6琴、
科展指導經驗分享
陳宏仁數學教師
。臺北市立南湖高級中學 對於科展，我們常常會聽到一些說法， 例如，-科展一定要做得很難才會得獎」 「科展是數理資優班學生的專利，尤其是數 學科展」、「科展都是老師自己在做，最後 才來教會學生的 J ...等。對於這些說法其 實不然，就筆者而言，本身就有多年指導學 生進行科展活動的經驗，而且這些學生也都 不是數理資優班的學生，但他們在全國科展 會場上同樣也能嶄露頭角。然而，在指導的 過程中雖是艱辛與漫長，但常常也會有讓人 意想不到的發現及成果，在此願與大家做一 分享。分享 1 :簡介目前國內中
小學科展活動現況
目前國內中小學科展活動的進行主要有 兩條路線:第一條路線是從學校科學展覽會 (簡稱「校內科展 J '是由各中、小學校分 別舉辦) ，之後經各地方科學展覽會(縣市科 學展覽會、省分區科學展覽會及直轄市科學 展覽會) (簡稱「地方科展 J '分別是由各縣 市政府、教育部(中部辦公室)及直轄市政 府教育局主辦) ，最後到中華民國科學展覽會 (簡稱「全國科展 J '是由國立臺灣科學教 育館主辦) ;而第二條路線為直接由國立臺 灣科學教育館所主辦的臺灣國際科學展覽會 (簡稱「臺灣國際科展 J ) ，如圖 1 0 而表 l 為我們在全國科展作品中，整理 出第 14~51 屆數學科歷屆作品件數表。 科展活動校叫|→|地方叫→|全國科展|
臺灣國際科展 圖 l 圍內科展活動的兩條路線 重 22 中等教育第 63 卷第 4 期科展指導經驗分享 表 l 全國科展中數學科歷屆作品件數表(1 4--51 屆) 屆別
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
作品數9
6
16
6
18
11
13
15
18
22
屆別24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
作品數17
17
12
14
15
12
13
15
14
11
屆別34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
作品數13
12
.14
13
14
13
15
14
42
47
屆別44
45
46
47
48
49
50
51
合計 作品數61
70
63
68
65
57
53
56
964
註: 1.表 l 中，第 14-41 屆為得獎作品(前三名)、第42-51 屆為所有參賽作品。 2. 國立科教館網頁目前第39屆數學作品名冊缺園、高中部分。 3. 教師組比賽舉辦是第7-25屆。 (資料來源:國立臺灣科學教育館) 另外，對於中小學生目前可以參加各項 成表2 。 「科展研究」相關競賽之活動，我們也整理 表 2 中小學生目前可以參加各項「科展研究」相關競賽之活動一覽表 人數限制 編號 活動名稱 報名資格 主辦單位 指導 學生 老師 地方科展 國高中小 全北市政府教育局1-3
1-2
(如:全北市中小學科展)http://www.edune
t.taipei.gov.tw
2
中華民圈中小學科展 國高中 國立臺灣科學教育館1-3
1-2
http://www.ntsec.gov.tw/
3
全灣國際科展 國高中 國立全灣科學教育館1-3
1-2
http://www.ntsec.gov.tw/
4
全北市中等學校 國高中 臺北市政府教育局1-3
1-2
科學研究獎助計畫http://www.edune
t.taipei.gov.tw
5
青少年科學人才 國高中 國立全灣科學教育館1-3
培育計畫http://www.ntsec.gov.tw/
6 丘成桐中學數學獎 國高中小 國立臺灣大學數學*'http://www.math.ntu.edu.tw/-shinLtungl
7
旺宏科學獎 高中 財團法人旺宏電子教育基金會http://www.mxeduc.org.tw
8 思 j原科技創意大賽 高中 財團法人思源科技教育基金會2-5
1-2
~數學專題http://www.seed.org.tw
6鼓點
分享2: 好的數學科展作
品應具備的條件
