3-2-5空間中的直線與平面-空間中的直線

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(1)第三冊 2-5 空間中的直線與平面-空間中的直線【思考】平面上的直線是利用直線的傾斜程度(斜率)、方向向量或法向量來描述的，再加上直線上一點，就可以求出直線方程式。那麼空間中的直線是如何來描述的？是否也可以用傾斜程度、方向向量或法向量，然後再加上直線上一點以求出直線方程式？【定義】直線方程式-參數式：空間中通過點 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且平行於非零向量 u = (a, b, c) 的直線方程式為 ⎧ x = x0 + at ⎪ L : ⎨ y = y 0 + bt , t ∈ R，此稱為直線的參數式，其中 t 稱為直線的參數式，u = (a, b, c) ⎪ z = z + ct 0 ⎩. 稱為直線的一個方向向量。 L P(x,y,z). u=(a,b,c). 直線方程式-點向式(對稱比例式)：空間中通過點 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 且平行於非零向量 u = (a, b, c) 的直線方程式為 x − x0 y − y0 z − z0 ，其中 abc ≠ 0 。其中若 ab ≠ 0, c = 0 ，則直線方程式為 L: = = a b c x − x0 y − y 0 L: = , z = z0 。 a b 直線方程式-二點式： x − x1 y − y1 z − z1 = = 或過 A( x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) 二點之直線方程式為 L : x2 − x1 y2 − y1 z 2 − z1 ⎧ x = x1 + ( x2 − x1 )t ⎪ ⎨ y = y1 + ( y2 − y1 )t , t ∈ R 。 ⎪ z = z + ( z − z )t 1 2 1 ⎩. 直線方程式-兩面式： ⎧a x + b1 y + c1 z = d1 的交集表一條直線，且此直線的方向向量為兩個平面 ⎨ 1 ⎩a2 x + b2 y + c2 z = d 2 v = n1 × n 2 = (a1 , b1 , c1 ) × (a 2 , b2 , c 2 ) 。【問題】 1. 直線的參數式、對稱比例式、二點式與兩面式之間是否可以互相轉換？ ⎧x + y − 2z = 0 ⎪ 2. ⎨ x − 2 y + z = 1 是否表示空間中的直線？ ⎪ 2x − y − z = 1 ⎩. 24.

(2) ⎧x + y = 0 是否表示空間中的直線？ ⎩x − y = 0. 3. ⎨. ⎧x = 0 是否表示空間中的直線？ ⎩y = 0. 4. ⎨. ⎧ x = 1 + 2t , t ∈ R 是否表示空間中的直線？ ⎩ y = 3 − 4t. 5. ⎨. ⎧ x = 1 + 2t ⎪ 6. ⎨ y = 3 − 4t , t ∈ R 是否表示空間中的直線？ ⎪ z=4 ⎩. 7. 2 x + 3 y + 6 = 0 是否表示空間中的直線？【問題】 x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , L2 : = = 1. 試問判別空間中兩直線 L1 : a1 b1 c1 a2 b2 c2 的交點為無限多點(重合)、一點(共平面)或無交點(歪斜或平行)？解： (1)若兩直線方向向量平行，則表示兩直線平行或重合。接著判別 L1 上的點是否在 L2 上，即可分辨出為何種。 (2)若兩直線方向向量不平行，則各設參數後，求出是為無限多個交點或是交一點。 2. 試問如何求出空間中直線是在平面上？直線與平面交於一點？直線與平面沒有交點(平行)？解： (1)若直線的方向向量與平面的法向量平行，則表互相垂直。 (2)若直線的方向向量與平面的法向量垂直(內積為零)，則表互相平行或直線在平面上，接著判別直線上的點是否在平面上，即可辨別出。 (3)若直線的方向向量與平面的法向量的內積不為零，則表示有交點，再利用直線的參數式代入平面求出交點即可。 3. 試問如何求出空間中兩平面的交線？【定義】 x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , L2 : = = 既不平行也空間中兩直線 L1 : a1 b1 c1 a2 b2 c2 沒有交點，稱此兩直線互為歪斜線。公垂線：設 P ∈ L1 , Q ∈ L2 且 PQ = d ( L1 , L2 ) ，則直線 PQ 即是公垂線。. L1. L2. 25.

(3) 【方法】點到直線的距離： ⎧ x = x0 + at ⎪ 空間中點 P( x1 , y1 , z1 ) 到直線 L : ⎨ y = y 0 + bt , t ∈ R 的距離求法有 ⎪ z = z + ct 0 ⎩. 1.. (求交點法)(平面適用) 求過點 P 且與直線 L 垂直的直線 L' ，再求兩直線的交點 Q ，求出 PQ 即可。 2. (參數法)(平面及空間都適用) 求出直線 L 上的點 Q 的參數，再配方(或用微分)求出 PQ 的極小值即可。 3. (面積法)(平面及空間都適用) 若 Q, R 為直線上任兩相異點，方向向量 v = (a, b, c) 1 則以 PQ, PR 所圍成的三角形面積為 | PQ | 2 × | PR | 2 −( PQ ⋅ PR) 2 ， 2. | PQ | 2 × | PR | 2 −( PQ ⋅ PR) 2. 故 d ( P, L ) =. =. | PQ × PR |. | PR | 4. (商高定理法)(平面及空間都適用) | P0 P1 |2 −(. P0 P1 ⋅ u 2. 。. | PR |. ) 2 即是所求，其中 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 為直線上的任一點。. |u| 5. (夾角法)(平面及空間都適用). 若 Q 為直線上任一點，方向向量 v = (a, b, c) 求出 PQ, v 的夾角 θ 則 | PQ | sin θ 即是所求。 6. (內積法)(平面及空間都適用) 若 Q 為直線上任一點，方向向量 v = (a, b, c) 求出使 PQ ⊥ v 的參數 t 則 | PQ | 即是所求。 7. (外積法)(空間適用) 若 Q, R 為直線上任兩相異點，方向向量 v = (a, b, c) 求出 QR × QP 即表示所圍成平行四邊形的面積則. QR × QP. 即是所求。 | QR | 8. (平面法)(空間適用) 求過點 P 且與直線 L 垂直的平面 E ，再求出直線 L 與平面 E 的交點 Q ，求出 PQ 即可。兩歪斜線的距離：空間中兩歪斜線 L1 :. x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , L2 : = = 的距離求 a1 b1 c1 a2 b2 c2. 法有如下數種： 26.

(4) P L1. Q. 1.. 2. 3.. L2. 分別假設公垂線與兩直線的交點 P, Q 的參數式 ( x1 + a1 s, y1 + b1 s, z1 + c1 s ) 與 ( x 2 + a 2 t , y 2 + b2 t , z 2 + c 2 t ) ，則 PQ 與兩直線的方向向量都要垂直，如此可以求出兩個參數值進而得出公垂線與兩直線的交點 P, Q 。求包含 L1 且與 L2 平行的平面 E 的方程式，再求 L2 上任一點到平面 E 的距離即是。. 在 L1 與 L2 上各取一點 A, B ，求出 AB 與 v 2 所為成的平行四邊形面積，則兩歪斜線的距離為. | AB × v 2 |. 。. | v2 |. 27.

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