楊惠后
臺中市曉明女子中學
一、前言
刻卜勒曾說過:「畢氏定理與黃金分割是 幾何學的兩大寶藏」，有關畢氏定理(又稱商 高定理)的證明方法目前已知有人收集到 250 種 (注 1)，有些是嚴密的證明；有些是「拼補 相等」的證明。基於教學的需要，除了介紹 給學生知道有關商高定理的一些簡單歷史背 景，同時也企望能讓學生體悟到商高定理多 解證明的美妙之處，藉此或多或少引起學生 學 習 數 學 的 樂 趣 與 動 機 , 故 而 著 手 整 理 商 高 定理的一些相關資料；文末並錦上添花地附 上自己研究出來的證明方法。二、列舉如下:
(1)趙爽(趙君卿)的證法:
有關商高定理的記載，最早出現在周髀 算經(注 2)的趙君卿 注中。文中敘述商高(西周 大夫，B.C.1100 年)曾提過「勾廣三、股脩四、 徑偶五」，而且商高認為早在禹治水時即利用 了這個性質。然而有關一般性的商高定理最 早記載在 周髀算經對於陳子的敘述:「若求邪 至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自 乘，并而開方除之，得邪至日」並指出測日 的方法。直至魏晉數學家趙君卿(A.D.300∼ 400 年左右)在注中所提到的「弦圖」(原圖已 失，後人根據所述補繪)，才正式給出商高定 理的證明 :「勾股各自乘併之為弦實，開方除 之即弦，案弦圖又可以勾股相乘為朱實二， 倍 之 為 朱 實 四 ， 以 勾 股 之 差 自 相 乘 為 中 黃 實，加差實，亦成弦實。」這個證明是所有 商 高 定 理 的 證 明 中 最 簡 單 和 最 巧 妙 的; 外 國 人 用 同 樣 方 法 來 證 明 的 是 印 度 數 學 家 Bhaskara -Acharya (A.D.1114~1185 年)，比趙 君卿晚了數百年。緣於此歷史的淵源，所以 「商高定理」又可稱為「陳子定理」、「勾股 定理」、「勾股弦定理」。 「弦圖」 說明： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 4 b a c b ab a ab c b a ab c + = ⇒ + − + = ∴ − + × = Q(2)畢氏學派的證法：
西方國家普遍相信此定理是畢達哥拉斯 (B.C.560~480 年)發現的，或者至少是由他證 明 的 ; 所 以 商 高 定 理 又 稱 「 畢 達 哥 拉 斯 定 理 」， 簡 稱 「 畢 氏 定 理 」。 然 而 1945 年 Neugebauer 等人詮釋一塊巴比倫 泥板，發現 c b a 朱 朱 朱 朱 黃巴比倫人在約 B.C.1900~1600 年已經知道至 少 15 組 的 畢 氏 三 元 數 ( 滿 足 2 2 2 c b a + = 的正整數解)，所以畢達哥拉斯 是否發現此定 理，目前並無定論。 說明: 比較左右兩個邊長均為
a
+
b
的正方形 面積，即可得 正 方 形 丙 面 積 =正 方 形 甲 面 積+ 正 方 形 乙面積 2 2 2 b a c = + ⇒(3)利用乘法公式及簡單的面積公式：
說明: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 ) ( c b a c ab b ab a c ab b a = + ⇒ + = + + ∴ + × = + Q(4)歐幾里得的證法：
在幾何原本 (注 3)第一卷命題 47 中記載 著歐幾里得(B.C.300 年)的證法，後人認為歐 幾里得是第一個證明此定理的人；下圖是歐 幾里得所畫的圖也從此名聞遐邇，更由於它 與風車相像，因此俗稱為「風車」。 說明:1.
Q
矩形
BDKM面積=
2∆ABD面積
=2∆BCF面積(Q∆ABD ≅∆BCF) =正方形ABFG面積 2. 同 理 可 得 矩 形CEKM 面 積= 正 方 形 ACIH 面積 3.由 1.2.可知 正方形BCED面積=正方形ABFG面積+ 正方形 ACIH面積 ⇒BC2 =AB2+AC2(5) 九章算術的證法：
九章算術(注 4) <卷九>勾股章的內容都 是講商高定理在日常生活上的應用。魏晉時 期 平 民 數 學 家 劉 徽 在 << 九 章 算 術 注 >>(A.D.263 年)提及:「勾自乘為朱方，股自 乘為青方，令出入相輔，各從其類，因就其 餘不移動也，合成弦方之冪，開方除之，及 弦也」。因原圖已經失傳，後人依劉徽注繪圖 (注 5)。(6)Thabit ibn Qurra 的證法：
阿拉伯數學家 Thabit ibn Qurra (A.D.826 ∼901 年)提出的證法是:對於任意給定的直 a b b a c c b a c c a b a b b a c c b a c c a b a b b c a 甲 乙 丙 A G F B D K E C I H M 青入 朱 入 朱 青 朱 出 青出 青入 青出
角三角形，以它的兩股長為邊長的正方形， 可被切割後重新拼湊成以斜邊為邊長的正方 形。 說明: 如圖所示，很清楚地可以看出: 邊長為 c 的正方形ABCD的面積等於 邊長為 a 的正方形BEFG的面積與 邊長為 b 的正方形DIFH的面積和 所以 2 2 2 b a c = +
(7)1876 年美國總統 Garfield 的證法：
說明:Q
梯形 ABCD面積=∆ABE+∆CDE AED ∆ + 面積 2 2 2 1 2 1 2 2 ) ( c ab b a + × = + ∴ 2 2 2 c b a + = ⇒(8)數學老師陳國裕的證法：
(注 6) 說明: 1.Q∆ABC≅∆CDE ∴∠1=∠2 且 Q∠2+∠3=90° ⇒∠1+∠3=90° CE AB⊥ ⇒ ACBE ∴ 面積= AB×CE 2 12.