老師們常常會問到:到底怎樣的作品可 以稱得上是一件好的數學科展作品呢?對於 這個問題，個人提出好的數學科展作品應具 備以下三個條件: (一)完整性。(二)嚴 謹性。(三)創意性。只要作品能符合以上 三個條件，此作品即為好的數學科展作品。 其中完整性，除了作品內容的完整之外，還 包含了參考資料及工作紀錄的部分。尤其是 工作紀錄，這是現在科展競賽中評審非常注 重的一環，因為它可以呈現出學生研究的過 程及細節，也是評審確認學生參與研究程度 的依據。而嚴謹性部分，這本是科學一﹒直都 很強調的部分，尤其是數學，其中包含了科 學態度及思考程序。最後是創意，性，其包含 了題材、研究方向的選取及解題的過程，這 三部分均可展現出作品的創意程度，這也是 一件好的數學科展作品中最重要的條件。 總之，什麼是寸牛好的數學科展作品 呢?個人認為一件好的數學科展作品應是在 有創意的前提與條件之下，滿足作品的完整 性與嚴謹性，而這樣的作品就會是一件好的 數學科展作品。~力
段能
階學」
導數程
引「課
師施養
教實培
享
分
一般來說，教師在指導學生進行科展 研究之初，只要題目選定、人員到齊，通常 一開始就會直接進入所研究的問題部分 o 但 124 中等教育第 63 卷第 4 期 如此 F 來，如果學生是第一次參與科展研 究，之後常常會發現學生們對於研究環境的 陌生、同儕之間的互動不足、學生的半途而 膺，甚至是教師對於學生研究特質的不熟 悉...等問題。因此對於教師指導學生進行 科展研究，個人不會直接進入「實際研究階 段 J '而是先花上一個月左右的時間來進行 「教師引導階段」。 「教師引導階段 J '在此階段，到底教 師要先引導學生什麼呢?首先，想想看，教 師在學生實際進行研究前，希望師生們能具 備什麼樣的能力呢?沒錯!這些能力就是在 「教師引導階段」中要達成的目標。因此， 在此階段，個人會協助師生達成以下五個目 標: (一)協助學生熟悉科展研究的環境。 (二)協助學生培養數學思考的能力。 (三)協助學生在同儕間建立一定的互動默 契 o (四)協助學生們對於日後研究意願的再確 認。 (五)協助教師能從中熟悉學生的特質 o 這五個目標除了協助學生具有研究的 基本能力之外，同時也協助教師熟悉、學生的 研究特質，這對師生在往後進行實際研究中 幫助很大，因此針對這五個目標，進而實施 「數學能力培養課程」。 「數學能力培養課程」的設計是以遊 戲式數學為題材，在動手玩數學的學習情境 下，透過活動式的進行來呈現一種學習數學 方法的教材單元活動設計。此課程的設計主 要是透過蒐集相關資料改編或自編而定，其發表自己的想法，與同學分享及討論，如此 透過實作、觀察、討論、發表等相互激盪的 方式來學習在往後科展研究的進行過程中較 常會使用到的思考方法。 至於教師部分，在發給學生下次要討論 的問題時，也先將問題的內容講解過，以免 造成學生對於討論的問題產生不清楚或不必 要的誤解。另外，在師生共同討論時，教師 盡可能讓每位同學都能發表對問題思考後的 意見或想法。學生若有解答出來，請他講解 其解答的方法;但學生若沒有解答出來時， 也讓他發表為何沒有解答出來的理由，將問 題拋出而使其他同學也加進來討論。 在此，分別對於前、後期的單元各舉 A 例說明:
2 4 1
4 6 3 4 1
4 5 4 4 4 1 3 2 6
o
5 3 0 4 6 6 0 1
5 5 2 0 0 6 3 3 5
6 5 2 6 0 3 3 5 0
2 6 1
3
0 2 2 2 5
科展指導經驗分享 學習著重在思考方式的培養，共分前、後兩 期:前期的每個單元主要均以某一種數學方 法的學習為主。如:窮舉法、逆向思維、唯 一性、對稱性、奇偶性及不變性...等數學 方法。而後期的每個單元則為較複雜的數學 方法之應用。如:特殊化到一般化的思考過 程、數學模組化的運用、基本型架構複雜 型...等數學方法的應用。教學過程中以問 題呈現、分組討論、質疑辯證以及歸納結論 的方式來進行教學，以利於思考方式培養。 學生部分，我們希望在此課程中，學 生對於教師所提供的問題是先經過一一定時間 的思考後再來與教師及同學們共同討論與發 表，因此教師會利用前一次課程結束的同 時，就將 F 次討論的問題發給學生，讓學生 有充分的時間思考，再於下次上課時讓學生 f 示何吵:前期一「多明諾骨牌」單元02. 多明諾骨牌(
Dominoes)
將兩個單位正方形以邊相連接，然後分別在正方形內標記0·1·2·3·4·
5·6 個點，這就成為多明諾 (Dominoes) 骨牌。全副的多明諾骨牌共有28 丹
〈如右圖〉。請使用這副 28 丹骨牌拼成左圖〈為方便起見，點數用數字代替〉
'同一片骨牌的數字請用筆圈起來。請逐步說明您還的理由。o
~D
D O D
D O D D
DE面 E量 DO
[:]]
DO lL重 DO
DDDL 重 DOD
6為
【教師教學說明】 教#分# 本單元主要是讓學生們學習透過整體性 的思考與系統性的分析，逐步去發現(1.
