位移、速度與加速度

(1)

一、位置向量二、位移與路徑長三、速度與速率四、加速度五、切線加速度與法線加速度 範例 1

(2)

一、位置向量

要指定要指定質點在平面上的位置，利用直角坐標系是一個常用且方便的方法。如右圖所示，在質點運動的平面上，取一適當的位置為參考點，作為直角坐 標系 x 與 y 的原點 O ，其坐標為 (0,0) ，若平面上任一點 P ，其在 x 軸上的坐標為 x ，在 y 軸上的坐 標為 y ，則 P 點位置表為 (x,y) 或 P(x,y) 。

1. 位置的直角坐標表示法

(3)

2. 位置向量

(1) 右圖中 P 點的位置向量常 簡記為　 _{，此處 x} 與 y 分別稱為的 x 分量 與 y 分量。 ( , ) xi yj x r r      y   ， (2) 向量的大小（量值）： r  r x2  y2

(4)

(3) 位置向量的方向，可以用方向角 θ 表示：

sin

cos

tan

( cos , sin )

y

x

y

r

x

r





_





 





，

(5)

二、位移與路徑長

1. 位移

在右圖中，當質點由 平面上 A 點移到 B 點 時，其位置改變量　　，稱為質點的位移。 r  (1) AB x y r x y     ，，，，，，，，，，，，，   ，，，，，，，，，，，，，rB  rA      r xi y j ， (2) r  ，，，，，，，，( )x 2  ( y)2

(6)

2. 路徑長

1 路徑 2 路徑

A

B

y

x

在直線運動的討論中，曾定義質點運動的路線稱為路徑，而運動路徑的總長度稱為路徑長，這種定義是一般性的，並不限於直線運動，在平面上或空間中的任何運動，也都一體適用。例如在右圖中，質點可沿不同路徑由 A 至 B 點，但兩種路徑的位移相同，均為



_AB

(7)

三、速度與速率

y

x

O

)

(

x

₁

y

₁

A

，



B

r

A

r

_

_r



如右圖，設質點在 t₁ 時 刻由位置 A (x₁ ， y₁) 沿曲線開始移動，於 t₂ 時移動至 B (x₂ ， y₂) 點。 2 2

(

)

B x y

，

(8)

速度速率時距較長時 av 2 1 A B r r v t t    平均速度    av v t    平均速率  r t     x y i j t t         avx avy v i v j    

(9)

速度速率時距極短時 2 1 2 1 lim B A t t r r v t t     瞬時速度    0 lim t v t      瞬時速率  ※ 瞬時速度方向為質點運動軌跡在該點的切線方向上。 ※ 瞬時速率等於瞬時速度的量值。 0 lim t r t       0 0 (lim ) (lim ) t t x y i j t t             dx dy i j dt dt      v i_x  v j_y  2 2 x y v  v  v 瞬時速度大小為： ※

(10)

四、加速度

2

v

1



v

(a) (b)

y

x

O

)

(

x

₂

y

₂

B

，

)

(

x

₁

y

₁

A

，

(11)

如下圖，當 t₁ 時刻時，質點在位置 A(x₁,y₁) 、 速度　；而在 t_v₁ ₂ 時運動至位置 B(x₂,y₂) 、速度　。 _v₂

(12)

平均加速度 ( 時距較長 ) 2 1 2 1

v

a

t









v

t









y x

v

i

j

t











avx avy

a i

a j









(13)

瞬時加速度 ( 時距極短 ) 2 1 2 1 2 1

lim

t t

v

a

t











2 2 x y a  a  a 瞬時加速度大小為： ※ 0

lim

t

v

t

 









0 0

(lim

x

)

(lim

y

)

t t

v

i

j

t

   











y x

dv

i

j

dt











a i

_x





a j

_y



(14)

五、切線加速度與法線加速度

1. 如右圖所示，質點作曲線運動時，可將質點的加速度分解為切線與法線上的分量。其中切線 方向上的加速度 a_T 稱為切線加速度或 N

a

T

a



切線法線運動路徑

v

切向加速度_{，法線方向上的加速度 a}_N 稱為法線加速度或法向加速度。

(15)

2. 在右圖中與速度的夾角， a v θ __________ __________ T N a a     _  cos a  sin a  2 2 tan _________ T N N T a a a a a               加速度的大小加速度的方向：： 1 tan N T a a 

(16)

【註】若 xtanθ ，則 θtan1_{x 〔讀作 arc tangent x 〕} ，稱為反正切。同理，若 x=sinθ ，則 θsin1_x ，稱為反正弦，若 xcosθ ，則 θcos1_{x ，稱為} 反餘弦。 3. 切向加速度會改變質點速度的大小，若切向加速度與速度同方向，會使運動的速率愈來愈快；若加速度與速度反方向，會使運動的速率愈來愈慢。 4. 法向加速度會改變質點的速度的方向（第 4 章和第 5 章會有更詳細的討論）。

(17)

運動狀態的觀念整理 (1) 質點作等速度運動時，代表其速度的量值及方向都沒有改變，此時受的合力必為零。 (2) 質點作等速率運動時，只代表其速度的量值不變，僅可確定其在軌跡的切線方向上所受合力為零，但在法線方向上的合力是否為零則不得而知。【註】若有進一步條件時，則可推知： (1) 若為直線運動，則法線方向上所受合力為零。 (2) 若作等速率圓周運動，則法線方向上所受合

(18)

(3) 質點的軌跡若為直線時，一定沒有法向加速度；若軌跡為直線且作等速率運動時，一定沒有切向加速度。

(19)

範例1

1

平面運動有一時鐘，秒針長 10 公分，則由 15 秒到 30 秒時間內，秒針針尖： (1) 位移的大小為＿＿＿＿公分。 (2) 平均速度的大小為＿＿＿＿公分 / 秒。 (3) 平均速率為＿＿＿公分 / 秒。 (4) 平均加速度的大小為＿＿＿＿公分 / 秒 2 。

(20)

1. 依題意繪出秒針運動的情形，如圖 (a) 所示。 2. 速度變化量如圖 (b) 所示 v 2v 1

v

2

v





45

(b) 1

v

 45  45 2

v

cm 10 cm 10 (a)



45 r



(21)

解 (1)位移  r 10 2(cm) ↙ 。 (2) 10 2 2 2 (cm/s) 15 3 r v t      平均速度   。 2 10 (3) 5 4 4   _   圓周長   路徑長  5 (cm/s) 15 3 v t         平均速率 

(22)

2 (4) 2 2 (cm/s) 3 3 v v        2 2 2 3 _{(cm/s )} 15 45 v a t         平均加速度的大小   。

(23)