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613 函 數 的 極 限

小 菱 實 施 減 重 計 畫 ﹐ 目 標 是 將 體 重 減 為 55 公 斤 ﹐ 歷 經 半 年 的 努 力 ﹐ 體 重 從 58 公 斤 減 到 53 公 斤 ﹒ 由 於 體 重 的 變 化 是 連 續 的 ﹐ 於 是 小 菱 在 減 重 這 段 期 間 內 ﹐ 至 少 會 有 一 個 時 刻 的 體 重 正 好 是 55 公 斤 ﹒ 這 現 象 在 數 學 上 稱 為 中 間 值 定 理 ﹐ 是 本 節 所 要 探 討 的 內 容 ﹒ 為 了 方 便 說 明 ﹐ 我 們 引 進 區 間 的 表 示 法 ﹕ 設 a ﹐b為 實 數 ﹐ 且 ab﹒ 規 定

 

a b, 



x a x b



﹐

 

a b, 



x a x b



﹐



a b,







x a x b



﹐



a b,







x a x b



﹐ 並 稱

 

a b 為 開 區 間 ﹐,

 

a b 為 閉 區 間 ﹐,



a b 與,





a b 為 半 開 區 間 ﹐ a ﹐,



b為 所 表 示 區 間 的 端 點 ﹒ 此 外 ﹐ 我 們 又 規 定 底 下 4 個 區 間 ﹕



, a







x xa



﹐



a, 





x xa



﹐



, a







x xa



﹐



a, 





x xa



﹒

甲 ﹑ 函 數 的 極 限

首 先 考 慮 函 數 f x

 

 x 2﹒ 我 們 想 知 道 的 是 ﹕ 當 x 的 值 愈 來 愈 接 近 2﹐ 但 不 等 於 2 時 ﹐ 函 數 f x 的 值 會 發 生 什 麼 變 化 ﹖ 底 下 我 們 用 兩 種 方 法 來 考

 

慮 這 個 問 題 ﹕ (一 )數 據 法 ﹕ 試 著 將 x 分 別 取 2 附 近 的 值 ﹐ 並 實 際 的 計 算 出 函 數 f x 的 值 來 觀 察 ﹐

 

如 下 表 ﹕ ▲圖 1

2 x 1.7 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.3

 

f x 3.7 3.9 3.99 3.999 4 4.001 4.01 4.1 4.3 由 以 上 的 數 據 得 知 ﹐ 當 x 從 左 ﹑ 右 兩 邊 趨 近 2（ x2） 時 ﹐ 函 數 f x 的 值 會

 

趨 近 4﹒ (二 )圖 形 法 ﹕ 函 數 y x 2的 圖 形 是 斜 率 為 1 且 y 截 距 為 2 的 直 線 ﹐ 如 圖 2 所 示 ﹕ x y O B C B y=x+2 2 4 A A x 2 x ▲ 圖 2 在 圖 2 中 ﹐ 如 果 讓 AB保 持 與 x 軸 垂 直 （ 其 中 A點 在 x 軸 上 移 動 ﹐ 且 B點 保 持 在 圖 形 上 ）﹐ 那 麼 當 A x

 

, 0 逐 漸 向

 

2 , 0 靠 近 時 （ 從 左 邊 或 右 邊 靠 近 皆 可 ）﹐ 就 會 帶 動 B點 向C

 

2 , 4點 靠 近 ﹒ 也 就 是 說 ﹐ 當 x 趨 近2（ x2） 時 ﹐ 函 數

 

f x 的 值 會 趨 近 4﹒ 綜 合 這 兩 個 方 法 ﹐ 我 們 將 這 樣 的 情 形 稱 為 「 函 數 f x 在

 

x2的 極 限 為 4」﹐ 並 用 符 號

 

2 lim 4 x f x  表 示 ﹒ 一 般 而 言 ﹐ 我 們 將 函 數 的 極 限 定 義 如 下 ﹕ x 逐 漸 增 大 且 接 近 2 逐 漸 減 小 且 接 近 2

函 數 的 極 限 ： 當 x 趨 近 a 時 （ 從 a 的 左 ﹑ 右 兩 邊 趨 近 ﹐ 且 x a ）﹐ 若 對 應 的 函 數 值 f x 會 趨 近 定 值 L ﹐

 

則 稱 f x 在 x

 

a的 極 限 為 L﹐ 記 作lim

 

xa f x L﹒ x a x O x y y=f (x) L 由 函 數 極 限 的 定 義 知 道 ﹕ 函 數 f x 在 x

 

a的 極 限 取 決 於 接 近 a 但 不 等 於 a 的 那 些 x 的 函 數 值 ﹐ 而 不 是 在 x a 的 函 數 值 ﹒ 因 此 ﹐ 不 管 a 有 沒 有 在 f x 的 定

 

義 域 中 ﹐ 都 可 討 論 f x 在 x

 

a的 極 限 ﹒ 舉 例 如 下 ﹕ 【 例 題 1】 已 知 函 數

 

2 4 2 x f x x    （ x2） ﹐ 求 limx2 f x

 

﹒ Ans： 4 【 詳 解 】 因 為 x 不 等 於 2﹐ 所 以 f x( )可 以 改 寫 為

 

2 f x  x （ x2）﹒ 因 此 ﹐

 

y f x 的 圖 形 是 直 線 y x 2去 掉 點C

 

2, 4 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕

x y O B C B y=x+2 2 4 A A x 2 x 在 上 圖 中 ﹐ 如 果 讓 AB保 持 與 x 軸 垂 直 （ 其 中 A點 在 x 軸 上 移 動 ﹐ 且 B點 保 持 在 圖 形 上 ）﹐ 那 麼 當 A x

 

, 0 逐 漸 向

 

2, 0 靠 近 時 （ 從 左 邊 或 右 邊 靠 近 皆 可 ）﹐ 就 會 帶 動 B 點 向C

 

2 , 4點 靠 近 ﹒ 因 此

 

