三角形的西瓦線長與斯特瓦特定理

(1)

三角形的西瓦線長與斯特瓦特定理

傅淑婷 1* 蘇志宏 l 陳昭地 2

l 薑北市立敦化國民中學 2 國立臺灣師範大學數學系壹、前言主筆者在敦化國中數理資優班任教十餘年中，發現資(憂學生的優點就是對於不同單元甚至不同領域的課程很能觸類旁通互相聯想。雖然國民中學數學課程的編排，原則上是先代數後幾何，但是思考靈活的學生還是可以提早接觸幾何。最近的一年 (201 月由台灣師大數學系陳昭地教授指導，編寫國家教育研究院國民中學數學教材原型的過程中，將重點放在幾何領域的題材，同時設定許多八年級下學期學生可以提前瞭解並學習的幾何單元，期待國中數學教師可以在適當的時機引用，或是推薦學生作為補充或提前自學教材。國民中學數學教材原型的 C 冊 (下) ，在第 3-3 主題: I 處處多數是等腰三角形」與第 3δ 主題: I 三角形的三心 J ' 循序漸進地介紹了三角形的三邊上的高、中線、中垂線與角平分線。在第 3-7 主題: 「直角三角形母子相似定理與海龍公式 J' 這個單元對從直角三角形到任意三角形中，高與面積間的定量關條有很清楚的詮釋。但是中線與角平分線長呢? 翻看整個國中數學教材，大概只處理 *為本文通訊作者一些特殊三角形，如等腰三角形或直角三角形的中線與角平分線長，一直要到高中學完三角函數，才可以比較簡易的解決這個問題。本文想以國中生就可以瞭解的畢氏定理，引人說明斯特瓦特定理(

Stewart's

Theorem)

，並且利用斯特瓦特定理，輕鬆地解決以任意三角形的三連長來表示三角形的西瓦(Cevian)線段，例如中線與角平分線長的問題。

貳、本文

以我們的經驗教七年級下學期直角坐標單元時，這是第一個適合加入一些幾何圖形探討的時機，只不過是以坐標幾何的觀點。在國家教育研究院國民中學數學教材原型的 B 冊，第 3-1 主題: I 比例教學篇斜率 J' 主筆者以在資優班補充的斜率教材為基礎，利用比例的觀點編寫適合一般國中生可以理解的斜率概念，這份教材在試教後獲得很好的迴響，充分說明國中生就可以引進學習斜率。同時在該單元教學參考資料(180 頁)探討了重宜的二直線，其斜率間的關條式為斜率相乘等於一1 。這樣就解決了坐標平面上三角形高所在的直線方程式，請見以下例題說明。

(2)

的斜率註 =-j 與否重宜的耳其斜

例題 l

;通過 A(l， 2)且斜率為;即可求

在坐標平面上有，6 ABC ，已知 A (l，率為

4

2

出高 AH 的直線方程式為 y=-::-x+ 一，此時

3

35

求得 BC 的直線方程式為 y=-zx+ 互。聯 2) 、 B仰， 2) 、C( 1 ， 8) 。若 BC 邊上的高 AH= 丸，中線 AM= 吭，角平分線 AE= ι 。試分別求高 AH ' 中線 AM ' 角平分線 AE 的直線方程式，進一步算算看

高 h

_a

、中線

rna 、角平分線 fa 的長度。

立解上述兩方程式得到垂足 H 坐標為

24

5 (2一1) 俘 2)

97 146 一一 (一，一一)=>高 AH= 25' 25 這個求高與其直線方程式，其實是適用於任何三角形。聰明的讀者可能早就發

H

E

M

y

8C(1,8) 現直角三角形斜邊上的高，只要利用面積概念，其實可以更快地就計算出

B(9

,

2)

9 ?l

A(1,2)

刊的

-5

ω-m

一泊

者向

「→

x

O 上述例題就是典型的利用坐標幾何來處理問題，如果給定的不是直角三角形，處理模式還是一樣，算是解決三角形先從最單純的 BC 中點坐標為 M(5 ， 5) 看起中線