Q
梯形 ACDE面積=ACBE面積+∆BDE面 積 ) ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 a b a c b a b − + = + ∴ 2 2 2 c b a + = ⇒(9)義大利文藝復興時代畫家達文西的
證法：
說明: 圖一沿虛線剪開，取一片上下顛倒與另 一片沿虛線拼貼成圖二；比較兩圖，可知圖 一的兩個小正方形面積和等於圖二的大正方 形面積。 即可得 2 2 2 b a c = +(10)利用相似性質證明的方法:
已知∠ACB=90°，CD⊥AB，則 2 2 2 2 2 ) ( AB AB BD AD AB BD AB AD BC AC AB BD BC AB AD AC = × + = × + × = + ∴ × = × = Q C A D B a b c c b a A B C D E c c c c a b a b b a b a A B C D E F G H I A B C D E G a b-a a b c c 1 2 3 a b c a b c 圖一 a a b b c c 圖 二(11)利用切割線段性質來證明：
PQ切圓O於Q點，PR為通過圓心O的 割線，利用 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( OQ PO OQ PO OQ PO OR PO OS PO PR PS PQ − = + × − = + × − = × =(12)利用向量來證明：
2 2 2 ) 0 , ( 2 ) ( ) ( b a b b a a b a b a b b b a a a b a b a c c c + = ⋅ + ⋅ = = ⋅ ∴ ⊥ ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + = ⋅ = v v v v v v v v Q v v v v r v v v v v v v(13)
下面的拼圖遊戲為伯里加(Perigal)所提 出的，令O為兩對角線的交點， XY 通 過O且 平 行 斜 邊 ， PQ⊥XY 於O， 今 將 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊 五 塊 圖 形 剪 下 ， 可 拼 成 圖 形 己 ， 藉 此 來 證 明 商 高定理。(14)自己的研究心得：
已 知 ∠C=90° ， AC IE⊥ ，I為內心，IE為 內切圓半徑， AD為∠CAB 的 角 平 分 線 ， AB=c， b AC= ，BC=a 1.利用內分比性質，可得 c b ab CD + = 2.利用兩股和等於內切圓直徑與斜邊和的性 質，可得 2 c b a IE= + − 3. 利 用 比 例 線 段 AE:AC=IE:CD ， 可 得 c b ab c b a b a c b + − + = − + : 2 : 2 化簡即可推出 2 2 2 c b a + =注 1：盧米斯(Elisha Scott Loomis)所著的畢 氏 定 理 證 明 (The Pythagorean Proposition)一書已在 1927 年出版，書 中共提出 250 個證明方法，由英國國 立教師協會於 1968 年再版。另 數學家 傳奇一書中提到約 400 多種。 注 2：周髀算經是中國最古老的數學書，同 時也是一部天文學的著作；是西漢末 東漢初（ B.C.100∼A.D.100 年）結集 周秦以來適應天文學上的需要逐漸積 累起來的科學研究成果，採用對話一 問一答的型式寫成的。 注 3：幾何原本由歐幾里得撰寫，共 13 卷 465 個命題，這些命題是建立在簡單的公 設化基礎上。 (下轉第 25 頁) P Q O R S
c
v
b
v
a
v
I A E C D B o X Y P Q 甲 乙 丙 丁 戊 己注 4：九章算術是東漢中期(A.D.100 年左右) 的人根據西漢及其以前的數學知識積 累而編纂的，是中國最早的一部數學 專門著作，完全用問題集的形式編寫 的；共有 246 個問題，分為九章。 注 5：梅文鼎(A.D.1633~1721 年)是在趙爽和 劉徽之後第一個對商高定理留下證明 的中國數學家，其人生前未曾讀到完 整的九章算術 及劉徽的注釋，然而他 證明商高定理的方式與 劉徽的思路頗 相契合；後人設想的各式「青朱出入 圖」都可以追溯到梅文鼎。 注 6：陳國裕老師於數學傳播季刊 (民 87 年 12 月 第 22 卷第 4 期)發表 12 種商高 定理的證法。