2





2 2 2 4

lim lim lim 2 4

2 x x x x f x x x          ﹒ 在 上 例 中 ﹐ 雖 然 x2不 在 f x 的 定 義 域 中 ﹐ 但

 

f x 在

 

x2的 極 限 卻 是 存 在 的 ﹒ 因 此 ﹐ 不 可 認 為 某 數 不 在 定 義 域 中 ﹐ 就 判 定 函 數 在 此 數 的 極 限 不 存 在 ﹒ 【 隨 堂 練 習 1】 已 知 函 數

 

3 2 1 x x f x x    （ x1） ﹐ 求 limx1 f x

 

﹒ Ans： 1 【 詳 解 】 3 2 2 2 1 1 1 1 ( 1)

lim ( ) lim lim lim 1

1 1 x x x x x x x x f x x x x             ﹒ 在 前 文 中 ﹐ 函 數 f x

 

 x 2在 x2的 極 限 與 函 數 值 相 等 ﹐ 即

 

 

2 lim 2 x f x  f ﹒ 這 個 結 果 對 一 些 函 數 並 不 成 立 ﹐ 舉 例 如 下 ﹕

【 例 題 2】 設 函 數

 

2 2, 0 1 , 0 2 0 x x f x x x x     _      若 若 , 若 ﹒ (1) 求

 

0 lim x f x ﹒ (2) 函 數 值 f

 

0 與

 

0 lim x f x 是 否 相 等 ﹖ Ans： (1) 2， (2) 否 【 詳 解 】 因 為 當 x0時 ﹐ f x

 

2x2﹔ 當 x0時 ﹐ f x

 

1﹔ 當 x0時 ﹐ f

 

x   x 2﹐ 所 以 y f

 

x的 圖 形 如 右 圖 ﹒ (1)當 x 趨 近 0 時 （ 無 論 從 左 邊 或 右 邊 趨 近 ） ﹐

 

f x 會 趨 近 2﹒ 因 此

 

0 lim 2 x f x  ﹒ (2)因 為

 

0 l i m 2 x f x  ﹐ f

 

0 1﹐ 所 以

 

 

0 lim 0 x f x  f ﹒ 在 上 例 中 ﹐ 雖 然 f x 在

 

x0處 有 定 義 且 極 限 存 在 ﹐ 但 兩 者 卻 不 相 等 ﹒ x y O 1 1 2

【 隨 堂 練 習 2】 設 函 數

 

4 , 0 2 , 0 4 0 x x f x x x x  _{ }  _   _{ }  若 若 , 若 ﹒ (1) 求

 

0 lim x f x ﹒ (2) 函 數 值 f

 

0 與

 

0 lim x f x 是 否 相 等 ﹖ Ans： (1) 2， (2) 是 【 詳 解 】 (1) 當 x 趨 近 0 時 （ 無 論 從 左 邊 或 右 邊 趨 近 ） ﹐ f (x)會 趨 近 42﹒ 因 此 0 l i m ( ) 2 x f x  ﹒ (2)因 為 f (0)  2﹐ 且 0 l i m ( ) 2 x f x  ﹐ 所 以lim ( )x0 f x  f(0)﹒ 綜 合 以 上 的 實 例 ﹐ 我 們 把 討 論 函 數 極 限 應 注 意 的 事 項 整 理 如 下 ﹕ 函 數 極 限 的 概 念 ： 當lim

 

xa f x L成 立 時 ﹐ 要 注 意 的 是 ﹕ (1) 「 x 趨 近 a 」 指 的 是 x 從 左 ﹑ 右 兩 邊 趨 近 a ﹐ 但 不 等 於 a ﹒ (2) 函 數 f x 在 x

 

a處 不 一 定 有 定 義 ﹐ 即 f a 可 能 存 在 或 不 存 在 ﹒

 

(3) 即 使 函 數 值 f a 存 在 ﹐

 

lim

 

xa f x 也 不 一 定 等 於 f a ﹒

 

並 不 是 所 有 函 數 在 任 意 數 的 極 限 都 存 在 ﹐ 舉 例 如 下 ﹕ 【 例 題 3】 設 函 數 f x

 

x x  ﹐ 討 論 f x 在

 

x0的 極 限 是 否 存 在 ﹖ Ans：否 【 詳 解 】

由 1-2 節 的 例 題 2 得 知 ﹐ 函 數 y f

 

x的 圖 形 如 右 圖 所 示 ﹒ 根 據 函 數 極 限 的 定 義 ﹐ x 趨 近 0 是 指 從 左 ﹑ 右 兩 邊 趨 近 0﹐ 分 別 討 論 如 下 ﹕ (1)當 x 從 右 邊 趨 近 0 時 ﹐ f x 會 趨 近 1﹒

 

(2)當 x 從 左 邊 趨 近 0 時 ﹐ f x 會 趨 近

 

1﹒ 故 當 x 趨 近 0 時 ﹐ 對 應 的 函 數 值 f x 不 會 趨 近 某 一 定 值 ﹒

 

此 種 情 形 表 示 ﹕ f x 在

 

x0的 極 限 不 存 在 ﹒ 從 這 個 例 子 我 們 知 道 ﹕ x 分 別 從 左 ﹑ 右 兩 邊 趨 近 a ﹐ 函 數 f x 趨 近 的 定

 

值 可 能 不 相 等 ﹒ 為 了 方 便 討 論 ﹐ 我 們 引 進 下 列 符 號 ﹕ (1)符 號 xa表 x 從 右 邊 趨 近 a ﹐ 即 x a 且 xa﹒ (2)符 號 xa表 x 從 左 邊 趨 近 a ﹐ 即 x a 且 xa﹒ (3)當 x 從 右 邊 趨 近 a 時 ﹐ 若 f x 趨 近 定 值 L ﹐ 則 稱 L 為

 

f x 在 x

 

a的 右 極 限 ﹐ 記 作 l i m

 

x a f x L    ﹒ (4)當 x 從 左 邊 趨 近 a 時 ﹐ 若 f x 趨 近 定 值

 

