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6-1-3極限與函數-函數的極限

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Academic year: 2021

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(1)1-3 函數的極限 【目標】 能透過數列極限的概念﹐直觀理解函數 f 在某一定點 x = a 極限 lim f ( x) = l 的意義﹐ x→a. 熟悉一些基本函數的極限(含左極限、右極限)﹐並能利用函數極限的四則運算 性質處理相關的極限問題;進而利用函數在某一定點連續及連續函數的概念﹐理 解中間值定理的意涵及其應用﹒ 【定義】 1. 函數的極限定義: 設 f : D → R 是一實函數﹐且在 x = a 的附近有定義(但 a 可以不在定義域 D 中)﹐若存在一個實數 l ﹐使得當變數 x 趨近 a 時(從 a 的左、右兩側接近 a﹐ 且 x ≠ a )﹐對應的函數值 f ( x) 與 l 的差 | f ( x) − l | 可以任意的小﹐亦即 x 趨近 a 時﹐ f ( x) 會趨近於 l ﹐則稱函數 f 在 x = a 的極限為 l ﹐以符號表示時﹐可記 為 lim f ( x) = l ﹒ x→a. 12.

(2) 【討論】 1. 極限符號 lim f ( x) = l 的意義相當於 x 趨近 a 時﹐ | f ( x) − l | 會趨近 0﹒ x→a. 例如:線型函數 f ( x) = mx + b ﹐當變數 x 趨近 a 時﹐ | f ( x) − (ma + b) | = | mx + b − ma − b | = | m( x − a) | ﹐也會趨近 0﹐ 因此﹐ f ( x) = mx + b 在 x = a 的極限為 ma + b ﹐即 lim(mx + b) = ma + b ﹒ x→a. 同樣地﹐對任意實數 a﹐我們也不難發現: (1)常數函數 f ( x) = c 在 x = a 的極限 lim f ( x) = lim c = c ﹒ x→a. x→a. (2)絕對值函數 f ( x) = | x | 在 x = a 的極限 lim f ( x) = | a | ﹒ x→a. 2.. 注意:函數 f 在 x = a 的極限取決於 x 接近 a(但異於 a)的函數值﹐與 f (a) 有 沒有定義無關﹒由以上關於極限 lim f ( x) 的討論﹐我們有以下三個基本的認 x→a. 知: (1)函數 f 在 x = a 不一定要有定義﹒ (2)即使函數 f 在 x = a 有定義﹐其極限 lim f ( x) 也不一定存在﹒ x→a. 3.. (3)當函數 f 在 x = a 有定義時﹐其極限 l 與函數值 f (a) 可能相等﹐也可能不相 等﹒ 前面討論的函數極限 lim f ( x) ﹐都是指變數 x 從 a 的左、右兩側趨近 a﹐但 x→a. 如根式函數 f ( x) = x ﹐只在區間 [0, ∞) 有定義﹐因此﹐在 x = 0 的極限就只能 描述其單側的極限﹒為了應用上的方便﹐我們引入左極限及右極限的符號如 下: (1)限制變數 x 從 a 的左側趨近 a(即 x < a )﹐所得的極限稱為函數 f 在 x = a 的 左極限﹐以 lim− f ( x) 表示﹒ x→a. (2)限制變數 x 從 a 的右側趨近 a(即 x > a )﹐所得的極限稱為函數 f 在 x = a 的 右極限﹐以 lim+ f ( x) 表示﹒ x→a. 例如:高斯函數 f ( x) = [ x] 在 x = 1 的左極限 lim[ x] = 0 ﹐而右極限 lim[ x] = 1 ;左 − + x →1. x →1. 極限與右極限不相等﹐此時﹐極限 lim[ x] 就不存在﹒事實上﹐由函數極限的 x →1. 定義可知﹐當極限 lim f ( x) = l 存在時﹐函數 f 在 x = a 的左極限與右極限也都 x→a. 存在﹐且都等於 l ﹐反之亦然﹒. 13.

