以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用─以國小數學領域五年級能力指標幾何為例

全文

(1)國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育學系在職進修教學碩士學位班碩士學位論文. 指導教授：郭伯臣博士. 以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用 —以國小數學領域五年級能力指標幾何為例. 研究生：林杰炘撰. 中華民國九十五年六月.

(2) 中文摘要本研究旨在建立一套以國小五年級數學領域「幾何」能力指標為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知識結構之電腦補救教學動畫系統，除了診斷出學生能力指標的學習成效外，還可以讓學生進行自我學習，以此模式反覆練習達臻嫻熟之境地。本研究首先分析課程內容，建立能力指標知識結構，並依此結構命題，然後進行紙筆診斷測驗，並於完成後，再依據試題順序理論和語意結構理論，建立電腦適性診斷測驗施測流程，進行電腦適性診斷測驗及評估電腦補救教學之成效。本研究發現： (1)適性測驗施測的平均施測題數是 45.4 題，平均可以節省 10.6 題。. (2)經過電腦化補救教學後，學生的平均分數有進步，達到顯著差異。所以，本研究所提出之適性診斷測驗和補救教學系統，確實可達到「因材施測」與「因材施教」的效果。. 關鍵字：幾何、電腦適性診斷測驗、補救教學、試題順序理論、語意結構理論. i.

(3) Abstract. This study aims to establish a system which can facilitate Mathematics instruction at elementary schools. This system is composed of Computerized Adaptive Diagnostic Test system and adaptive remedial instruction system. The former is based on the structure of competence indicators of Geometry in Nine-Year Compulsory Curriculum, and the latter is on experts' knowledge structure. After students taking the test, the unpracticed competence indicators were diagnosed individually, and those correspondent remedial instruction Flash animators were presented to facilitate their learning. The focus of this study is on the competence indicators of "Geometry" of grade 5 in Nine-Year Compulsory Curriculum. After analyzing the contents of textbooks, the structures of competence indicators were constructed, and items were designed according them. Ordering theory and semantic structure analysis are used to decide the students' knowledge structure and those parameters used in the item bank for Computerized Adaptive Diagnostic Test system. Findings of this research are briefly outlined as follows: 1. The number of items tested by individuals in the Computerized Adaptive Diagnostic Test system is 45.4 averagely. This system can save 10.6 items averagely, and the test-taking time is also reduced simultaneously. 2. The progress of students is significant after the adaptive remedial instruction. Therefore, the two systems ─ Computerized Adaptive Diagnostic Test system and adaptive remedial instruction system, proposed in this research can promote significant effect on testing students’ individual ability and meeting students’ individual needs.. Keywords: geometry, computerized adaptive diagnostic test, remedial instruction, ordering theory, semantic structure.. ii.

(4) 目第一章. 錄. 緒論 ……………………………………………………………1. 第一節研究動機 …………………………………………………1 第二節研究目的 …………………………………………………4 第三節名詞定義 …………………………………………………4 第四節研究限制 …………………………………………………5 第二章文獻探討 ………………………………………………………6 第一節九年一貫數學領域幾何數學概念 ………………………6 第二節數學能力指標試題化……………………………………18 第三節以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗……………21 第四節多點記分試題順序結構理論……………………………27 第三章研究方法與步驟………………………………………………30 第一節研究流程…………………………………………………30 第二節研究對象…………………………………………………32 第三節研究方法…………………………………………………32 第四節研究工具…………………………………………………35 第五節資料處理與分析…………………………………………38 第四章研究結果………………………………………………………39. iii.

(5) 第一節電腦適性診斷測驗題庫之建置…………………………39 第二節電腦適性診斷測驗………………………………………47 第三節補救教學之成效…………………………………………53 第四節學生在幾何能力指標方面的學習成效…………………59 第五章結論與建議……………………………………………………62 第一節結論………………………………………………………62 第二節建議………………………………………………………63 參考文獻………………………………………………………………………64 附錄一：數學領域五年級幾何診斷測驗試題………………………………67 附錄二：補救教學腳本………………………………………………………88 附錄三：專家名冊……………………………………………………………110. iv.

(6) 圖目錄圖 2-1 ：專家知識結構………………………………………………………25 圖 2-2 ：電腦化適性診斷測驗及適性補救教學系統進行流程……………26 圖 2-3 ：指標間結構（多點記分結構）與指標內結構（二元記分結構）29 圖 3-1 ：研究流程圖…………………………………………………………31 圖 3-2 ：能力指標試題化流程圖……………………………………………33 圖 4-1 ：能力指標 5-s-01 專家知識結構圖…………………………………39 圖 4-2 ：能力指標 5-s-02 專家知識結構圖…………………………………40 圖 4-3 ：能力指標 5-s-03 專家知識結構圖…………………………………40 圖 4-4 ：能力指標 5-s-04 專家知識結構圖…………………………………40 圖 4-5 ：能力指標 5-s-05 專家知識結構圖…………………………………41 圖 4-6 ：能力指標 5-s-06 專家知識結構圖…………………………………41 圖 4-7 ：能力指標 5-s-07 專家知識結構圖…………………………………42 圖 4-8 ：能力指標 5-s-08 專家知識結構圖…………………………………42 圖 4-9 ：能力指標 5-s-01 學生知識結構圖…………………………………47 圖 4-10：能力指標 5-s-02 學生知識結構圖…………………………………47 圖 4-11：能力指標 5-s-03 學生知識結構圖…………………………………48 圖 4-12：能力指標 5-s-04 學生知識結構圖…………………………………48. v.

(7) 圖 4-13：能力指標 5-s-05 學生知識結構圖…………………………………49 圖 4-14：能力指標 5-s-06 學生知識結構圖…………………………………50 圖 4-15：能力指標 5-s-07 學生知識結構圖…………………………………50 圖 4-16：能力指標 5-s-08 學生知識結構圖…………………………………51 圖 4-17：幾何能力指標間之結構…………………………… ………………52 圖 4-18：能力指標 5s03-1 畫面一……………………………………………54 圖 4-19：能力指標 5s03-1 畫面二……………………………………………54 圖 4-20：能力指標 5s03-1 畫面三……………………………………………55 圖 4-21：能力指標 5s03-1 畫面四……………………………………………55 圖 4-22：能力指標 5s03-1 畫面五……………………………………………56 圖 4-23：能力指標 5s03-1 畫面六……………………………………………56. vi.

(8) 表目錄表 2-1 ：九年一貫數學領域五年級幾何能力指標…………………………10 表 2-2 ：九年一貫數學領域五年級幾何課程內涵之學習架構……………14 表 2-3 ：新修訂 Bloom 認知領域分類………………………………………19 表 2-4 ：試題 A、B 次數分配表………………………………………………23 表 2-5 ：試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率………………………………24 表 4-1 ：試題分析表…………………………………………………………43 表 4-2 ：幾何能力指標學習成效……………………………………………46 表 4-3 ：指標間順序性係數矩陣……………………………………………51 表 4-4 ：指標間順序性矩陣…………………………………………………52 表 4-5 ：電腦適性診斷測驗成績……………………………………………53 表 4-6 ：補救教學適性前測、後測成對樣本檢定表………………………57 表 4-7 ：高分組前、後測成績成對樣本檢定表……………………………57 表 4-8 ：中分組前、後測成績成對樣本檢定表……………………………58 表 4-9 ：低分組前、後測成績成對樣本檢定表……………………………58 表 4-10：能力指標通過率成對樣本檢定表…………………………………59 表 4-11：部分學生作答記錄表………………………………………………61. vii.