M ﹐ 則 稱 M為 f x 在 x

 

a的 左 極 限 ﹐ 記 作 l i m

 

x a f x M    ﹒ 由 極 限 的 定 義 ﹐ 我 們 有 以 下 的 結 論 ﹕ 極 限 與 左 右 極 限 的 關 係 ： 設 函 數 f x 在

 

xa處 的 鄰 近 區 域 有 定 義 ﹒ 若lim

 

xa f x L﹐ 則 xl i ma

 

xl i ma

 

f x f x L       ﹔ 反 之 亦 成 立 ﹒ 值 得 注 意 的 是 ﹕ 當 左 右 極 限 都 存 在 但 不 相 等 時 ﹐ 這 時 候 的 極 限 是 不 存 在 的 ﹒ 例 如 ﹕ 在 例 題 3 中 ﹐ 因 為

 

0 l i m 1 x f x    ﹐ 0

 

lim 1 x f x     ﹐ 即

 

0 lim x f x  xlim0 f x

 

﹐ x y O 1 1

所 以

 

0 l i m x f x 不 存 在 ﹒ 【 隨 堂 練 習 3】 設 函 數

 

1 , 1 2 3, 1 x x f x x x     _{  }  若 若 ﹒ (1) 求

 

1 lim x f x   ﹒ (2) 求

 

1 lim x f x ﹒ (3)

 

1 lim x f x 是 否 存 在 ﹖ Ans： (1) 1， (2) 2， (3) 否 【 詳 解 】 (1) 1 1 lim ( ) lim( 2 3) 2 3 1 x f x x      x ﹒ (2) 1 1 lim ( ) lim( 1) 1 1 2 x x f x x          ﹒ (3) 因 為 1 l i m ( ) 2 x f x    ﹐ 1 lim ( ) 1 x f x    ﹐ 即 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x      ﹐ 所 以 l i mx1 f x( )不 存 在 ﹒

乙 ﹑ 極 限 的 性 質

給 定 兩 函 數 f x 與

 

g x ﹒ 若

 

f x 與

 

g x 在 x

 

a的 極 限 都 存 在 ﹐ 則

   

f x g x ﹐ f x

   

g x ﹐ f x

   

g x ﹐ c f x

 

與

 

 

f x g x 在 x a 的 極 限 也 都 是 存 在 的 （ 其 中

 

 

f x g x 的 極 限 存 在 之 前 提 是limxag x

 

0）﹒ 這 些 性 質 對 於 求 函 數 的 極 限 有 很 大 的 幫 助 ﹐ 整 理 如 下 ﹕ 函 數 極 限 的 運 算 性 質 ： 設 函 數 f x 與

 

g x 在 x

 

a的 極 限 分 別 為 L與 M ﹐ 即lim

 

xa f x L﹐ limxag x

 

M ﹐ c 為 一 常 數 ﹒ 我 們 有 以 下 的 性 質 ﹕ (1) lim



   



xa f x g x  L M﹒ (2) lim



   



xa f x g x  L M﹒ (3) lim



 



xa c f x  c L﹒ (4) lim



   



xa f x g x  L M ﹒ (5) 若 M 0﹐ 則

 

 

l i m x a f x L g x M   ﹒ 這 些 性 質 還 是 直 觀 上 加 以 理 解 即 可 ﹒ 利 用 這 些 性 質 ﹐ 可 以 求 多 項 式 函 數 的 極 限 ﹐ 先 以



3 2



2 lim 3 6 x x  x  為 例 作 說 明 ﹕ 由 2 lim 2 x x 及 函 數 極 限 的 運 算 性 質 (4)﹐ 得





  

2 2 2 2 2 2

lim lim lim lim 2 2 2

x x x x x  x x x x    ﹐







 

3 2 2 2 3

2 2 2 2

lim lim lim lim 2 2 2

x x x x x  x x x x    ﹒

再 由 函 數 極 限 的 運 算 性 質 (1),(2)及 (3)﹐ 得



3 2



3 2

2 2 2 2

lim 3 6 lim 3 lim lim 6

x x  x  x x  x x x

3 2

2 3 2 6

再 仿 照 以 上 的 說 明 ﹐ 進 一 步 利 用 數 學 歸 納 法 證 得 ﹕ 對 任 何 正 整 數 n ﹐ lim n n xax a 恆 成 立 ﹒ 因 此 有 以 下 的 推 論 ﹕ 多 項 式 函 數 與 有 理 函 數 的 極 限 性 質 ： 設 a 為 實 數 ﹐

 

1 0 n n f x a x  a x a 與

 

m _{1 0} m g x b x  b x b 為 兩 實 係 數 多 項 式 函 數 ﹒ (1) lim

 

 

xa f x  f a ﹒ (2) 若 g a

 

0﹐ 則

 

 

 

 

l i m x a f x f a g x g a   ﹒ 性 質 (1)告 訴 我 們 ﹐ 多 項 式 函 數 在 x a 的 極 限 就 是 在 x a 的 函 數 值 ﹒ 【 例 題 4】 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1)



100



1 lim 2 3 x x  x ﹒ (2) 2 1 3 lim 2 x x x x     ﹒ (3) 2 2 1 lim 1 3 x x x x x     _   _{ }   ﹒ Ans： (1) 6， (2) 5 3， (3) 1 【 詳 解 】 由 多 項 式 函 數 的 極 限 性 質 ﹐ 得 (1)



100



1 lim 2 3 x x  x

 

 

100 1 2 1 3 6        ﹒ (2) 2 1 3 lim 2 x x x x     2 1 1 3 5 1 2 3      ﹒ (3) 因 為 2 2 2 2 lim 4 1 2 1 x x x   _  _   ﹐ 且 2 1 2 1 l i m 3 3 2 3 x x x   _  _{ }   ﹐ 所 以 由 函 數 極 限 的 運 算 性 質 ﹐ 得

 

2 2 1 lim 4 3 1 1 3 x x x x x     _ _{   }  _{ }    ﹒

【 隨 堂 練 習 4】 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1)





