探討電腦化適性補救教學之學習成效與數學學習動機－以國小四年級分數為例

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(1)國立臺中教育大學教育資訊與測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：施淑娟. 博士. 探討電腦化適性補救教學之學習成效與數學學習動機－以國小四年級分數為例 A Study on Learning Performance and Mathematical Learning Motivation of Computerized Adaptive Remedial Instruction －Using Fraction Unit for Fourth Graders As an Example. 研究生：胡瓊文. 撰. 中華民國一 o 四年七月.

(2) 謝辭研究所二年求學生涯，從懵懂無知到有所頓悟，這一路上要感謝的人太多，最先要感謝的是我的指導教授施淑娟博士，沒有施教授不厭其煩的教導與叮嚀，這份研究論文無法如期問世，回憶起這些日子，施教授即使再忙碌，總會撥冗指點我研究上的迷思，謝謝施教授，感恩有您，讓我的研究之路有了安全感。還要感謝口試委員吳慧珉教授及李政軒教授在論文上給予的指導，讓論文內容能更臻完備，而撰寫論文期間，承楙學長的協助更是功不可沒。接著要感謝我的同事兼同學的好夥伴富玲、旂卉及中瑜，這二年的日子雖辛苦，因為您們，即使艱辛仍能苦中作樂，您們就像指引大海中迷航船隻的燈塔，總為我照亮一路上的光明，謝謝您們，也要感謝我任職學校的同仁，有你們的配合與鼎力相助，所有的測驗才能順利完成。最後要感謝我的家人，尤其是外子幫我扛起照顧家庭的責任，讓我能無後顧之憂從事論文的研究，也感謝我的寶貝，你們打理好自己的事務，讓媽媽安心完成論文，有你們真好。. 胡瓊文中華民國一○四年七月.

(3) 摘要本研究以認知診斷模式進行四年級「分數」單元電腦化適性補救教學，探討學習成效之差異，並且分析經補救教學後，受試學童數學學習動機是否有達顯著差異，以及實驗組學童在不同背景變項下其學習成效是否有顯著差異，並調查實驗組學童以電腦化適性補救教學之意見回饋，本研究結果摘要如下：一、就認知屬性而言，專家判讀結果與 DINA 模式判讀結果比對，平均辨識率達 0.87；就迷思概念而言，專家判讀結果與 Bug-DINO 模式判讀結果比對，平均辨識率達 0.8。在後驗機率的部份，Bug-DINO 模式與專家判定之平均差異大於 DINA 模式與專家判定之平均差異。二、認知屬性補救教學法及迷思概念補救教學法之學習成效皆優於傳統補救教學法，且達顯著差異，迷思概念補救教學法雖略優於認知屬性補救教學法，但二者之間在學習成效上未達顯著差異。三、認知屬性補救教學之屬性進步率為 16.5%，迷思概念補救教學之迷思概念減少率為 37.07%。四、四年級受試學童經不同補救教學後，數學學習動機無顯著差異。五、實驗組中，每次練習數學的時間與補救教學法有交互作用，其中認知屬性補救教學法，每次練習數學 30 分鐘以內優於 30 分鐘以上，而在每次練習數學 30 分鐘以上的學童中，迷思概念補救教學法的效果優於認知屬性補救教學法，其餘背景變項對學習成效皆無顯著影響。六、實驗組學童對電腦化適性補救教學學習意見調查，持正向意見平均百分比為 86.05。關鍵詞：分數、認知診斷模式、電腦化適性補救教學、數學學習動機. I.

(4) Abstract The study aimed to implement computerized adaptive remedial instruction with cognitive diagnostic model which focused on the “fraction” unit of Grade 4, and to realize the differences in learning performance. In addition, the study explored the differences of students’ mathematical learning motivation after remedial instruction, examined the differences of learning performance in different backgrounds, and surveyed the students’ opinions of computerized adaptive remedial instruction. Results were shown as follows: 1. Comparing diagnostic results of cognitive attributes, the average consistency was 0.87 between experts and DINA model. Comparing diagnostic results of misconception, the average consistency was 0.8 between experts and Bug-DINO model. Moreover, the mean difference of posterior distribution in diagnostic results between Bug-DINO model and experts’ judgment was higher than that between DINA model and experts’ judgment. 2. The learning performances of the cognitive attributes remedial instruction and the misconception remedial instruction were better than traditional remedial instruction, and there was significant difference between two experimental groups and traditional group. However, there was no significant difference between the cognitive attributes remedial instruction and the misconception remedial instruction. 3. Using cognitive attributes remedial instruction, the progress rate of cognitive attributes was 16.5%; Using misconception remedial instruction, the reduction rate of misconception was 37.07%. 4. After implementing different remedial instructions, there was no significant. III.

(5) difference in students’ mathematical learning motivation. 5. In experimental groups, there was an interaction between the time of doing each practiced mathematics exercises and remedial instruction. Furthermore, in cognitive attributes remedial instruction group, students practiced mathematics less than 30 minutes each time were better than those more than 30 minutes.. When. students practiced mathematics more than 30 minutes, the performance of misconception remedial instruction group was better than cognitive attributes remedial instruction group.. Other background variables all have no significant. effect on learning performance. 6. The positive views were given by 86.05% of students using the computerized adaptive remedial instruction.. Keywords: Fraction, cognitive diagnostic model, computerized adaptive remedial instruction, mathematical learning motivation. IV.

(6) 目錄摘要 ............................................................................................................................... I Abstract ..................................................................................................................... III 目錄 .............................................................................................................................. V 表目錄 .......................................................................................................................VII 圖目錄 ........................................................................................................................ XI 第一章緒論 .................................................................................................................1 第一節研究動機 .................................................................................................1 第二節研究目的 .................................................................................................3 第三節待答問題 .................................................................................................4 第四節名詞釋義 .................................................................................................4 第五節研究範圍與限制 .....................................................................................6 第二章文獻探討 .........................................................................................................7 第一節「分數」教材分析 .................................................................................7 第二節認知診斷模式 .......................................................................................15 第三節數學教學媒體設計之教學理論 ...........................................................20 第四節學習動機 ...............................................................................................25 第三章研究方法 .......................................................................................................29 第一節研究架構 ...............................................................................................29 第二節研究對象 ...............................................................................................31 第三節研究流程 ...............................................................................................32 第四節研究工具 ...............................................................................................35 第五節資料處理與分析 ...................................................................................70 第四章研究結果與討論 ...........................................................................................73 第一節認知診斷模式之後驗機率與辨識率 ...................................................73 第二節不同補救教學法的學習成效 ...............................................................76 第三節不同補救教學法對數學學習動機的影響 ...........................................81 第四節實驗組在不同變項下的學習成效分析 ...............................................83 第五節實驗組對於電腦化適性補救教學之意見分析 .................................103 第五章結論與建議 .................................................................................................107. V.

(7) 第一節結論 ..................................................................................................... 107 第二節建議 ..................................................................................................... 109 參考文獻 ................................................................................................................... 110 中文部分 ........................................................................................................... 110 外文部分 ........................................................................................................... 113 附錄 ........................................................................................................................... 116 附錄一預試試卷 ................................................................................................... 116 附錄二輔助補救教學之診斷評量模式探究參與研究同意書 ........................... 120 附錄三數學學習動機問卷 ................................................................................... 121 附錄四各項背景變項調查 ................................................................................... 122 附錄五電腦化適性補救教學學習回饋表 ........................................................... 123 附錄六適性補救施測照片 ................................................................................... 124. VI.