(9) 第一章. 緒論. 本研究目的在開發適合九年一貫能力指標的電腦適性診斷測驗與補救教學系統。本章共分四節，茲分述如下。. 第一節. 研究動機. 身為一位教師，在教學過程中，總免不了要以測驗或評量來獲知學生的學習成就和學習困難，來進行補教教學。如何讓教師能夠有效且快速的將學生的迷失概念找出來，即時的補救，避免錯過學習的關鍵期是一重要課題。九十二年教育部明確訂定出各學習領域的正式課程綱要，各出版社、公司根據課程綱要編輯教科書，每個領域均有多種版本，且每本教科書又存有差異，因此，教師便需花費許多時間分析課程內容、準備銜接教材，深怕學生漏學了某些正式綱要中應具備的數學能力。如何瞭解學生在接受了九年一貫課程後，具備了數學能力？只能求助於教學測驗和評量。補救教學即是實踐「把每一位學生都帶上來」的教育改革理念。學生在學習上遇到了學習困難，教師應透過各種學習評量與診斷方法，瞭解學生學習困難的原因，決定其補救教學的策略，幫助學生學習。而目前的電腦與網路技術，正可幫助教師在有限的時間與人力之下，達到這樣的理想。張幼賢（2004）的國科會專題研究「幾何量的表徵」，指出國小學生在做長方體與正方體體積計算時，大部分的學生都能使用公式，但有少數學生對長方體與正方體的體積公式之意涵並不了解，圖形與文字敘述並呈時，學生通常會忽略文字敘述，而被圖形所主宰。朱莉文（2004）在「國小五年級學童平面圖形學習表現之研究」中指出三分之一的學生容易忽略圖形的封閉性與角的特徵，當對稱軸是水平或傾斜方向時學生辨認線對稱圖形較為困難，不少學生缺乏判斷對稱軸兩邊圖形是否全等的認知，不熟悉利用兩個或三個三角形拼湊成指定的四邊形，. 1.

(10) 觀察三角形內角和的操作方式與圓周長和直徑倍數關係的操作。有不少研究指出形的教學雖然表面上成功，但實際上只是學生強行記憶了許多抽象公式，並未建立正確的幾何概念，致使學生的幾何錯誤概念普遍存在，阻礙了未來推理幾何的學習（林軍治，1992；譚寧君，1998)。因此，為實現把每一個學生都帶上來的教育理想，對學生進行補救教學刻不容緩。電腦化適性測驗具有題庫易於編修與管理、施測介面可具聲光效果，較接近真實情境、即時閱卷，立即提供老師及學生施測結果等優勢，測驗時可以依據每位學生不同作答狀態，給予不同試題數及試題序，能節省施測題數、縮短測驗時間，符合「因材施測」的原則。（郭伯臣，2004）一般而言，電腦化適性測驗（computerized adaptive testing，簡稱 CAT）可分為二大類：一類是以試題反應理論（item response theory, IRT）為基礎 (Wainer, 2000)，另一類則是以知識或試題結構為基礎（Brown & Burton, 1978; Wenger, 1987;VanLehn, 1988; Appleby, Samuels, Treasure -Jones, 1997; Chang, Liu & Chen, 1998)。以試題反應理論為基礎的電腦化適性測驗，施測後，受試者成績為一「能力值」(ability) 或「量尺分數」(scale score)，較適合用於教育資源分配情境，例如：基本學力測驗、大學入學測驗等。若使用該分數來診斷學生錯誤概念，並不十分恰當，因為學生的錯誤類型相對於量尺分數並不具順序性或呈現線性排列，即並非所有學生皆會隨著分數增加，先出現錯誤類型 1，而後出現錯誤類型 2，因此很難將錯誤類型與分數進行對應；此外，兩個具有同一分數的人，其錯誤概念未必相同，故使用以 IRT 為基礎的電腦適性測驗來進行學習診斷，所提供的訊息並不適用於錯誤類型診斷。數學領域是屬於比較有系統性、邏輯性的知識內容，適合分析其知識結構 (陳怡如 & 陳雁芳，2004) 。郭伯臣（2003，2004）的國科會專題研究「國小數學科電腦化適性診斷測驗（I）（II），主要目的在嘗試建立以知識及試題結構為基礎，發展具有診斷學生錯誤概念的電腦化適性測驗，此一適性測驗系統異於其它電腦測驗系統之處為：. 2.

(11) 一、根據學生學習後之知識（試題）結構設計適性施測流程，可依不同受試者的作答情形而給予適當的試題，藉此節省大量的試題、縮短測驗時間，並可對學生的剖面圖得到精確的估計。二、根據學生的作答情形診斷出學生在數學科學習上的困難問題，對學生進行有利於電腦補救教學之分類，並即時進行補救教學。李介勛（2005）在「以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用─以國小數學領域三年級能力指標幾何為例」中指出國小三年級學生在幾何能力的電腦適性測驗有節省試題的效果，經過電腦動畫補救教學後，學生的平均分數有很大的進步，達到顯著差異，但因限於時間與能力有限，希望未來可建立數學領域一至九年級能力指標題庫，擴大應用層面，增加系統的實用性。因此，研究者擬根據九年一貫課程的「五年級幾何」能力指標建立題庫及電腦輔助教學（Computer-Assisted Instruction; CAI)，使用郭伯臣教授所建置的電腦化適性測驗系統，以評估學生的學習成就，並根據測驗結果，診斷學生之學習困難，以進行補救教學。. 3.

(12) 第二節. 研究目的. 基於上述研究動機，本研究的主要目的有下列四點：一、建置五年級數學領域幾何能力指標的電腦化適性測驗及適性補救教學模組。二、驗證電腦適性診斷測驗是否能達成節省施測題數與達到預定之預測精準度。三、檢驗電腦適性補救教學是否具有成效。四、使用所建立的電腦適性測驗評估國小五年級學生在幾何能力指標方面的學習成效。. 第三節. 名詞定義. 本研究的主要目的在於建立一套以國小五年級數學領域「幾何」能力指標為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知識結構之電腦補救教學動畫系統，診斷出學生能力指標的學習成效，及評估電腦補救教學之成效，為了便於討論及分析，故使用一些專有名詞，在此特予以界定以免產生混淆，茲說明如下：. 一、專家知識結構專家知識結構是由學科專家根據學理以及經驗，分析施測範圍內所需具備的概念，再根據學生的學習歷程、概念發展順序及其概念間上下位關係整理而成的結構關係。. 二、電腦化適性診斷測驗本研究所指的電腦化適性診斷測驗（Computerized Adaptive Diagnostic Testing）是以知識結構為基礎的電腦適性測驗，與傳統電腦化測驗有很大的不同。首先進行施測時，它是選取最上位概念的題目予以作答，若受試者作答正確，則預測其通曉下位概念。若受試者答錯，則下一題將選取其答錯題目的下位概念. 4.

(13) 的題目。透過這樣的選題方式，快速而精確的進行適性診斷，找出學生的學習困難，進行補救教學。三、電腦適性補救教學補救教學是指當學生學習遇到問題時，依其個別需求，施予適當的課業輔導，以彌補正規教學之不足。在電腦的環境下，利用聲光影音等的活潑互動方式，輔助使用者在特定領域上進行學習，謂之電腦輔助教學（Computer-Assisted Instruction;CAI）。本研究中，結合補救教學及電腦輔助教學成為電腦化補救教學。. 第四節. 研究限制. 一、研究範圍：數學領域五年級能力指標分為數與量、幾何、代數與統計，共計 35 個指標，因範圍太大，因此共有 5 位研究者共同完成，本研究範圍只限於幾何。. 二、研究樣本：本研究為考慮試卷蒐集及電腦施測的完整性和便利性，紙筆測驗的研究對象直接由研究團隊服務的學校，選取 11 班為研究樣本；電腦施測研究對象由研究者服務的學校（雲林縣）和鄰近的學校，選取六班為研究樣本。由於研究對象的限制，因此研究結果不宜做過度的推論。. 三、研究工具：為了使電腦閱卷計分正確和快速，紙筆測驗試題和電腦施測試題採選擇題的方式出題。時間因素，因此電腦適性診斷測驗需要求受試者於五年級能力指標學習完後，進行施測，否則即失去其研究意義。. 5.