8 1 lim 3 2 x x ﹒ (2) 2 3 3 lim 1 x x x    ﹒ (3) 1 2 1 1 lim 3 1 x x x x x     _   _{ }   ﹒ Ans： (1) 1， (2) 3， (3) 3 2  【 詳 解 】 (1) 8 8 8 1 lim(3 2) (3( 1) 2) ( 1) 1 x x       ﹒ (2) 2 2 3 3 3 3 lim 3 1 3 1 x x x        ﹒ (3) 1 2 1 1 2 1 1 1 3 3 lim( ) 0 3 1 1 3 1 1 2 2 x x x x x                  ﹒ 極 限 的 問 題 並 不 都 像 例 題 4 那 樣 直 接 代 入 就 可 求 得 極 限 ﹐ 有 時 直 接 代 入 會 出 現 分 母 為 0 的 情 形 ﹐ 此 時 多 項 式 函 數 的 極 限 性 質 就 不 適 用 了 ﹐ 那 極 限 是 否 存 在 呢 ﹖ 若 存 在 ﹐ 又 該 如 何 求 得 極 限 呢 ﹖ 先 看 底 下 的 二 個 實 例 ﹒ 【 例 題 5】 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1) 2 3 5 6 lim 3 x x x x     ﹒ (2) 2 3 3 2 lim 3 x x x x     ﹒ Ans： (1) 1， (2) 不 存 在 【 詳 解 】 (1) 因 為 分 子 與 分 母 在 x3的 函 數 值 均 為 0﹐ 所 以 分 子 與 分 母 都 有 x3的 因 式 ﹒ 於 是 ﹐ 當 x3時 ﹐ 我 們 可 以 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕









2 2 5 6 3 3 2 3 x x x x x x x       _{ }  ﹒ 故 2 3 5 6 lim 3 x x x x     limx3



x2



  3 2 1﹒ (2) 因 為 分 母 在 x3的 函 數 值 為 0﹐ 但 分 子 在 x3的 函 數 值 不 為 0 所 以 x3 不 是 分 子 與 分 母 的 共 同 因 式 ﹒ 利 用 除 法 原 理 ﹐ 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕

2 3 2 2 3 3 x x x x x       ﹒ 由 2 3 x 在 x3附 近 的 值 ﹐ 可 以 得 知 ﹕ 當 x 從 右 邊 趨 近 3 時 ﹐ 上 式 的 值 會 趨 向 無 限 大 ﹔ 而 當 x 從 左 邊 趨 近 3 時 ﹐ 上 式 的 值 會 趨 向 負 無 限 大 ﹒ 故 上 式 在 x3的 極 限 不 存 在 ﹐ 即 2 3 3 2 lim 3 x x x x     不 存 在 ﹒ 【 隨 堂 練 習 5】 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1) 2 2 2 4 lim 3 2 x x x x     ﹒ (2) 2 2 1 lim 2 x x x x     ﹒ Ans： (1) 4， (2) 不 存 在 【 詳 解 】 (1) 2 2 2 2 2 4 ( 2)( 2) 2

lim lim lim 4

3 2 ( 2)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x                ﹒ (2) 因 為 2 1 1 ( 1) 2 2 x x x x x        ﹐ 且 1 2 x 在 x＝ 2 的 極 限 不 存 在 ﹐ 所 以 2 2 1 l i m 2 x x x x     不 存 在 ﹒ 設 f x 與

 

g x 為 多 項 式 函 數 ﹒ 對 於 函 數

 

 

 

f x g x 在 x a 的 極 限 之 求 法 ﹐ 分 成 以 下 三 種 情 況 ﹕ (1)若 g a

 

0﹐ 則

 

 

 

 

l i m x a f x f a g x g a   ﹒ (2)若 g a

 

0且 f a

 

0﹐ 則 此 極 限 不 存 在 ﹒ (3)若 g a

 

0且 f a

 

0﹐ 則 將 分 子 與 分 母 的 共 同 因 式 x a 約 去 後 ﹐ 再 依 照 以 上 的 原 則 繼 續 處 理 ﹒ 【 例 題 6】 求 ₂ 3 3 1 2 lim 4 3 3 x x x x x x     _   _{  }   ﹒ Ans： 2

【 詳 解 】 因 為 這 兩 個 分 式 的 分 母 在 x 3的 函 數 值 均 為 0﹐ 且 分 子 在 x 3的 函 數 值 均 不 為 0﹐ 所 以 這 兩 個 分 式 在 x 3的 極 限 都 不 存 在 ﹒ 雖 然 如 此 ﹐ 但 我 們 可 以 將 兩 個 分 式 合 併 成 一 個 分 式 再 考 慮 看 看 ﹒ 當 x 3時 ﹐ 得 2 2 2 3 1 2 2 3 4 3 3 4 3 x x x x x x x x x  _  _       

















1 3 1 3 x x x x      1 1 x x    ﹒ 故 ₂ 3 3 3 1 2 1 4 lim lim 2 4 3 3 1 2 x x x x x x x x x        _ _{  }  _{  }  _{ }   ﹒ 【 隨 堂 練 習 6】 求 ₂ 2 1 9 lim 2 2 x x x x x    _   _{  }   ﹒ Ans： 2 【 詳 解 】 因 為 2 1 9 1 9 2 2 2 ( 2)( 1) x x x x x x x x            2 _{2 8 ( 2)( 4) 4} ( 2)( 1) ( 2)( 1) 1 x x x x x x x x x x              ﹐ 所 以 ₂ 2 2 1 9 4 lim( ) lim 2 2 2 1 x x x x x x x x    _{ }  _     ﹒ 底 下 ﹐ 我 們 利 用 函 數 極 限 的 性 質 ﹐ 求 未 知 係 數 ﹒ 【 例 題 7】 設 a 為 實 數 ﹐ 且 極 限 2 2 lim 2 x x x a x     存 在 ﹒ (1)求 a 的 值 ﹒ (2)求 此 極 限 ﹒ Ans： (1) 2， (2) 3 【 詳 解 】 (1) 因 為 此 分 式 在 x2的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x2的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x2的 函 數 值 為 0﹐ 即 2 2   2 a 0﹒

