4−1 因式分解解一元二次方程式
本節課程學習重點： ◎能在具體情境中認識一元二次方程式，並理解其解的意義。 ◎能以因式分解解一元二次方程式。 一、一元二次方程式的意義： ◎一元二次方程式： 一個化簡後可寫成 ax2＋bx＋c＝0(其中 a≠0)形式的方程式，稱為 x 的一元二次方程式，此方程式只含 一種未知數 x，且 x 的最高次數是二次。 【說明】例如：x2＋5x＋4＝0、－4x2＋6x＝－4、(3x－1)2＝(2x＋3)2等都是 x 的一元二次方程式。 練習1：判斷下列哪些是一元二次方程式。 (A) x＋3＝0 (B) x2＋5x＝－13 (C) (x－4)(x＋3)＝0 (D) 2x2＋5x－2＝(2x＋1)(x－2) ◎一元二次方程式的解： 如果將一個數代入一元二次方程式的未知數中，能使等號左、右兩邊的結果相等，那麼這個數就是該 一元二次方程式的解或根。而求出一元二次方程式的解或根的過程，稱為解一元二次方程式。 練習2：(1) 5 是否為一元二次方程式 x2＋25x＝50 的解？ (2)－1 是否為一元二次方程式 x2－5x＝－2x＋4 的解？ 練習3：(1) 0 是否為一元二次方程式 x2－5＝4x 的解？ (2) 4 和－3 是否為一元二次方程式(x－4)(x＋3)＝0 的解？ 二、利用因式分解解一元二次方程式： ◎因式分解解一元二次方程式： 形如 ax2＋bx＋c＝0(其中 a≠0)的方程式中，若 ax2＋bx＋c 可因式分解成兩個一次式的乘積，則可依「有兩數 A、B，若 A×B＝0，則 A＝0 或 B＝0」的性質求解。
【說明】解一元二次方程式 x2＋5x＋4＝0 時，因式分解可得(x＋1)(x＋4)＝0，
則 x＋1＝0 或 x＋4＝0，即 x＝－1 或 x＝－4，所以方程式的解為－1 和－4。 【觀念釐清】(1)當 A≠0，B≠0 時，則 A×B≠0。
(2)設 A、B 為兩數，且 A×B＝0，則可能情形如下： 若 A≠0，則 B＝0；若 B≠0，則 A＝0；A＝0、B＝0。
練習4：找出下列各方程式的解。(1) x(x＋3)＝0 (2) (4x－2)(2x＋5)＝0 練習5：解一元二次方程式 2x2＋3x＝0。 練習6：解一元二次方程式－12 x2＋8x＝0。 練習7：解一元二次方程式(x－1)(2x＋3)＝(x－1)(x＋2)。 【觀念釐清】等號兩邊不能同除相同的因式。(會減根) 【說明】在練習7 中，若將(x－1)(2x＋3)＝(x－1)(x＋2)兩邊同時除以(x－1)得 2x＋3＝x＋2， 解一次方程式得 x＝－1，這樣的解法是錯誤的，會因此而減少一個根(x＝1)。 因為(x－1)可能為 0(即 x＝1 時)，所以當 x－1＝0 時，不能將等號兩邊同除以(x－1)。 練習8：解下列各一元二次方程式。(1) (x＋3)(x＋4)＝(x＋3)(2x－1) (2) (x－1)2＝(x－1)(2x＋3) 練習9：解下列各一元二次方程式。(1) x2－3x＋2＝0 (2)－4y2＋6y＝－4 練習10：解下列各一元二次方程式。(1)－2x2＋13x－15＝0 (2) 39y2－15＝－24y