(14) 第二章. 文獻探討. 本研究的主要目的在於建立一套以國小五年級數學領域「幾何」能力指標為評量內容的電腦適性診斷測驗系統，同時輔以專家知識結構之電腦補救教學動畫系統，診斷出學生能力指標的學習成效，及評估電腦補救教學之成效。本章針對研究主題，將探討：第一節說明九年一貫數學領域幾何概念，第二節說明數學能力指標如何試題化，第三節闡述以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗，第四節闡述多點記分試題順序結構理論。. 第一節. 九年一貫數學領域幾何概念. 本節將針對學生的幾何圖形概念、五年級幾何能力指標的說明、九年一貫數學能力指標的詮釋、與幾何迷思概念的相關研究進行探討，以對本研究設計試題與補教教材有所幫助。. 壹、幾何圖形概念幾何的學習，應從學生生活經驗中所熟悉的形體入手，藉由本身的知覺，經過察覺、辨識、操作、實測、發現形體的組成要素及其形體之間的關係，進而能確定空間的基本概念，掌握基本性質進行簡單的推理。此部份將探討 van Hiele 的幾何思考層次，以及 Duval 的幾何學習發展理論。. 一、van Hiele 的幾何思考層次國小數學教科書的各個版本大都以荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦的幾何思考層次理論為依據，來設計幾何方面的教材。以下為五個幾何思考層次的內容（van Hiele, 1986）：. 6.

(15) (一)層次一：視覺的層次（visual) 屬於此層次的學生藉著視覺觀察圖形的外形輪廓來辨認圖形，如：像門的形狀為長方形，像太陽的形狀為圓形。並能依據圖形的外貌確認、命名、比較及操作圖形，但不了解這些幾何語言的真正意義。此階段學童可以分辨、稱呼、比較及橾弄幾何圖形。透過視覺來觀察幾何形體，以具體物的整體輪廓來辨認圖形，因此，這階段的學童宜多安排知覺感官操作的幾何活動，讓兒童透過視覺進行實際的操作，如：圖形分類、造形、堆疊、描繪、著色、堆積，來獲得幾何圖形的正確概念。 (二)層次二：描述的層次（descriptive) 屬於此層次的學生具備辨別圖形特性的能力，透過實際驗證及觀察的方法，分析幾何圖形的組成要素及圖形的性質，也利用視覺來觀察組成幾何圖形的基本構成要素與幾何圖形之間的關係，試圖分析幾何概念，但無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。例如：會知道三角形有三個角和三個邊，卻無法解釋內角大所對的邊就越長。此階段的學童可以從圖形的構成要素，以及構成要素之間的關係分析圖形，學生藉由構成要素的名稱和構成要素之間的關係來分析圖形。依其幾何經驗建立圖形所具有之特性，並且運用圖形之特性來解決幾何問題。此階段的學童，雖然發現圖形的共有性質也能描述圖形的定義，但不易精簡描述過程，教學上宜安排一些製作及檢驗的活動來獲得幾何圖形的性質。 (三)層次三：理論的層次（theoretical）屬於此層次的學生了解構成各種圖形的要素，並根據圖形的性質及構成要素，進一步形成抽象的定義，探索各種幾何圖形的內在屬性，以及瞭解圖形之間的包含關係。例如：包含關係，正三角形是等腰三角形的一種，正方形是長方形的一種。可以透過非正式地論證，有邏輯地去分析幾何性質與先前學到的幾何性質作連結。也能更進一步探索幾何圖形內在性質關係及各幾何圖形間的包含關係，如：平行四邊形是四邊形兩雙對邊相等，而不必將所有平行四邊形的性質均 7.

(16) 描述出來。在了解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；可以知道 n 邊多邊形的內角和為（n 一 2）×180 度等概念。 (四)層次四：形式邏輯的層次（formal logic）屬於此層次的學生能夠經由抽象的幾何思考推理過程，來證明各種幾何的問題。能夠了解推論的重要性，並了解到幾何定理有不同的方式證明，也能了解其充分或必要條件的內在關係。可以理解一個幾何定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性，例如：正方形四邊等長，但四邊等長不一定是正方形。不必靠記憶公式來証明幾何問題，用演繹邏輯證明定理，也了解不同的幾何系統，如：歐氏幾何和非歐幾何。進而可以在一個公設系統中建立幾何理論。 (五)層次五：邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws) 這個層次是最高的層次，達到此層次能夠了解公設化系統的意義，能夠在不同的公設體系中建立定理，並且分析或比較不同公設系統，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。根據 van Hiele 研究顯示，上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層次的各項概念與策略後，才能有效地進行下一個層次的教學活動。同時，由於教材內容屬性的差異，也會影響學習者落入不同層次中。國小低年級學生大多在層次一的視覺期，故其對幾何圖形的了解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，始能循序漸進的達到較高層次。中年級學生大約可以達到層次二，高年級學生大約在層次二至層次三的過渡時期。. 二、Duval 的幾何學習發展理論近年來，Duval(1995）認為幾何圖形的瞭解可分成知覺性、構圖性、論述性、操弄性四種： (一)知覺性瞭解（perceptual apprehension） 8.

(17) 只要一個圖形被提出，必定喚起知覺性的瞭解，及至少一個其他的瞭解，一個可被察覺的圖形和僅是呈現在視網膜上的圖形，其間最大的差異在於圖形組織的原則，以及圖像所帶給視覺者的暗示，可區分和辨識出圖形中的子圖形（例如：長方形被對角線分割出的兩個直角三角形)，但這些子圖形未必完全建立在原圖形的結構上。 (二)構圖性瞭解（sequential apprehension）當我們在構圖的過程，或是描述該圖形的結構時，必須對圖形做構圖性的瞭解。所謂構圖性瞭解，即是在構圖的過程中，圖形的不同單位元件則會依序的浮現。而構圖性的瞭解主要和繪圖工具（如：尺、圓規）的限制有關，若是因為繪圖工具的侷限而無法表達出圖形性質間的關係，圖形則無法被瞭解。 (三)論述性瞭解（discursive apprehension) 幾何概念必須起源於對圖形的命名和一些假設，單由知覺性的瞭解，並不能使所有人對圖形的幾何性質達到共同的理解。在所有的幾何表徵中，對於其幾何性質的辨認仍然必須建立在敘述上，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形表現了什麼，論述性瞭解可以在知覺性瞭解不變的情況下而改變。 (四)操弄性瞭解（operative apprehension) 當學生觀察一個圖形時，可以透過操弄圖形來得到解題的靈感，而以不同的方式更改圖形之後，得到操弄性的瞭解，而變更圖形的方式則大致分為下列幾種：1.分解組合圖形、2.放大縮小圖形、3.平移旋轉圖形……等，這三種方式可在心靈中操作，也可實際地去變動它，這些操弄可使圖形具有啟發性的功能，故可以在操弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某個證明步驟或解題的靈感。在學習幾何知識來說，Duval(1998）則認為應有三種認知過程，分別是： (一)視覺（visualization）過程對於圖形空間的表徵認知，可能只是單純的表象圖形（線條與形狀的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，也可以是 9.

(18) 根據文字敘述所進行的圖形再現。 (二)構圖（construction) 根據作圖工具對圖形的在製過程，通常這個過程有助於學生去發現圖形中的幾何意義。 (三)推理（reasoning) 進行論說的過程，例如說明、證明等。在幾何認知的教學方面，Duval(1998）則主張： (一)視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨力發展； (二)不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的； (三)三種認知過程的整合只有在這些區分活動趨於成熟後才有可能。解題與論證在數學中是重要的一個核心，學生要什麼樣的經驗才能有較好的圖形論證與解題呢？ Duval(2002）認為一般的幾何教學學生有充分的操弄圖形經驗，學生才有可能發展出圖形論證能力。. 貳、五年級幾何能力指標的說明為了使出題的方向能切合五年級幾何能力指標的內涵，此部份將說明五年級幾何能力指標之內容以及能力指標相關的數學概念。一、根據教育部（2003）所公佈的九年一貫五年級幾何能力指標之內容如表 2-1 所示：表 2-1 九年一貫數學領域五年級幾何能力指標（引自教育部，2003) 分年細. 主題階內. 容. 說. 明. 目編號. 段編號. 5-s-01 能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度。. S-2-03. 5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。. S-2-03. 10.