斗中線AM= J(5 一 1)2

+(5_2)2

=

5

高、中線、角平分線的問題。但是如果三邊長數值取的不好甚至是無理數，計算過程可能變得非常繁複'這就是坐標幾何最常碰到的缺失。至於跳脫直角坐標豆豆，求任意三角形的高、中線、角平分線的長度

到的直線方程式為 y=jx+jo 次求角平

主=主=豆，再利用正中 4: 3 的分點公

EC

AC

6 分線 AE ' 可利用內角平分線內分比

式，計算出 E 坐標為主9， 2)+主(1， 8)

=

(且，笠)

7 7' '7 7 又如何?請見以下例題說明。

24J三

(于一1J +(手斗

例題 2 二字角平分線AE= 如圖，6 ABC ， ζA 的對邊。=

7 '

L三 B 的對

邊 b

=5

'ζC 的對邊 c=6 。已知 BC 邊上

的高 AH= 丸，中線 AM= 吭，角平分線

AE= ι 。試求丸， ma ， la 的長。

31 38

通過 A(l， 2) 和 EC

₇

- ，

-7-)

，所以角平分線 AE 的直線方程式為 y=x+1 0 最後求高 AH 的直線方程式。我觀察學生喜歡用斜率，可見斜率的概念很容易上手。先求 BC

(3)

三角形的西瓦綠長與斯特瓦特定理具來解決這個問題，或是接下來要介紹的就是國中學生可以瞭解的斯特瓦特定理。恥1atthew 這個定理是蘇格蘭數學家 Stewart 在西元 1975 年發表，用來求解三

A

6

,

m

角形中西瓦線段的長度 O

C

MEH

B

斯特瓦特定理:

L， ABC 中， ζA 的對邊 BC=a' ζB 的對邊 AC=b

'

L三 C 的對邊 AB=c

'

D 是 BC 上的任意點， .t. ABC 的西瓦線段就是指 AD' AD 的長度與.t. ABC 的三邊長有

7

本題先求高 AH ' 為此可令 BH=x

'

CH =7-x

咀守 2 一=

30

6

2

_x

2

=

52 一 (7-x)" 求得 BH=x=7 ，再用

利用畢氏定理可很簡易的關條式:

畢氏定理求得高五=扒手于而

c

2

_n+b

2

_{m= α(d}

2

+mn)

(其中 D 點將 BC 分成兩線段，假設

BD

=

m

,

DC

=

n

,

AD

=

do)

若要再求中線 AM ' 這時可利用直角

L，AMH 畢氏定理。先求出恥j 所以

A

一一一一一-::-:

30

7

11

MH=BH-BM= 一一一--一-7 2 14 C

m

C~Y +(伊y

D

。

B

二今中線 AM= 同理求角平分線 AE ' 也可以利用直角

L,

AEH

0 先利用內角平分線內分比

_A

BE

AB

6 一-=

_

6

42

-==-==一，求出 BE=7x 一一一-

EC

AC

5 - -

6 +

5

11

一一一一一-=

30

42

36

所以 EH

=BH

-BE= 一一一=

7

11 77

_B

想要證明斯特瓦特定理，只需畫出 BC 邊上的高 AE= 丸，並假設 DE=p' 如下圖(1)。然 f奎利用中學生就知道的直角三

12~

如果讀者實際動手作作看，就可以知

(前+(引y

=今角平分線 AE= 道上述求中線與角平分線長的計算非常繁角形畢氏定理，就可以推論出結果。考慮 L， ABC 可能是銳角、直角、鈍角三角形，複，難怪國中老師們很少用這樣的考題來考驗學生，因為到了高中我們有更好的工

(4)

A

在證明過程中只是圓形位置不同，並不影響證明結果，讀者可以自行參考兩種圖形。

設問 =2 ，代人斯特瓦特定理

c

2 n+b

2 m

= (d

2 n+m

2 n

+

2mnp)