(8) 表目錄表 2-1 97 課綱數學領域「分數」教材能力指標 .................................................... 9 表 2-2 97 課綱數學領域「分數」教材分年細目 .................................................. 10 表 2-3 中年級學童學習分數易犯之迷思概念相關文獻探討整理...................... 11 表 2-4 分數減法的認知屬性 .................................................................................. 17 表 2-5 「分數的減法」選擇題型 .......................................................................... 17 表 2-6 範例之 Q 矩陣 ............................................................................................. 17 表 2-7 受試者的認知屬性狀態 ............................................................................... 18 表 2-8 以分數的整數倍運算說明 APOS 理論之四階段 ...................................... 21 表 2-9 製造認知衝突的策略 ................................................................................... 22 表 3-1 教學實驗步驟時程表 ................................................................................... 31 表 3-2 電腦補救教學實驗對象分布表 ................................................................... 32 表 3-3 國小四年級分數分年細目與認知屬性 ....................................................... 36 表 3-4 試題與認知屬性間試題關聯 Q 矩陣 ........................................................ 37 表 3-5 錯誤類型與認知屬性對應表 ....................................................................... 38 表 3-6 試題與迷思概念 Q 矩陣 .............................................................................. 39 表 3-7 專家內容效度之專家名冊 ........................................................................... 40 表 3-8 國小四年級上學期分數單元預試分析表 ................................................... 42 表 3-9 DINA 模式與 Bug-DINO 模式的參數估計值 ............................................ 43 表 3-10 試題與認知屬性間試題關聯 Q 矩陣（刪除 I1） ................................... 44 表 3-11 試題與迷思概念 Q 矩陣（刪除 I1）........................................................ 45 表 3-12 預試試題刪修原因表 ................................................................................. 46 表 3-13 試題修正前後內容對照表 ......................................................................... 47 表 3-14 預試與前測難度及鑑別度一覽表 ............................................................. 48 表 3-15 四年級分數單元認知屬性表(修正後) ...................................................... 50 表 3-16【K5】APOS 理論與教學內容對應表...................................................... 51 表 3-17 迷思概念一覽表 ......................................................................................... 55 表 3-18 本研究每個迷思概念與認知衝突策略對照表......................................... 56 表 3-19 數學學習動機問卷面向與題目對應表 ..................................................... 69 表 4-1 認知診斷模式與專家判讀之後驗機率 ....................................................... 73 表 4-2 DINA、Bug-DINO 的辨識率 ...................................................................... 74 表 4-3 不同補救教學法學習成效之組內迴歸係數同質性檢定 ........................... 76 表 4-4 Levene's 錯誤共變異等式檢定 ................................................................... 77 表 4-5 不同補救教學法學習成效之單因子共變數分析表................................... 77 表 4-6 各組人數及前後測平均分數統計 ............................................................... 78. VII.

(9) 表 4-7 不同補救教學法之事後比較分析表 ........................................................... 78 表 4-8 以認知屬性進行補救教學屬性進步率 .......................................................79 表 4-9 以迷思概念進行補救教學屬性減少率 .......................................................80 表 4-10 四年級受試學童數學學習動機描述性統計資料 .....................................82 表 4-11 誤差變異量的 Levene 檢定 ..................................................................... 83 表 4-12 四年級受試學童數學學習動機變異數分析 ............................................. 83 表 4-13 實驗組中不同性別之學童學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .............84 表 4-14 誤差變異量的 Levene 檢定 ......................................................................85 表 4-15 實驗組中不同性別之學童共變數分析摘要表 ......................................... 85 表 4-16 實驗組中學童身分之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .....................86 表 4-17 誤差變異量的 Levene 檢定 ......................................................................87 表 4-18 實驗組中學童身分之共變數分析摘要表 .................................................87 表 4-19 學童身分與教學法之單純主要效果考驗變異數分析表 ......................... 88 表 4-20 實驗組中家庭狀況之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ..................... 89 表 4-21 誤差變異量的 Levene 檢定 ..................................................................... 89 表 4-22 實驗組中不同家庭狀況之學童共變數分析摘要表 .................................90 表 4-23 實驗組中學童一週內練習數學的天數之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ..91 表 4-24 誤差變異量的 Levene 檢定 ......................................................................91 表 4-25 實驗組中學童一週內練習數學天數之共變數分析摘要表 ..................... 92 表 4-26 實驗組中學童每次練習數學的時間之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ..93 表 4-27 誤差變異量的 Levene 檢定 ......................................................................94 表 4-28 實驗組中學童每次練習數學的時間之共變數分析摘要表 .....................94 表 4-29 學童每次練習數學的時間之單純主要效果考驗變異數分析表 ............. 95 表 4-30 實驗組前後測答對題數表 ..................................................................... 95 表 4-31 實驗組中學童每天放學使用電腦時間之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 .................................................................................................... 96 表 4-32 誤差變異量的 Levene 檢定 ..................................................................... 97 表 4-33 實驗組中學童每天放學後使用電腦時間之共變數分析摘要表 .............97 表 4-34 實驗組中學童是否在校外上數學課程之學習成效組內迴歸係數同質性檢定 ..99 表 4-35 誤差變異量的 Levene 檢定 ......................................................................99 表 4-36 實驗組中學童是否在校外上數學課程之共變數分析摘要表 ............... 100 表 4-37 實驗組中學童是否喜歡上數學課之組內迴歸係數同質性檢定 ...........101 表 4-38 誤差變異量的 Levene 檢定 ....................................................................102 表 4-39 實驗組中學童是否喜歡上數學課之共變數分析摘要表 .......................102. VIII.

(10) 表 4-40 實驗組不同變項下之學習成效分析結果 ............................................... 103 表 4-41 電腦化適性補救教學學習意見統計表 ................................................... 104 表 4-42 電腦化適性補救教學持正向意見之結果分析 ....................................... 105. IX.

(11) 圖目錄圖 2-1 分數教學活動教材地位分析.........................................................................8 圖 2-2 APOS 理論運作模式.....................................................................................20 圖 3-1 研究架構圖 ....................................................................................................29 圖 3-2 研究流程圖 ....................................................................................................34 圖 3-3 認知概念補救教學流程圖............................................................................50 圖 3-4 複習舊經驗 ....................................................................................................52 圖 3-5 以圖示法概念教學........................................................................................53 圖 3-6 以圖示法概念教學(需化聚) .........................................................................53 圖 3-7 以算式概念教學............................................................................................53 圖 3-8 不同情境(連續量)的佈題 .............................................................................54 圖 3-9 以算式來解釋分數減法................................................................................54 圖 3-10 比較不同算式的分數減法..........................................................................54 圖 3-11 學生練習 ......................................................................................................55 圖 3-12 迷思概念教學影片流程圖..........................................................................57 圖 3-13 布題並呈現學生的迷思概念答案..............................................................58 圖 3-14 呈現學生迷思概念的想法..........................................................................58 圖 3-15 製造認知衝突..............................................................................................58 圖 3-16 引導學生思考..............................................................................................58 圖 3-17 回原例題讓學生重新作答..........................................................................59 圖 3-18 選擇迷思概念答案回饋畫面......................................................................59 圖 3-19 選擇其他錯誤答案回饋畫面......................................................................59 圖 3-20 正確答案回饋畫面......................................................................................60 圖 3-21 例題解答畫面..............................................................................................60 圖 3-22 學生作答挑戰題畫面..................................................................................60 圖 3-23 挑戰題選錯答案畫面..................................................................................61 圖 3-24 挑戰題提示畫面..........................................................................................61 圖 3-25 挑戰題重新作答畫面..................................................................................61 圖 3-26 挑戰題重新作答錯誤回饋畫面..................................................................61 圖 3-27 挑戰題正確答案回饋畫面..........................................................................61 圖 3-28 挑戰題解答畫面..........................................................................................61 圖 3-29 教學影片結束畫面......................................................................................62 圖 3-30 登入帳密進入系統畫面..............................................................................63 圖 3-31 再次確認基本資料畫面..............................................................................63 圖 3-32 進入首頁選擇測驗內容..............................................................................64 圖 3-33 作答畫面 ......................................................................................................64. XI.

(12) 圖 3-34 受試者歷來所測驗的單元卷別畫面 ......................................................... 65 圖 3-35 受試者的基本資料及測驗單元 ................................................................. 65 圖 3-36 受試學童診斷結果及需補救教學影片 ..................................................... 66 圖 3-37 同班認知診斷報告 ..................................................................................... 66. XII.

(13) 緒. 第一章. 論. 本研究以國小四年級「分數」單元為例，以認知診斷模式進行試卷編製及補救教學影片製作，並探討以認知診斷模式為測量模式的線上學習系統來進行適性補救教學，其學習成效是否優於傳統補救教學法。本論文共分五章：第一章緒論、第二章文獻探討、第三章研究方法、第四章研究結果與討論、第五章結論與建議。. 第一節研究動機本研究的課程內容「分數」單元，在九年一貫課程綱要數學學習領域中屬於五大主題「數與量」中的「有理數」部份，因為學生缺乏分數的前置概念，且生活中的情境亦少，所以當學生首次碰到兩整數並置的約定分數形式時，總會仰賴整數的學習經驗而造成學習的錯誤。而有理數的核心意涵—「除的意涵」中，平分、測量、部分/全體等意涵，在小學分數的教學上必須釐清、練習並連結這些意涵，才能讓學生匯聚成「數」的觀念（教育部，2008）。分數的學習從 97 課綱開始，已移至國小三年級才學習分數的概念，一直延伸至六年級，中年級只學簡單的等分、同分母分數的加減、整數倍計算及等值分數等概念，其中概念的應用包含離散量與連續量等不同情境，兒童若未能在初學之時了解分數的意義，在未來分數的學習上將障礙重重，尤其是分數的四則運算、比例、三角函數等都運用了分數的概念。國內外文獻均顯示學生對分數的迷思概 1. 1. 1. 1. 2. 3. 3. 2. 念眾多，例如「比較大小：與何者較大？」學生會以直觀法認為 3>2，所以 >. ；或是將被減數的整數直接減減數的分子， ( Behr，Wachsmuth，Post, & Lesh，1984） 5. 6−5. 3. 3. 例如：「6− =. 1. ，可見學生處理分數問題常以整數方式解題，分數單元是 = 」 3. 如此的重要，而學生學習分數卻又困難重重、難以理解，只能以機械化運算方式處理分數問題（湯錦雲，2002），所以如何改善學生分數的學習是值得研究的課題。. 1.