練習11：解下列各一元二次方程式。(1) 16x2－1＝0 (2) 9x2＋12x＋4＝0 (3)－16y2＋4y＝14 【觀念釐清】當一個一元二次方程式有兩個相同的根時，稱這個根為此方程式的重根。 練習12：解下列各一元二次方程式。(1)－75x2＋108＝0 (2) 9x2＋19 ＝－2x 三、綜合應用： 練習13：解一元二次方程式(x－4)(2x－7)＝1。 【觀念釐清】不可將 x－4＝1 或 2x－7＝1，而得到 x＝5 或 x＝4，當成是(x－4)(2x－7)＝1 的解。 【說明】因為(x－4)(2x－7)＝1，也有可能是 x－4＝－1，2x－7＝－1；或 x－4＝12 ，2x－7＝2； 或…，所以不可以說 x－4＝1 或 2x－7＝1。 練習14：解一元二次方程式(2x＋5)(x＋4)＝14。 練習15：解一元二次方程式(3x－1)2＝(2x＋3)2。(Hint：練習一題多解)
練習16：解下列各一元二次方程式。(1) (－2x＋1)2＝(5x＋2)2 (2) (12 x－1)2＝(x＋3)2 練習17：解一元二次方程式(x－1)2＋6(x－1)＋8＝0。 練習18：解一元二次方程式(x＋3)2－7(x＋3)＋10＝0。 練習19：若 x 的一元二次方程式 x2－mx－4m＝0 的一根為 4，則此一元二次方程式的另一根為何？ 練習20：已知 x 的一元二次方程式 x2＋x＋(3m－2)＝0 的一根為 3，則 m 值為何？ 自我評量 1. 判斷下列哪些是一元二次方程式。 (A) 5－x＝0 (B) (2x－1)(5x＋25 )＝0 (C) x2－4x＝3 (D) 12 x2＝16 (E) (2x－1)2＝4x2－1＋9x (F) 2(5x－1)2＋5(2x－1)＝12。
3. 解下列各一元二次方程式。 (1)－(2－3x)2＝(x＋6)(3x－2) (2) (2x－5)2＋4x＝10 (3) 16x2＋25 ＝4 165 x (4) (3y－2)(－2y＋1)＝－1 (5) (－4x＋1)2＝9(x＋2)2 (6) 2(3x＋1)2＋7(－3x－1)＋3＝0 4. 若 x 的一元二次方程式 x2＋ax－2a＝0 的一根為 1，求 a 的值與方程式的另一根。 習作 1. 下列哪些是一元二次方程式？ (A) 2x－5＝0 (B) (x－4)(x＋3)＝15 (C)－3x2＋15x＝－23 (D) 6x2＋5x＝6x2＋25。 2. －1 為下列哪些一元二次方程式的解？ (A) x2－1＝0 (B) x2＋1＝0 (C) 12 x2＋32 x＋1＝0 (D) x2－3x＋2＝0。 3. 若 3 是一元二次方程式 x2＋5ax－14＝0 的解，則 a 為 。
4. 解一元二次方程式 2x－5x2＝0 的步驟如下： 第一步：將 5x2移項，得2x＝5x2 第二步：等號兩邊同除以 x，得 2＝5x 第三步：等號兩邊同除以 5，得25 ＝x 請問哪個步驟開始錯誤？ (A)第一步 (B)第二步 (C)第三步 (D)以上步驟都正確。 5. 解下列各一元二次方程式。 (1) (x－4)(3x＋1)＋(3x＋1)(2x＋1)＝0 (2) (2x＋3)(x－6)＝6(6－x)2 (3) 2x2－5x－3＝0 (4) 3x2－x－10＝0 (5) 4x2－20x＝－25 (6) (4x＋3)2＝(x－2)2 (7)(x－5)(x＋1)2 ＝x(x－7)3 (8) (5x－4)2－6(5x－4)＋9＝0
6. 若 a＞0，b＜0，且 a2－a－42＝0，3b2＋5b－12＝0，則 a＋b＝ 。