解 得a 2﹒ (2) 當 x2時 ﹐ 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕









2 ₂ 2 1 2 1 2 x x x x x x x          ﹒ 故 2 2 2 lim 2 x x x x     limx2



x   1



2 1 3﹒ 【 隨 堂 練 習 7】 設 a 為 實 數 ﹐ 且 極 限 2 2 1 3 lim 2 x x ax x x      存 在 ﹒ (1)求 a 的 值 ﹒ (2)求 此 極 限 ﹒ Ans： (1) 4， (2) 2 3  【 詳 解 】 (1) 因 為 此 分 式 在 x＝1 的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x   1 的 函 數 值 為 0 ﹐ 所 以 其 分 子 在 x   1 的 函 數 值 為 0﹐ 即 1－ a＋ 3＝ 0﹒ 解 得 a＝ 4﹒ (2) 當 x   1 時 ﹐ 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕ 2 2 4 3 ( 1)( 3) 3 2 ( 1)( 2) 2 x x x x x x x x x x   _   _       ﹒ 故 2 2 1 1 4 3 3 1 3 2 lim lim 2 2 1 2 3 x x x x x x x x                 ﹒ 再 做 一 個 含 有 二 個 未 知 係 數 的 例 題 ﹒ 【 例 題 8】 已 知 2 1 lim 7 1 x x ax b x    _  ﹐ 求 實 數 a ﹐b的 值 ﹒ Ans： a 5﹐ b＝6 【 詳 解 】 因 為 此 分 式 在 x1的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x1的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x1的 函 數 值 為 0﹐ 即 1  a b 0﹒

將a  b 1代 入 x2 a x b﹐ 並 因 式 分 解 得





2 2 1 x ax b x   b x b 



x2 x



b x



1







x1



x b



﹒ 於 是







2 1 1 1 lim lim 1 1 x x x x b x ax b x x          limx1



x b



 1 b﹒ 因 此 ﹐ 由 題 意 得 1 b 7﹐ 解 得b 6,a   b 1 5﹒ 代 回 檢 驗 符 合 題 意 ﹐ 故a5﹐b 6﹒ 【 隨 堂 練 習 8】 已 知







2 2 2 lim 3 2 x x bx x x a    _{ }   ﹐ 求 實 數 a ﹐b的 值 ﹒ Ans： a＝ 3﹐ b＝1 【 詳 解 】 因 為 此 分 式 在 x＝ 2 的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x＝ 2 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x＝ 2 的 函 數 值 為 0﹐ 即 4＋ 2b 2 0﹒ 解 得 b＝1﹒ 於 是 2 2 2 2 2 ( 2)( 1) 1 3

lim lim lim

( 2)( ) ( 2)( ) 2 x x x x x x x x x x a x x a x a a                  ﹒ 因 此 ﹐ 由 題 意 得 3 3 2 a   ﹒ 解 得 a＝ 3﹒

丙 ﹑ 連 續 函 數

棒 球 選 手 打 出 全 壘 打 時 ﹐ 球 在 空 中 飛 行 的 路 線 是 一 條 「 連 續 」 的 弧 線 ﹒ 這 「 連 續 」 與 數 學 上 的 「 連 續 」 有 相 同 的 含 義 ﹒ 直 觀 來 看 ﹐ 若 函 數 f x 的 圖 形 在 定 義 域 內 的 一 點 a

 

接 連 不 斷 ﹐ 則 當 x 趨 近 a 時 ﹐ f x 就 必 須 趨 近 於 其 函 數

 

值 f a ﹐ 如 圖 3 所 示 ﹒ 這 個 直 觀 的 看 法 提 供 我 們 使 用 極

 

限 的 概 念 對 連 續 函 數 定 義 如 下 ﹕ 連 續 函 數 ： a 為 函 數 f x 定 義 域 的 一 點 ﹐ 當 滿 足 下 列 兩 個 條 件 時 ﹐

 

稱 函 數 f x 在 x

 

a處 連 續 ﹕ (1)lim

 

xa f x 存 在 ﹔ (2)lim

 

 

xa f x  f a ﹒ 又 當 函 數 f x 在 定 義 域 中 的 每 一 點 都 連 續 時 ﹐

 

稱 f x 為 連 續 函 數 ﹒

 

當 我 們 稱 函 數 f x 在 區 間

 

 

a b 上 連 續 時 ﹐ , 指 的 是 f x 除 了 在 區 間

 

 

a b 上 的 每 一 點 都 連 續 外 ﹐ , 也 要 滿 足 lim

 

 

xa f x  f a ﹐ xlimb f x

 

 f b

 

﹒ 關 於 連 續 ﹐ 舉 例 如 下 ﹕ (1)多 項 式 函 數 f x ﹕ 因 為

 

f x 的 定 義 域 為 所 有 實 數

 

﹐ 且 對 於 任 意 實 數 a 均 滿 足 lim

 

 

xa f x  f a ﹐ 所 以 f x 為 連 續 函 數 ﹐ 即 多 項 式 函 數 都 是 連 續 函 數 ﹒

 

x y O a f (a) y=f (x )

(2)例 題 1 的 函 數

 

2 4 2 x f x x    （ x2） ﹕ 因 為 f

 

2 沒 有 定 義 ﹐ 所 以 f x 在

 

2 x 處 不 連 續 ﹒ (3)高 斯 函 數 f

 

x 

 

x﹕ 因 為

 

1 l i m 1 x f x    ﹐ 1

 

lim 0 x f x    ﹐ 即

 

 

1 1 lim_ lim_    x x f x f x ﹐ 所 以

 

1 l i m x f x 不 存 在 ﹒ 因 此 f x 在

 

x1處 不 連 續 ﹒ (4)例 題 2 的 函 數

 

2 2 , 0 1 , 0 2 0 x x f x x x x     _      若 若 , 若 ﹕ 雖 然 f

 

0 有 定 義 且

 

0 lim x f x 存 在 ﹐ 但 因 為

 

 

0 l i m 0 x f x  f ﹐ 所 以 f x 在

 

x0處 也 是 不 連 續 ﹒ 直 觀 來 說 ﹐ 函 數 f x 在 x

 

a處 連 續 的 意 義 就 是 函 數 y f x

 

的 圖 形 在 x a 處 沒 有 斷 裂 ﹒ 例 如 ﹐ 多 項 式 函 數 不 但 都 是 連 續 函 數 ﹐ 而 且 其 圖 形 都 是 連 續 不 斷 的 ﹒ 【 隨 堂 練 習 01】 選 出 在 x0處 連 續 的 函 數 ﹕ (1) f x

