89 年度上學期作業─向量基本觀念

(1)

作業─基本觀念

1. 向量 A = -2i + 3j + 4k，向量 B = i – 2k，以下列步驟求出與向量 A 與 B 同平面，且垂 直於向量 A，大小為 3 的向量 C。 (1) 以外積算出任一同時垂直於 A 與 B 的向量 N，此向量的方向即為 A 與 B 所 在平面的法線（normal）向量同向。 (2) 所欲求得的向量 C 與向量 A 及 B 同平面，故必然與此平面 normal 垂直，依 題意向量 C 應同時與 A 及 N 垂直，以外積求得任一與 A 及 N 垂直的向量 D。 (3) 所求得向量 D 的大小為何？ (4) 沿向量 D 方向的單位向量為何？ (5) 根據前面的結果求向量 C（有兩個答案）。 2. 3D 繪圖：一觀察者 V 位於 xyz 座標中的 (2, 1, 3) 向原點 O 凝視。定義固定於觀察者 眼前的座標 x’y’z’，x’ 軸指向觀察者右耳方向，y’ 軸指向觀察者頭頂，z’ 軸沿視線方 向。i、j、k、i’、j’ 與 k’ 分別為沿 x、y、z、x’、y’ 與 z’ 方向的單位向量。利用以下 物驟求得在 xyz 座標中位於 (-2, 0, 1) 的一物體 P 投影在 x’y’ 平面上的位置？注意： xyz 座標中的原點仍投影在 x’y’ 平面上的原點。 (1) V 在 xyz 座標上的位置向量 OV 為何？ (2) 由 V 指向 O 的向量 VO 為何？ (3) 向量 VO 的大小為何？ (4) 沿向量 VO 的單位向量 k’ 為何？（與 ijk 的關係） (5) 求出任一同時與 VO（或 k’）及 k 垂直且指向觀察者右耳方向的向量 N，此 向量與視線及 z 軸所在平面的法線（normal）同向。 (6) 上題中向量 N 的大小為何？ (7) 沿向量 N 方向的單位向量 i’ 為何？ (8) 利用 i’ 與 k’ 求得 j’。 (9) 物體 P 在 xyz 座標上的位置向量 OP 為何？ (10) 向量 OP 在 x’ 軸的投影量為何？ (11) 向量 OP 在 y’ 軸的投影量為何？ (12) 向量 OP 在 z’ 軸的投影量為何？ (13) 向量 OP 在 x’y’z’ 座標中的位置向量為何？（以 i’j’k’ 的關係） (14) P 在 x’y’ 平面上的投影位置為何？ 3. 一雷達測得敵機 P 方位角為  （敵機對地面投影 P’ 與正北方的夾角，在地面以逆時 鐘方向為正），仰角為 （敵機方向對地面夾角），距離為 r。定義 x 軸朝正北，y 軸 朝正東，z 軸朝正上方，雷達站位於原點 O。欲以飛彈射擊敵機必須知道敵機在 xyz 座標上的位置。 (1) 線段 OP 在地面上的投影長度 OP’ 為何？ (2) 線段 OP 在 x 軸上的投影長度為何？（利用第 (1) 題答案） (3) 線段 OP 在 y 軸上的投影長度為何？（利用第 (1) 題答案） (4) 線段 OP 在 z 軸上的投影長度為何？ (5) 敵機在 xyz 座標中的位置為何？ 有時我們可能已先知道敵機位置 (x, y, z)，必須求得 r、 與 ，利用前述答案反推 r、 與  對 x、y 與 z 的關係。 (6)  = ？（將前述 x = ？除上 y = ？，再利用 tan = sin/cos 的關係） (7) r = ？（利用前述答案求 x2_{+ y}2_{+ z}2_{= ？）} (8)  = ？（利用前述答案求 z = ？） 4. 空間中有三點 P、Q 與 R 分別位於 (1, -1, 2)、(2, 3, 0) 與 (1, 4, 1)。利用以下步驟求取 通過此三點的平面方程式。 (1) 由 P 到 Q 的 vector A 為何？ (2) 由 P 到 R 的 vector B 為何？

(3) 求取任一同時垂直於 A 與 B 的 vector N。N 即為此平面的 normal vector。 （提示：利用 NAB）

(2)

