1-2-2多項式函數-多項式的運算
16
0
0
全文
(2) 【定義】 1. 次數: 多項式是一些單項式的和,一個多項式 f ( x) 其係數不為 0 的各單項式中, 最高的次數即為此多項式的次數,以 deg f ( x) 表示。 註: (1) f ( x) c, c 0 時,稱零次多項式,其次數為零次。 (2) f ( x) 0 時,稱零多項式,但它沒有係數不為 0 的項,不定義次數, 所以沒有次數可言。 2. 多項式的相等: 設 f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 , g ( x) bm x m bm1 x m1 b1 x b0 ,. 3.. 4.. 5.. 則 f ( x) g ( x) 的充要條件為 n m, an bm ,, a1 b1 , a0 b0 。 兩個非零多項式乘積的次數: 兩個非零多項式乘積的次數等於該兩多項式個別次數的和, 即 f ( x) 0 且 g ( x) 0 時, deg( f ( x) g ( x)) deg f ( x) deg g ( x) 。 因式、倍式: 設 f ( x), g ( x) 是多項式,其中 g ( x) 不是零多項式。若有一多項式 h( x) ,使 f ( x) g ( x)h( x) ,則稱 f ( x) 是 g ( x) 的倍式,也稱 g ( x) 是 f ( x) 的因式。 除法原理: 設 f (x), g (x) 是多項式,若 g (x) 不是零多項式,則存在唯一的多項式 h(x) 及唯一的多項式 r (x) ,使 f ( x) g ( x)h( x) r ( x) ,其中 r (x) 為零多項式或其 次數小於 g (x) 的次數。 註: (1) 在上述除法原理中的 f ( x) 稱為被除式, g ( x) 稱為除式, h( x) 稱為 f ( x) 除以 g ( x) 的商式,而 r ( x) 稱為 f ( x) 除以 g ( x) 的餘式。四者的關係為 (被除式) (除式) (商式) (餘式), 且餘式等於零多項式或其次數小於除式的次數。當餘式等於零多項式 時,被除式是除式的倍式,而除式是被除式的因式。 (2) 由於多項式 f ( x) 除以非零多項式 g ( x) 時的商式及餘式都是唯一的,所 以反過來,當多項式 h( x) 與 r ( x) 滿足: f ( x) g ( x)h( x) r ( x) 及 r ( x) 0 或 r ( x) 的次數小於 g ( x) 的次數, 就可以判定多項式 f ( x) 除以 g ( x) 的商式是 h( x) ,餘式是 r ( x) 。. 19.
(3) 【問題】 1. 設 ( x 1)( x 2)( x n) an x n an1 x n1 a1 x a0 ,試以 n 表出 an , an 1, an 2 , a0 等之值。. 2.. 求多項式 x2 3x 2 與 4 x 5 的乘積。 解答: (方法一) ( x2 3x 2)(4 x 5) 4 x3 5x2 12 x2 15x 8x 10 (分配律乘開). 4 x3 17 x2 7 x 10 。(合併次數相同的項). (方法二) 3x 4x. x2 ) 5x2 4 x3 4x. 3. 2 5. 15 x 10. 12 x 2. 8 x. 17 x. 7 x 10. 2. ……① ……②. ① ② 它的好處是次數相同的項都對齊,比較方便,也不容易出錯。 此外,還可以採用分離係數法,以欄位識別次數,更為簡便。 但應注意缺項補 0 ,次數才不會亂掉。 例如:多項式 4 x3 2 x 5 乘以 2 x2 x 3 ,可以書寫如下:. 4 ) 12 4 0 8 0 4 8 4 16. 3.. 0 2 5 2 1 3 0 6 15 2 5 10 8 11 15. 得到乘積為 8x5 4 x4 16 x3 8x2 11x 15 ﹒ 求多項式 2 x5 3x3 8x2 4 x 7 除以 x2 2 x 3 的商式及餘式。 解答: 用分離係數法,其中被除式的 4 次項係數為 0 : 2 4 1 6 1 2 3 2 0 3 8 4 7 2 4 6 4 9 8 4 8 12 1 1. 4 2. 4 3. 6 7 7 6 12 18 5 11. 得商式為 2 x 4 x x 6 ,餘式為 5x 11 。 3. 2. 20.