(19) 表 2-1 (續) 5-s-03 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形。 S-2-03 S-2-05 5-s-04 能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。. S-2-06. 5-s-05 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積 N-2-19 S-2-08. 公式。. 5-s-06 能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立 S-2-01 體形體。. 5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式。. N-2-17 S-2-07. 5-s-08 能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面 S-2-02 的平行與垂直關係。. 二、與五年級幾何能力指標相關的數學概念經整理學者觀點綜述如下（桂台華， 2003；教育部，2003；朱建正，2000）： (一)三角形內角和：三角形的三個內角的和，三角形內角和是 180 度。 (二)三角形任意兩邊和大於第三邊。 (三)圓心角：以圓心為頂點兩半徑為邊所組成的角。 (四)平角：180 度的角稱為平角。 (五)周角：360 度的角稱為周角。 (六)扇形：圓的兩半徑和一弧所圍成的圖形。 (七)線對稱：兩圖形以一直線為鏡射圖形的現象，稱為線對稱。 (八)對稱軸：兩圖形以一直線為鏡射圖形的現象中稱此直線為對稱軸。 (九)對稱點：線對稱圖形之相對應點，稱為對稱點。 (十)對稱線：線對稱圖形之相對應線段，稱為對稱線。. 11.

(20) (十一)對稱角：線對稱圖形之相對應角，稱為對稱角。 (十二)三角形的面積公式：三角形面積公式=(底×高)÷2。 (十三)平行四邊形的面積公式：平行四邊形面積公式=(底×高)。 (十四)梯形的面積公式：梯形面積公式=(上底+下底)×高÷2。 (十五)長方體：六面均為方形的正四角柱體。長方體有 6 個面，6 個面都是長方形(也可能有兩個相對的面是正方形)，相對的面的面積相等，有 12 條邊，相對的長度相等，有 8 個頂點。 (十六)正方體：六面均為正方形的正四角柱體。正方體是特殊的長方體，正方體的 6 個面都是正方形，6 個面的面積都是相等，12 條邊的長度都相等。 (十七)長方體的體積公式：長方體體積公式=長×寬×高。 (十八)正方體的體積公式：正方體體積公式=邊長×邊長×邊長。 (十九)平面 E1 垂直平面 E2：有 l1，l2，l3，三條相異直線。其中兩條在同一平面上，另一條在另一平面上。假設 l1，l2，在 E1 上，l3 在 E2 上。且 l1⊥l3，以及 l2⊥l3，則 E1⊥E2。 (二十)平面 E1 平行於平面 E2：做一直線 l，使 l⊥E1，且 l 垂直於 E2，則 E1//E2。. 參、九年一貫數學能力指標的詮釋張英傑（2004）對九年一貫數學能力指標的詮釋─圖形與空間（國小幾何）的研究結果，將國小幾何課程內涵分為四大主軸，如下：一、分析幾何形體之特徵及其性質包含： (一)辨認、分類、描述、命名幾何形體（平面圖形與立體形體）。 (二)描繪、仿製、建造幾何形體。 (三)辨認、描述形體之屬性及其部分（如角、直線、平面…）。. 12.

(21) (四)理解形體的組成要素及其關係。 (五)理解垂直、平行等性質及其關係。二、空間方位的描述與表徵包含： (一)使用適當方位語詞或座標系統描述物體在空間中的位置及關係。 (二)依空間中物體的位置關係，描述物體移動路徑及方向。 (三)判別並計算物體在空間位置中的距離關係。三、幾何形體間關係及其論證包含： (一)探究形體間的轉換、變形、合成與分解，以建立幾何性質之推測及檢驗。 (二)辨識、描述圖形的翻轉、旋轉、平移等幾何變換及其在平面上的組合。 (三)探究形體之全等、相似、放大與縮小，並運用其性質推理解題。 (四)根據形體性質與關係之推測，發展邏輯的推論並驗證結果。四、幾何模式化推理解題包含： (一)辨識、理解立體形體在平面上之表徵關係，並運用其推理解題。 (二)利用形體之特徵與性質解決問題。 (三)使用尺規工具測量與繪製圖形。 (四)連結幾何、數與測量的概念，並利用幾何模式化解決問題。 (五)利用視覺化與空間推理解決問題。表 2-2 是擷取張英傑（2004) 對能力指標詮釋的課程內涵之學習架構，他認為九十二年課程綱要數學領域之幾何階段能力指標，其中幾何教材多以平面圖形為主，而空間思考活動在國小幾何教材中往往被忽略，所以建議增加 5-s-09 和 5-s-10。由於目前的教科書並未將這兩條分年細目指標編入國小幾何教材，所以本研究將不納入研究範圍。. 13.

(22) 表 2-2 九年一貫數學領域五年級幾何課程內涵之學習架構（引自張英傑，2004) 主軸類別. 分年細目指標. G1 分析幾何形體之 5-s-01 能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度。特徵及其性質 5-s-02 能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。 5-s-03 能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形。 5-s-06 能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形體。 5-s-08 能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係。 G2 空間方位的描述【5-s-09】認識並使用座標系統表示物體的位置，並描述移與表徵. 動路徑。【5-s-10】在座標系統中，利用水平與垂直線，找出點與點的距離。. G3 幾何形體間關 5-s-04 能認識線對稱並理解簡單平面圖形的線對稱性質。係及其論證. 5-s-05 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同 5-n-16）. G4 幾何模式化推理 5-s-07 能理解長方體和正方體的體積公式。（同 5-n-18）解題肆、幾何迷思概念的研究根據學者的研究結果發現學生在學習幾何方面有一些迷思概念，值得補教教材設計者深思。一、譚寧君（1997）指出學生在面積與體積的測量概念上有一些共同的迷思概念：缺乏對被測量量的認識、保留性的不足、學生對面積與體積的了解是建立在. 14.

(23) 視覺的知覺上，而非在覆蓋與堆疊的活動上、面積與周長的概念混淆使用、一維二維三維單位量轉換的混淆、體積的點數受空間能力的影響、估測能力不足、重視公式的記憶等八種。二、劉好（2000）以八十一至八十六學年度國小數學實驗班學生期末總結性評量的幾何部份進行分析，發現學生概念迷失的情形有二十項，四年級至五年級部份有八項，如下： (一)小四上階段四邊形結構特徵之辨認可能迷失原因有：兩組對邊平行方面─ 「菱形迷失型(忽略菱形有兩組對邊平行)」、「正方形迷失型(忽略正方形有兩組對邊平行)」、長方形迷失型(忽略長方形有兩組對邊平行)、平行四邊形迷失型(忽略平行四邊形有兩組對邊平行)」、「梯形或箏形混淆型 (認為梯形或箏形有兩組對邊平行)；箏形概念─「菱形迷失型(認為菱形是箏形)」、「正方形迷失型(認為正方形為箏形)」、梯形迷失型(認為梯形為箏形)」、「長方形迷失型(認為長方形為箏形)」；四邊等長方面─「長方形迷失型(認為長方形四個邊都等長)」、「平行四邊形迷失型(認為平行四邊形有四邊等長)」、「梯形迷失型(認為梯形四個邊都等長)」、「箏形迷失型(認為箏形四個邊都等長)。 (二)小四上階段畫兩條平行線可能迷失原因有：「垂直線迷失型(誤解兩直線互相垂直為平行線)」、「平行四邊形迷失型(誤解平行四邊形為兩條平行線)」。 (三)小四上階段畫半徑 5 公分的圓及標示要素可能迷失原因為：「要素概念不清楚」。 (四)小四下階段畫兩腰長 3 公分之等腰三角形可能迷失原因為：「端點未連接」。 (五)小五上階段畫指定邊長的不等邊三角形可能迷失原因有：「未使用工具(圓規或直尺)隨意畫圖」、「邊長有較大誤差」。 15.