(3) 【性質】 1. 函數極限存在的充要條件: 若實函數 f : D → R 在 x = a 的附近有定義(但 a 可以不在定義域 D 中)﹐則 極限 lim f ( x) = l 存在的充要條件為左極限 lim− f ( x) 與右極限 lim+ f ( x) 都存 x→a. x→a. x→a. 在﹐且 lim− f ( x) = lim+ f ( x) = l ﹒ x→a. 2.. 3.. x→a. 函數的極限性質: 如同數列的極限性質﹐函數的極限也有類似的運算性質﹐直觀上不難理解﹐ 但其證明必須根據嚴謹的極限定義;因此﹐我們僅列舉一些重要的性質﹐在 此不加以證明﹒ 函數極限的運算性質: 若 lim f ( x) = l ﹐ lim g ( x) = m ﹐且 c 是一個常數﹐則 x→a. x→a. (1) lim( f ( x) + g ( x)) = l + m (特別地﹐ lim( f ( x) + c) = l + c )﹒ x→a. x→a. (2) lim( f ( x) − g ( x)) = l − m (特別地﹐ lim( f ( x) − c) = l − c )﹒ x→a. x→a. (3) lim( f ( x).g ( x)) = lm (特別地﹐ lim(cf ( x)) = cl )﹒ x→a. x→a. (4)當 x 在 a 附近 g ( x) ≠ 0 且 m ≠ 0 時﹐ lim x→a. f ( x) l = ﹒ g ( x) m. (5)當 x 在 a 附近 f ( x) ≥ 0 且 l ≥ 0 時﹐ lim f ( x) = l ﹒ x→a. 4.. 從函數極限的運算性質(3)﹐我們知道:對任意實數 a﹐以下的極限也都成立: lim x = a ﹐ lim x 2 = a 2 ﹐ lim x 3 = a 3 ﹒ x→a. x→a. x→a. 利用數學歸納法﹐我們可以進一步推得:對任意的正整數 k﹐ lim x k = a k ﹒將 x→a. n. 此結果推廣到一般的實係數多項式函數 f ( x) = cn x + cn −1 x 有:. n −1. + L + c1 x + c0 ﹐則. lim f ( x) = lim(cn x n + cn −1 x n −1 + L + c1 x + c0 ) x→a. x→a. = lim(cn x ) + lim(cn −1 x n −1 ) + L + lim(c1 x) + lim c0 n. x→a. x→a. n. x→a. = cn lim x + cn −1 lim x x→a n. = cn a + cn −1a. 5.. n −1. x→a. n −1. x→a. + L + c1 lim x + c0 x→a. + L + c1a + c0 = f (a ) ﹒. 多項式函數與有理函數的極限: 設 f 與 g 都是實係數多項式函數﹐且 a 為實數﹒ (1) lim f ( x) = f (a ) (即多項式函數 f 在 x = a 的極限等於函數值 f (a) )﹒ x→a. (2)若 g (a) ≠ 0 ﹐則 lim x→a. f ( x) f (a) = ﹒ g ( x) g (a). 註: 多項式函數 g 是連續函數﹐當 g (a ) ≠ 0 時﹐由極限及連續函數的定義可以推 得「當 x 在 a 附近時﹐ g ( x) ≠ 0 」﹒. 14.

(4) 6.. 至於有理函數 h( x) =. f ( x) (即分子與分母都是多項式函數)的極限問題﹐當 g ( x). 分母 g (a ) ≠ 0 時﹐ lim h( x) = x→a. f (a) = h(a ) ﹐極限 lim h( x) 存在﹐且等於函數值 x→a g (a). h( a) ;但當分母 g ( a) = 0 時﹐極限 lim h( x) 就不一定存在﹒若存在﹐又該如何 x→a. 求其極限?前面提過多項式函數 f 在 x = a 的極限等於函數值﹐即 lim f ( x) = f (a ) ﹐但有些函數﹐例如: f ( x) = x→a. 而當 x = a ≠ 0 時﹐ f (a) =. sin x 在 x = 0 時﹐ f (0) 沒有定義﹐ x. sin a 都有意義﹐這時探討極限 lim f ( x) 是否存在的問 x →0 a. 題﹐就需要一些極限的性質來輔助﹒. 15.

(5) 【定理】 1. 函數的夾擠定理: 若三個實函數 f﹐g﹐h﹐及實數 a 滿足以下兩條件: (1) f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) 對包含 a 的某一開區間內且異於 a 的實數 x 都成立﹒ (2) lim f ( x) = lim h( x) = l ﹒ x→a. x→a. 則 lim g ( x) = l ﹒ x→a. 【範例】. 1.. 1 x. 試求 lim( x.sin ) ﹒ x →0. 解: 1 x. 對不為 0 的實數 x﹐恆有 −1 ≤ sin ≤ 1 ﹒ 1 x. (1)當 x < 0 時﹐ x ≤ x.sin ≤ − x ; 1 x. (2)當 x > 0 時﹐ − x ≤ x.sin ≤ x ﹐ 1 x 又 lim(− | x |) = 0 且 lim | x | = 0 ﹐. 故 − | x | ≤ x.sin ≤ | x | 對不為 0 的任意實數 x 均成立﹒ x →0. x →0. 1 x. 由夾擠定理﹐可得 lim( x.sin ) = 0 ﹒ x →0. 2.. 當實函數 f 滿足 lim f ( x) = 0 時﹐由極限的定義也可以知道 lim | f ( x) | = 0 ;此結 x→a. x→a. 果不僅是必要條件﹐而且也是充分條件﹐其理由是:當 lim | f ( x) | = 0 時﹐利 x→a. 用不等式 − | f ( x) | ≤ f ( x) ≤ | f ( x) | 及夾擠定理﹐即可得知 lim f ( x) = 0 ﹒因此﹐我 x→a. 們有以下的性質: 【性質】 1. 極限為 0 的充要條件: 若 f 是一實函數﹐則 lim f ( x) = 0 的充要條件是 lim | f ( x) | = 0 ﹒ x→a. x→a. 【討論】 1. 有些特殊函數的極限問題﹐在個別函數求極限時有些會等於 0 或趨近 ∞ 而造 0 0. 成 ﹐. ∞ ﹐0.∞ 或 ∞ − ∞ 的不定型情況﹐這種情況下的極限有些仍是存在的﹐ ∞. 如能將函數適當的化簡或變形﹐往往可以避開上述沒有意義的情況﹐舉例如 下﹒ 許多函數圖形的左右兩端可以無限延伸﹐當我們要描繪其圖形時﹐就得討論 極限 lim f ( x) 及 lim f ( x) 的情形: x →∞. x →∞. 【定義】 1. 水平漸近線: 當實函數 f 滿足 lim f ( x) = k 或 lim f ( x) = k 時﹐曲線 y = f ( x) 會很貼近直線 x →∞. x →−∞. y = k ﹐此直線就稱為函數 f 圖形的一條水平漸近線﹒. 16.

