一、向量的性質
二、向量的加法與減法
三、坐標解析法
一、向量的性質
1. 向量與純量
(1) 一個物理量，若只用數量就可以明白表示時 ，這種量稱為純量，它只有大小（量值）， 但無方向性。例如時間、質量、溫度、速率 、路徑長等。 (2) 倘若除了數量外，仍須標示出方向時，這種 量則是向量，它有大小（量值），且有方向 性。例如位移、速度、加速度、力、力矩等。2. 向量的可平移性
如右圖之 與 ，將一向量平移至其他位置，則 兩者不僅大小相等，方向也相同 ，故平移後的向量仍與原來之向 量相等。因此我們可將向量任意 平移至其他位置。 AB A'B' 如右圖之 與 ，將一向量平移至其他位置，則 兩者不僅大小相等，方向也相同 ，故平移後的向量仍與原來之向 量相等。因此我們可將向量任意 平移至其他位置。 AB A'B' 3. 向量的夾角
如下圖所示，兩向量之夾角 θ ，必須是二向量張 開之角（即起點端接起點端或終點端接終點端）。
餘弦定理 (1) 在三角形法中，我們常利用餘弦定理來求兩向量 和的大小。 (2) 如右圖所示， ， 由餘弦定理： C A B 2 2 2 2 cos C A B AB (1) 利用三角形的內角 θ 2 2 2 cos C A B AB
(2) 利用兩向量的夾角 α 2 2 2 2 2 2 cos( ) 2 cos C A B AB A B AB 2 2 2 cos C A B AB
三、坐標解析法
1. 向量的直角坐標表示法
(1,0) (0,1) ( ) ( , 1 ) ) i j x A O y P xi y j x y 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 (如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 如 ) , ( yx P (1, 0)
i
(0,1)
j
x
y
Ox
如 如
i
y
倍
的
j
A
(1) 大小（量值）： A A 如如如如如如x2 y2 (2) 0 2 A x A 方向角與 軸正向的夾 角稱為的方向角 ： ( )
sin cos tan ( cos , sin ) y x y A A x A A A 如 如
2. 向量加減的坐標解析法
(1) 向量可以分解 成沿 x 軸及 y 軸之分量， 如右圖： x y x y A a i a j B b i b j ( x y) A a a 如 ( x y ) B b b 如 ( ) A B 如 y a xa
y b x b y x x x a b ay by x x a b y y a b(2) 求 ，即 求 x 軸及 y 軸 兩方向之分向量之 和 C A B x x x y y y
c
a
b
c
a
b
(3, 4) (5,6) A B 如 2 2 (3 5,4 6) ( 2, 2) 2 2 | | ( 2) ( 2) 8 A B i j A B 其大小 如 如
※ 課外補充：向量的乘法
1. 內積
(1) 兩向量 和 的內積寫成 ． ，讀作 「 dot 」，其結果為一純量，故也常 稱之為向量的純量積。其在物理上的應 用甚廣，如功、環場積……等等。 A B A B A B (2) 向量內積的定義為： ． =ABcosθ ，其 中 θ 為 與 的夾角，且 0°θ 180° 。 A B A B 的大小乘以 在 方向上的投影量，如下圖 (a) 。A B A (3) 向量內積的幾何意義為： A B B 的大小乘以 在 方向上的投影量，如下圖 (b) 。
(4) x y x y x x y y A a i a j B b i b j A B a b a b 坐標表示法：若 ； (3, 4) (5,6) A B 如 A B 3 5 4 6 39
