 A 與 A 互為對於 L 的對稱點。例如：點 (2, 3) 對 x 軸的對稱點為 (2,  3) ；而點 (2, 3) 對 y 軸的對稱點為 (2, 3) 。【公式】 1. 試證：點 A( x0 , y0 ) 對於直線 L : ax  by  c  0 的對稱點為 2a(ax0  by0  c) 2b(ax0  by0  c) B( x0  , y0  )。 2 2 a b a2  b2 證明：與直線 L : ax  by  c  0 垂直的直線 L' 的法向量為 (a, b) ，  x  x0  at 可設直線 L' 的參數式為  ，  y  y0  bt 代入 L 中得 a( x0  at )  b( y0  bt )  c  0 ， ax  by  c 可得 t   0 2 02 ， a b 故 A 在 L 的投影點為 a(ax0  by0  c) b(ax0  by0  c) , y0  )， ( x0  at , y0  bt )  ( x0  2 2 a b a2  b2 故 A 對 L 的對稱點為 2a(ax0  by0  c) 2b(ax0  by0  c) ( x0  2at , y0  2bt )  ( x0  , y0  )。 2 2 a b a2  b2 【範例】 1. 設 A(1, 3) ，求點 A 對直線 L : 2 x  y  4  0 的對稱點坐標。解答：設點 A 對直線 L 的對稱點為 A(s, t ) ，則由 AA  L 知. t 3 1  ， s 1 2. 整理得 s  2t  5  0 ……○ 1，又 L 平分 AA ，故 AA 的中點 (. s 1 t  3 , ) 在直線 L 上， 2 2. s 1 t  3 ) 40， 2 2 整理得 2s  t  13  0 ……○ 2， 31 3 31 3 聯立解○ 1 ，○ 2 ，得 s  , t   ，故 A 的對稱點為 ( ,  ) 。 5 5 5 5. 即 2(. 11.

(12) 【問題】 1.. 若 A, B 相異兩點在直線 L 的異側，求 min( PA  PB ) 。解答：. 因 QA  QB  AB  PA  PB ，故 min( PA  PB )  AB 。 2.. 若 A, B 相異兩點在直線 L 的同側，求 min( PA  PB ) 。解答：. 設 A' 為 A 對 L 的對稱點，因 QA  QB  QA'  QB  A' B  PA'  PB  PA  PB ，故 min( PA  PB )  A' B 。 3.. 若 A, B 相異兩點在直線 L 的異側，求 max | PA  PB | 。解答：. 設 A' 為 A 對 L 的對稱點，因 | QA  QB || QA'  QB |  A' B | PA'  PB || PA  PB | ，故 max | PA  PB |  A' B 。 4.. 若 A, B 相異兩點在直線 L 的同側，求 max | PA  PB | 。解答：. 因 | QA  QB |  AB | PA  PB | ，故 max | PA  PB |  AB 。 12.

(13) 【定義】 1. 尤拉(Euler)線： ABC 的垂心 H 、重心 G 、外心 O 三點共線，並稱為尤拉線。. 如圖，連 OH ，設 AD 交 OH 於 G ，得 DOG  AHG ，作直徑 CO 交圓於 P ， AH // PB, AP // HB ，. 2.. 得 APBH 為平行四邊形  AH  PB 1 1 1 又 ODC  PBC ，且 CD  BC  OD  PB  OD  AH ， 2 2 2 1 故 OG  GH 。 2 直線系：給定兩條直線 L1 : a1 x  b1 y  c1 , L2 : a2 x  b2 y  c2 ，交點為 P( x0 , y0 ) ，則過 P( x0 , y0 ) 點的任意直線可以表示成為 m(a1 x  b1 y  c1 )  n(a2 x  b2 y  c2 )  0 的形式，一般簡化成為 (a1 x  b1 y  c1 )  k (a2 x  b2 y  c2 )  0 之型式。. 13.

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