(14) 而中年級分數單元只是基礎分數的概念，所以四年級學童若能及時實施補救教學，進行概念澄清及建立正確的認知，高年級學習分數的四則運算等才能銜接。補救教學在國民小學已開辦多年，這些參與補救教學的老師大都不是學生原班級的老師，對學生的學習背景所知有限，且一位教師面對十幾位需補救的學生，大都只以反覆練習法進行教學活動（江昭青，2009），無法達成學生認知概念的提升，甚至有些教師進行補救教學時，不清楚學生欠缺的概念是什麼，基礎能力在哪個階段（利一奇，2009）。若教師無法針對學童個人的認知屬性及迷思概念教學，學童還是無法理解，只能帶著迷惑學習，累積下來的困惑將如雪球般愈滾愈大，最後只能選擇放棄數學學科，所以若在學習的過程中以電腦化適性補救教學進行診斷並補救，學童在學習有障礙時隨即得到補救教學回饋，適時打破迷思概念，相信學習數學會較能得心應手。Ashlock (1986), Brown, & Burton (1978)曾提出分析學童的錯誤類型對於老師教學及學童學習是有幫助的，分析學童的錯誤類型來了解學童學習的困難，教師依此修正教學內容並設計補救教學課程，幫助學童減少學習的阻礙，並分析其成效來做為日後教學修改依據。好的評量方法可以幫助學生找出學習的困難，而 Nichols (1994) 曾提出結合認知科學 (cognitive science) 與心理計量學 (psychometrics) 的認知評量方法，又稱作認知診斷評量 ( cognitive diagnostic assessment,簡稱 CDA )，此評量主要探討由學生解題的歷程分析此受試者的認知結構（引自涂金堂，2003），所使用的認知診斷模式 ( cognitive diagnostic models, CDMs)，可由學童的作答反應來分析學生所具備的認知屬性及迷思概念，有利於教師設計補救教學教材，所以本研究將以 DINA 模式（deterministic Inputs, Noisy “And” Gate model，簡稱 DINA）及 Bug-DINO ( bug deterministic input, noisy “or” gate model，簡稱 Bug-DINO ) 模式為基礎，並以郭伯臣、江鴻鈞與曾彥鈞於 2014 所開發「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」為平台，利用電腦可快速及立即回饋的特性設計診斷測驗試題及補救教學影片，所以本研究將以認知屬性及迷思概念著手，設計補救教學內容，由前測診斷學童個人所欠缺分數的認知屬性及具備的迷思概念進行補救，而後根據診斷結果給予. 2.

(15) 適性化補救教學影片來進行補救教學以達到電腦化適性補救教學的效果。現今學童身分多元，包括原住民、新住民與僑生，且電腦的學習活動在學校課程中已於三年級開始，為了分析這些背景變項是否會影響電腦化適性補救教學的學習成效，故設計背景變項問卷分析之。本研究除了探討根據認知診斷結果來進行適性補救教學的學習成效外，亦分析此類適性補救教學對於學童數學學習動機的影響，此外，由於學生的變景變項亦有可能導致適性補救教學效果之差異，因此，本研究也試圖評估實驗組不同背景變項的學生在二種適性補救教學實驗中是否有顯著的學習成效差異，藉以更深入的分析電腦化適性補救教學對提升學生學習數學的影響。. 第二節研究目的本研究探討四年級「分數」單元，將受試學童分成實驗組及對照組，實驗組中又分為二組，分別為以認知屬性以及迷思概念進行電腦化適性補救教學，對照組則是老師直接以黑板、粉筆當工具解題講述方式進行傳統補救教學，分別評估補救教學後之學習成效，研究目的分述如下：一、將 DINA 認知診斷模式、Bug-DINO 認知診斷模式分別與專家判讀結果進行一致性比對，計算辨識率及認知診斷模式與專家判讀的後驗機率。二、探討四年級「分數」單元，以「DINA 診斷與適性教學模式」、「Bug-DINO 診斷與適性教學模式」與「傳統教學法」進行補救教學，其學習成效之差異。三、實驗組受試學童以認知屬性診斷結果進行補救教學後，個別認知屬性增加率及實驗組受試學童以迷思概念診斷結果進行補救教學後，個別迷思概念減少率之分析比較。四、分析四年級受試學童經不同補救教學後，數學學習動機是否有顯著差異。五、比較實驗組中，不同補救教學法對於各背景變項學童之學習成效是否有顯. 3.

(16) 著影響。六、分析實驗組中，學童使用電腦化適性補救教學之意見回饋。. 第三節待答問題根據上述研究目的，將本研究之待答問題列述如下：一、比對以 DINA 模式及 Bug-DINO 模式診斷認知屬性及迷思概念與專家判讀結果後驗機率為何？辨識率為何？二、比較實驗組與對照組受試學童以「 DINA 診斷與適性教學模式」、「Bug-DINO 診斷與適性教學模式」與「傳統教學法」進行補救教學後，其學習成效為何？三、實驗組受試學童以認知屬性診斷結果進行補救教學後，個別認知屬性增加率為何？實驗組受試學童以迷思概念診斷結果進行補救教學後，個別迷思概念減少率為何？四、比較四年級受試學童經不同補救教學後，數學學習動機是否有顯著差異？五、比較實驗組中，各種背景變項學童經不同補救教學後，學習成效是否達顯著差異？六、分析實驗組學童進行電腦化適性補救教學之意見為何？. 第四節名詞釋義一、辨識率受試者進行認知診斷模式時，模式估算受試者的概念狀態與專家判讀進行比對之一致性百分比稱為辨識率，辨識率愈高代表估計的準確度愈高。二、認知診斷模式認知診斷模式是結合認知科學與心理計量學的認知評量模式，旨在診斷受試者的認知結構，但評估受試者能力時受其粗心 (slip) 及猜測 (guess) 兩參數影響，. 4.

(17) 診斷結果可推測受試者所具備的認知屬性，提供教師設計補救教材之參考。本研究所使用的認知診斷模式為 DINA 模式及 Bug-NINO 模式。三、認知屬性認知屬性 (cognition attributes) 是指學生學習某一單元所必須具有的基本能力，以本研究「分數」單元為例，研究者依據四年級數學能力指標「N-2-10：能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。」設計 8 個認知屬性，來檢測學生是否具備該基本能力。四、迷思概念迷思概念 (misconception) 是受試者為了瞭解及合理化自己所學，所產生不正確的概念結構，而這些概念大都不完整且錯誤（曾建維，2013）。而學生以迷思概念去解釋數學的學習，將使學生產生學習的困難。本研究參考相關文獻資料及與此領域資深教師及專家討論，設計 14 個迷思概念。五、電腦化適性補救教學本研究所指電腦化適性補救教學乃採用郭伯臣、江鴻鈞與曾彥鈞於 2014 年所開發「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」，每位受試者登入帳號進行施測後，電腦依據受試者施測結果，診斷其能力缺乏的部分，給予研究者編製之補救教學影片進行補救教學，以達學習成效。六、數學學習動機 Petri(1986)認為學習動機是指在個體學習活動中，能維持學習活動並達學習所設定目標前進的內在動力（引自林建平，2003）。張春興（1996）將學習動機設定於學校活動中，認為學習動機是引發學習活動，維持學習活動並達到教師設定學習目標的力量。本研究數學學習動機是指學童從事數學活動時，能驅使其維持數學學習活動，並朝設定目標前進的力量。數學學習動機問卷參考鄭昶暉（2003）、黃世杰（2002）及黃博聖（1997）編修而成，共分四個面向，分別為. 5.

