用行列式計算平面上的平行四邊形面積與空間中的平行六面體體積

(1)

用行列式計算平面上的平行四邊形面積

與空間中的平行六面體體積

張孟安

高雄市立新莊高級中學畫、前言

_Q:~~x+Y=6

[2x-

y=4

(如圓 2) y 軸在基礎數學第三冊、第三章平面向量中，學到兩個向量所張成的平行四邊形面積可用二階行列式的絕對值算出來，由此聯想到:是否也可以用二階行列式來計算兩組平行線所團成的平行四邊形面積呢? 11<r+v<。

已知 {:-JJ-j 求滿足條件的狀，Y)

II 三三 LX-Y S，::> 所形成的平行四邊形面積 x 軸

貳、本文

圖 l 首先在坐標平面上作出圖形，令四個交點為 A 、 B 、 C 、 D ，其中 y 軸 231A}5

:=J-4=

yfdyy

+>+--j

xzxb

「 lj 荒 llLf|J 、 llL

AC

x 軸 (如圖 1

)

平移圖形，其面積不會改變，所以我把平行四邊形移動到 A 點與原點 O 重合，此時四個交點座標可用二元一次方程組表示如下: 圖 2

其中什乙::P:(之;二

令 P 點坐標為 P(X"y\)

,

R 點座標為

R(呵 'Y2)

,

oOPQR 面積 =OP 和 OR 所張成

(2)

IX, X司 l

=

I

I .，的絕對值 ...(1)

IYI

Y21

在基礎數學第四冊第三章矩陣的應用，我學到利用矩陣來表示二元一次方程組，所以

心I) 滿足 [;J叫=[~]

R川滿足[~ ~

1][;:]

= [

~]

布九「 Illi--ll 」「 lIll-llld •• A 1 且一，且勻，』「lllIII-IL P IJ 「 lIll--」 ρ 巧巧 .γ 叫九一 U 「 Il--L

U--B

可 lllIII-l 」 04 陣

6OE

「 till--Ltd

=,

「 llil--l 」「 Illi--l 」 ' 甜，恤，且

v(YFl-可令矩陣 A=G

矩陣 C卡~]

由 (2) 可得 AB=C

=今 det(

AB)

=

det的 ...(3) 因為

det(AB)

=

det(A)xdet(B) 代人 (3) 式所以

det(A)xdet(B)=det(C)

,

故

口吻面積=|:1 的絕對值

一 I~ ~I

et(B)1 =

I話|一一的絕{

、 rl

Jll

竺 8

3

仿前面的計算過程，在一般情況下，用二

階行列式來計算兩組平行線所團成的平行

四運形面積 It, :-;::;a.x+b.v:-;::;t. 已知~ -J ----I - 1 / - ~求滿足條件的 [SI 三。2X+D_{2Y 三 S2} 點 (X， Y) 所形成的平行四邊形面積，先

I 0

~三 a.x

+

b.

v :-;::;

t. - t.

把方程組平移至~ ~ I... ~ 且 [0 玄。2x+b2Y 三 S2

-SI

其中

P:

J

alx+bly

=

t2-tl

l

a2x+b2y =

0 I

a,x+b.v=O R:~ I

, "

...(4)

La

2x+o2Y=SI -S2 令 P 點座標為 P(柄， Y

_I

) , R 點座標為

R(X2 'Y2)

。 OPQR 面積=語和改所張成的平行

四邊形面積=IX

t

_{刊的絕對值}

IYI

Y21

可令矩陣 A=[: :1 ，其巨陣

B=IXI

x21

'矩陣 C

=

I

t2

~tl

₀

I

LYI

Y2J

LυS2

-sd

由 (4) 可得

[::l[::l=[hjtlλl

=今 det(A)

x det(B) = det(C)

d巳t(C)

=今 det(B) =一一一

det(A)

3|;:|=fjtl sjsl|

(3)

科學教育月刊第 364 期中華民國 102 年 11 月

故平行四邊形面積 =I

X

l X

2

_{! 的絕對值}

IYI

Y21

值

對

絕

的

eiu-O 一 -lIll--先 -hh n-q 同 -nv--llIll-(ι 一九 )(S2 - SI) = l - t l 的絕對值

IQ

1 0Il

IQ

2

b

2

1

至此可將得公式

I

(.星。.x+b. V ~三 t而 公式一:己知~ J J ... J"'- k 求滿足條 l8

1

三。₂X

₊

_{°2Y 三 8}

₂

件的點 _{(x， y) 所形成的平行四邊形面}

(12 一 (1)(8

₂

-81) 積 =Z I LI 的絕對值

IQI

°Il

|α2

b

2

1 再來試著將此運算方式，推演空間中平行六面體的體積，也有很好的公式，其過程如後: 在空間中求三組平行平面所團成的平行六面體的體積

I

t

₁

三Q\X

+

bly

+

CIZ 三 t

2

已知 i S\ 至 Q2X

+

_{b 2y}

+

C

₂

Z 豆 S2 求滿足條件的 lUI 三 Q3X

+

b 3y

+

C

3

Z 三 U

2

(X， Y， Z) 所形成的平行六面體體積先將平行六面體平行移動到一頂點與原點 O 重合，如圖: (圖 3 平移至圖 4) Z 軸 y 軸 x 軸團 3 Z 軸 x 軸團 4 此時方程組可寫作

l …Y+叮叮

_O

_:S; Q2 x + b 2Y+C2Z :S;S2 -SI O~三 Q3x + b3Y+C

₃

Z ~三 U

₂

-Uj 其中以原點為起點的三個向量，令終點座

標為

P(Xl' Yl' ZI) 、 Q(吧，片， Z2) 、 R柄，

Y3' Z3)