 

x52x37 (2) f x

 

 x (3) f x

 

1 x  (4) f x

 



 

x Ans： (1)(2) 【 詳 解 】 (1) 因 為 多 項 式 函 數 都 是 連 續 函 數 ﹐ 且 f (x)是 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以 f (x)在 x  0 處 連 續 (2) 因 為 0 l i m ( ) 0 x f x  ﹐ 且 f (0)  0﹐ 即l i mx0 f x( ) f ( 0 )﹐ 所 以 f (x)在 x  0 處 連 續 (3) 因 為 f (0)沒 有 定 義 ﹐ 所 以 f (x)在 x  0 處 不 連 續 (4) 因 為 0 l i m ( ) 0 x f x  ﹐ 0 lim ( ) 1 x f x   ﹐ 即 0 0 lim ( ) lim ( ) x f x x f x  ﹐ 所 以 0 l i m ( ) x f x 不 存 在 ﹐ 因 此 ﹐ f (x)在 x  0 處 不 連 續 故 選 (1)(2)﹒ 底 下 ﹐ 我 們 利 用 連 續 函 數 的 定 義 ﹐ 求 未 知 係 數 ﹒

【 例 題 9】 已 知 函 數

 

2 3, 1 , 1 x x x f x x a x          若 若 為 連 續 函 數 ﹐ 求 實 數 a 的 值 ﹒ Ans： 4 【 詳 解 】 因 為 當 x1或 x1時 ﹐ f x 是 多 項 式 函 數 ﹐

 

所 以 只 要 f x 在

 

x1處 連 續 ﹐ f x 就 是 連 續 函 數 ﹒

 

又 由 於 要 使 f x 在

 

x1處 連 續 ﹐ 必 須 滿 足

 

 

1 lim 1 x f x  f ﹐ 且

 

2 1 1 1 3 5 f     ﹐

 



2



1 1 lim lim 3 5 x f x x x   x ﹐

 





1 1 lim lim 1 x x f x x a a         ﹐ 於 是 可 得1 a 5﹐ 解 得 a4﹒ 【 隨 堂 練 習 9】 已 知 函 數

 

2 1, 2 3 , 2 x x x f x x a x          若 若 在 x2處 連 續 ﹐ 求 實 數 a 的 值 ﹒ Ans：3 【 詳 解 】 因 為 f (x)在 x＝ 2 處 連 續 ﹐ 所 以 2 lim ( ) (2) x f x  f ﹒ 又 由 於 f (2)＝ 22_{－ 2＋ 1＝ 3﹐} 2 2 2 lim ( ) lim ( 1) 3 x f x x x   x ﹐ 2 2 lim ( ) lim (3 ) 6 x f x x x a a     ﹐ 於 是 可 得 6＋ a＝ 3﹐ 解 得 a＝3﹒

某 日 氣 溫 變 化 大 ﹐ 上 午 6 時 的 氣 溫 為 18C﹐ 下 午 15 時 的 氣 溫 為 27C﹒ 由 於 氣 溫 的 高 低 變 化 是 連 續 的 ﹐ 於 是 在 6 時 到 15 時 之 間 必 然 至 少 有 一 時 刻 的 氣 溫 恰 好 是 20C﹒ 這 個 生 活 經 驗 有 助 於 對 中 間 值 定 理 的 理 解 ﹒ 中 間 值 定 理 ： 設 函 數 f x 在 區 間

 

 

a b 上 連 續 ﹐ 且, f a

 

 f b

 

﹒ 若k是 介 於 f a 與

 

f b 之 間 的 實 數 ﹐

 

則 在 a 與b之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

 

k﹒ b c a k f (b) f (a) O x y b c1 c2 c3 a k f (b) f (a) O x y （ 存 在 1 個 c ） （ 存 在 3 個 c ） 這 定 理 的 證 明 超 過 本 書 的 範 圍 ﹐ 故 省 略 ﹒ 【 例 題 10】 已 知 f x

  

 x49

 

2 x51



22x﹐ 求 證 ﹕ 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

 

100﹒ 【 詳 解 】 因 為 f x 為 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以

 

f x 是 連 續 函 數 ﹒

 

▲圖 4

又 因 為 f

 

4 9  9 8﹐ f

 

51 102﹐ 所 以100介 於 f

 

49 與 f

 

51 之 間 ﹒ 由 中 間 值 定 理 得 知 ﹕ 在49與51之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

 

100﹒ 【 隨 堂 練 習 10】 已 知

 

3 2 f x x x x﹐ 求 證 ﹕ 在 2與3之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

 

10﹒ 【 證 明 】 因 為 f (x)為 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以 f (x)是 連 續 函 數 ﹒ 又 因 為 f (2)＝ 6﹐ f (3)＝ 21﹐ 所 以 10 介 於 f (2)與 f (3)之 間 ﹒ 由 中 間 值 定 理 得 知 ﹕ 在 2 與 3 之 間 至 少 有 一 實 數 c﹐ 使 得 f (c)＝ 10﹒ 利 用 中 間 值 定 理 可 以 幫 助 我 們 勘 定 方 程 式 實 根 的 位 置 ﹒ 【 例 題 11】 .已 知 函 數 f x

 

  x 3x 50為 連 續 函 數 ﹐ 求 證 ﹕ 方 程 式 x 3x 500在 2 與 3 之 間 至 少 有 一 實 根 ﹒ 【 證 明 】 因 為 f

 

2  3 2﹐ f

 

3 31﹐ 所 以0介 於 f

 

2 與 f

 

3 之 間 ﹒ 由 中 間 值 定 理 得 知 ﹕ 在2與3之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

 

0﹒ 故 方 程 式 f x

 

0在 2 與 3 之 間 有 一 實 根 ﹒ 由 例 題 11 的 證 明 過 程 ﹐ 我 們 可 以 將 第 一 冊 第 二 章 中 限 制 在 多 項 式 函 數 的 勘 根 定 理 ﹐ 透 過 中 間 值 定 理 推 廣 為 適 用 於 所 有 的 連 續 函 數 ﹐ 敘 述 如 下 ﹕