(4) 假設平面上任一點 S 的位置為 (x, y, z)，由 P 到 S 的 vector C 為何？

(5) 既然 vector N 為平面 normal vector ， N 與平面上所有的點都垂直，故

0   N C ， x、y 與 z 必須滿足何種條件？ A B N = A x B C  令 A 、 B 與 C 為任意 vectors ， C 未必與 A 及 B 同平面。由於 NAB， ) (A B C N C    _{，以下各題係用以探討}C(AB)_{的幾何意義。以下各題不使用上} 述各題的數字。 (6) C(AB) 的計算結果應為 vector 或是 scalar？ (7) 以下何者是計算平行六面體體體積的方式（如圖）？（三邊長相乘、底面積乘高、底面積乘另一邊長） (8) 由 vectors A 與 B 所圍成平行四邊形面積如何以 vector 運算表示。 (9) 若 C 與 A 的夾角為 ，則由 vectors A 、B 與 C 所圍成平行六面體垂直B 於 vectors A 與 B 所圍成平行四邊形的高度為何？ (10) 由 vectors A 、B 與 C 所圍成平行六面體體積為何？（最後的答案不包含 ） 2

(3)

作業─基本觀念解答

1 . (1) i k k j i B A N 6 3 2 0 1 4 3 2        (2) k j i k j i B A D 9 30 18 3 0 6 4 3 2          (3) _D_ (_9)2 _(_30)2 _182 _ 1305_36.12 (4) eD D/D (9i30j18k)/ 13050.249i0.831j0.498k (5) _C _e ₍ ₉_i ₃₀_j ₁₈_k₎ ₀_.₇₄₈_i ₂_.₄₉_j ₁_.₅₀_k 1305 3 3         D or C e (9i 30j 18k) 0.748i 2.49j 1.50k 1305 3 3        D 2 . (1) OV = 2i + j + 3k (2) VO = -2i - j - 3k (3) |_VO|_ (_2)2 _(_1)2 _(_3)2 _ 14 (4) kVO/|VO|(2ij3k)/ 14 (5) j i k j i k VO N 2 1 0 0 3 1 2         (6) |_N|_ (_1)2 _22 _ 5 (7) iN/|N|(i2j)/ 5 (8) ) 5 3 6 ( 70 1 0 2 1 3 1 2 5 1 14 1 k j i k j i i k j              (9) OP = -2i + k (10 ) ₅ 2 ) 2 ( 5 1 ) 2 (        i i k i j OP (11 ) 70 17 ) 5 3 6 ( 70 1 ) 2 (        j i k i j k OP (12 ) ₁₄ 1 ) 3 2 ( 14 1 ) 2 (         k i k i j k OP (13 ) i j ₁₄k 1 70 17 5 2 (14 ) _ 2₅, 17₇₀_ 3 . (1)  cos | |OP  r

(2) xOP_x |OP|cos rcoscos (3) yOP_y |OP|sin rcossin

(4) zOPz rsin

(5)



rcoscos,rcossin,rsin



(6) x y x y r r y x _tan _tan 1 tan 1 sin cos sin cos cos cos _ _ _ _ _ _           

(7) _x2 _ _y2 _ _z2 __r2_cos2__s_cos2_ __r2_cos2__s_sin2_ _ _r2_sin2__s__r2_cos2_ _ _r2_sin2__s__r2

(4)

2 2 2 _y _z x r    (8) 2 2 2 1 1 _sin sin / sin z y x z r z r z       _    另解：                      _            2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2

2 _cos _cos _cos _cos

z y x y x r y x r y x r y x    另解：  2 2 2 2 _y _r _cos x    2 2 2 _r _sin z                    2 2 1 2 2 tan cos sin tan y x z y x z _    4 . (1) A = PQ = OQ – OP = (2i + 3j) – (i – j + 2k) = i + 4j – 2k (2) B = PR = OR – OP = (i + 4j + k) – (i – j + 2k) = 5j – k (3) k j i k j i B A N 6 5 1 5 0 2 4 1         (4) C = PS = OS – OP = (xi + yj + zk) – (i – j + 2k) = (x – 1)i + (y + 1)j + (z – z) k (5) CN0



(x1)i(y1)j(z2)k







6ij5k



06(x1)(y1)5(z2)0 15 5 6     x y z

(6) A 為 vector，C 為 vector，故 B C



AB



為 scalar (7) 底面積乘高 (8) AB (9) Ccos (10 ) A B C C B A cos    4