(24) (六)小五下階段求正十邊形內角和可能迷失原因有：「公式的來由不清楚，記錯公式(以三角形內角和乘以邊數【180×10=1800】)；以三角形外角和乘；以三角形外角和乘以『邊數減 2』【360×8=2880】；以邊數【360×10=3600】、以外角和除以『邊任意湊數型，如：以外角和除以邊數型【360÷10=36】數減 2』型【360÷8=45】、【360÷30 或 3×10 或 180+8】等」。 (七)小五下階段求正十邊形內角角度可能迷失原因有：「內角和之錯誤影響、「公式的來由不 (2880÷10=288)、(1880÷10=180)、(960÷10)、(1450÷10)」清楚，記錯公式(1440÷8)、(360÷8)」。 (八)小五下階段畫正八邊形可能迷失原因有：「未使用合理策略(未能使用：等分圓技巧、內角相等且邊等長策略而造成較大誤差或隨意畫【畫成 6 或 7 或 9 邊形】)」。三、王選發（2003）指出在測量圖形面積時普遍有下列的迷思概念：. (一)在提供單位方格的情境，對於單位個數的點數與合成，部分學生會將圖形未滿一格的部分，不論大小一律視為半格來計算。也有不少學生未能掌握所給單位量的大小，將每一單位方格均視為 1 平方公分來計算面積。 (二)自訂單位量切割圖形以比較面積大小時，部分學生在切割單位量時，忽略要選取相同的單位量，而僅以切割的單位數來比較。 (三)利用單位方瓦去覆蓋圖形時，僅以一維的角度(以圖形間邊長的關係)去思考面積的變化，誤認為當單位量的邊長縮小一半，覆蓋相同面積所需的單位數會變成兩倍。 (四)對於以圖像呈現給定單位量之間的關係，部分學生在單位量轉換時會受到形狀所干擾，而無法僅從單位量的大小來考量。在單位的化聚問題上，不少學生會誤認面積單位關係為長度單位關係，產生 1 平方公尺等於 100 平方公分的迷思。. 16.

(25) (五)學生在比較兩等積異形圖形大小時，容易受主觀視覺的影響。例如：對於同底等高的三角形，會認為兩腰的邊長較長的三角形面積較大。 (六)學生對面積公式的來源及意義瞭解不夠，常以記憶公式來解決面積問題，而造成公式的誤用。又若提供多餘資訊，則學生在應用上更加困難。 (七)學生普遍有兩圖形「面積相等，周長也會一樣」的迷思；同時有不少學生會混淆長方形的周長與面積概念，誤將面積當成周長。 (八)學生在畫高時，誤以為圖形的底邊一定要在水平線上，畫出來的『高』一定要在鉛直線上或圖形內部。四、朱莉文（2004）提到五年級學童在線對稱關係之辨認的迷思概念有： (一)「全等概念」：以直關圖形的形狀、大小來決定全等，對原圖經翻轉或旋轉的全等圖形不易察覺。 (二)「對稱軸概念」：對稱軸在水平方向時，較容易忽視而遺漏；誤認圖形的對角頂點連線起來就是對稱軸。 (三)「辨認出線對稱圖形」：誤認具平移變動特徵之圖案就具有線對稱特性，如「樂」或「. 」認為是線對稱圖形。. (四)「找出對稱軸有幾條」：少數學生認為「」，只有 1 條或 2 條對稱軸；多數學生認為平行四邊形是線對稱圖形，對稱軸有 1 條或 2 條，只憑直覺，認為對稱軸兩邊的圖形形狀一樣就可以，疏忽圖形鏡射的特性。 (五)「畫出線對稱圖形的另一半」：對於對稱軸是傾斜方向來畫另一半，易憑直覺找對稱點，未考慮對應點與對稱軸距離的關係，以大致情況表達，而有誤差。 (六)「找出對應點、對應邊」：部份學生對對稱軸是什麼方向，沒有考慮清楚，有的都以對稱軸是鉛直方向作答，有的都以對稱軸是水平方向作答，有些學生對於對摺對應的情形未考慮清楚。. 17.

(26) 第二節. 數學能力指標試題化. 「能力」是抽象的概念，其內涵究竟為何，不易取得共識，因而用另一個較可測量或可觀察的指標來指出或表徵該現象（洪瑞鎂，2001)。所以「能力指標」係指把學生所應具備的能力項目，轉化為可以觀察評量的具體數據，藉以反映學生的學習表現（楊思偉，1999)。當研究者想知道研究對象在各能力指標的表現情形，則必須設計能適切反應該能力指標的試題，藉由受試者在試題上的表現，推論其是否具備該能力指標所指的能力。在國內，有關「能力指標試題化」這方面的研究並不多。鄭蕙如（2001）所發展的「九年一貫課程數學領域評鑑工具」，參考 NAEP、TIMSS 在數學內容領域及認知層次的架構，以及Bloom的認知領域教育目標分類，針對九年一課程數學領域三、四階段之分段能力指標編製適切指標的試題，以評鑑課程目標建立之適切性。教育部（2004）所編「國民中小學九年一貫課程學習成就評量指標與方法手冊」中將能力指標分為：教育目標型、表現水準型、教學活動型及發展目標型。而以教育目標型分段能力指標為主，表現水準型分段能力指標為輔，做為解讀的基礎。解讀方式則採用 Anderson & Krathwohl(2001）所修訂 Bloom 教育目標分類。此一修訂版教育目標分類，採雙向度分類教育目標，將教育目標解讀，區分其認知歷程向度與知識向度，其內容如表2-3所示：. 18.

(27) 表2-3 新修訂 Bloom 認知領域分類（引自教育部，2004) 認知歷程向度知識向度記憶. 了解. 應用. 分析. 評鑑. 創造. 事實知識概念知識程序知識後設認知知識. 其評量方法採多元方式，教師可以再分段能力指標解讀之後，根據分段能力指標之實質內涵，選擇適用之評量方法，甚至教學方法，例如：記憶認知選擇式反應測驗題；能力，可約略區分為三類：1.選擇式反應測驗題、2.建構式反應測驗題、3.實作評量。其中1.選擇式反應測驗題又可區分為：選擇題、是非題、配合題。2.建構式反應測驗題又可區分為：填充題、限制反應題、擴展反應題。3. 實作評量又可區分為：口語、展演、書面、視覺、學習檔案等項。其中選擇式反應測驗題之選擇題說明如下：選擇題的結構包括兩個部分：題幹和選項。題幹呈現問題，敘寫方式有兩種：一是採用直接問句（direct question），另一種是採用不完全敘述句（incomplete statement）。一般來說，直接問句題幹敘述可能較長，但題意比較清晰。題幹之後通常有三到五個選項，其中包括一個正確或最佳答案（指單選題而言，若為多選題或複選題，則正確答案可能不只一個），和數個誘答選項（distracters），誘答選項的設計應具似真性或合理性，以吸引一知半解的學生選擇，並提醒所有學生謹慎思考和判斷。選擇題有以下幾項優點：（1）可以測量不同層次的學習結果，適用於各種不同的學科，也是題組（即解釋式問題，interpretive exercise）最常使用的題型；此外，結合影音媒材，可以測量學生聆聽能力、情境觀察能力等生活技能，. 19.

(28) 因此，選擇題成為最普遍使用的評量方式。（2）和是非題相比，其題意較清楚明確，受到猜測因素和學生反應心向的影響較小；此外，選擇題之誘答選項經過精心設計，可以提供有價值之診斷訊息，了解學生錯誤所在。（3）和開放式問題（open-ended questions）與實作評量相比，其計分容易、客觀、可靠，若採電腦閱卷計分則更正確和快速，除此，其試題取樣範圍也更廣泛和具代表性，換言之，在技術面，選擇題有較高的信度和較佳的內容效度。選擇題有以下幾項限制：（1）編製具有誘答力的誘答選項並非容易的事，若誘答編製不佳，不但喪失誘答功能，甚至成為學生答題的線索。（2）和開放式問題相比，選擇題較無法測量到學生書寫表達、統整和組織的能力；和實作評量相比，選擇題無法測量到「做」（doing）的能力。（3）和建構式反應題（如填充題和開放式問題）相比，選擇題較容易受猜測因素影響。「數學領域能力指標測驗題庫之建置」（陳雁芳，黃美芳，郭伯臣，許天維， 2004）中，根據新修訂 Bloom 認知領域分類及 NAEP 評量架構的向度來解讀能力指標分年細目的內涵，並確認內涵中所包含的概念數，針對個別概念編製試題。編製完成後，由數位目前任教於國小之合格教師審題，判斷試題是否符合能力指標分年細目內涵，是否符合一般試題編製原則，將能力指標轉化為試題形式，透過試題使能力指標變得可測量。綜合上述，若欲得知受試者在各能力指標的表現情形，可藉由適切指標之試題的施測結果以達目的。但每個指標可能包含一個以上的數學概念，為了要使試題能適配於指標，因此每個指標將對應一至數個試題。本研究以五年級數學領域幾何為例，有8個能力指標，56個數學概念，每個概念2題試題，共計112題。. 20.