勘 根 定 理 ： 設 函 數 f x 在 區 間

 

 

a b 上 連 續 ﹒ , 若 f a f b

   

0（ 即 f a 與

 

f b 異 號 ）﹐

 

則 方 程 式 f x

 

0在 a 與b之 間 至 少 有 一 實 根 ﹒ 事 實 上 ﹐ 勘 根 定 理 就 是 中 間 值 定 理 在k 0時 的 特 例 ﹒ 【 隨 堂 練 習 11】 試 證 ﹕ 方 程 式 3 2 4x 6x 3x 2 0在 1 與 2 之 間 至 少 有 一 實 根 ﹒ 【 證 明 】 令 f (x)＝ 4x3_{－ 6x}2_{＋ 3x 2﹒} 因 為 f (1)f (2)＝ (1)  12＝12＜ 0﹐ 所 以 由 勘 根 定 理 得 知 ﹕ 方 程 式 f (x)＝ 0 在 1 與 2 之 間 至 少 有 一 實 根 ﹒

lt99a613 習 題

一 、 基 礎 題

1. 關 於 函 數

 

2 2, 1 3 , 1 x x f x x x         若 若 ﹐ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1) f

 

1 3 (2)

 

0 lim 2 x f x  (3)xlim1f x

 

2 (4)

 

2 lim 5 x f x  (5)limx1 f x

 

 f

 

1 ﹒ Ans： (1)(3) 【 詳 解 】 y  f (x)的 圖 形 如 圖 ﹒ 觀 察 函 數 圖 形 得 知 ﹕ x y O 1 1 2 3 1 2 3 (2,6) (1,4) (1,3) ( 1,2) (1) 因 為 圖 形 通 過 (1,3)﹐ 所 以 f (1)  3 (2) 當 x 趨 近 0 時 ﹐ f (x)會 趨 近 3﹒ 因 此 0 lim ( ) 3 x f x  (3) 當 x 趨 近  1 時 ﹐ f (x)會 趨 近 2﹒ 因 此 1 l i m ( ) 2 x f x  (4) 當 x 趨 近 2 時 ﹐ f (x)會 趨 近 6﹒ 因 此 2 lim ( ) 6 x f x  (5) 當 x 從 1 的 右 邊 趨 近 1 時 ﹐ f (x)會 趨 近 3﹔ 當 x 從 1 的 左 邊 趨 近 1 時 ﹐ f (x)會 趨 近 4﹒ 因 此 ﹐ 當 x 趨 近 1 時 ﹐ f (x)不 會 趨 近 某 一 定 值 ﹒ 故 1 lim ( ) x f x 不 存 在 故 選 (1)(3)﹒

2. 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1)



2



1 lim 3 x x  x ﹒ (2) 2 2 0 4 lim 2 4 x x x x     ﹒ (3) ₃ 2 2 1 3 1 lim 1 1 x x x x x     _   _{ }   ﹒ Ans： (1) 1， (2) 1， (3) 0 【 詳 解 】 (1) 2 2 1 lim( 3) 1 1 3 1 x x       x ﹒ (2) 2 2 2 2 0 4 0 4 lim 1 2 4 0 2 0 4 x x x x   _  _{ }      ﹒ (3) 因 為 3 2 1 5 l i m 1 4 x x x   _  ﹐ 且 ₃ 2 3 1 1 0 5 l i m 1 8 4 x x x   _{ }  ﹐ 所 以 ₂ 3 2 1 3 1 5 5 l i m ( ) 0 1 1 4 4 x x x x x   _  _{  }   ﹒ 3. 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1) 2 2 3 5 6 lim 8 15 x x x x x      ﹒ (2) ₂ 2 1 lim 6 x x x x     ﹒ (3) ₂ 3 4 2 lim 3 4 3 x x x x x    _   _{  }   ﹒ (4) ₁ 3 1 5 2 lim 1 1 x x x x    _   _{ }   ﹒ Ans： (1) 1 2  ， (2) 不 存 在 ， (3) 1 2， (4) 2 3  【 詳 解 】 (1) 2 2 3 3 3 5 6 ( 3)( 2) 2 1

lim lim lim

8 15 ( 3)( 5) 5 2 x x x x x x x x x x x x x                  ﹒ (2) 因 為 分 母 在 x  2 的 函 數 值 為 0﹐ 但 分 子 在 x  2 的 函 數 值 不 為 0﹐ 所 以 ₂ 2 1 l i m 6 x x x x     不 存 在 ﹒ (3) 因 為 2 2 4 2 5 6 ( 2 ) ( 3 ) 2 3 4 3 ( 1) ( 3 ) ( 1) ( 3 ) 1 x x x x x x x x x x x x x x                  ﹐ 所 以 ₂ 3 3 4 2 2 1 lim( ) lim 3 4 3 1 2 x x x x x x x x    _{ }  _     ﹒ (4) 因 為 2 3 2 2 2 1 5 2 4 3 ( 1) ( 3 ) 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x                    ﹐ 所 以 _{3 2} 1 1 1 5 2 3 2 lim( ) lim 1 1 1 3 x x x x x x x x             ﹒

4. 設 a 為 實 數 ﹐ 且 極 限 2 2 lim 2 x x x a x     存 在 ﹒ (1)求 a 的 值 ﹒ (2)求 此 極 限 ﹒ Ans： (1) 2， (2) 3 【 詳 解 】 (1) 因 為 此 分 式 在 x＝2 的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x＝2 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x＝2 的 函 數 值 為 0﹐ 即 (2)2＋ (2)＋ a＝ 0﹒ 解 得 a ＝2﹒ (2) 當 x2 時 ﹐ 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕ 2 2 ( 2)( 1) 1 2 ( 2) x x x x x x x   _   _{ }   ﹒ 故 2 2 2 2 lim lim ( 1) 2 1 3 2 x x x x x x             ﹒ 5. 設 函 數

 

2 1 , 1 1 0 , 1 x x f x x x     _{ }  _  若 若 ﹒ (1)求

 