(4) 【方法】 1. 綜合除法: 操作長除法時,篇幅總是拉得很長, 例如:多項式 3x4 2 x3 9 x2 5x 8 除以 x 2 ,分離係數如下: 3 4 1 3 1 2 3 2 9 5 8 3 6 4 9 4 8 1 5 1 2 3 8 3 6 2. 其中有些數字重複書寫,可以省略如下: 3 4 1 3 1 2 3 2 9 5 8 6 8 2 6 2. 再把格式壓縮成為 3 4 1 3 1 2 3 2 9 5 8 6 8 2 6 2 其中 6 8 2 6 這列是由 2 逐步乘以 3 4 1 3 而來。若將 2 改用 2 乘 (寫到右邊),得 6 8 2 6 ,便可改減為加,並將商式寫到下面成為: 3 2 9 5 8 2. 6 8 2 6 3 4 1 3 2. 這種精簡的除法操作稱為綜合除法。一般而言,多項式 an xn an1 x n1 a1 x a0 除以 x 時,操作如下: an an 1 an 2 a1 a0 bn 1. bn 2. . b1. b0. cn 1 cn 2. cn 3. . c0. r. (箭頭表書寫順序) 21.
(5) 其中 cn1 an ,又 bk ck , k n 1, n 2, , 1, 0 ; ck 1 ak bk , k n 1, n 2, , 1 ; r a0 b0 , 則得商式 cn1 xn1 cn2 xn2 c1 x c0 ,餘式為 r 。 2. 綜合除法: f (x) 除以 g ( x) x c 時, 若 f ( x) a3 x3 a2 x 2 a1x a0 ( x c)(b2 x 2 b1x b0 ) r b2 x3 (b1 cb2 ) x 2 (b0 cb1 ) x (r cb0 ). a3 b2 a3 b2 b cb a b cb a 2 2 2 2 則 1 ,即 1 ,轉個方向表成 b0 cb1 a1 b0 cb1 a1 r cb0 a0 r cb0 a0. a3. b2. 3.. a2 cb2. a1 cb1. b1. b0. a0. cb0 r. c. 此即為綜合除法。 註: (1) 利用綜合除法可以求函數的近似值。 (2) 當除式為一次式時,長除法的過程可將形式簡化,利用綜合除法,不 僅可化繁為簡,且提高工作效率,請熟練並善用之。 (3) 利用綜合除法時,務必注意運算中除式的正負符號的轉變,與除的過 程中加減運算的轉變。 (4) 當 b 為正數,以 x b 為除式,利用綜合除法進行演算時,演算式的右 上角必須用 b ;而以 ax b 為除式時,演算式的右上角必須用 b 且演 a 算式中的商式必須每一項除以 a ,才能得到真正的商式,但是餘式不 能除以 a 。 綜合除法的應用: 多項式 f ( x) a3 x3 a2 x 2 a1x a0 可以用綜合除法連續除以 x ,使 f ( x) c0 c1 ( x ) c2 ( x ) 2 c3 ( x )3 ,利用此式就可以求 f ( x) 在 附近的近似值。. 22.
