單元五直角坐標系

(1)

單元五直角坐標系

重點一、距離公式

1. 設 A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，則

AB

=

(

x

₂

−

x

₁

)

2

+

(

y

₂

−

y

₁

)

2

2. 點(x

0

，y

0

)至直線 ax + by + c = 0 的距離

0 0 2 2

ax

by

c

a

b

+

=

+

3. 兩平行線 ax + by + c

1

= 0，ax + by + c

2

= 0 的距離

1 2 2 2

c

a

b

−

=

+

重點二、分點公式

設 A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，P∈ AB

且 AP ： BP = m：n，則 P(

n

m

nx

mx

2 1

+

，

n

m

ny

my

2 1

+

)

1. 設 A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，則 AB 之中點(

2 x

x

1

+

2

_，

2 y

y

1

+

2

₎

2. 設 A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，C(x

3

，y

3

)，則△ABC 之重心 G 為

(

3 x

x

1

+

2

+

3

_，

3 y

y

1

+

2

+

3

₎

重點三、凸多邊形面積公式

多邊形 A

1

(x

1

，y

1

)，A

2

(x

2

，y

2

)，……，A

n

(x

n

，y

n

)之面積為

P

m

n

_B A (x2，y2) (x，y) (x1，y1) ( 2 1 y y y y y x x x x x 2 1 1 n 3 2 1 1 n 3 2 1     + = ↘ ｜｜ )− ↗( +)

(2)

精選歷屆試題

1. 數線上A

( )

− ，且3 AB= ，則 B 點所對應的數為 (A)5 (B) 85 − (C)2 (D) 2− 或 8 (E)2 或 8− 。 2. 數線上A

(

−17

)

，B

( )

8 ，P 在 AB 上且AP BP: =2 : 3，則 P 點所對應的數為 (A) 7− (B) 2− (C)5 (D)6 (E)15。 3. 設A

(

2, 3− ，

)

B

(

−4,8

)

，若P x y 在 AB 的延長線上，且

( )

, AP BP: =5 : 3，則外分點 P 的坐標為 (A) 2 7, 5 5       (B) 2 7 , 5 5 ₋      (C) 9 13 , 8 8       (D) 3 5 , 2 2 ₋      (E) 49 13, 2 ₋     。 4. 設A

(

−6,8

)

，B

(

9, 13−

)

，若P x y 在 AB 的延長線上，且

( )

, AP BP: =2 : 5，則外分點 P 的坐標為 (A) 11, 4 7 7  ₋      (B) 11 4 , 7 7 ₋      (C) 4 7 , 3 3 _{− −}      (D)

(

−16, 20−

)

(E)

(

−16, 22

)

。 5. 下列哪一點距離原點最近？ (A)(–6,0) (B)(0,–5) (C)(0,4) (D)(–3,0)。 6. 平面上兩點P(5,4)，Q(2,–2)的距離等於 (A)

13

(B)

27

(C)

33

(D)

45

。 7. 若P點為A(–1,3)與B(3,7)兩點之中點，則P點到原點的距離為 (A)26 (B)

58

(C)

10

(D)

26

。 8. 平面坐標中A(–6,–8)至x軸之距離為 (A)10 (B)–6 (C)–8 (D)8。 9. 設一圓之圓心(3,–1)，點P(–2,4)在圓周上，則此圓之直徑長為 (A)10 (B)5

2

(C)50 (D)10

2

。 10. 設A，B，C為平面上共線之三點，且C介於A、B兩點之間，已知A點的坐標為(–3,5)， B點的坐標為(4,–2)，且 3

AC

=4

BC

，則C點之坐標為 (A)(–2,0) (B)(0,2) (C)(1,1) (D)(3,1)。 11. 設A的坐標為(5,7)，B的坐標為(–1,1)，P為AB上之點，AP=3BP，則P的坐標為 (A)(2,1) (B)(1,3) (C)( 2 1 ,1) (D)( 2 1 , 2 5 )。 12. 設A(–2,1)，B(3,2)為二定點，P為AB上之一點，且

PB

AP

= 3 2 ，則P= (A)(1, 5 7 ) (B)(0, 5 7 ) (C)( 5 7 ,1) (D)( 5 7 ,0)。 13. 設一平行四邊形□ABCD，已知A(3,4)，B(2,5)，C(–1,–2)，則D為 (A)(–4,3)

(3)

(B)(0,–3) (C)(–3,4) (D)(2,1)。 14. 設A(0,5)，B(1,9)，C(2,5)，則菱形ABCD中，D點坐標為 (A)(1,1) (B)(1, 2 1 ) (C)( 2 1 ,1) (D)(1,2)。

15. △ABC中，A(0,0)，B(2,7)，C(7,–1)，求△ABC的重心坐標？ (A)(–2,3) (B)(2,3)

(C)(3,2) (D)(3,–2)。 16. 已知△ABC之三邊為AB，

BC

，

CA

，若其中點之坐標分別是( 2 3 ,3)，(0, 2 5 )， ( 2 9 , 2 7 )，則△ABC的重心坐標為 (A)(2,3) (B)(1,2) (C)(2,4) (D)(1,3 )。

(4)

試題解析

1. 設B b

( )

AB= − − = ⇒ 3 b 5 − − = ± ⇒ 3 b 5 b= 或 82 − 2. AB= − − =17 8 25  AP BP: =2 : 3 ∴ 2 2 25 10 5 5 AP= AB= × = 故將 A 點向右移 10 個單位即為 P 點 ⇒ 17 10− + = − 7 3.  AP BP: =5 : 3 ⇒ AB BP: =2 : 3 設P x y

( )

, 4 3 2 2 2 3 x × + × − = + ⇒ x= − 13

( )

3 3 2 8 2 3 y × − + × = + ⇒ 49 2 y= ∴ 13,49 2 P_− _   4.  AP BP: =2 : 5 ⇒ PA AB: =2 : 3 設P x y

( )

, 3 2 9 6 2 3 x × + × − = + ⇒ x= − 16

(

)

3 2 13 8 2 3 y × + × − = + ⇒ y=22 ∴ P

(

−16, 22

)

5. (A) 2 2 ( 6)− +0 =6 (B) 2 2 0 + −( 5) =5 (C) 2 2

0 +

4

=4 (D) 2 2 ( 3)− +0 =3 6. |PQ|= 2 2 (2 5)− + − −( 2 4) =

9 36

+

=

45

7. P=( 1 3 2 − + ,3 7 2 + )=(1,5)

PO

= 2 2 (0 1)− + −(0 5) =

1 25

+

=

26

8. D 9. O(3,–1)，P(–2,4) ∴

OP

= 2 2 ( 2 3)− − + +(4 1) =

25 25

+

=

5 2

10.

AC

：

BC

=4：3，C(3( 3) 4 4 7 − + × ,3 5 4( 2) 7 × + − )=(1,1)

(5)

11. P(x,y)=( 3 5 4 − + ,3 7 4 + )=(1 2, 5 2)， 12. 如圖所示 ∵ P為AB上一點 ∴ P為內分點。 13. B 14. A 15. C 16. (

單元五 直角坐標系