+

(d

2 m+mn

2 - 2mnp)

= d

2 (n

+ m) + mn(m + n)

=d

2 a+mna

= α(d

2

+mn)

即得斯特瓦特定理 c2_n+b2_{m = α(d}2

+mn)

原來只要利用國中學生瞭解的畢氏定理，就可以證明斯特瓦特定理，如果是高中生也可以嘗試用餘弦定理證明看看。既然斯特瓦特定理是探討 AD 的長，所以就可以輕鬆地利用斯特瓦特定理，算出三角形的中線長與內角平分線長。 (一)計算L:， ABC 的中線長 AD 時，只需假

C

E

h

a

A

。

m

B

m

C 國 (I)

c

2 n+b

2 m

= α(d2

+mn)

，則看直角L:，ABE:

(c

2

+ 的才=叫ma24)

AB2= 互2+ 訪，

!l

p

C

2 =九2

+(m+ p)2...(l)

得到中線長公式: 2

(c

2 +b

2 )

a

2

m. = 一一一一一一一-一一一 “

2

4 看直角L:， ADE:

h

_a

2 =

d

2 _

p2 代人 (I)式，

可得

c

2

₌

h

_a

2 +(m

+

p)2

=

d 2 _ p2+m 2+2mp+ p2

=d

2 +m

2 +2mp ...(2)

同理看直角t.ACE: C

m

B

D

。

A

C

AC

2 =AE

2 + CE

2 ,

!l

pb

2 =h

_a

2 +(n-p)2....(3)

將 h

_a

2

₌

_{d2 _}

_{p2 代人 (3)式，可得}

b2

=

h

_a2

₊

_{(n - p)2}

₌

d 2 _ p2+n 2 _ 2np

+

p2

= d

2 +n

2 - 2np

...(4)

(2)xn+(4)xm

(二)計算L:， ABC 的內角平分線長AD 時，

因為內角平分線的內分比性質竺 c

n

0

所以可以算出 m=11 ， n=ii 代人

c+o

c+ 。斯特瓦特定理 c2_n+b2_{m= α(d}2

+mn)

(5)

三角形的西瓦綠長與斯特瓦特定理

誤

無

確

正

算

驗

一ω7

三今已=

A

D 是 BC 之外分點的

e

2

_n-b

2

_m=a(一d

2

+mn)

底下我們再討論斯特瓦特定理: C

m

C

D

B

A

C /" 2

a

2

be 、

則 e

2

x 一一于 +b

2

X 一一 =α(t月+一一=:=--，

)

e+b

、“ (e+b)益，

a

d

b

G

B

be

2 b

2e

勻。2be

三三〉一一一一+一一一一 =t"+ 一一一一一局

e+b

"

(e+b)"

點在 BC 之外，還是假設

DC

=

n

,

AD

=

do)證明如下圖 (2) ，畫出 BC 邊上的高 AE= 丸，並假設 DE=p 0

D

m

D

(其中

BD=m

,

得到內角平分線長公式

、

be

2

+b

2 c

a

2

fn" =(一一一一一)一一一~.~， =

be-mn

"

e+b

(e+b)"

或

tahqh一品刊l一(占)]

A

(三)嘗試用上述兩個公式驗證例題 2 的結

d

hn'

_G, C 果:

2 (e

2 +b

2 )

a

2 (6

2 +5

2 )

7

2

73 m

- 一一一一一-一一一一=一一一一一一一一一一一=一一 a

2

4

2

4

4 E

D

m

。

B

今中線ma=于求內角平分線時先

圖 (2)

6

42 _

5

35

求出 m=7x 一一=一，

n

=7x

一一--6+5

11 6+5

11 看直角 AABE:AF= 互2+EE2'

、

....