(6) 【問題】 1. 求多項式 4 x4 7 x2 5x 2 除以 2 x 3 的商式及餘式。 解答: 3 2. 把 4 x4 7 x2 5x 2 先除以 x ,用綜合除法: 3 2. 4 0 7 5 2 6 9 3 3. 2.. 4 6 2 2 5 3 得 4 x 4 7 x 2 5x 2 ( x )(4 x3 6 x 2 2 x 2) 5 (2 x 3)(2 x3 3x2 x 1) 5 , 2 1 商式是 2 x3 3x2 x 1 (即 (4 x3 6 x 2 2 x 2) ),餘式是 5 。 2 3 2 設多項式 f ( x) 2 x 9 x 6 x 5 。. (1) 求常數 a, b, c, d ,使 f ( x) a b( x 1) c( x 1)2 d ( x 1)3 。 (2) 求 f (1.01) 的二位小數近似值。 解答: (1) f ( x) a b( x 1) c( x 1)2 d ( x 1)3 ( x 1)[b c( x 1) d ( x 1)2 ] a , 故 f ( x) 除以 x 1 的餘式為 a ,且商為 b c( x 1) d ( x 1)2 ; 同理,將上述商再除以 x 1 的餘式為 b ,商為 c d ( x 1) ; 再將此商除以 x 1 得餘式 c ,商為 d , 故求 a, b, c, d 可以用綜合除法連續除以 x 1 如下: 2 9 2 2 7 2 2 5 2 2 3. 6 5 7 1 1 4 5 6 b. 1 a. c. d 故 a 4, b 6, c 3, d 2 。. (2) f ( x) 4 6( x 1) 3( x 1)2 2( x 1)3 , f (1.01) 4 6 0.01 3 0.012 2 0.013 4 0.06 3.94 。. 23.
(7) 3.. 設 8x3 28x2 46 x 23 a(2 x 3)3 b(2 x 3)2 c(2 x 3) d , a, b, c, d 為常數, 試求 a, b, c, d 之值,並求 f (1.51) 的二位小數近似值。 解答: 利用綜合除法,如下: 3 8 28 46 23 2 12 24 33 2 8 16 22 10 4 8 11 6 3 2 4 2 8 2 1 3 2 2 2 1. (1)由連續綜合除法的結果可得 8x3 28x2 46 x 23 (2 x 3)3 2(2 x 3)2 8(2 x 3) 10 , 所以 a 1 , b 2 , c 8 , d 10 。 (2) f (1.51) (0.02)3 2(0.02)2 8(0.02) 10 10 0.16 10.16 。. 4.. 設多項式 f ( x) 2 x3 9 x2 6 x 5 ,試求常數 a, b, c, d , 使 f ( x) a b( x 1) c( x 1)( x 2) d ( x 1)( x 2)( x 3) 。 解答: (方法一) 依下列步驟求 a, b, c, d : (1) f ( x) 除以 x 1 ,所得餘式為 a 。 (2)上面所得的商,除以 x 2 ,所得的餘式為 b 。 (3)上面所得的商,除以 x 3 ,所得的餘式為 c 。 (4)上面所得的商就是 d 。 用綜合除法連續除以 x 1, x 2, x 3 如下: 2 2 2 2. 9 2 7 4 3 6 3. 6 7 1 6 7 3 c. 5 1 4 2 b. 1 a. d. 故 a 4, b 7, c 3, d 2 。 (方法二) 也可以用代值法依序解 a, b, c, d 如下: (1) f (1) 2 9 6 5 a ,得 a 4 。 (2) f (2) 16 36 12 5 4 b(2 1) ,得 3 4 b ,故 b 7 。 (3) f (3) 54 81 18 5 4 7(3 1) c(3 1)(3 2) ,得 4 10 2c ,故 c 3。 (4) f (0) 5 4 7(1) 3(1)(2) d (1)(2)(3) ,得 5 17 6d ,故 d 2 。 24.