類題補充 1. (1)如果 4 是一元二次方程式 x2－ax－12＝0 的解，則 a 為 。 (2)如果 3 是一元二次方程式 x2＋7x＋b＝0 的解，則 b 為 。 2. 解下列各一元二次方程式。 (1) (a－1)(a＋4)－(a－1)(3a－7)＝0 (2) (－x＋2)(4x－5)＋(5－4x)2＝0 (3)－8a＋4＋22a2－11a＝0 (4) 4a2－28a＋49＝0 (5) 4a2－4＝0 (6)－100＋9x2＝0 (7) x2＋11x＋30＝0 (8) 42－13x＋x2＝0 (9)－2x2－13x－15＝0 (10) 6x2－19x＋10＝0
3. 設 a＜0，b＞0，且 a2＋2a－35＝0，5b2－13b－6＝0，則 ab＝ 。
5. 已知 x 的一元二次方程式(m－5)x2＋x－m2－3m＋39＝0 的一根為 1，則 m 值為何？ (Hint：須代回驗算，注意二次項係數不可為 0。) 6. 對於方程式(2x＋5)(x＋1)＝(3x－2)(x＋1)根的敘述，下列何者正確？ (A)方程式只有一根，而且這個根是正數 (B)方程式有兩根，而且兩根的正、負號相同 (C)方程式一根為正數，一根為負數 (D)方程式無解 7. 設 ab＝0，則下列哪一個選項一定正確？
(A) a＝0＝b (B) a＝0，b≠0 (C) a≠0 或 b≠0 (D) a＝0 或 b＝0。
8. 解下列各一元二次方程式。 (1) (x－2)(2x＋5)＋3(2x＋5)(x＋1)＝0 (2) (2x－3)(x＋2)＝4(x＋2)2 (3) (3x－1)2－6(3x－1)＋9＝0 9. 若 x＝m 為方程式 x2－7x－1＝259 與 x2＋2x－7＝136 的解，則 20＋m＝ 。 10. 若－4 與 3 是方程式 x2＋mx＋n＝0 的兩根，則 m＋n＝ 。
11. 若(2x－1)(3x－2)＝0，則 3x－2＝ 。
12. 若 ax3＋x2－2x3＋2ax2－6x＋1＝0 為 x 的一元二次方程式，則
(1) a＝ ；(2)此方程式中 x 的解為 。
13. 若方程式 x2－50x＋k＝0 之兩根都是質數，且 300＜k＜350，則 k＝ 。
14. 若 3x2－4x＋6＝9，則 x2－ 43 x＋6 的值為何？
15. 已知(a2－4)x3＋(a－2)x2＋(a－7)x＋10＝0 為一元二次方程式，則 a＝ 。
16. 若 a、b 為方程式(x－1)(x－3)＝143 的兩根且 a＞b，則 a＋2b＝ 。
18. 若(2x－3)(5x－2)＝100，則(4x－6)( 52 x－1)＋50 的值等於多少？
19. 若 ab＜0，且 a2－ab－6b2＝0，則 ab之值是多少？
20. 若 23 為一元二次方程式(ax＋b)(2x－3)＝0 的解，則 b
a＝ 。
21. 已知 m 是 x(x－4)＝20 的解，則 －m2＋4m＋5m(m－4)＋20 ＝ 。
22. 設 a、b 為整數，且 a2＋b2－8a＋6b＋25＝0，則 2a－b 之值為 。
23. 若 a≠0，求方程式 x2＋(a＋ 2a)x＋2＝0 的解。
加強練習
1. 針對一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0，下列敘述何者正確？
(A) a＝0，必有一根為 0 (B) a＝0，b＝0，必有一根為 0 (C) a≠0，b＝0，有相等實根 (D) ac＜0，必有相異實根。
2. 若 a、b 為方程式(x－23)2＝247 的兩根，則下列敘述何者正確？
(A) a 為 247 的平方根 (B) a－b 為 247 的平方根 (C) b－23 為 247 的平方根
(D) a＋23 為 247 的平方根。