(29) 第三節. 以知識或試題結構為基礎之電腦診斷測驗. 想要發展一套以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗及動畫補救教學，必須先了解以知識或試題結構為基礎的電腦診斷測驗，才能有效掌握其要項，故本節將探討 Diagnosys、應用試題順序結構之電腦化適性測驗。. 壹、Diagnosys Diagnosys（Appleby, Samuels, Treasure-Jones, 1997）是一套以知識結構為基礎的電腦診斷測驗，用來診斷基礎的數學技能，期能提供學生一個立即的成績回饋，同時也可快速地提供給教師學生的知識結構，用以選擇、分組和識別概念不清的學生，以及學生群體中普遍的錯誤概念。此系統最初是為了大學工科學生入學而發展，但是也可以廣泛的用於其他學生群，以及其它教育制度。系統發展者先分析系統需求，歸納如下：一、測驗應該在一個小時之內準確的評鑑出一個學生的數學知識。二、應該立即根據學生答題表現給予回饋，主要以學生不熟悉的概念為主。三、應該快速地提供教師個別學生和學生群體的摘要資料，主要用以分辨概念不清的學生，以及學生群體普遍的弱點。四、應該要適用於大學入學學生。另外，在系統架構確認之前，也做了以下幾項基礎設計的決定。一、決定使用概念方式來確認不同領域的知識。二、概念被依序組織成階層狀，專家系統就能以之前回答的答案推論出學生的知識結構，然後選擇下一個最合適的題目，這樣的設計能針對不同能力的群組減少所需施測的試題數。三、決定使用一個數學工具介面，以及各種不同型態的試題，其目的是為了鼓勵學生思考問題然後產生答案，而不是用猜的。. 21.

(30) 四、指定概念的階層提供一個簡易的學生側面圖，用以挑出初始的題目。五、學生的反應資料（response data）將會保留用來改進系統和教育發展。根據以上的需求和基礎設計的決定，該系統包含下列幾個主要的部份：一、概念網路：指明概念、指定概念的 level、定義概念之間的連結。二、問題設計：設計題目、定義題目的表達方式、選擇答題的型態。三、測驗介面：整個測驗管理系統的發展，包括介面的設計、答案的評估，提供學生回饋。四、專家系統：產生最初的學生概況側面圖，從學生的答案做出推論，選擇下一個題目。五、數學工具介面：數學答案的語法分析，以及各種不同評估準則的應用。六、工具程式：產生各別技能的學生成績和群組成績的回饋給教師。七、補充材料：根據測驗的施測問題及概念的內容給予施測結果的報告。 Diagnosys 系統使用概念方式來確認不同領域的知識。首先分析測驗之概念，將概念分類，每一類別之概念代表不同層級（level)，每一題目只測驗單一概念，每一概念都要有充分數量的試題來測驗。為了鼓勵學生思考問題並解出答案，減少猜題機會，題目的表達方式十分多元化，如應用題或選擇題皆有，答題的型態亦有多種選擇，如文字或圖形。為了節省試題，需應用知識結構的技巧。因此，該系統設計時同時採用了專家知識結構和學生的知識結構分析法，如此可以分兩階段節省試題。學生結構的擷取乃透過專家知識結構編製的紙筆測驗進行預測，並根據下列的方式建構出來的。假設兩題試題 A 與 B 間的次數分配如表 2-4 所示，其中 f AB 表示答對試題 A 且答對試題 B 的人數； f AB 表示答錯試題 A 且答對試題 B 的人數； f A B 表示答對試題 A 且答錯試題 B 的人數； f A B 表示答錯試題 A 且答錯試題 B 的人數。. 22.

(31) 如果 f AB. >> f A B ，則視試題. A 為試題 B 之下位試題（或概念），即如果正確作答. 試題 B，則必能正確作答試題 A，反之則不一定成立。此種情形於本研究中標示成 A → B，如果 f AB + f A B >> f A B + f AB ，則試題 A 與試題 B，兩者可視為等價，於本研究中標示成 A ↔ B，Diagnosys 藉由將試題（概念）結構引入電腦測驗中來達到適性的效果，並縮短施測時間，但此一建立結構之方法並非操作型定義，且文中並未提及此方法之具體成效或數據。表 2-4 試題 A、B 次數分配表試題 B 對. 試題 B 錯. 試題 A 對. f AB. f AB. 試題 A 錯. f AB. f AB. Diagnosys 在設計上有其優點：利用階層性編製試題可以分二階段節省試題，第一階段是利用專家結構，第二階段是利用學生結構來節省試題。其缺點是：一、只提供知識結構，並不提供對教學有用的分群訊息。二、Diagnosys 用來決定學生知識結構的理論並不完善，例如：決定試題順序的臨界值的選取是根據經驗法則而來的，而且對於遞移性和等價性的定義並不理想。三、作答反應與知識結構的對應是決定性的，學生答對即代表具有某概念，答錯則不具備某概念，無法真實反應學生作答行為的不確定性。. 貳、應用試題順序結構之電腦化適性測驗為改進 Diagnosys 不足之處，「國小數學科電腦化適性診斷測驗（I）（II）」（郭伯臣，2003、2004）中開發嘗試將順序理論和試題關聯結構分析法與試題反. 23.

(32) 應理論結合來分析學生知識結構，並分別使用專家知識結構與學生知識結構來建立電腦化適性診斷測驗，以節省施測的題數並預估學生的側面圖，用來診斷國小學童的數學能力，期能提供學童一個適性測驗、立即的成績回饋與補救教學的建議，用以協助學童學會正確且完整的數學概念。茲分述如下：. 一、試題順序結構理論與試題關聯結構分析法 Airasian & Bart (1973）的「順序理論」(ordering theory, OT）及 Takaya (1991) 的「試題關聯結構法」(item relationship structure analysis, IRS) 是常用來定義試題間結構的方法。茲將此二理論敘述於下：令 X = ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 表示一個向量包含 n 個二元試題成績變數，每一個受試者作答 n 題得到一個 0 與 1 的向量 x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 之後，試題 j 跟 k 的聯合與邊際機率可以如表 2-5 所示。表 2-5 試題 j 與試題 k 之聯合與邊際機率試題 k Xk = 1. Xk = 0. Total. X j =1. P( X j = 1, X k = 1). P ( X j = 1, X k = 0) P ( X j = 1). Xj =0. P ( X j = 0, X k = 1). P ( X j = 0, X k = 0) P( X j = 0). 試題 j. Total. P ( X k = 1). P ( X k = 0). 1. 在順序理論 OT 中，令 ε *jk = P( X j = 0, Xk = 1) 表違反試題 j 為試題 k 之下位試題之機率，當 ε *jk < ε 時，其中 ε 為一閾值（threshold)，常設定介於 0.02 及 0.04 間（ 0.02 ≤ ε ≤ 0.04 ），則設定試題 j 為試題 k 之下位試題，記錄成 X j → X k 。. 24.

(33) Takeya(1991）發現經由 OT 所得之受試者試題結構與試題間之相關係數有些情況會產生矛盾，故提出試題關聯結構分析法，希望透過另一種測量試題順序結構之係數 rjk* 來定義試題到試題 k 之間的順序關係，以修正 OT 之不足， rjk* 的定義為： r jk* = 1 −. P ( X j = 0, X k = 1) P ( X j = 0) P ( X k = 1). 若 r jk* ≥ r ，則設定試題 j 為試題 k 之下位試題，記錄為 X j → X k ，其中 r 為一閾值(threshold)，常設定為 0.5。在 OT 及 IRS 中，若 X j → X k 且 X k → X j ，則兩者的關係可以表示成 X j ↔ X k ，而且這樣表示試題 j 與試題 k 是等價的。. 二、電腦化適性診斷測驗之知識結構該研究根據專家知識結構或學生的試題結構中各相關概念間之上下位次序關係，以減少施測題數。即如假設有一專家（教材）知識結構如圖 2-1 所示，在紙筆診斷測驗中需施測圖中概念 A-I 所有試題，以瞭解學生學習之良窳，但在該研究之電腦化適性診斷測驗中，如受試者答錯概念 A 的試題，則需進一步測量概念 B、C 及其下位概念，以瞭解學生之迷思概念為何；如概念 B 對且概念 C 錯，則在電腦化適性診斷測驗中僅需再施測概念 F、G、H、I 之試題，因此可節省概念 D、E 之試題。 A. B. D. C. E. F. G. H. 圖 2-1 專家知識結構 25. I.