(8) 【說明】 設多項式 f ( x) an xn an1 xn1 a1x a0 ,且 是一個數, 則 f ( ) an n an1 n1 a1 a0 。 兩多項式 f ( x) , g ( x) 相等時,對任意數 ,恆有 f ( ) g ( ) 的關係,也就是 說:如果有一數 使 f ( ) g ( ) ,則 f ( x) g ( x) 。 由多項式加法與乘法的意義可知: 對任意多項式 f ( x), g ( x), h( x) 及任意數 ,恆有 (1)若 f ( x) g ( x) h( x) ,則 f ( ) g ( ) h( ) , (2)若 f ( x) g ( x) h( x) ,則 f ( ) g ( ) h( ) 。 以乘法為例:令 f ( x) ( x3 2 x2 3x 6)(2x4 x3 5x 2 x 1) , 要求 f (1) 時,不需先將 ( x3 2 x2 3x 6)(2 x4 x3 5x2 x 1) 乘開得一形如 a7 x7 a6 x6 a5 x5 a4 x4 a3 x3 a2 x 2 a1 x a0 的七次式, 直接將 1 代入 x 即可,也就是 f (1) (1 2 3 6)(2 1 5 1 1) 2 (4) 8 。 多項式 f ( x) x5 7 x2 8 除以 x 2 的餘式可以用長除法或綜合除法求得。 另一方面,由於除式是一次式,餘式必為常數,可設餘式為 r , 並令 f ( x) ( x 2)h( x) r ,則 f (2) (2 2)h(2) r 0 h(2) r r , 故餘式 r f (2) 25 7 22 8 32 28 8 4 。 【定理】 b 1. 多項式 f (x) 除以 x (a 0) 的商式是 h(x),餘式是 r ,則 f (x) 除以 ax b 的 a 1 商式是 h( x) ,餘式是 r 。 a 說明: 假設多項式 f ( x) 除以一次式 ax b ( a 0 )的商式是 h( x) ,餘式是 r , b a 1 b 因此,把 f ( x) 除以 x 所得的商式乘以 即得 f ( x) 除以 ax b 的商式 h( x) , a a b 而 f ( x) 除以 ax b 的餘式 r ,即 f ( x) 除以 x 的餘式。 a. 即 f ( x) (ax b)h( x) r ,可得 f ( x) ( x )[ah( x)] r ,. 2.. 餘式定理:. 3.. b 多項式 f (x) 除以一次式 ax b 的餘式為 f ( ) 。 a 註: (1) 多項式 f ( x) 除以一次式 x 的餘式為 f ( ) 。 (2) 餘式定理是因式定理與求餘式問題的基礎,學生應該確實理解並善用之。 因式定理: 設 f (x) 為多項式, ax b 為一次式。 b 若 f ( ) 0 ,則 ax b 是 f (x) 的因式; a b 若 f ( ) 0 ,則 ax b 不是 f (x) 的因式。 a. 25.
(9) 註:. 4.. 5.. 6.. b (1) ( x c) | f ( x) f (c) 0 或 (ax b) | f ( x) f ( ) 0 。 a (2) f (a) 的雙重意義有以下兩種: 多項函數 f (x) 在 x a 的函數值或多項式 f (x) 除以 x a 的餘式。 b (3) 因式定理中所言:「若 f ( ) 0 ,則 ax b 不是 f (x) 的因式」這個性質 a b 與「若 ax b 是 f (x) 的因式,則 f ( ) 0 」的意涵是一樣的。 a 因式定理: 設多項式 f ( x) an x n an1x n1 a1x a0 ,若有 n 1 個相異數 1, 2 ,, n , n 1 , 使 f (1 ) 0, f ( 2 ) 0, , f ( n ) 0, f ( n1 ) 0 ,則 an an 1 a1 a0 0 。 註: 即一個 n 次多項式最多有 n 個相異的根。 證明: 設多項式 f ( x) an xn an1 xn1 a1x a0 , , n , n1 , 若有 n 1 個相異數 1 , 2 , 使 f (1 ) f (2 ) f (n ) f (n1 ) 0 , 則 ( x 1 )( x 2 ) ( x n )( x n1 ) 是 f ( x) 的因式, 令 f ( x) ( x 1 )( x 2 ) ( x n )( x n1 )q( x) , 若 q( x) 不是零多項式,則 f ( x) 的次數大於 n ,得到矛盾。 所以 q( x) 及 f ( x) 都是零多項式,於是 an an1 a1 a0 0 。 因式定理的推廣: 設 1 , 2 , , k 是相異數,若 f (1 ) f (2 ) f (k ) 0 , 則 ( x 1 )( x 2 ) ( x k ) 是 f ( x) 的因式。 因式定理的推廣: 若多項式 f (x) 與 g (x) 都是至多 n 次的多項式, 若存在 n 1 個相異數 n1, n ,, 2 ,1 , 使得 f ( n 1 ) g ( n 1 ), f ( n ) g ( n ),, f ( 2 ) g ( 2 ), f (1 ) g (1 ) , 則 f ( x) g ( x ) 。 證明: 設多項式 h( x) f ( x) g ( x) , , n , n1 , 若有 n 1 個相異數 1 , 2 , 使 h(1 ) h(2 ) h(n ) h(n1 ) 0 , 則 ( x 1 )( x 2 ) ( x n )( x n1 ) 是 h( x ) 的因式, 令 h( x) ( x 1 )( x 2 ) ( x n )( x n1 )q( x) , 若 q( x) 不是零多項式,則 h( x ) 的次數大於 n ,得到矛盾。 所以 q( x) 及 h( x ) 都是零多項式,於是 f ( x) g ( x) 。. 26.