(6) 【定義】 1. 連續函數: 給定多項式函數 f﹐我們知道:對任意實數 a﹐恆有 lim f ( x) = f (a ) ﹐即 f 在 x = a x→a. 2.. 的極限恰好等於函數值 f (a) ;直觀來說﹐函數 f 的圖形在點 x = a 沒有中斷﹒ 這個直觀的看法提供我們採用以下嚴謹的極限概念﹐來說明函數在某一點連 續的意義﹒ 函數在某一點連續: 設 f : D → R 是一實函數﹐若 a ∈ D ﹐且 lim f ( x) = f (a ) ﹐則稱函數 f 在 x = a 連續﹒ x→a. 當函數 f 在定義域 D 中每一點都連續時﹐則稱 f 是 D 上的連續函數﹒. 3.. 由多項式函數的極限性質可知:每一個實係數多項式函數都是 R 上的連續函 數﹐也可以稱它處處連續﹒又如有理函數 h( x) = lim h( x) = lim x→a. x→a. f ( x) ﹐當 g (a ) ≠ 0 時﹐就有 g ( x). f ( x) f ( a ) = = h(a ) ﹐因此﹐有理函數 h 在集合 { x | g ( x) ≠ 0 } 上是連 g ( x) g (a). 續函數﹒. 17.

(7) 【性質】 1. 從連續的定義可以知道﹐函數 f 在 x = a 連續時﹐就必須滿足以下三個要件: (1)函數 f 在 x = a 及其附近有定義; (2)極限 lim f ( x) 存在; x→a. (3)極限 lim f ( x) 恰好等於函數值 f (a) ﹐即 lim f ( x) = f (a ) ﹒ x→a. x→a. 但如果函數 f 在 x = a 不連續﹐那麼其圖形在 x = a 就會中斷﹐如圖所示:. 2.. 透過左極限與右極限的概念﹐以下的性質可以用來判別函數在某一點是否連 續: 連續的充要條件: 設實函數 f 在 x = a 及其附近有定義﹐則 f 在 x = a 連續的充要條件是 lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (a ) ﹒ x→a. 3.. x→a. 函數在閉區間上連續: 設 f : [a, b] → R 是一實函數﹒ (1)若 lim+ f ( x) = f (a ) ﹐則稱函數 f 在端點 x = a 連續﹒ x→a. (2)若 lim− f ( x) = f (b) ﹐則稱函數 f 在端點 x = b 連續﹒ x →b. 4.. (3)若函數 f 在區間 [a, b] 中每一點都連續﹐則稱 f 是區間 [a, b] 上的連續函數﹒ 連續函數的四則運算: 若實函數 f : D → R ﹐ g : E → R 在 x = a 都連續(其中 a ∈ D ∩ E )﹐則下列函數在 x = a 也都連續: f (1) f + g ﹒(2) f − g ﹒(3) f .g ﹒(4) (假設 g (a ) ≠ 0 )﹒ g. 18.

(8) 【定理】 勘根定理: 「若 f 是一多項式函數﹐且 f (a ) f (b) < 0 ﹐則 a﹐b 之間必有一實數 c 使 得 f (c ) = 0 」 ﹒此一結果可以被推廣到一般的連續函數﹐此性質稱為中間值定理(或 稱為介值定理)﹒ 1. 中間值定理: 設 f : [a, b] → R 是一連續函數﹐且 k 為 f (a) 與 f (b) 之間的一個實數﹐即 f ( a ) < k < f (b) 或 f (b) < k < f (a ) ﹐則必有一實數 c ∈ (a, b) ﹐使得 f (c) = k ﹒. 【討論】 1.. 我們曾透過勘根定理證明了: 「當 a 為正實數﹐n 為大於 1 的正整數時﹐方程式 x n = a n. 1 或 an. 恰有一正實根」 ;此唯一的正實根稱為 a 的正 n 次方根﹐可以符號 a 表示﹒ 勘根定理在應用上可藉由二分逼近法求方程式實根的近似值;此外﹐牛頓在他的流 數法(西元 1671 年出版)一書中所提出的牛頓法﹐就是透過切線的概念進而求得 可微分函數的實根之近似值﹒ 除了多項式函數、有理函數外﹐高中數學所學過絕大部分函數﹐如指數函數、對數 函數、正弦函數 y = sin x 、餘弦函數 y = cos x 等﹐這些函數在其定義域內的每一點 都連續﹒. 19.

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