位移、速度與加速度

一、位置向量 二、位移與路徑長 三、速度與速率 四、加速度 五、切線加速度與法線加速度 範例 1

一、位置向量

要指定要指定質點在平面上 的位置，利用直角坐標系是一個 常用且方便的方法。如右圖所示 ，在質點運動的平面上，取一適 當的位置為參考點，作為直角坐 標系 x 與 y 的原點 O ，其坐標為 (0,0) ，若平面上任一點 P ，其在 x 軸上的坐標為 x ，在 y 軸上的坐 標為 y ，則 P 點位置表為 (x,y) 或 P(x,y) 。

1. 位置的直角坐標表示法

2. 位置向量

(1) 右圖中 P 點的位置向量常 簡記為 　 _{，此處 x} 與 y 分別稱為的 x 分量 與 y 分量。 ( , ) xi yj x r r      y   ， (2) 向量的大小（量值）： r  r x2  y2

(3) 位置向量的方向，可 以用方向角 θ 表示：

sin

cos

tan

( cos , sin )

y

x

y

r

r

x

r

r

r













_

_

_





 





，

，

二、位移與路徑長

1. 位移

在右圖中，當質點由 平面上 A 點移到 B 點 時，其位置改變量　　， 稱為質點的位移。 r  (1) AB x y r x y     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，rB  rA      r xi y j ， (2) r  ，，，，，，，，( )x 2  ( y)2

2. 路徑長

1 路徑 2 路徑

A

B

y

x

在直線運動的討論中 ，曾定義質點運動的 路線稱為路徑，而運 動路徑的總長度稱為 路徑長，這種定義是 一般性的，並不 限於直線運動，在平面上或空間中的任何運動，也 都一體適用。例如在右圖中，質點可沿不同路徑由 A 至 B 點，但兩種路徑的位移相同，均為



_AB

三、速度與速率

y

x

O

)

(

x

₁

y

₁

A

，



B

r

A

r

_

_r



如右圖，設質點在 t₁ 時 刻由位置 A (x₁ ， y₁)  沿曲線開始移動，於 t₂ 時移動至 B (x₂ ， y₂)  點 。 2 2

(

)

B x y

，

速度 速率 時 距 較 長 時 av 2 1 A B r r v t t    平均速度    av v t    平均速率  r t     x y i j t t         avx avy v i v j    

速度 速率 時 距 極 短 時 2 1 2 1 lim B A t t r r v t t     瞬時速度    0 lim t v t      瞬時速率  ※ 瞬時速度方向為質點運動軌 跡在該點的切線方向上。 ※ 瞬時速率 等於瞬時 速度的量 值。 0 lim t r t       0 0 (lim ) (lim ) t t x y i j t t             dx dy i j dt dt      v i_x  v j_y  2 2 x y v  v  v 瞬時速度大小為： ※

四、加速度

2

v

v

1



v

(a) (b)

y

x

O

)

(

x

₂

y

₂

B

，

)

(

x

₁

y

₁

A

，

如下圖，當 t₁  時刻時，質點在位置 A(x₁,y₁) 、 速度　；而在 t_v_{1 2}  時運動至位置 B(x₂,y₂) 、速度　。 _v₂

平均加速度 ( 時距較長 ) 2 1 2 1

v

v

a

t

t













v

t









y x

v

v

i

j

t

t

















avx avy

a i

a j









瞬時加速度 ( 時距極短 ) 2 1 2 1 2 1

lim

t t

v

v

a

t

t















2 2 x y a  a  a 瞬時加速度大小為： ※ 0

lim

t

v

t

 









0 0

(lim

x

)

(lim

y

)

t t

v

v

i

j

t

t

   

















y x

dv

dv

i

j

dt

dt











a i

_x





a j

_y



五、切線加速度與法線加速度

1. 如右圖所示，質點 作曲線運動時，可 將質點的加速度分 解為切線與法線上 的分量。其中切線 方向上的加速度 a_T 稱為切線加速度或 N

a

T

a

a



切線 法線 運動路徑

v

切向加速度_{，法線方向上的加速度 aN} 稱為法線 加速度或法向加速度。

2. 在右圖中與速度的夾角， a v θ __________ __________ T N a a     _  cos a  sin a  2 2 tan _________ T N N T a a a a a               加速度的大小 加速度的方向： ： 1 tan N T a a 

【註】若 xtanθ ，則 θtan1_{x 〔讀作 arc tangent x 〕} ，稱為反正切。同理，若 x=sinθ ，則 θsin1_x ，稱為反正弦，若 xcosθ ，則 θcos1_{x ，稱為} 反餘弦。 3. 切向加速度會改變質點速度的大小，若切向加速度 與速度同方向，會使運動的速率愈來愈快；若加速 度與速度反方向，會使運動的速率愈來愈慢。 4. 法向加速度會改變質點的速度的方向（第 4 章和第 5 章會有更詳細的討論）。

運動狀態的觀念整理 (1) 質點作等速度運動時，代表其速度的量值及方向 都沒有改變，此時受的合力必為零。 (2) 質點作等速率運動時，只代表其速度的量值不變 ，僅可確定其在軌跡的切線方向上所受合力為零 ，但在法線方向上的合力是否為零則不得而知。 【註】若有進一步條件時，則可推知：   (1) 若為直線運動，則法線方向上所受合力為零 。   (2) 若作等速率圓周運動，則法線方向上所受合

(3) 質點的軌跡若為直線時，一定沒有法向加速度 ；若軌跡為直線且作等速率運動時，一定沒有切 向加速度。

範例1

1

平面運動 有一時鐘，秒針長 10  公分，則由 15  秒到 30  秒時間內，秒針針尖： (1) 位移的大小為＿＿＿＿公分。 (2) 平均速度的大小為＿＿＿＿公分 / 秒。 (3) 平均速率為＿＿＿公分 / 秒。 (4) 平均加速度的大小為＿＿＿＿公分 / 秒 2 。

1. 依題意繪出秒針運動的情形，如圖 (a) 所示。 2. 速度變化量如圖 (b) 所示 v 2v 1

v

2

v

v





45

(b) 1

v

 45  45 2

v

cm 10 cm 10 (a)



45

r



解 (1)位移  r 10 2(cm)     ↙ 。 (2) 10 2 2 2 (cm/s)   15 3 r v t      平均速度   。 2 10 (3) 5 4 4   _   圓周長   路徑長  5 (cm/s) 15 3 v t         平均速率 

2 (4) 2 2 (cm/s) 3 3 v v        2 2 2 3 _{(cm/s )}  15 45 v a t         平均加速度的大小   。