可用三元一次方程組表示如下: 其中

I

Qlx+blY +CIZ=t 2 -tl P:

i

Q2 X

+

_{b 2y}

+

_C2Z=

0

(4)

I

alx+b

,

y+clz

=

0 Q:

~

a2x

+

b2y

+

_c2z

=S2 - SI

l

a3x+b3y+C3Z

=

0 I

a

,

x+b

,

y +CIZ

=

0

R:

i

_a2x+b2y+C2Z

=

0 l

_a3x+b3y+C3Z

=

_U2

_-UI 、‘''， 3 ，自

vn)

F、 u i. 、有 d

x

'，.‘、-R

.

、 B/ 「 lllIll--lli 」. 23311llll!ill 」 JXYZι" 門

boo-J222i u x a y z i 札 G X rs. 、 OEY 什引力吭吭、 YHHHHlo-o i2 l237 、， FPLVFLVFLVI ‘ u

z

川V-2-f 叮民 bbibι 一 OO ，且勻， a x123-tE W 、 a a a { 「 ||||llL F 「 lal--llL 一一

理足

同滿

所求六面體的體積 _{= OP ， OQ ， OR 所張成的} XI

X2 X3

平行六面體的體積

₌

IYI

Y2

Y31 的絕對值

ZI

Z2

Z3

[

呵呵恥

pha

l

可令矩陣A=

α2

b2 C2

。3

b

_{3 月}

[

吋

Y X2 x

szl

生巨陣 B=I

Y]

Y2

Y3

Z

,

Z2

Z3

|

t

2

A

O

Aυ

i

生巨陣 C

=

I

0

S2

-S]

0 o

0 _U2-U

,

由 (5) 可得

det(A)x det(B)

=

det(C) 司 det(B)

=

det(

C)

det(A)

故得

值

對

話 U λZdw

的

巧巧，勾引 UA 毛病 y 月

積

體

的

體

面

六

=

Idet(B)1

=

I制

t2- tl

O

S2

-S]

O

_U2-U]

a

,

h

C

,

。2

b2 C2

a3 b

J

C3

的絕對值

(t

2-t

,

_{)(S2 -S])(U2}

2 U]/\-2 -U1)-I 的絕對值

a

,

D

,

C

,

a2 b2 C2

aJ

b

3 C3 至此可將得公式

I

t] 至。]x+b]y+c，z 豆 t

₂

公式二:已知 ~SI

:s;

a

2

x+b

2

y+c

2

z 三只求滿足 lUI 豆 a

₃

x

+

_b3y

+

C

₃

Z 三 U

₂

條件的抖， y， Z) 所形成的平行六面體。一 t

_l

)(S2

-S])(U2-u

,)

體積 =2 : ( 自 l 的絕對值

a

,

D] C

a2 b2 C2

a3 b3 C3

參、結論由以上討論可知， (1)在三維空間，已知方程組

(但 α 川三 k

_{,'- .}

_{~'J ~"I} _{求滿足條件的點} O~豆。2x + b2Y ~三 k

₂

(x， y) 所形成的平行四邊形面積的過程中，令張成平行四邊形的兩向量為

(5)

科學教育月刊第 364 期中華民國 102 年 11 月

(Xl' YI) 柄 'Y2) ，則柄， Yl' 巧，沾滿足矩陣方程式 AB=C

其中矩陣 A=[::l 矩陣

B=IXI

x21

'頁巨陣

c=1 ~

.0

₁

I

Y

_,

Y2

I

Iυκ|

.

.平行四邊形面積

=

Idet(B)1

=

1 _Idet(A)1

型企

1=

且

_la

LI

,

bll

的絕對值 (2) 在三維空間，已知方程組

I

a

_,

b

_,

c

_I

其中，矩陣 A=

_I

a

2

b

2

c

2

I '

I

a

₃

b

₃

c

3

I

IX

_,

x

2

x

3 1 矩陣

_B=I

_Y

_,

_Y2

_Y3

₁

I

Z

_,

Z2

Z3

I

k

_,

0

0 _I

矩陣 _C=IO

k

₂

01 I

0

0 k

₃

_I

.

.平行六面體體積

=Id

叫=醉金|

Idet(A)1

所以，不論是在二維或三維空間中，方程組所團成的平行四邊形的面積或平行

六面體的體積均可用

_Id

_咐

₎₁

₌

₁

型企|的絕

Idet(A)1

對值來表示。以上研究報告，廠謝高雄市立新莊高中阮瑞泰老師和楊朝凱老師的指導。

|。三…

z

三

_k

O 星。

₂

x+b

2Y+C

₂

Z 三丸，求滿足條件的

o

~

_a3x+b3y+c3z

~三k

₃

點 _(X

_，

_Y

_，

_{z) 所形成的平行六面體體積} 的過程中，令張成平行六面體的三個向