(18) 自我效能、數學學習價值、主動學習策略和表現目標取向等。. 第五節研究範圍與限制一、研究範圍本研究範圍為四年級「分數」單元，旨在探討三種補救教學法對學童學習成效之差異，並分析受試學童使用電腦化適性補救教學之意見；實驗組中不同補救教學法對各背景變項學童學習成效是否有顯著差異，實驗組與對照組受試學童經不同補救教學法後，數學學習動機的影響。二、研究限制由於本研究受試學童均須利用電腦進行測驗及補救教學，所以使用電腦教室的節數佔據較多，為不影響正常教學及學生受教權，施測時間的安排困難，只能選擇研究者任教之學校進行研究，樣本不夠多元；三種補救教學各只選一個班級進行，樣本數不足；對於低分組的學生，其認知屬性不足，迷思概念又多，必須觀看的補救教學影片較多，但學生專注力不足，很難專心觀看完補救教學影片，影響學習成效。. 6.

(19) 第二章. 文獻探討. 本研究主要探討四年級「分數」單元以認知診斷模式進行認知屬性及迷思概念補救教學的學習成效，為了達到研究目的，本章將針對「分數教材分析」、「認知診斷模式」、「數學教學媒體設計之教學理論」、「學習動機」等相關文獻作探討。. 第一節「分數」教材分析壹、「分數」的教材地位分析根據教育部（2008）公布國民中小學九年一貫課程數學領域課程綱要中，有關國小數學分數課程的學習，在 97 課綱中從三年級開始接觸，一直涵蓋到國小高年級，圖 2-1 將三～五年級分數教學活動教材地位進行分析。. 7.

(20) 第五冊 認識分子異於 1，且總量不超過 1 的分數。 建立分數(≤1)的數詞序列。 解決同分母分數的比較問題及生活中的分數問題。. 第六冊 由單位分數的個數認識分數。 同分母的加法計算(和在 2 之內)。 同分母的減法計算(被減數小於 2)。 解決生活中長度、容量、重量的問. 第七章分數 能認識真分數、假分數與帶分數的名詞 熟練假分數與帶分數的互換 能做同分母分數的大小比較與加減的計算 能做分數的整數倍的計算 能比較不同分母帶分數的大小. 第八冊 認識等值分數 做異分母分數的比較 用平分理解整數相除的意義 將用整數乘以分數轉為先除再乘的問題 將整數除以分數轉為乘法問題. 第十冊 做乘數為分數的計算 解決「加減、乘除、連乘」的兩步驟問題（不含併式）. 第十冊 做分數除以整數的計算 從分裝（或測量）理解整數相除的意義 用分數做時間單位的換算和計算. 圖 2-1 分數教學活動教材地位分析(摘錄自翰林版數學教師手冊，2014). 貳、九年一貫 97 課綱「分數」教材學習階段分析分數屬於數學領域五大主題數與量中有理數的範圍，一系列的分數課程，既重要且複雜的數學概念，它與數學領域中的小數、除法、比與比值及百分率等觀念關係密切，所以在數學領域中佔極重要的課程（教育部，2008）。以下將分數. 8.

(21) 概念在國民小學階段的能力指標詳列於表 2-1，而依據階段能力指標而訂定的分年細目詳列於表 2-2。表 2-1 97 課綱數學領域「分數」教材能力指標（教育部，2008）階段第二階段 (3～4 年級). 能力指標能在具體情境中，初步認識分數。. 指標代號 N-2-09. 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問. N-2-10. 題。能理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-11. 能認識等值分數，並做簡單的應用。. N-2-12. 能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡. N-2-16. 單的分數。第三階段. 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意. (5～6 年級). 義，並用來將分數化成最簡分數。能理解等值分數、約分、擴分的意義。. N-3-05 N-3-06. 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比 N-3-07. 較與加減問題。能理解分數(含小數)乘法的意義及計算方法，並. N-3-09. 解決生活中的問題。能理解分數(含小數)除法的意義及計算方法，並. N-3-10. 解決生活中的問題。能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. 9. N-3-13.

(22) 表 2-2 97 課綱數學領域「分數」教材分年細目（教育部，2008）年級. 分年細目. 能力指標. 對照指標. 三年級. 3-n-11. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。. N-2-09 N-2-10. 4-n-07. 能理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-11. 4-n-08. 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。. N-2-10. 4-n-09. 能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。. N-2-12 N-2-16. 4-n-10. 能將簡單分數標記在數線上。. N-2-16. 5-n-06. 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. N-3-06. 5-n-07. 能用通分做簡單異分母分數的比較與加減。. N-3-07. 5-n-08. 能理解分數乘法的意義，並熟練其計算，解決生活中的問題。. N-3-09. 5-n-09. 能理解除數為整數的分數除法的意義，並解決生活中的問題。. N-3-10. 5-n-13. 能將分數、小數標記在數線上。. N-3-11 N-3-13. 6-n-03. 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。. N-3-05. 6-n-04. 能理解分數除法的意義及熟練其計算，並解決生活中的問題。. N-3-10. 6-n-05. 能在具體情境中，解決分數的兩步驟問題，並能併式計算。. N-3-02 A-3-01. 四年級. 五年級. 六年級. 由表 2-2 得知，四年級分數單元分年細目有四條，分別是 4-n-07（能理解分數之「整數相除」的意涵）、4-n-08（能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。）、4-n-09 （能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換）、4-n-10（能將簡單分數標記在數線上），此年段所探討的分數為較簡易的概. 10.

(23) 念，如 4-n-08 帶分數及假分數分數的互換，或同分母分數的大小比較及加減等，而不同分母分數的大小比較也只在分母為 12 以內的分數，學童只要將假分數化成帶分數即能比較出分數大小。四年級下學期將帶入等值分數的概念，如 4-n-09，目的是為五年級不同分母加減法做準備，因為不同分母分數加減法需具備等值分數概念，才能將分數依倍數做擴分或約分等處理，且等值分數、比與比值、百分率及機率等概念的學習有關連性，所以在此年段正確瞭解等值分數的概念相當重要。當整數相除有餘數時，此年段的學童能理解整數相除無法整除時，可以以分數形式表示，如 4-n-07。另外 4-n-10 在數線上以分數做標記，數線是一種連續量，在數線上標記帶分數與假分數及分數與整數的關係，也能讓學童了解等值分數、分數大小（數線愈右邊的分數其值愈大）及序列等 ( Corwin, Russell, & Tierney, 1990 )。. 參、分數的迷思概念學生對於分數的學習，會倚賴舊經驗整數的學習而產生錯誤，造成迷思概念，表 2-3 整理一些國內外文獻中中年級學童學習分數易犯的迷思概念。表 2-3 中年級學童學習分數易犯之迷思概念相關文獻探討整理研究者 (出版日期). 研究主題. 迷思概念 1. 1. 4. 3. 1. 缺法等量概念：認為 > ，因為 4> 3。 Behr, Wachsmuth, Post & Lesh (1984). Order and Equivalence Of rational number: A clinical Teaching experiment.. 2. 將分數的分子與分母同加一整數，其值相 3. 3+4. 4. 4+4. 同。例如： =. 7. = 。 8. 3. 只根據分子比較大小，忽略分母。 4. 分數加減時，將分子與分母同時相加減。 5. 比較分數大小時，分子、分母一起比較。例如：. 6. 10. 3. > ，「因為分子 6>3，且分母 5. 10>5」。 (接下一頁). 11.

(24) 表 2-3 中年級學童學習分數易犯之迷思概念相關文獻探討整理(續) 1. 缺乏部分/整體的分數概念。 2. 缺乏等分概念。 3. 缺乏單位量。 4. 認為自然數才是數，而分數不是。國小五年級分數概湯錦雲 5. 標數線時，以數線的左端整數當分母。念與錯誤類型之研 (2002) 6. 缺乏分數是「整數相除的結果」的概念。究 7. 缺乏等值分數的概念。 8. 分數加法運算錯誤。 9. 分數減法運算錯誤。 10. 整數乘分數的錯誤。國小五年級學童分 1. 缺乏等分概念。數概念學習表現及 2. 忽略基準量或單位量。陳和貴易犯錯誤類型之比 3. 缺乏分數是「整數相除的結果」的概念。 (2002) 較研究~以屏東縣多 4. 比較分數大小時，只比較分子或分母。元文化族群為例 1. 沒有等分的概念。 2. 忽略單位量的大小。臺灣北部地區國小劉世能 3. 認為同一情境所出現的單位量均相同。高年級學童分數概 (2002) 4. 比較分數大小時，只受分母值、分子值念之研究或同時受分子分母值來判定。 5. 只以分子值來判定等值分數的具體量。 1. 缺乏部分/整體的概念。 2. 比較分數大小時，缺乏單位量要一致的概念。 3. 受單一圖形表徵限制。 4. 比較分數大小時，認為分母愈大，值愈國小五年級學童分洪素敏大。數迷思概念補救教 (2003) 5. 分數相加時，會將分子加分子，分母加學之研究分母。 6. 分數乘法，將整數乘以分母，或整數同時乘上分子及分母。 7. 無法在數線上找出整數與分數的大小相對關係。 (接下一頁). 12.