5)
(以( 1.5)表7TlLiJ.以下同)只出現一次
的唯一性，再由數字排列間的關係來完成此 問題。由於學生在圈選時都必須說明理由， 因此不會讓學生有半點「運氣好」的成分 在，同時也讓學生們瞭解系統性的逐步分析 在數學的學習上是很重要的。 教學過程 (一)題目在前一次上課發給學生，並作問題 說明，同時也請同學先行思考，於下一 次上課時，與同學們共同討論。 (二)等到上課時，先請解答出來的同學發 表，發表時並要求學生說明圈選的理 由，再由全班一起檢視，討論同學們的 解法。 (三)之後，請未解答出問題的同學也發表其 想法。 (四)最後教師總結。f 示何'2) :後期一「大象扭出來」單元
12. 大象扭出來
「大象扭出來」的構造是由一塊板與一個套所組成，板上有七隻可愛的大象，在不被
板套或相鄰的大象所阻擋的情況下，各隻大象可以自由的在原地扭動。透過大象的扭 動，如何將大象一隻隻的扭出來?;LL三''''''.1''~'
J
, |
起始狀態 目的狀態! |
蠅、啊啊lIll!仰和.-:> 自 機 ， 哺 抖 . : J 神 做 學 -』抽泣叫叫岫2晶，沁耐心~叫‘主心 目國
1.七隻大象(即為七個子)從靠近出口處之第一隻開始編號，依序為1.2.3
.4
.5.6
.7
2.
Ei: 第 i 隻大象的頭所朝的方向。10
，E;為出口方向(如目的狀態)3.
Ei=(
..七隻大象的起始狀態為 El=E2=...=E7= 1
II
,E;與出口方向垂直(如起始狀態)4.
a
k :第 k 隻大象的狀態由 l 到 o (或由 O 到 1 )所需扭轉的次數。即大象從 Ek=
1
f ,
J
Ek=O
(或 Ek=O 到 Ek=l )所需拉轉的次數。5.
Sk
:前 k 隻大象的狀態由 l 到 o (或由 O 到 1 )所需扭轉的次數。即大象從 El=E2=...=Ek=1 到 El
=E2=...=Ek=O
(或 El=E2=...=Ek=O 到El=E2=...=Ek=1
)所需扭轉的次數。科展指導經臨分草
匡匣詛
經過實際操作後，當 n=1
.2.3 .4 .5.6 .7時，分別記錄其 an 與凡的結果於下表中:n
an
Sn
2
3
4
5
6
7
國從上表中，仔細觀察，是否能發現一些規律性?
國根據以上的發現，能否推測:若為 n 隻大象時，其規律又為何?
【教師教學說明】 教#分祈 這個單元主要是介紹學生從特殊化到一 般化的思考歷程，透過實際操作後，經由整 理歸納、猜想及證明，最後得到一般化結果 的歸納法訓練。此與之前的單元比較起來， 是較為完整而有結構性。當中透過遊戲的方 式來進行，使學生更能體會到數學並不都是 枯燥無味的，它也有活潑可愛的一面。但因 為考慮到學生均未接觸到數學證明，因此， 將此單元的教學重點擺在實際操作(特殊 化)及發現、推測(猜想)。另外，也讓學生慢 慢學習數學符號的定義及使用上的重要性。 教學過度 (一)題目與「大象」玩具在前一次上課發給 學生，並作問題說明，同時也請學生先 行操弄「大象」玩具，於下一次上課 時，與同學們共同討論。 (二)等到上課時，先讓學生熟悉「大象」的 解法，並請解答出來的同學教導解答不 出來的同學。 (三)等大家都學會了之後，就請學生們完成 學習單上的表格紀錄。 (四)根據完成的表格紀錄來與同學們共同討 論七隻大象的規律性，並推測若為n隻大 象時，其規律性文為何? (五)最後教師總結。 整個課程再配合學生課後筆記的整理、 課程結束後的評量及最後的個別談話，時間 為期一個多月，過程中著重在數學思考的訓眉苦難
練、對研究環境的熟悉及學生的自我肯定， 這都對於學生日後進入「實際研究階段」有 所幫助。分享4: 實際研究階段~
如何確定科展研
究的主題與方肉
這也是很多老師們最感棘手的問題， 沒錯!題目是整件作品的靈魂，若選得好， 作品是吃香的，只要研究能順利完成，幾乎 都會是一件不錯的作品。但如果題目選得不 好，則作品是吃虧的，即使再怎麼做，就是 有所侷限。然而怎樣的題目才算是好題目 呢?在此整理出數學家、多位數學先進及個 人的看法: (一)數學家希爾伯特提出好問題的特徵:
O 開始 清晰性和易懂性。 O 經過 困難但叉給人希望。O 結尾
意義重大。
~t!i N t/tIi!JJIiM毒草磨';1!!，著Mr:g輝撈一 fIlIlIlJt且己的結局居-ffil'1事局I.e iBH局唐的標車J(二)科展各階段應有的特性:
O 圓小組:實驗、探索規律。 O 國中組:連結(寬、廣，不要 深) ，理由陳述。 O 高中組:解決問題。~t!i Iif/.立畫'.MIff大蟬，扭萊賣)<16教授
的清眉會 重 28 中等教育第 63 卷第 4 期(三)什麼是理想的數學科展題目?