(10) 【問題】 2 3. 1.. 設 f ( x) 3x4 4 x3 7 x2 x 5 ,求 f ( ) 。. 2. 3.. 求多項式 x20 x10 x5 2 除以 x 1 的餘式。 設多項式 f ( x) 除以 x 1 的餘式為 2 ,且 f ( x) 除以 x 2 的餘式為 7 ,求 f ( x) 除以 ( x 1)( x 2) 的餘式。 解答: 除式 ( x 1)( x 2) 是二次,餘式至多一次,可設為 ax b , 令 f ( x) ( x 1)( x 2)q( x) (ax b) , 則 f (1) (1 1)(1 2)q(1) (a b) a b , 又由餘式定理知 f (1) 2 , 故 a b 2 ……①, 又 f (2) (2 1)(2 2)q(2) (2a b) 2a b , 得 2a b 7 ……②, 聯立解①②可得 a 3, b 1 , 故 f ( x) 除以 ( x 1)( x 2) 的餘式為 3x 1 。 註: 若多項式 f ( x) 滿足 f (1) 2, f (2) 7 , 則 f ( x) 除以 ( x 1)( x 2) 的餘式為 3x 1 , 即 f ( x) ( x 1)( x 2)q( x) (3x 1) , 其中 q( x) 是任意多項式, 這樣的 f ( x) 有很多, 而次數最低者,就是取 q( x) 0 , 得 f ( x) 3 x 1 。 b 若 f (x) 除以 (ax b) 之商為 q(x) 、餘式為 r ,則 f (x) 除以 ( x ) 之商及餘 a 式各為何? 設 , 是相異數,試證:若 f ( ) f ( ) 0 ,則 ( x )( x ) 是 f ( x) 的因. 4. 5.. 式。 證明: 由 f ( ) 0 知 x 是 f ( x) 的因式, 令 f ( x) ( x )q( x) , 又 f ( ) ( )q( ) 0 ,且 0 , 故 q( ) 0 , x 就是 q( x) 的因式, 可令 q( x) ( x ) p( x) , 於是 f ( x) ( x )( x ) p( x) , 即 ( x )( x ) 是 f ( x) 的因式。 6.. 證明: xn a n ( x a)( x n 1 ax n 2 a 2 xn 3 a n 2 x a n 1 ) 。. 27.