(25) 表 2-3 中年級學童學習分數易犯之迷思概念相關文獻探討整理(續) 一、等分割概念 1. 認為等分必須面積與形狀均相等。 2. 比較分數大小時，只比較分子或分母。二、部分/整體的概念 1. 忽略基準量或給定的單位量。 2. 將部分或子集合當成全體或集合。三、加減法運算 1. 分數加減時，分母加減分母，分子加減分子。陸雅林 (2007). 國小六年級學童分數運算之概念研究. 2. 運算過程以整數方式處理，最後答案才以分數形式寫成，缺乏分數的概念。 3. 假分數加減時，將假分數的十位數寫成帶分數的整數。四、假分數與帶分數的互換 1. 認為分子與分母不相等就是假分數。 2. 將假分數分子的十位數當作帶分數的整數處理。五、帶分數乘以整數倍數 1. 只將帶分數的整數乘上倍數，分數未乘上倍數。 2. 將帶分數的分子與分母同時乘上倍數。 3. 分母與倍數相乘，分子與倍數相加。. 黃志敘、. 兒童分數迷思概. 1. 不了解分數的意義。. 楊德清. 念與解題策略之. 2. 缺乏「子集合/集合」的概念. (2007). 研究. 黃寶葵、劉曼麗 (2012). 對國小六年級數學低成就學童在分數乘除法錯誤類型的探討. 3. 缺乏單位量的概念 1. 整數乘以分數時，用整數同時乘以分母和分子。 2. 文字題易受單位多而錯亂。 3. 文字題易受關鍵字影響。 (接下一頁). 13.

(26) 表 2-3 中年級學童學習分數易犯之迷思概念相關文獻探討整理(續) 一、部分/整體的分數概念： 1. 將圖形分割時，將分割數當作分母。方文邦、劉曼麗 (2013). 對國小四年級數學低 2. 錯認單位量。成就學童在分數學習 3. 作答時受分子或分母影響。的迷思概念／錯誤類二、同分母分數加減計算：型與其成因之探討. 1.忽略整數部分。 2.將整數與分子相加減。 3.分數相減時，完全以大數減小數。. 根據表 2-3 中年級學童常見的迷思概念，整理出本研究的迷思概念並說明如下：一、判別真分數、假分數、帶分數的迷思概念 (一) 認為分子不等於分母就是假分數。 (二) 認為分數部分分子小於分母就是真分數，所以帶分數也屬於真分數。二、分數加減法運算迷思概念 (一) 分數相加減時，分別將分子與分子、分母與分母相加減。 (二) 分數相減時，向整數借 1，計算時忘記減 1。 (三) 分數相減時，完全以大數減小數。三、帶分數與假分數互換 (一) 以整數方式將假分數分子的十位數當作帶分數的整數部分處理。 (二) 將整數與分子相加。四、分數大小比較 (一) 只比較分數的分子。 (二) 只比較分數的分母。 (三) 同時比較分子與分母。. 14.

(27) (四) 缺乏單位量概念。五、分數整數倍計算 (一) 只將整數倍乘上分母。 (二) 同時將整數倍乘上分子與分母。六、依據題目列出算式 (一) 文字題易受單位多而錯亂。 (二) 文字題易受關鍵字影響。 (三) 忽略給定的單位。. 第二節認知診斷模式西元1994年Nichols曾提出結合認知科學與心理計量學的認知評量方法，又稱作認知診斷評量，而認知診斷模式因此相繼被發表，此模式以二元計分方式診斷受試者在認知屬性是否達精熟。利用認知診斷模式來測驗受試者的認知概念，假設某一向量α𝑖𝑘 =(α𝑖1 , α𝑖2 , α𝑖3 , ⋯ α𝑖𝑘 )代表受試者i受試於k個屬性的測驗,若K=4，代表此測驗會有24 個反應組型，分別為(0,0,0,0) (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) (1,1,0,0) (1,0,1,0) (1,0,0,1) (0,1,1,0) (0,1,0,1) (0,0,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (0,1,1,1) (1,1,1,1)。受試者的反應組型若為(0,1,1,0)，代表此受試者第2及第3個認知屬性是精熟，而第1及第4個認知屬性不精熟（曾建銘，2013）。上述認知診斷需製訂試題的認知屬性，即所謂的 Q矩陣，Q矩陣的建立大都由學科專家製定 (Tatsuoka, 1985)，𝒬𝑗𝑘 代表 𝒬矩陣大小為𝑗× k，𝑗為試題數，k為該測驗的認知屬性數，舉例Q矩陣大小為4×4之矩陣說明：. 1 0 𝒬𝑗𝜅 =[ 0 1. 0 1 1 0. 0 1 1 0. 15. 0 1 ] 0 1. (1).

(28) 代表第2題須具備第2個、第3個及第4個認知屬性，第4題須具備第1個及第4個認知屬性，下列將探討本研究所使用的二種認知診斷模式DINA模式及Bug-DINO模式。. 壹、 DINA模式 DINA模式的定義簡單，是許多認知診斷模式的基礎，以二元計分方式來評量試題的測驗，其模式創始於Junker & Sijtsma (2001)的研究，此認知診斷是假設在理想狀態下，受試者須具備試題的全部認知屬性才能答對該試題，缺乏某一認知屬性則將無法答對，但此模式會受二個參數影響，一是粗心 (slip)，另一是猜測 (guess)，當受試者具備此試題全部認知屬性時，可能由於粗心而答錯該試題，也可能缺乏此試題某一認知屬性，卻因猜測而答對該試題（曾建銘，2013）。其參數反應函數如以下公式(2) P(𝑋𝑖𝑗 =1∣α,s,g) = (1 − 𝑠𝑗 )η𝑖𝑗 g 𝑗 1−η𝑖𝑗. (2). 𝑞. η𝑖𝑗 =∏𝑘𝑘=1 𝛼𝑖𝑘𝑗𝑘. 其中. 𝑠𝑗 =P(𝑋𝑖𝑗 =0∣η𝑖𝑗 = 1) g 𝑗 =P(𝑋𝑖𝑗 =1∣η𝑖𝑗 = 0). (3). 上述公式中 𝑋𝑖𝑗 ：受試者𝑖在試題𝑗的反應組型。 𝑠𝑗 ：表示受試者完全具備試題𝑗的認知屬性，卻因為粗心而答錯此試題的機率。 g 𝑗：表示受試者缺乏至少一個試題𝑗的認知屬性，卻因為猜測而答對此試題的機率。 η𝑖𝑗 ：表示受試者是否完全具備試題𝑗的認知屬性，若完全具備其值為1，缺少一個或一個以上之認知屬性其值為0。 𝛼𝑖𝑘 ：表示受試者𝑖是否具備認知屬性k，若具備其值為1，反之為0。 𝑞𝑗𝑘 ：表示答對試題𝑗是否需具備認知屬性k，若需具備其值為1，反之為0。以下就de la torre ( 2009 )的範例來說明：表2-4為分數減法的認知屬性，表2-5. 16.

(29) 為測驗學生是否具備此認知屬性而設計之試題，表2-6為例題之Q矩陣，而表2-7 為解此題需具備之認知屬性S1、S2、S3。表2-4 分數減法的認知屬性（引自de la torre, 2009）認知屬性. 敘述. S1. 從整數部分借1. S2. 基本分數減法. S3. 化簡. S4. 將整數與分數部分分開. S5. 將整數變成分數. 表2-5 「分數的減法」選擇題範例（引自de la torre, 2009） 2. 4 7 − = 12 12 (A) 2. 3. (B) 2. 12. 1. (C) 1. 4. 9. (D) 1. 12. 3 4. 表2-6 範例之Q矩陣（引自de la torre, 2009）認知屬性試題試題1. S1. S2. S3. S4. S5. 1. 1. 1. 0. 0. 假設試題參數𝑠𝑗 =0.3、g 𝑗 =0.3，有三位受試者，分別為學生1、學生2及學生3，. 17.