(34) 三、電腦化適性診斷測驗系統此電腦化適性診斷測驗系統包含四個子系統：1.多媒體題庫系統、2.適性測驗系統、3.補救教學分類系統、4.輔助學習模組，系統主要架構如圖 2-2 所示，希望透過此系統能將學生課堂後的評量與補救學習數位化及網路化，藉此達到「因材施測」及「因材施教」。. 學生 1.多媒體題庫. 2. 適性測驗系統. 系統. 學生學習剖面圖. 3. 補救教學分類系統. 類別 1. 4.輔助學習模組 1. 類別 2. ……………… ……. 4.輔助學習模組 2. 類別 n. 4.輔助學習模組 n. 圖 2-2 電腦化適性診斷測驗及適性補救教學系統進行流程此系統，適性測驗的部分，是由第一個子系統提供資訊，根據學生的作答給予下一題來進行電腦測驗。上述系統除了具有 Diagnosys 的優點之外，其主要優勢在於分析學生知識結構的方法具有較完善的數學理論基礎，並且提供有利於補較教學的分群。綜而言之，早期這些方法主要是以紙筆測驗的結果來進行試題結構之估計，強調可提供除了試題通過率與鑑別度外的訊息，常用於比較使用不同教學法或教. 26.

(35) 材版本，是否造成學生知識結構不同，於先前的研究中已有開發相關測驗分析軟體及以此種試題順序結構為基礎之網路適性評量（郭伯臣，2003，2004；郭伯臣、何政翰，2004；Kuo, Liu, Sheu, Pai, Ko, Yang & Lin, 2004），而前述的研究中使用四種方法來建立結構，並評估所建立結構之成效，四種方法分別為：專家知識結構、Diagnosys、OT 和 IRS 試題結構，得到下列三個結論：（一）使用專家結構之電腦適性測驗演算法預測精確度較難控制，使用學生試題結構之電腦適性測驗演算法，由於可藉由閾值控制結構，因此可獲得較令人滿意的預測精準度。（二）Diagnosys 演算法需要更多樣本來達到令人滿意的預測精確度，適性測驗速度也比較慢。（三）OT 的演算法與其他演算法比起來，其對樣本大小較不敏感，因此就以試題順序結構為基礎的適性測驗來說，OT 似乎是一個較好的選擇。因此，利用知識結構分析數學教材將能以更組織化、階層性的方式將概念的意義呈現出來。因此，若能建立數學能力指標的知識結構，將使得教師在準備課程時，能順利的掌握課程內容的邏輯性、完整性，在教導學生時能減少遺漏能力指標數學概念的疏失，進而也能加快探索學生錯誤概念的速度，迅速提供學生適宜的補救教學內容。. 第四節. 多點記分試題順序結構理論. 將數學領域能力指標試題化後，可發現大部分的能力指標需要使用許多試題來加以測量，我們可將各個測量能力指標之試題視為一個多點記分之題組（每個題組記分與題數可能不同），如果要描寫能力指標之間的順序性，則需要使用多點記分之順序性係數，上述之二元記分順序性係數在此不能使用。目前並無相關文獻討論「以多點記分試題結構為基礎之適性測驗選題策. 27.

(36) 略」，僅有一些文獻討論如何估計多點記分試題之順序結構，主要用於比較使用不同教學法或教材版本，是否造成學生知識結構不同，或者問卷類型的資料分析。「態度問題關聯結構分析法」原稱「語意結構（Semantic structure）分析法」，簡稱 SS 分析法，是日本心理計量學者竹谷誠於 1987 年所倡（Makoto & Takeya，1999；胡豐榮，2001），此法利用圖形理論（Graph theory），將態度尺度資料分析出潛在之階層結構，然後再利用該階層結構來解釋態度資料間之關聯。進行語意結構分析時，上位問題的平均評分高於下位問題，此種記分方式有別於前述之試題順序結構。竹谷誠將常見之選項數相等之非類別態度尺度資料，依記分方式之不同分為兩種，劉湘川（2003）稱之為「等級記分資料」、「對稱記分資料」，竹谷誠分別提出了前二者專有之「問題關聯順序係數」，惟兩種記分資料間，不能互相通用，且只適用於所有問題選項數均相等時。劉湘川（2003）針對「等級記分資料」及「對稱記分資料」提出「一階廣義問題關聯順序係數」公式，不論選項數相等與否、亦不論是否為等級記分、對稱記分或其混合型記分資料，均一體適用。劉湘川、楊志良（2003）提出較靈敏有效不會高估之「改一級廣義問題關聯順序係數」，劉湘川、簡茂發（2004）提出具同等功能且訊息量更多之「s 級廣義問題關聯順序係數」。根據以上文獻探討，二元記分及多點記分的試題順序結構，皆可用於適性測驗之選題策略，並節省試題，本研究將結合二元記分及多點記分的試題順序結構，作為能力指標電腦適性測驗之選題策略，結合兩者之優點，以達到施測最少題數的目標，主要方法簡述如下：圖 2-3 為多元記分能力指標結構及二元記分試題結構的結合示意圖。圖中的長方形節點代表多點記分能力指標節點，其節點之間具有代表能力指標間的階層關聯性之線段，可依關聯的上下位結構來決定欲進行施測的能力指標數。當學生在此能力指標的得分超過所設定閾值時，可認定學生通曉上位指標下的所有能力指標，而其分數是按每一能力指標內的二元記分試題結構來計算。能力指標內的 28.

(37) 圓形節點是依能力指標編製的試題，其節點之間的線段，代表二元記分試題之階層關聯性。當學生答對上位試題時，判定此試題之下位的試題皆答對。可利用試題間的上下位結構來減少施測的題數。能力指標 1. 能力指標 2 能力指標 3. 能力指標 4. 圖2-3 指標間結構（多點記分結構）與指標內結構（二元記分結構）本研究將會依據上述步驟所得知最佳二元記分及多點記分結合的試題順序結構，作為適性測驗選題策略，以節省更多施測題數，縮短施測時間。. 29.

(38) 第三章. 研究方法與步驟. 本章主要在說明以能力指標結構為基礎的電腦適性測驗編製及動畫補救教學之應用的研究方法與工具。共分為五節來說明，第一節為「研究流程」、第二節為「研究對象」、第三節為「研究方法」、第四節為「研究工具」、第五節為「資料處理與分析」。. 第一節. 研究流程. 本研究採量的研究方式。主要研究目的在建置五年級數學領域幾何能力指標的電腦化適性測驗及適性補救教學模組；並驗證電腦適性診斷測驗是否能達到節省施測題數與達到預測精準度；及檢驗電腦適性補救教學是否具有成效；使用所建立的電腦適性測驗評估國小五年級學生在幾何能力指標方面的學習成效。本研究整個流程如圖 3-1：. 30.

(39) 確定研究主題與目的. 文獻收集與探討. 建立能力指標之專家知識結構不通過知識結構檢核表通過. 編製紙筆診斷測驗試題. 依據專家知識結構設計補救教學. 命題檢核表通過紙筆診斷測驗（預試）補救教學模組測試分析學生試題結構. 題目輸入題庫系統. 系統整合. 實施線上測驗. 補救教學成效評估. 資料分析整理. 撰寫研究論文. 圖 3-1 研究流程圖 31. 不通過.