(11) 【定理】 求餘式的幾種類型: 1. f ( x) (ax b)q( x) r 。 2. f ( x) (ax 2 bx c)q( x) (x ) 。 3. f ( x) (ax 3 bx 2 cx d )q( x) (x 2 x ) 。 4. f ( x) ( x a)q( x) r 。 5. f ( x) ( x a)( x b)q( x) (x ) 。 6. f ( x) ( x a)q1 ( x) ( x a)[( x b)q2 ( x) ] ( x a)( x b)q2 ( x) ( x a) 7. f ( x) ( x a)( x b)( x c)q( x) (x 2 x ) 。 8. f ( x) ( x a)q1 ( x) ( x a)[( x b)q2 ( x) ] ( x a)( x b)q2 ( x) ( x a) ( x a)( x b)[( x c)q3 ( x) ] ( x a) ( x a)( x b)( x c)q3 ( x) ( x a)( x b) ( x a) . 28.
(12) 【問題】 1. 設 x1 , x2 是兩個相異實數,如果給定實數 y1 , y2 ,是否存在多項式 f ( x) ,使 f ( x1 ) y1 , f ( x2 ) y2 呢? 解答: 首先,可設 f ( x) 除以二次式 ( x x1 )( x x2 ) 的餘式 r ( x) ax b (至多一次), 令 f ( x) ( x x1 )( x x2 )q( x) r ( x) ( x x1 )( x x2 )q( x) (ax b) , 則 y1 f ( x1 ) r ( x1 ) ax1 b ……① y2 f ( x2 ) r ( x2 ) ax2 b ……② ② ①得 a( x2 x1 ) y2 y1 , 故a . x y x y y2 y1 ,以此代入①,可得 b 2 1 1 2 , x2 x1 x2 x1. 於是所有形如 f ( x) ( x x1 )( x x2 )q( x) . y2 y1 x y x y x 2 1 1 2 x2 x1 x2 x1. 的多項式都滿足 f ( x1 ) y1 , f ( x2 ) y2 , 其中取 q( x) 0 , f ( x) 的次數最低, 此時 f ( x) r ( x) . y2 y1 x y x y x 2 1 1 2 ,它是至多一次的多項式。 x2 x1 x2 x1. 我們可將 r ( x) 變形如下: y2 x y1 x x2 y1 x1 y2 x2 x1 y ( x x2 ) y2 ( x x1 ) 1 x2 x1 y1 y2 ( x x2 ) ( x x1 ) 。 x1 x2 x2 x1. r ( x) . 從最後的式子中, 我們很容易看出 r ( x1 ) y1 , r ( x2 ) y2 。 r ( x) 又可表成 r ( x) y1 . x x2 x x1 , y2 x1 x2 x2 x1. 這樣的表示式稱為拉格朗日插值多項式。. 29.
(13) 2.. 設 x1 , x2 , x3 是三個相異實數,如果給定實數 y1 , y2 , y3 ,是否有多項式 f ( x) ,使 f ( x1 ) y1 , f ( x2 ) y2 , f ( x3 ) y3 呢? 解答: 我們可以仿一次式的情形,取拉格朗日插值多項式 L(x) y1 ( x x2 )( x x3 ) ( x1 x2 )( x1 x3 ) y2 ( x x1 )( x x3 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) y3 ( x x1 )( x x2 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) y1 . ( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x3 ) ( x x1 )( x x2 ) , y2 y3 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ). 則 L( x) 至多二次, 且 L( x1 ) y1 , L( x2 ) y2 , L( x3 ) y3 。 假設至多二次的多項式 g ( x) 也滿足 g ( x1 ) y1 , g ( x2 ) y2 , g ( x3 ) y3 , 那麼 g ( x) 是否就是 L( x) 呢? 我們可令 F ( x) g ( x) L( x) , 則 F ( x) 至多二次, 且 F ( x1 ) F ( x2 ) F ( x3 ) 0 , 故 F ( x) 是零多項式, 故 g ( x) L( x) 。 設 f ( x) 是一多項式(不限次數), 滿足 f ( x1 ) y1 , f ( x2 ) y2 , f ( x3 ) y3 , 令 f ( x) 除以 ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 的餘式為 r ( x) , 則 r ( x) 至多二次, 且 f ( x) ( x x1 )( x x2 )( x x3 )q( x) r ( x) , 於是, f ( x1 ) r ( x1 ) y1 , f ( x2 ) r ( x2 ) y2 , f ( x3 ) r ( x3 ) y3 , 故餘式 r ( x) 就等於拉格朗日插值多項式 L( x) 。 由此也可知拉格朗日插值多項式 是滿足 f ( x1 ) y1 , f ( x2 ) y2 , f ( x3 ) y3 的多項式 f ( x) 中 次數最低且唯一的多項式。. 30.