(30) 他們的認知屬性狀態如表2-7。. 表2-7 受試者的認知屬性狀態（引自de la torre, 2009）認知屬性受試者 S1. S2. S3. S4. S5. 學生1. 1. 1. 1. 1. 0. 學生2. 0. 1. 0. 0. 1. 學生3. 0. 1. 1. 1. 1. 由表2-7可知，學生1具備試題1的三個認知屬性，所以η11 = 1，表示學生1能答對試題1，而學生2缺少第一個及第三個認知屬性，所以η21 = 0，學生3也缺少第一個認知屬性，所以η31 = 0，將個係數值代入公式2，計算出三位受試者答對試題1的機率分別為： P(𝑋11 =1∣α,s,g) = (1 − 0.3)1 0.31−1 = 0.7 × 1 = 0.7 P(𝑋21 =1∣α,s,g) = (1 − 0.3)0 0.31−0 = 1 × 0.3 = 0.3 P(𝑋31 =1∣α,s,g) = (1 − 0.3)0 0.31−0 = 1 × 0.3 = 0.3 由計算結果得知學生1答對試題1的機率為0.7，而學生2及學生3答對試題1的機率僅0.3，所以學生1答對的機率比學生2及學生3高出許多，若學生2及學生3答對試題1，在DINA模式下則表示是因為猜測的原因。. 貳、Bug-DINO模式 Bug-DINO模式是由DINO模式（Templin & Henson, 2006）修改而來，因為在 DINO模式下，受試者只要具備一個認知屬性以上即可答對該試題，若答錯可能受粗心影響，完全不具備任何認知屬性而答對則是因為猜測的原因，所以受兩參. 18.

(31) 數粗心 (slip) 及猜測 (guess) 影響。 Bug-DINO模式利用上述DINO模式修改而來 ( Kuo, B.-C., Yang, C.-W., & Wu, H.-M, 2010 )，診斷受試者的迷思概念，當受試者不具此試題之迷思概念時，答對此試題的機率較高，反之，若具備一個或一個以上之迷思概念，答對此試題之機率相對較低，公式定義說明如下（引自吳國楨，2014）： P(𝑋𝑖𝑗 = 1∣𝜔𝑖𝑗 )= (1 − 𝑠𝑗 )𝜔𝑖𝑗 g 𝑗 1−𝜔𝑖𝑗. (4). 𝜔𝑖𝑗 =∏𝑘𝑘=1 (1 − 𝛽𝑖𝑘 )𝒬𝑗𝑘. 其中. 𝑠𝑗 =P(𝑋𝑖𝑗 = 0∣𝜔𝑖𝑗 = 1) g 𝑗 =P(𝑋𝑖𝑗 =1∣𝜔𝑖𝑗 = 0). (5). 上述公式中 𝑋𝑖𝑗 ：受試者𝑖在試題𝑗的反應組型。 𝑠𝑗 ：表示受試者完全不具備試題𝑗的迷思概念，卻因為粗心而答錯此試題的機率。 g 𝑗：表示受試者具備至少一個試題𝑗的迷思概念，卻因為猜測而答對此試題的機率。 𝜔𝑖𝑗：表示受試者是否具備試題𝑗的迷思概念，若具備一個或一個以上其值為0，完全不具備其值為1。 𝛽𝑖𝑘 ：表示受試者𝑖是否具備迷思概念k，若具備其值為1，反之為0。 𝒬𝑗𝑘：表示受試者是否需具備答錯試題𝑗的迷思概念k，若具備其值為1，反之為0。假設受試者 1 不具備試題 1 相關迷思概念，定義公式說明如下：一、受試者不具備該迷思概念時，𝜔𝑖𝑗 =∏𝑘𝑘=1 (1 − 𝛽𝑖𝑘 )𝒬𝑗𝑘 =𝜔11 =(1 − 0)0 =1 P(𝑋𝑖𝑗 = 1∣𝜔𝑖𝑗 )= (1 − 𝑠𝑗 )𝜔𝑖𝑗 g 𝑗 1−𝜔𝑖𝑗 = P(𝑋11 = 1∣𝜔𝑖𝑗 )= (1 − 𝑠1 )1 g11−1 =1 − 𝑠1 表示答對試題 1 機率 P 只受粗心影響。二、若受試者 1 具備試題 1 相關迷思概念一個或一個以上，則𝜔11 =(1 − 1)1 =0，答對試題 1 機率為 0，P(𝑋11 = 1∣𝜔𝑖𝑗 )= (1 − 𝑠1 )0 g11−0 =g1，表示答對機率全是因為猜測的原因。綜合上述，本研究採用認知診斷模式 DINA 模式診斷學童認知屬性精熟或不. 19.

(32) 精熟，以認知診斷模式 Bug-DINO 模式診斷學童迷思概念之有無。. 第三節數學教學媒體設計之教學理論本研究四年級分數單元之補救教學，是以學生線上觀賞教學影片方式進行，教學影片製作會根據所要補救部分是學生認知屬性的缺失還是迷思概念，採取不同的教學理論，認知屬性影片製作採用 APOS 理論，而迷思概念影片製作採用劉曼麗（2005）提出的五種認知衝突策略設計，以下將分別進行論述。. 壹、APOS 理論本研究認知屬性影片製作之教學策略採用 Dubinsky 於 1991 年提出的 APOS 理論（Action, Process, Object, Schema），APOS 是四個階段的英文單詞第一個英文字母的組合，其運作方式如圖 2-2。. 行動 action. 內化. 物件 Object. 過程 Process 膠囊化解膠囊化一般化. 圖 2-2 APOS 理論運作模式(引自 Dubinsky，1991 ) 行動是指操弄舊物件並觀察外在特徵產生實質的經驗；過程是經過反思將操弄步驟內化，學童可不須實際操弄，只需於腦中思考操作步驟及過程即可（于霞， 2013）；物件是指學童整合操作過程後，建構新的認知物件，也就是透過抽象符號的學習，認識概念後，將概念具體化成一新物件，並依此物件去學習新的活動（黃鶯枝，2012）；基模是指整合行動、過程、物件等舊知識而連接知識的網路。. 20.

(33) 學童學習數學概念時由行動內化成過程，再膠囊化物件，最後形成基模。學童學習數學概念的每一階段必須經過行動與反思來建構概念，每一階段都無法逾越，透過 APOS 理論讓教師能了解學童學習數學的心智活動（于霞，2013）。以下將舉本單元所探討四年級分數概念「分數的整數倍運算」為例，說明 APOS 的四個階段如表 2-8。表 2-8 以分數的整數倍運算說明 APOS 理論之四階段階段. 說明 1. 布題：3 個是多少？ 5. 行動（Action） 1. 2.. 先以圖示法複習舊經驗。 1. 1. 1. 3. 5. 5. 5. 5. 再以加法算式複習。 + + =. 1. 接著教導學童真分數的整數倍計算。 2.. 1 5. ×3=. 1×3 5. 5. 重新布題的 6 倍是多少？讓學童反思操作。 4. 過程（Process）. 先以圖示法提示。 5. 5×6. 4. 4. 將教導學童列式運算。 × 6 =. =. 30 4. =7. 1. 布題：1 的 4 倍是多少？ 4. 1. 教導學童列式並轉換成假分數的整數倍運算。 1. 5. 20. 4. 4. 4. 1 ×4= ×4=. 物件（Object）. =5. 2. 再教導學童以帶分數的整數倍方式運算。 1. 1. 4. 4. 1 × 4 = (1 × 4) + ( × 4) = 5 此階段再布題，強化學童的概念與應用。基模（Scheme）. 5. 布題： × 10 = ( ) 6. 21. 2 4. =. 3 5.

(34) 學童學習分數的整數倍運算，歷經四階段內化成概念後，將運用此一新基模，再度學習新的分數概念。. 貳、認知衝突理論學童學習數學時，依自己的背景知識解讀數學概念而產生迷思概念，並依此迷思概念學習下一階段的數學而產生更多的錯誤，使得數學科變成一門難以理解的知識。故教師於教學時若能針對學童的迷思概念製造認知衝突，將有效破除學童的迷思概念（Bell, 1993）。因此製造認知衝突將導致學童產生不平衡狀態，而重新建構新知識的動機而改變錯誤的概念（王文科，2010）。所以製造認知衝突是補救教學中重要的教學策略，故本研究將迷思概念影片製作採用劉曼麗（2005）提出的五種認知衝突策略設計，分別是二對一法、反向法、一對多法、引入參考值法和表徵法，此五種策略將舉本單元試題分述如表 2-9。表 2-9 製造認知衝突的策略（修改自劉曼麗，2005）策略二對一法. 圖示. 本研究之試題舉例說明根據學生回答題目Q1 的錯誤答案A，再舉答案也是 A的另一題目Q 2 ，以製造認知衝突。舉例說明（整數與假分數的互換） (. Q1 ：8 =. ) 5. ，(. ) =？. A ：8。 40. Q2：. 5. =(. )，(. ) =？. A ：8。（接下一頁）. 22.