(40) 第二節. 研究對象. 本研究對象的選取方式如下：. 壹、預試樣本紙筆診斷測驗選取對象為九十三學年度六年級學生，包括台中市建平國小 1 個班級，台中市健行國小 1 個班級，彰化縣洛津國小 1 個班級，彰化縣伸仁國小 2 個班級，南投縣北投國小 2 個班級，雲林縣立仁國小 2 個班級，雲林縣尖山國小 1 個班級，台南市學東國小 1 個班級，有效樣本共計 306 人，施測時間為 93 年 10~11 月。. 貳、電腦化適性測驗施測樣本電腦化適性測驗施測的選取對象為已接受九年一貫數學能力指標中幾何教學的國小六年級學生，包括雲林縣安定國小 2 個班級，雲林縣廣興國小 2 個班級，雲林縣中和國小 2 個班級，有效樣本共計 106 人，施測時間為 94 年 9 月。. 第三節. 研究方法. 本研究依據研究目的設計研究方法，分述如下：. 壹、建置電腦化適性測驗及適性補救教學模組為達成目的，首先需建立適性測驗題庫，將能力指標試題化。其試題化的方法則依據「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004），詳述如下： 1.建立能力指標專家知識結構。首先，依教育部（2003）所訂的九年一貫數學領域五年級幾何能力指標，參考相關文獻資料，並根據知識結構編製原則，訂. 32.

(41) 出各相關概念間的上下位次序關係，建立知識結構草案。之後，邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的國小教師（附錄三)，根據知識結構檢核表，建立五年級幾何能力指標的專家知識結構圖。 2.編製診斷測驗之試題。建立專家知識結構後，依此結構編製診斷測驗之試題。根據命題程序，每一個節點編製兩題試題，並邀請上述國小教師，根據電腦化適性診斷測驗之命題檢核表檢核試題，五年級幾何有 8 個能力指標，56 個節點，共計 112 題試題。其能力指標試題化流程圖如圖 3-2：. 能力指標. 能力指標參考文獻. 知識結構檢核表. 知識結構草案. 知識結構編製試題. 命題檢核表. 能力指標試題化. 圖 3-2 能力指標試題化流程圖能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。本測驗結合五位共同以五年級數學科能力指標的研究者，將數學領域五年級全部的能力指標試題，編製成 18 份試卷，每份試卷為 23 或 24 題，請九十三學年度六年級學生進行測驗，受試者需在二個月內全部施測完。再將紙筆診斷測驗的結果按受試者的作答情形及基本資料在電腦上建檔，檔案資料包含學校代號、班別、性別、座號及作答情形。將學生作答情形輸入電腦後，利用 Microsoft Excel 比對正確答 33.

(42) 案，再依其資料做試題結構之分析：利用二元記分（OT）及多點記分（Matlab）分析軟體，找出適當的學生能力指標內及能力指標間的試題結構與閾值，以期二元記分與多元記分整合，建立適當的試題結構，縮短施測時間。依資料分析結果，檢討與適度修改知識結構及試題，再依專家知識結構與紙筆測驗結果，由研究者自編九年一貫數學領域幾何能力指標的補救教學教材腳本與動畫，利用 FLASH MX 2004 編製各概念之電腦適性補救教學模組，以建置五年級數學領域幾何能力指標的電腦化適性診斷測驗。. 貳、驗證電腦適性診斷測驗是否能達成節省施測題數與達到預定之預測精準度為達成目的，本研究利用「電腦適性化測驗系統」（郭伯臣、何政翰，2004），將紙筆診斷測驗轉換成線上診斷測驗之後，來探討是否可以用最短的時間測出學生的能力，將進行下列實驗來檢驗，每個實驗將抽樣 6 個班級，作為實驗對象，詳細步驟說明如下：實驗步驟：（一）系統使用說明（10 分鐘）（二）線上診斷測驗（50 分鐘）為達到此一目的，步驟（二）的電腦測驗其試題呈現次序，首先會依照適性測驗施測流程，進行施測，當每位學生作答完畢後，再將原紙筆測驗中未於前述適性測驗中出現之試題進行施測，亦即所有學生將會作答原紙筆測驗中所有試題，如此方可計算其適性診斷測驗結果之成功預測率，獲得電腦化、適性化後真正能節省試題數。. 參、檢驗電腦適性補救教學是否具有成效. 34.

(43) 為達成目的，以電腦適性補救教學模組進行實驗補救教學的實驗，根據學生的錯誤概念進行補救教學，補救教學完再一次進行電腦化適性測驗，以證明補救教學是有效的。詳細步驟說明如下：實驗步驟：（一）系統使用說明（10 分鐘）（二）電腦適性化測驗（前測 50 分鐘）（三）電腦補救教學（30 分鐘）（四）電腦適性化測驗（後測 30 分鐘）本實驗主要目的在於利用前後測的結果，來檢驗「線上適性補救教學」是否具有成效。如結果是正向的，則未來本系統使用者將可以減少評量時間，改善學習成效。. 肆、使用電腦適性測驗來評估國小五年級學童在幾何能力指標方面的學習成效為達成目的，利用電腦適性化測驗系統結果，分析學生在各能力指標之通過率，以評估國小五年級學童在幾何能力指標方面的學習成效。. 第四節. 研究工具. 為達本研究之目的，所使用的工具：壹、五年級能力指標幾何的紙筆診斷測驗；貳、學生試題結構分析軟體；參、電腦化適性診斷測驗；肆、動畫補救教學，分別說明如下：. 壹、五年級能力指標幾何的紙筆診斷測驗一、編製試題將能力指標試題化，其試題化的方法則依據「電腦化適性診斷測驗之研究」. 35.

(44) （陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004），先建立能力指標專家知識結構，再依據能力指標專家知識結構編製診斷測驗之試題。能力指標試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。本測驗結合五位共同以五年級數學科能力指標的研究者，將數學領域五年級全部的能力指標試題，編製成 18 份試卷，每份試卷為 23 或 24 題，請九十三學年度六年級學生進行測驗，受試者需在二個月內全部施測完。試題內容如附錄一。二、預試選擇 306 位學生為預試的對象，因預試完資料分析結果，數據在可接受之範圍內，故本研究預試為一次。三、試題分析 (一)信度在信度方面，其紙筆診斷測驗答題狀況的內部一致性 α 係數為 0.9715，顯示其結果良好。. (二)效度 1.內容效度依教育部（2003）所訂的九年一貫數學領域五年級幾何能力指標，參考相關文獻資料，並根據知識結構編製原則，訂出各相關概念間的上下位次序關係，建立知識結構草案。邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的八位國小教師，根據知識結構檢核表，建立五年級幾何能力指標的專家知識結構圖，依此結構編製診斷測驗之試題，根據命題程序，每一個節點編製兩題試題。 2.專家效度本研究之紙筆診斷測驗試題完稿後，邀請一位教授及上述八位國小教師，根據電腦化適性診斷測驗之命題檢核表檢核試題，均認為試題合宜，故本研究認為此測驗之專家效度良好，專家名冊請見附錄三。. 36.

(45) (三)試題的難度本研究的難度分析方法是採用通過百分比分析，計算全體的受試者對該試題答對人數的百分比例，稱之為難度指數（item difficulty index)，若難度指數愈高，代表該試題愈容易；反之，則代表該試題愈難，通過百分比分析的難度指數計算公式如下： P=R/N. P：難度指數. R：答對的人數. N：受試總人數. 本紙筆診斷測驗試題的難度(通過率)值介於 0.19~0.88。 (四)試題的鑑別度本研究的紙筆診斷測驗鑑別度是採用點二系列相關係數，其值介於 0.0579~0.6740。. 貳、學生試題結構分析軟體一、能力指標內的試題結構：以 OT 訂出適當的閾值，分析二元記分的學生試題順序結構，設計能力指標內的選題策略。二、能力指標間的結構：以林文質（2005）之多點記分試題結構為基礎的電腦適性測驗演算法，分析能力指標間的結構，以期節省更多試題。. 參、電腦化適性診斷測驗將測驗電腦化，利用架設之電腦化適性診斷測驗系統（郭伯臣等，2004）達到省時省試題的線上測驗。. 肆、動畫補救教學補救教學依據專家知識結構及參考相關資料，並與指導教授討論後利用 Macromedia Flash MX 2004 製作完成，再邀請有編製電腦化適性診斷測驗經驗的八位國小教師進行專家效度的檢定，皆認為本工具可達到學習目標與補救教學之 37.