3. 下列方程式中哪一個選項 x、y 的解只有一組？
(A) (x－3)(x－y＋2)＝0 (B) (x－3)2＋(x－y＋2)2＝0 (C) (x－3)2－(x－y＋2)2＝0 (D) (x－3)＋(x－y＋2)＝0。
4. 方程式(4x－2502)2＝5100 的兩根和為 。
5. 若 a，b 為方程式 x2－13x＋42＝0 的二根且 a＜b，則 a＜ n ＜b 的正整數 n 共有 個。
6. 若(4x－1)(5x＋1)＝－1，則下列何者正確？ (A) 4x－1＝1 或 5x＋1＝－1 (B) x＝ 14 或 x＝－ 15 (C) 4x－1＝－1 或 5x＋1＝1 (D) x＝0 或 x＝ 20。 1 7. 若方程式 x2－x－b＝0 的兩根均為整數，則下列何者可能為 b 的值？ (A) 3×5×11 (B) 3×5×7 (C) 2×5×7 (D) 2×3×5。 8. 以下是解 9x2－30x＋25＝x2＋2x＋1 的步驟： 第一步：先因式分解，得(3x－5)2＝(x＋1)2 第二步：等號兩邊同時開根號，得 3x－5＝x＋1 第三步：由移項法則，得 2x＝6 第四步：解的結果為 x＝3(重根) (A)上述步驟合理 (B)上述步驟不合理，第一步錯了 (C)上述步驟不合理，第二步錯了 (D)上述步驟不合理，第三步錯了。 9. 方程式－x2＋(m2－3)x＋9＝0 的兩根互為相反數，則 m＝？ 10. 若 x(x－2)＝1 的二根為 a、b，則下列對於 a、b 的敘述何者正確？
(A) a、b 均為整數 (B) │a－b│＝1 (C) (a－1)2＝(b－1)2 (D) a(b－2)＝1。
11. 若一元二次方程式 x2－21x＋m＝0 的二根都是質數，則 m＝？ (A) 80 (B) 68 (C) 54 (D) 38。
12. 若 x2－3x－a＝0，3(x2－3x＋2)2－2(x2－3x＋2)－1＝0，則 a＝ 。 13. 已知 xy＜0，且 3x2＋7xy－6y2＝0，則 x＋4yy－x ＝ 。
14. 如果(x＋1)(2x－3)＝0，則 2x－3 的值為何？ (A) 0 (B)－ 32 或－5 (C) 32 或－1 (D)－5 或 0。
15. 設 m 是方程式 5＋2x－3x2＝0 的一根，則 9m2－6m－11 之值為何？
16. 如果解一元二次方程式時，不慎將常數項的正負號看錯，解得兩根為 12 和－2，且除此外沒有其他 的錯誤，則此方程式正確的根為何？ (A) 4，6 (B) 4，－6 (C)－4，6 (D)－4，－6。
17. 若 xy＞0，且 2x2－5xy－12y2＝0，則 x：y 的比值為何？ (A) 32 (B) 23 (C) 14 (D) 4。
18. 輸入→加 3→平方→乘 5→減 7→輸出。左列的運算流程中，當輸入的數是x時，輸出的數是98，
則所有可能的x值之和為多少？
19. 若｜2x2＋x－1｜＋｜3x2＋5x＋2｜＝0，則 x＝ 。
20. 若 m 為 x2＋4x＝5 的一根，n 為 x2－7x－18＝0 的一根，則(3m2＋12m－5)＋(2n2－14n－18)＝？
Ans：1.(D)；2.(C)；3.(B)；4. 1251；5. 12；6.(D)；7.(D)；8.(C)；9. ± 3 ；10.(C)；11.(D)； 12.－1 或－7 3；13. 1 4；14.(D)；15. 4；16.(A)；17.(D)；18.－6；19.－1；20. 28；21.－3。 心得筆記