(35) 表 2-9 製造認知衝突的策略(續) 反向法. 學生回答題目Q1 的錯誤答案A1 ，再以A1 答案之題目Q 2 反問學生，得到答案A2 ，並對照原問題Q1 ，以製造認知衝突。舉例說明（帶分數與假分數的互換） 1. Q1 ：2 化成假分數是多少？ 5. 21. A1 ：. 5. 。. 21. Q2 ：. 5. A2 ：4 一對多法. 化成帶分數是多少？. 1 5. 對於同一問題Q1 ，學生回答不同答案A1 、A2 、 A3 …，透過學生間的質疑辯證，來製造認知衝突。舉例說明（帶分數與假分數的互換） 2. Q1 ：請將3 化成假分數？ 7. 2. 32. 7. 7. 2. 5. 7. 7. 2. 23. 7. 7. A1 ：3 =. 。. A2 ：3 = 。 A3 ：3 =. 。. Q 2 ：辯證想法。 (下一頁). 23.

(36) 表 2-9 製造認知衝突的策略(續) 引入參考值法. 對於學生錯誤答案A1 ，引入參考值R讓學生比較其答案A1 與R，以製造認知衝突。舉例說明（認識分數） 3. 7. 5. 6 3. 4 5. 9. 6. 9. Q1 ：2 、、三個分數中，真分數是哪幾個？ A1 ：2 及。 Q 2 ：真分數是大於1還是小於1的分數？ A2 ：小於1。 3. Q 2′ ：2 有小於1嗎？ 6. A2′ ：沒有。 3. Q 2′′ ：2 是真分數嗎？ 6. A2′′ ：不是。表徵法. 對於學生錯誤答案A1 ，引入表徵R’的操作結果，來比較答案A1 ，以製造認知衝突。舉例說明（同分母分數加法） 2. 3. 6 5. 6. Q1 ：1 + = (. ). A1 ：1 。 12. 2. 3. 6. 6. Q 2 ：請學生拿出分數板1 及 A2 ： Q 2′ ：請學生拿出分數板1. 5. 12. A 2′ ： Q 2′′ ：有一樣嗎？ A2′′ ：不一樣。備註：Q𝑖 ：教師佈題，A𝑖 ：學生答案，R：參考值，R’：表徵。 Q1 ：佈題，Q2 ：關鍵性的問話，以製造學習者的認知衝突。. 24.

(37) 分數教學常引用圖示法說明，較能增進學童的理解，故本研究使用了表徵法、引入參考值法、一對多法及反向法等策略，製造學童對於分數概念的認知衝突，尤其表徵法、引入參考值法使用次數較多。. 第四節學習動機學習動機是驅使學生改變學習態度，朝目標前進的動力，影響學習動機的因素包括個人學習態度、興趣、學習的情境與同儕之間的學習互動等，所以 Birgit 和 Frank (2005)曾經呼籲教師在課堂上不僅要傳授知識，更重要是激發學生的學習動機。吳淑珠（1998）提出數學學習動機是引導學生學習數學活動過程中，轉化為學習目標的內在心理歷程，數學學習動機愈高，數學成就愈高。提升學生學習表現的有效途徑是培養學生的學習動機（張春興，1997）。以下將探討學習動機的相關理論。. 壹、自我效能 ( self-efficacy ) 自我效能的基本定義：在某一領域中，能否自己完成工作的信念（張春興， 1996）；對自我能力的信念（林建平，2003）。自我效能高的人，對自己期許大，遇到困難時相信自己能完成，會更努力，學習成效佳；低自我效能的人，遇見困難的問題採取逃避策略，Bandura (1977) 認為影響自我效能的訊息有四個，分別是成就表現（performance accomplishments）、替代經驗（vicarious experience）、口語的說服 (verbal persuation) 、情緒的激發（emotional arousal）等，分述如下（引自孫志麟，1991）：一、成就表現成就表現是產生自我效能的來源，成就表現佳，成功經驗多者能鞏固較佳的自我效能，反之，若失敗經驗多，自我效能則低。自我效能建立穩固後，偶爾的失敗，也能從中獲得經驗，激勵自己克服並解決困難。. 25.

(38) 二、替代經驗個人自我效能的形成並非全由親身經歷產生，可以藉由觀察學習別人與環境交互作用的模式而產生自我效能，相信別人做得到，自己也能。三、語言的說服以口語改變對方的行為，讓對方相信自己有能力完成，但語言說服所產生的自我效能是最短暫且薄弱，當面臨一連串的失敗時即消失殆盡。四、情緒的激發個體在不安的情境中所產生情緒的波動，情緒激動時工作表現不理想，影響自我效能，當情緒穩定時較能有成功的表現，自我效能佳。. 貳、成就動機 (achievement motivation) 美國心理學家 Mc.Clelland, Atkinson, & Lowell (1953) 認為成就動機是個人特質中，追求成就的內在傾向（張春興，1996）。Atkinson (1964) 認為個人對成就、成功的期待與外在環境因素影響成就動機。Mc.Clelland 等（1953）對於成就動機歸納以下結論（引自石柳棻，1996）：一、個人追求對外在事物成功的內在傾向，由經驗中習得形成成就動機的強弱。二、面對自己所追求的人、事、物情境時，個人會產生「追求勝利」及「逃避失敗」二種反向的動機，高成就動機者願意選擇挑戰性高的工作，成就動機低者為逃避失敗則選擇較容易的工作。三、個人成就動機強弱取決於自身對外在環境的認知與對成功的判斷，當成功與失敗機率相等時，追求成就動機最高。成就動機是由個人行為表現的結果來探討本身的成就動機，每個學童的成就動機會因外在人與情境不同而改變，所以教師設計教學活動時要能符合學童成就需求，才，能激起學童的成就動機（鄭昶暉，2013）。. 26.

(39) 參、歸因理論 Heider (1958) 是最早提出歸因理論的心理學家，分成情境歸因 (situational attribution) 與性格歸因 (dispositional attribution) 二種，解釋本身行為傾向情境歸因，解釋別人行為傾向性格歸因。Weiner (1986) 以認知理論提出的自我成敗歸因論的六項歸因：能力、努力、工作難度、運氣、身心狀況和其他，並將六項歸因分成三個向度：穩定性、因素來源與可控制性，Weiner 認為對學習動機有正面幫助的歸因為個體具有內在、不穩定和可控制性的特質時。Weiner 的歸因理論是以教學情境為基礎，具有四點教育涵義：(一)根據學童自我歸因而推測其學習動機。 (二)學童自我歸因未必正確，但所傳遞的訊息是重要的。(三)長期消極歸因的學童有礙其正常人格的發展。(四)教師的回饋對學童歸因的影響甚鉅。. 肆、目標導向論 (goal orientation) 目標導向論探討學習者為什麼要從事某種學習活動的原因，此理論的研究者認為學習動機並非只分「有」、「無」，而是方向不同的問題，當一位學習者不願學習時，並不是他沒有學習動機，而是動機導向逃避方向(程炳林，2003)。Dweck& Elliot (1983) 將目標導向分成二方面，一是學習目標 (learning goals) ，另一是表現目標 (performance goals) ，學習目標導向者學習目的是精熟工作與能力，表現目標導向者除展現能力外，希望別人知道他的能力（程炳林，2003）。這種以二分法分類目標導向的架構名詞雖有不同，但涵義相似，而學童學習目標是為了獲得知識而學習，表現目標是為了獲得外在的讚美、分數等而學習（石柳棻，1996）。學習動機一方面是自己內在對知識的追求，另一方面是對外在環境的互動 (Maslow，1966) 。綜合上述研究，本研究將數學學習動機分成 4 個面向，3 個面向是自己內在對知識的追求，分別是自我效能、數學學習價值、主動學習效能，表現目標取向是與外在環境的互動面向。. 27.

(40) 28.

(41) 第三章. 研究方法. 本章節主要介紹國小四年級「分數」單元所進行認知診斷測驗與電腦化適性補救教學的實施流程與研究方法，依序分成研究架構、研究對象、研究流程、研究工具及資料處理與分析等五小節。. 第一節研究架構本研究依認知診斷模式，編製不同的補救教學影片，將受試學童分成 3 組，以「DINA 診斷與適性教學模式」、「Bug-DINO 診斷與適性教學模式」與「傳統教學法」進行補救教學，再分析補救教學成效，研究架構圖如圖 3-1 。. 編製補救教學影片& 編製電腦化適性診斷測驗. 控制變項教學年級能力指標分年細目教學活動時間. 自變項補救教學法 1.實驗組A (根據認知屬性進行教學) 2.實驗組B (根據迷思概念進行教學) 3.對照組(依照傳統補救教學). 進行教學實驗. 依變項：後測成績數學學習動機圖 3-1 研究架構圖. 29. 共變項前測成績.