', 可自 ', .. 、 Dt

m

守自

m

+

'd 一一 , nuC ~p

e

2

=

h

_u

2 +(m- p)2

...(1)

= d2 _

p2 代人(1)式，可得或今 42

35

tι =

be-mn

=5x6 一一-x 一

"

11

11 5x6x11

2 -6x7x5x75x6x72

11

2

11

2 同理看直角

6ACE: 正2 互2+ 在2

h

a 2

b

2 =d

2 +n

2 -2np

...(4)

即 b2

₌

_h

a

2 _{+(p _n)2}

_....(3)

= d2 _

p2 代人 (3) 式，可得

的e[卜(占2)]

~5X6[1一出=中

(6)

(2)xn 一 (4)xm

e

2 n -b

2 m

=

(d

2n+m2n

-2mnp) 一 (d2m+mn2

-2mnp)

=

d

2(n -m)+mn(m -n)

=

(m -n)(

_d

2+mn)

= α(一d2

+mn)

即得 D 點如果在 Be 之外的斯特瓦特定理 e2_n-b2_{m = α(_d}2

₊

_{mn) 。}

(四)計算 DABe 的外角平分線長五百時，因為外角平分線的外分比性質竺=手

n

0 A

•

8

C α b

C

月1 t_a

n

D ae 月 n 所以可以算出 m= 一一， n =-L 代人 e2_n-b2_{m = α(_d}2

+mn)

e-b'

e-b

,

" 2 .

a

2

be

則 e2_{x 一一 _b}2 _{X 一一 = a(一In" + 一一-.~} 0)

e-b

、“ (e-b)"

be

2 b

2 e

. 2

a

2 be

" E l z < " H l 4 ." " \ . bo=,""'<\.---l-" "2

a

2 be

,

be

2 -b

2 e

3 一一一一=

-/"

+一一，，2 得到外角平分線長公式 I· = 一一:，0 -(一一一)=

mn-be

e-b

e - b "

(e-b)

“

(e-b)2

'

e-b

或 tkiι_

be

=

be

I(

a

2 .

0

I一 1

I

l(

e

-b)")

I

(五)接下來我們提出一個問題，請用本文的方法練習算算看: P B _ME _F

(7)

如圖 DABC 中，

AB=15 ' BC=14 '

AC=13

(1)試分別求過 A 的高 AH 與中線 AM 的長。 (2) 若 ζA 的內角平分線 AE ' 外角平分線 AF ' 試求 AE與 AF 的長。 (解答請見全文最後) 參、結語本文利用園中學生所熟悉的畢氏定理，介紹證明斯特瓦特定理。這個定理探討ll. ABC 中，若 D 是直線 BC 上的任意點，只要知道ll.ABC 的三邊長與 D 點在 BC 的位置，就可以算出西瓦綠段 AD 的長 o 至於國中數學課程中大家很熟悉的中線長、內角平分線長與外角平分線長，如果以國中的基本概念計算起來非常繁複。新定理的引用就是要更簡潔、方便，斯特瓦特定理正好具備這樣的條件，相信可以給國中數學課帶來小小的驚喜。希望在老師的帶續或學生補充自學下，大家可以風受到斯特瓦特定理強大的功用。

肆、參考文獻

傅淑婷、陳日召地 (2013 )。比例教學篇斜率，陳昭地主編:國民中學數學教材原型 B 冊 (pp.163-182) 。新北市:國家教育研究院。傅淑婷、陳昭地 (2013) 。處處多數是等腰三角形，陳昭地主編:國民中學數學教材原型 C 冊(主題 3-3) 。新北市:國家教育研究院。傅淑婷、陳昭地 (2013) 。三角形的三心，陳昭地主編:國民中學數學教材原三角形的西瓦綠長奧斯特瓦特定理型 C 冊(主題 3-5) 。新北市:國家教育研究院。傅淑婷、陳日召地 (2013 )。直角三角形母子相似定理與海龍公式，陳日召地主編:國民中學數學教材原型 C 冊(主題 3-7) 。新 jt 市:國家教育研究院。李政豐、陳昭地 (2013 )。銳角三角形的九點圓，陳昭地主編:國民中學數學教材原型 C 冊(主題 5-5) 。新北市: 國家教育研究院。