(14) 【定義】 1. 至多 n 次的函數: 多項式函數 y f ( x) an xn an1x n1 a1x a0,當 an 0 時,它是 n 次函數。 若不限制 an , an1 , , a1 , a0 這些係數是否為 0 ,則稱為至多 n 次的函數。 註: 插值多項式是本次課程修訂,在多項式教材中所新增的課題,其目的在建立 過 n 個已知函數值的「多項式的形式」 , n 可為任意正整數,但本教材以 n 不 超過 4 為主。 2. 拉格蘭吉插值多項式: 設 x1, x2 ,, xn , xn 1 是 n 1 個相異數, 給定 y1 f ( x1 ), y2 f ( x2 ),, yn f ( xn ), yn1 f ( xn1 ) , 則拉格蘭吉插值多項式是滿足條件且次數最低的唯一多項式。 例如: (1) n 1 時,拉格蘭吉插值多項式為 x x2 x x1 f (x) y1 y2 。 x1 x2 x2 x1 (2) n 2 時,拉格蘭吉插值多項式為 f (x) ( x x1 )( x x3 ) ( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x2 ) y1 y3 。 y2 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x3 x1 )( x3 x2 ) ( x2 x1 )( x2 x3 ) (3) n 3 時,拉格朗日插值多項式為 ( x x2 )( x x3 )( x x4 ) ( x x1 )( x x3 )( x x4 ) y2 ( x1 x2 )( x1 x3 )( x1 x4 ) ( x2 x1 )( x2 x3 )( x2 x4 ) ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) ( x x1 )( x x2 )( x x4 ) 。 y3 y4 ( x3 x1 )( x3 x2 )( x3 x4 ) ( x4 x1 )( x4 x2 )( x4 x3 ) f ( x) y1 . 31.
(15) 【說明】 1. 拉格朗日插值多項式: 設 f ( x) ( x a) g ( x) f (a) ,則 f (b) (b a) g (b) f (a) , g (b) . f (b) f (a) , ba. f (b) f (a) , ba f (b) f (a) ( x a) f ( a) 所以 f ( x) ( x a)( x b)q( x) ba f (b) f (a) ( x a)( x b)q( x) ( x a) [ ( x a) f (a)] ba ba f (b) f (a) ( x a)( x b)q( x) ( x a) ( x b) 。 ba a b f (b) f (a) xa x b ( x a) ( x b) f (b) f ( a) 其中 稱為通過 (a, f (a)) 與 ba a b ba a b (b, f (b)) 兩點的插值多項式,也就是 f ( x) 除以 ( x a)( x b) 之餘式為通過 (a, f (a)) 與 (b, f (b)) 的插值多項式,利用插值多項式就可以求 ( x a)( x b) 除 f ( x) 的餘式。. 因此 g ( x) ( x b)q( x) . 2.. 3.. 可能不容易理解此作法,但它有一般性,多操作並熟練後,就不難了。 我們可以建構出滿足 f (1 ) 1 , f ( 2 ) 2 , f (3 ) 3 的 不超過三次的拉格朗日插值多項式 ( x 2 )( x 3 ) ( x 1 )( x 3 ) ( x 1 )( x 2 ) , L( x) 1 2 3 (1 2 )(1 3 ) ( 2 1 )( 2 3 ) ( 3 1 )( 3 2 ) 它也是多項式 f ( x) 被 ( x 1 )( x 2 )( x 3 ) 除的餘式;這個形式化的多項式展 現出數學化繁為簡的精神,利用拉格朗日多項式可以處理任意多項式 f ( x) 被 ( x 1 )( x 2 )( x 3 ) 除的餘式。 目前不宜利用 f ( x) ( x 1 )( x 2 )( x 3 )q( x) (ax2 bx c) 的方式處理這類 的問題,因為它必須透過解三元一次方程組的過程才能解出 a ,b , c 之值, 解三元一次方程組的課程是高二課程中的一個單元。 我們可以建構出滿足 f ( x1 ) y1 , f ( x2 ) y2 ,…, f ( xn ) yn , f ( xn1 ) yn1 的不 超過 n 次的拉格朗日多項式 L( x) ,利用此多項式可以建構出多項式函數 y L( x) ,它的圖形是平面上經過 n 1 個點 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,…, ( xn , yn ) , ( xn1 , yn1 ) 的最簡單的曲線。函數 y L( x) 常被用來逼近一般函數,且其為求 一般函數的近似值之最簡單利器。. 32.
