图形的位似--巩固练习
【巩固练习】
一. 选择题 1.下面给出了相似的一些命题： （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（ ）. A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2.下列说法错误的是（ ）. A.位似图形一定是相似图形. B.相似图形不一定是位似图形. C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行. 3.下列说法正确的是（ ） .A.分别在 ABC 的边 AB、AC 的反向延长线上取点 D、E，使 DE∥BC，则 ADE 是 ABC 放大后的图形. B.两位似图形的面积之比等于相似比. C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比. D.位似图形的周长之比等于相似比的平方. 4．（2016•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点 O 为位似中心， 相似比为 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④ 平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有 ( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6．如果点 C 为线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）. A. AB：AC=AC：BC B. AC=
5 1
2
AB
C.AB=5 1
2
AC
D.BC≈0.618AB7.已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四 边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ）.
A.
5 1
2
B.5 1
2
C.3
D.2 二. 填空题 8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为 3cm 和 5cm，且较小图形周长 为 30cm，则较大图形周长为__________.9. （2016•三明）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，0），D（3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点 O 是位似中心．若 AB=1.5，则 DE= ．
10．如图，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形
A B C D E
，已知OA=10cm，OA′ =20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E
的周长的比值是__________．11. △ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，△ADE 是△ABC 缩小后的图形.若 DE 把△ABC 的面 积分成相等的两部分，则 AD：AB=________. 12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为 ____________________. 13.（2015•钦州）如图，以 O 为位似中心，将边长为 256 的正方形 OABC 依次作位似变换，经第一次 变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA 的 ，经第二次变化后得正方形 OA2B2C2，其边长 OA2缩小为OA1的 ，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的 ，…，依次 规律，经第n 次变化后，所得正方形 OAnBnCn的边长为正方形OABC 边长的倒数，则 n= ． 14. 如图，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC 的平分线与 AC 边的交点 D 为边 AC 的黄金分割点 （AD＞DC），则 BC=______________. 三． 综合题 15.如图，D、E 分别 AB、AC 上的点. (1)如果 DE∥BC，那么△ADE 和 △ABC 是位似图形吗？为什么？
(2)如果△ADE 和 △ABC 是位似图形，那么 DE∥BC 吗？为什么？
16.（2014 秋•海陵区校级月考）如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且 AB∥CD∥EF， （1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；
（2）若 AB=2，CD=3，求 EF 的长．
17. 如图 1，矩形 ODEF 的一边落在矩形 ABCO 的一边上，并且矩形 ODEF∽矩形 ABCO，其相似比为 1：4， 矩形 ABCO 的边 AB=4，BC=4
3
．（1）求矩形 ODEF 的面积；
（2）将图 1 中的矩形 ODEF 绕点 O 逆时针旋转一周，连接 EC、EA，△ACE 的面积是否存在最大值或最 小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B 【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误； （2）（3）（5）符合相似的定义，故正确； （4）对应边的比不一定相等．故错误． 故正确的是：（2）（3）（5）．故选 B． 2．【答案】D. 3．【答案】C. 4.【答案】D. 【解析】∵A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，∴点 A 的 对应点A′的坐标为（﹣3× ，6× ）或[﹣3×（﹣ ），6×（﹣ ）]，即 A′点的坐标为（﹣1，2）或 （1，﹣2）． 5．【答案】B 【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选 B. 6．【答案】D. 【解析】∵AC＞BC， ∴AC 是较长的线段， 根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=
5 1
2
AB
, AB=5 1
2
AC
AC≈0.618AB．故选 D． 7.【答案】B. 【解析】∵AB=1， 设 AD=x，则 FD=x-1，FE=1， ∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ∴EF
AD
FD AB
，1
1 1
x
x
， 解得 1=
1+ 5
2
x
, 2=
1- 5
2
x
,（负值舍去）， 经检验 1=
1+ 5
2
x
是原方程的解．故选 B． 二、填空题 8.【答案】50cm. 9.【答案】4.5．【解析】∵△ABC 与 DEF 是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知 A 点坐标为（1，0），D 点坐标 为（3，0）， ∴AO=2，DO=5， ∴ = = ， ∵AB=1.5， ∴DE=4.5． 故答案为：4.5． 10.【答案】1：2． 【解析】∵五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm， ∴五边形 ABCDE∽五边形 A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2， ∴五边形 ABCDE 的周长与五边形 A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2． 故答案为：1：2． 11.【答案】 . 【解析】由 BC∥DE 可得△ADE∽△ABC，所以 ，故 . 12.【答案】
2:1
.【解析】矩形 ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形 ABCD∽矩形 BFEA，设矩形的长为 a，宽为 b．则 AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=
2
a
，根据矩形相似，对应边 的比相等得 到：BF EF
,
AB BC
即：2 =
a
b
b a
，则 b 2 = 22
a
∴ 2 2=2,
a
b
∴2
=
1
a
b
13. 【答案】16. 【解析】由图形的变化规律可得 ×256= ， 解得n=16． 14. 【答案】2 5-2
. 【解析】∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， 又 BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∴∠BDC=72°， ∴BC=BD=AD， ∵D 点是 AC 的黄金分割点，∴BC=AD=4×
5-1
2
=2 5-2
. 三．解答题 15.【答案与解析】 (1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是： DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以 . 又因为 点 A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点 D 和点 B 是对应点，点 E 和点 C 是对应点，直线 BD 与 CE 交于点 A，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形. (2)DE∥BC.理由是： 因为△ADE 和△ABC 是位似图形， 所以△ADE∽△ABC 所以∠ADE=∠B 所以 DE∥BC. 16.【答案与解析】解：（1）△DFE 与△DBA，△BFE 与△BDC，△AEB 与△DEC 都是位似图形， 理由：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点， ∴△DFE 与△DBA，△BFE 与△BDC，△AEB 与△DEC 都是位似图形； （2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3， ∴ = = ， ∴ = = ， 解得：EF= ． 17.【答案与解析】 （1）∵矩形 ODEF∽矩形 ABCO，其相似比为 1：4， ∴S矩形 ODEF=
1
16
S矩形 ABCO=1
16
×4×43
=3
； （2）存在． ∵OE=OF
2
OD
2
3 1
2
22
所以点 E 的轨迹为以点 O 为圆心，以 2 为半径的圆， 设点 O 到 AC 的距离为 h， AC=AB
2
BC
2
4
2
4 3
2
8
∴8h=4×43
， 解得 h=23
，∴当点 E 到 AC 的距离为 2