O 利用中學生的數學能力及基礎數學 方法即能夠解決問題。 O 若將相同的題目拿給大學生使用大 學數學方法來做，其效果未必顯得 比中學生做得更有創意。 ~t!i Iif/.立清華大學1'1!JJ嘉全任重要骨瘦 rN 倌抖膚的一些點于J(四)一個好的研究主題具有以下的特
色:
O 必須強調科學性。 O 必須重視原創性。 O 必須把握嚴密性。 O 必須符合能力性。 O 必須配合資源性。 O 最好力求實用性。 ~t!i .t/tI'1~ItMtJ!f~;..著Mr揖丹庫中 生1lIfJ!l#.軍事局官力89.按'jlg--r
I'1
W
• •研1tBg.; 89.A官興'MIJf，f!JNlJ 而個人覺得，適合國中、小學生的科展 題材之特性應為具體化、操作化及遊戲化的 問題。因這類的問題較為有趣、不枯燥，學 生們也較能勝任，而且更重要的是這類題材 較容易展現出創意性。不過在過程中切記: 不要為了遊戲而遊戲，既然是數學科展，重 點應該是要利用數學方式來解決問題及找出 問題中的數學特性才是。如此，整件作品才 不會失去數學性。 至於題目要到哪裡找呢?常見的有:坊 間的參考書籍、網路上提供的思考問題、從專題演講中思考子題、從數學課本中提出可 探討的題目、從數學競賽題目中推廣尋求問 題及從日常生活中形成問題。如同表 1 '在 科教館的網站上蒐集很多全國科展作品，這 也是值得老師們找題目參考的好地方。 然而在找尋題目時，不要忘記，可要做 文獻探討才是喔!如:有人做過嗎?你的點 子和文獻有何異同?如何走出文獻的影子? 主要工其、方法和結果是什麼?新嗎?具有 影響力嗎? ...等，這都是值得注意，不然 若真的不小心「撞杉」的話，這可會讓人欲 哭無淚。不過要是真的害怕「撞杉」的話， 個人的作法為將題目研究的方向再做延伸與 推廣，如此不但可以避免「撞杉 J '而且還 可以增加作品的完整性及創意性呢。
分享5: 實際研究階段~
研究歷程之進行
對於整個科展研究中，其歷程是最漫長 也是最艱辛的。以下針對學生及教師部分分 別說明。(一)學生部分:在漫長的過程中，主
要分為三部分來進行
1.探索的過程一特殊化形成猜想或歸納。 對於研究之初，學生常常會想直接研究 一般化的部分，殊不知萬丈高樓皆由平 地起的道理，因此特殊化研究的進行、 觀察與歸納是不可忽略的。f 示何3)
:
I 一個對局遊戲的研究與
推廣 J (取自 46 屆全國科展國中組數
學科) 科展指導經驗分享 原題: 這是一個兩人輪流取數的對局遊戲。 假設遊戲者為甲、乙兩人且甲先玩(即為先 手) ，並遵守下列規則: (1)共有數字 1~5五個數字，兩人必須輪流從 中選一數，但不可重複對方「剛」選的 數。 (2) 將兩人所選的數字累加起來，當累加至一 個給定的正整數N者算贏。 (3) 若動彈不得或故意累加的數超過所給定的 正整數N者算輸。 問:哪些正整數N' 乙方(即後手)有必勝的策 略?並證明你的答案。 研究過程與方法: 對於這個問題，一開始採實際操作，從 N 的最小值開始探討，發現N斗，2 ，3 人5 ，6 '先手贏 ;N勻，後手贏;
N=8
,
9
,
IO
,
II
,
12
'先手
贏;N=13
'後手贏。之後經分析與歸納後才 能得出結論 1:
結論 l (1)設N=7後手勝(後手不一定搶到7) ，若後手 搶不到7' 則必能捨到 13 。 (2) 設N=13 後手勝(後手不一定捨到 6) ，若後 手搶不到6' 則必能搶到 13 。 從以上的〈示例外發現:研究一開始 若沒有一步步的操作與觀察，則是無法發現 與歸納出結論卜由此可看出:特殊化是研 究的開始。 2.數學化的過程--轉成數學問題或數學語 盲。 之前談過，研究的題材若為遊戲問題， 請不要為了遊戲而遊戲，不然作品很容易喪 失數學性。因此，既然是數學科作品，內容獻h
的探討必為數學問題，所以將問題轉成數學 問題或數學語言是必要的。f 示何4) :由「一個對局遊戲的研究
與推廣」的原題，轉成數學問題或數 學語言即為: 在一個兩人輪流取數的對局遊戲中，設前一手拿取的數為丸，下一手拿取的數為X
k
+
1
且 取數範圍為1 ~5 '即 l 三丸，Xk
+J
S;5 (Xk
、 Xk
+J
為
正整數)。若Xk#X
k
+
1
時，且將兩人所選的數字 累加起來，當累加至一個給定的正整數N者 算贏或當有一方故意將累加的數超過所給定 的正整數N者算輸。探討後手有必勝策略的N 值。 3. 驗證與證明一一般化的過程。 對於特殊化歸納出來的情形，學生們往 往會將它當作一般化的結果(事實上只是問 題猜想的形成) ，而忽略了數學證明的重要 性(不過國小作品就不須證明，只需驗證即 可) ，也就是失去了數學的嚴謹性。 f 示何5) :同樣的，由「一個對局遊戲的 研究與推廣」的原題，若從結論 l 中未經證 明而直接歸納出以下的結論2: 結論2 設正整數Nk
為後手第
k@l有必勝策略的數， 則Nk
值為: (1)當k為奇數，則N
k=7+6+7+6+...+7+
k-l
6+7+6+7=13x( 刁一 )+7 (2) 當k為偶數，則N
k=7+6+7+6+...+7
k
+6+7+6+7+6=IME)
即 Nk
的值有如以下的雙等差數列:7
,
13
,
20
,
26
,
33
,...
重 30 中等教育第 63 卷第 4 期 此若為中學作品，雖然結論正確而完 塹，但因無證明就顯得作品不夠嚴謹。 然而，當學生探討完一個小而簡單的 問題之後，應再加以乘勝追擊，可將問題再 做進一步的延伸與推廣，即從小問題推廣到 大問題，由簡單問題延伸至複雜問題，如此 更可以為作品的完成度增加完整性及創意性 呢!f 示何6) :對於「一個對局遊戲的研
究與推廣」的原題，我們可以再進行 以下的延伸與推廣: 1.若將取數範圍由 1~5 改為 1~n '則後手 有必勝策略的 Nfl直是否有規律性? 2. 取數範圍若不從 l 開始， ~P 改為 m~n(1<m<n)
，則後手有必勝策略的N值又 為何? 3. 除了「不可重複對方剛選的數」的條件 之外，若再加上「不可與對方剛選的數 字之和恰為取數範圓的頭尾數字之和 (即m+n) J 的條件，後于叉如何勝出 呢? 總之，在整個漫長的研究歷程中，處處 充滿挑戰、創新與鷺奇，因此學生們需要很 有耐心的去面對，但別忘了，過程中應建立 工作紀錄喔!(二)教師部分
在漫長的研究歷程中，教師盡量站在一 個協助與催化者的角色，其主要工作如:協 助研究進度的掌控、協助研究方向的指引與 修正、協助學生的分組、協助課外知識的補充及提供學生諮詢與討論。另外，學生們在 過程中難免會對於其他的學習產生影響(如 影響課業、與其他同學的互動...等) ，進 而陷入「不知為何而做」的迷失，此時教師 對學生們的心理建設就顯得格外重要。 總之，科展作品的研究過程簡單來說即 為:由小到大;由簡單到複雜;由特殊化到 一般化。