(16) 【問題】 1. 設多項式 f ( x) 滿足 f (1) 5, f (3) 3 ,求最低次的多項式 f ( x) 。 解答: 由拉格朗日插值多項式 f ( x) 5 . 2.. x 3 x (1) 5 3 3 ( x 3) ( x 1) 2 x 3 。 1 3 3 (1) 4 4. 設 f ( x) 是至多二次的多項式,已知 f (2) 4, f (1) 1, f (2) 8 ,求 f ( x) 。 解答: 取拉格朗日插值多項式 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 1) 1 (8) (2 1)(2 2) (1 2)(1 2) (2 2)(2 1) 1 1 ( x 2 3x 2) ( x 2 4) 2( x 2 x 2) 2 x 2 3x 6 。 3 3 設 f ( x) 是三次多項式,已知 f (1) 5, f (2) 7, f (3) 11, f (4) 1 ,求 f ( x) 。 f ( x) 4 . 3.. 解答: (方法一) 可以取拉格朗日插值多項式,也可以解之如下: 設 f ( x) 除以 x 1 的餘式是 d , 令 f ( x) ( x 1) p( x) d ,其中 p( x) 是二次式。 又設 p( x) 除以 x 2 的餘式是 c , 令 f ( x) ( x 1)[( x 2)q( x) c] d ( x 1)( x 2)q( x) c( x 1) d , 其中 q( x) 是一次式。 再設 q( x) a( x 3) b ,於是 f ( x) ( x 1)( x 2)[a( x 3) b] c( x 1) d a( x 1)( x 2)( x 3) b( x 1)( x 2) c( x 1) d , (一開始就可以將 f ( x) 設成如此的形式。) x 1 時, f (1) d 5 ; x 2 時, f (2) c d 7 ,得 c 2 ; x 3 時, f (3) 2b 2c d 11 ,得 b 1 ; x 4 時, f (4) 6a 6b 3c d 1 ,得 a 3 。. 故 f ( x) 3( x 1)( x 2)( x 3) ( x 1)( x 2) 2( x 1) 5 3x3 19 x2 34 x 23 。 (方法二) 也可直接設 f ( x) ax3 bx2 cx d 。 由 f (1) a b c d 5 , f (2) 8a 4b 2c d 7 , f (3) 27a 9b 3c d 11 , f (4) 64a 16b 4c d 1 , 解以上四元一次聯立方程組,可得 a 3 , b 19 , c 34 , d 23 。 註: 這個作法的想法是最簡單的,但在這裡,解四元一次方程組不是我們討論 的目標。. 33.
(17)
相關文件
將一條長 56cm 的綠色緞帶和一條長 42cm 的紅色緞帶剪成一樣長 的小段,且沒有剩下,則每小段緞帶最長是幾 cm?.
[r]
[r]
[r]
[r]
點選 LinkButton 控制 項的 (DataBindings) 屬性,在自訂繫結
[r]
求出 Select Case 運算式之值,並逐一與 Case 運算式值串列比對,若符合則執行該 Case 之後的敘述區段。1. 如果所有的