(42) 壹、各變項說明一、自變項自變項補救教學法中，實驗組 A 及 B 分別編製認知屬性、迷思概念教學影片進行電腦化適性補救教學，對照組以教育部審定教材翰林版進行老師講述方式補救教學。二、共變項共變項為前測成績，前測成績指實驗組 A、B 及對照組等三組學童學習完本單元後，第一次進行電腦化測驗的成績。三、控制變項 (一) 教學年級：本研究對象為四年級三個班的學童。 (二) 能力指標與分年細目：實驗組與對照組教學設計的教材均依照教育部 (2008)公告的能力指標及分年細目，三組所對應的能力指標與分年細目均相同。 (三) 教學活動時間：實驗組 A、B 與對照組分數單元實際課程教學時間皆為六節課(240 分鐘)，實驗階段為四節課，分別為前測與後測時間各一節課，補救教學時間為二節課。四、依變項依變項為後測成績及數學學習動機，指實驗組 A、B 與對照組經二堂課（80 分鐘）補救教學後，所進行第二次電腦化測驗成績及數學學習動機問卷結果分析。. 貳、實驗組與對照組的教學步驟實驗組 A、B 與對照組於單元教學結束後，以班級為單位至電腦教室進行線上前測，學生作答以一節課為限，作答時可以以紙筆進行計算，並以滑鼠點出答案選項，完畢即進行下一題，直到整份測驗結束後，電腦立即回饋回報成績，並. 30.

(43) 顯示需進行補救教學的認知屬性與迷思概念。三組學生於一週內進行補救教學活動，實驗組 A、B 於電腦教室進行二堂課(80 分鐘)電腦化適性補教教學，對照組於原班教室進行傳統補教教學，三組學生再於補救教學後一週內進行後測，比較各組前後測成績，並分析不同補救教學法對實驗組與對照組學習成效是否達顯著差異，教學實驗步驟時程如表 3-1。表 3-1 教學實驗步驟時程表時間實驗步驟. 3月2日. 3月9日. 3 月 16 日. 3 月 23 日. 至. 至. 至. 至. 3月6日. 3 月 13 日. 3 月 20 日. 3 月 27 日. ★ ★ ★. ◎ ◎.   ◎. . 實驗組 A 實驗組 B 對照組. 註：★=發同意書、◎=前測、=補救教學、=後測. 第二節研究對象本研究以教育部(2008)所頒布「國民中小學九年一貫課程綱要」為依據，並於 103 學年度實施之四年級上學期「分數」單元進行補救教學實驗。研究對象選擇分成二部分，一為預試階段學童，另一為實驗階段學童，分別說明如下：. 壹、預試階段學童本研究預試階段施測學童為已學習完第七冊及第八冊「分數」單元的四年級學童，以紙本測驗方式進行預試測驗，所選取樣本為臺中市四所小學共 14 班 370 名學童為預試對象，施測日期於 102 學年度 6 月進行，施測時間為一節課，視作答情況延長施測時間，剔除無效樣本 23 份後，有效樣本為 347 份。. 31.

(44) 貳、實驗階段學童本研究實驗階段對象為臺中市某國小四年級學童，實驗組 A、B 與一組對照組共計三組進行研究，分別採用不同教學方式進行補救教學實驗。實驗對象皆學習完第七冊數學「分數」單元且未學習第八冊「等值分數」單元，並在實驗前進行前測，經補救教學後再進行後測，實驗樣本數共計 75 人，剔除因故未完成實驗及無效樣本共 8 人，故有效樣本為 67 人，實驗對象分布如表 3-2。表 3-2 電腦補救教學實驗對象分布表組別樣本人數男生女生. 實際有效樣本人數男生女生. 實驗組 A. 13. 11. 13. 10. 實驗組 B. 15. 9. 12. 9. 對照組. 16. 11. 13. 10. 總人數. 44. 31. 38. 29. 註：實驗組 A（根據認知屬性進行電腦補救教學）、實驗組 B（根據迷思概念進行電腦補救教學）、對照組（傳統補救教學）。. 第三節研究流程壹、研究流程本研究以教育部（2008）所頒布「國民中小學九年一貫課程綱要」為依據，並於 103 學年度實施之四年級上學期「分數」單元進行電腦補救教學實驗，為了達成本研究目的，首先蒐集有關認知診斷模式、迷思概念及國小數學領域「分數」單元之相關文獻，以作為本研究理論的基礎，並根據四年級單元能力指標（N-2-10：能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。N-2-16：能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分數。）、分年細目（4-n-08：能認識真分數、假分數與帶分數，. 32.

(45) 熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。 4-n-10：能將簡單的分數標記在數線上。）（教育部，2008）及相關教學文獻，訂定該單元的認知屬性及迷思概念，並依據此認知屬性及迷思概念編製「分數」單元診斷測驗，且將診斷測驗繪製認知屬性 Q 矩陣及迷思概念 Q 矩陣後進行紙筆預試。預試資料蒐集完畢後，分析預試資料並邀集該領域資深教師進行學童概念判讀，且與認知診斷 DINA 模式、Bug-DINO 模式判讀結果進行辨識率比對及計算後驗機率。接著參考數據及專家意見之後調整 Q 矩陣並刪修試題，依據預試試卷開始編製線上複本試題（前、後測）及設計電腦化適性補救教學影片，再與專家討論並修改複本試題與補救教學影片後上傳至「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」進行線上施測。本研究施測對象以班級為單位分成三組，實驗組 A（根據認知屬性進行電腦化適性補救教學）、實驗組 B（根據迷思概念進行電腦化適性補救教學）及對照組（傳統補救教學），三組先進行線上前測，再依前測結果進行補救教學，完成補救教學後一週內進行線上後測、填寫數學學習動機問卷和電腦化教學回饋表，並依據前後測數據分析，評估此三種補救教學法的學習成效、數學學習動機的影響及實驗組對電腦化教學回饋表之學習意見。本研究的流程圖如下圖 3-2。. 33.

(46) 擬定研究方向與主題選定研究單元蒐集分數相關文獻資料. 參考文獻資料及課程教材內容依認知屬性及迷思概念編製預試命題卡並審題. 進行紙筆預試. 以DINA模式及MATLAB分析預試資料並修題. 建立複本試題(前測卷). 編製補救教學影片. 以班級為單位進行線上前測. 對照組傳統補救教學. 實驗組A 根據認知屬性進行補救教學. 實驗組B 根據迷思概念進行補救教學. 進行後測並蒐集實驗組學生對於本研究電腦化教學意見回饋表和數學學習動機問卷. 研究結果分析. 撰寫研究報告. 圖 3-2 研究流程圖. 34.

(47) 第四節研究工具本研究根據翰林版國小四年級上學期數學領域「分數」單元，並參考教育部 (2008)所頒布「國民中小學九年一貫課程綱要」能力指標與教材內容編製一份紙本預試卷，並依據預試結果將學生所具備認知屬性以 DINA 模式進行後驗機率及辨識率診斷；而學生所具備迷思概念則以 Bug-DINO 模式進行後驗機率及辨識率診斷。接著編製補救教學動畫影片和前、後測試題，並上傳至「智慧型雲端適性診斷測驗暨適性學習系統」進行線上前、後測及補救教學實驗，最後再將實驗結果以統計軟體分析。本研究所需研究工具有：自編國小四年級上學期「分數」單元診斷測驗紙筆預試卷一份、電腦化前、後測診斷測驗各一份、以認知診斷模式為基礎的「電腦化分析系統」、「補救教學影片」、「數學學習動機問卷」、「電腦化之適性補救教學學習回饋單」、「受試學童背景資料」及研究分析所使用的電腦軟體，將依序分述如下：. 壹、國小四年級分數單元紙筆預試卷一、測驗內容本研究所編製測驗乃依據教育部於 2008 年所公布的「國民中小學九年一貫課程綱要」並以翰林版第七冊「分數」單元的課程內容為主，再參考康軒、南一等坊間版本之後編製成預試卷，每一試題題幹有四個選項，正確選項依據認知屬性設計，其他三個錯誤選項依據迷思概念設計。二、編製過程 (一) 「分數」認知屬性本預試卷以認知診斷模式為基礎，邀請擔任本年段之資深教師編製本單元認知屬性與迷思概念。由於本單元只探討分數的基本概念（何謂真分數、假分數及帶分數）及同分母分數的加減法與大小比較，異分母分數只討論帶分數的大小比. 35.