1 lim x f x ﹒ (2)函 數 f x 在

 

x1處 是 否 連 續 ﹖ Ans： (1) 2， (2) 否 【 詳 解 】 (1) 當 x  1 時 ﹐ 2 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 x x x x x x  _   _{ }   ﹒ 故 1 1 lim ( ) lim( 1) 2 x f x  x x  ﹒ (2) 因 為 1 l i m ( ) 2 x f x  ﹐ 且 f (1)＝ 0﹐ 即l i mx1 f x( ) f (1)﹐ 所 以 f (x)在 x＝ 1 處 不 連 續 ﹒ 6. 已 知 函 數

 

2 5 , 1 2 , 1 x x f x ax x         若 若 在 x1處 連 續 ﹐ 求 實 數 a 的 值 ﹒ Ans： 8 【 詳 解 】 因 為 f (x)在 x＝ 1 處 連 續 ﹐

所 以 1 l i m ( ) (1) x f x  f ﹒ 又 由 於 f (1)＝ 1 2_{＋ 5＝ 6﹐} 2 1 1 lim ( ) lim( 5) 6 x x f x x        ﹐ lim ( )x1 f x lim(x1 ax  2) a 2﹐ 於 是 可 得 a－ 2＝ 6﹐ 解 得 a＝ 8﹒ 7. 已 知

 

3 f x x x﹐ 求 證 ﹕ 在3與 4 之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

 

64﹒ 【 證 明 】 因 為 f (x)為 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以 f (x)是 連 續 函 數 ﹒ 又 因 為 f (3)＝ 30﹐ f (4)＝ 68﹐ 所 以 64 介 於 f (3)與 f (4)之 間 ﹒ 由 中 間 值 定 理 得 知 ﹕ 在 3 與 4 之 間 至 少 有 一 實 數 c﹐ 使 得 f (c)＝ 64﹒

二 ﹑ 進 階 題

8. 已 知 函 數 f x 滿 足

 

 

1 lim 5 1 x f x x    ﹐ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1)

 

1 1 lim 5 1 x f x x x x   _  _  _    (2)

 





1 lim 5 2 1 x f x x    (3)

 





2 1 lim 5 1 x f x x  _  (4)

 

1 lim 0 x f x  (5)limx1



x f x

 



0﹒ Ans： (1)(4)(5) 【 詳 解 】 (1) 因 為 1 ( ) lim 5 1 x f x x    ﹐ 且 1 1 0 lim 0 1 x x x     ﹐ 所 以 1 ( ) 1 l i m ( ) 5 0 5 1 x f x x x x        (2) 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 5

lim lim( ) lim 5

2( 1) 2 1 2 1 2 2

x x x

f x f x f x

x x x

(3) 假 設 ₂ 1 ( ) lim ( 1) x f x x   存 在 且 其 值 為 L﹐ 則 因 為 1 lim( 1) 0 x x  ﹐ 所 以 ₂ 1 1 ( ) ( ) lim lim( ( 1)) 0 0 1 ( 1) x x f x f x x L x x           ﹒ 這 與 已 知 1 ( ) lim 5 1 x f x x    不 合 ﹐ 假 設 錯 誤 ﹐ 故 ₂ 1 ( ) lim ( 1) x f x x   不 存 在 (4) 因 為 1 ( ) lim 5 1 x f x x    ﹐ 且l i m (x1 x 1) ﹐ 0 所 以 1 1 ( ) lim ( ) lim( ( 1)) 5 0 0 1 x x f x f x x x          (5) 因 為 1 l i m 1 x x ﹐ 且 l i mx1 f x( ) ﹐ 0 所 以 1 l i m ( ( ) ) 1 0 0 x x f x    故 選 (1)(4)(5)﹒ 9. 已 知 2 2 2 4 lim 4 x x x ax b   _   ﹐ 求 實 數 a ﹐b的 值 ﹒ Ans： a＝3﹐ b＝ 2 【 詳 解 】 因 為 此 分 式 在 x＝ 2 的 極 限 存 在 且 不 為 0﹐ 又 其 分 子 在 x  2 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 母 在 x  2 的 函 數 值 為 0﹐ 即 4＋ 2a＋ b＝ 0﹒ 將 b＝2a－ 4 代 入 x2＋ ax＋ b﹐ 並 因 此 分 解 得 x2＋ ax＋ b ＝ x2_{＋ ax－ 2a－ 4} ＝ (x2_{－ 4)＋ a(x－ 2)} ＝ (x－ 2)(x＋ 2＋ a)﹒ 於 是 2 2 2 2 2 4 ( 2 ) ( 2 ) 2 4 l i m l i m l i m ( 2 ) ( 2 ) 2 4 x x x x x x x x a x b x x a x a a     _   _  _        ﹒

因 此 ﹐ 由 題 意 得 4 4 4a ﹐ 解 得 a＝3﹐ b＝2a－ 4＝ 2﹒ 10. 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1) 2 lim 2 x x x x    ﹒ (2) 2 1 2 lim 1 x x x x     ﹒ Ans： (1) 0， (2) 3 【 詳 解 】 (1) 2 2 2 | | 0

lim lim lim 0

| | 2 2 2 x x x x x x x x x x            ﹒ (2) 2 2 1 1 1 1 2 2 ( 1)( 2)

lim lim lim lim ( 2) 3

| | 1 1 ( 1) x x x x x x x x x x x x x x       _   _   _{   }      ﹒ 11. 設 f x 為 三 次 多 項 式 函 數 ﹐ 且

 

 

1 lim 1 1 x f x x    ﹐

 

2 lim 2 2 x f x x    ﹒ (1)求 f x ﹒

 

(2)求

 

4 lim 3 x f x x   ﹒ Ans： (1) (x－ 1)(x－ 2)(3x－ 4)， (2) 48 【 詳 解 】 (1) 因 為 分 式 ( ) 1 f x x 在 x＝ 1 的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x＝ 1 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x＝ 1 的 函 數 值 為 0﹐ 即 f (1)＝ 0﹒ 同 理 ﹐ 得 f (2)＝ 0﹒ 因 此 ﹐ 三 次 多 項 式 f (x)有 x－ 1 與 x－ 2 的 因 式 ﹒ 於 是 ﹐ 可 設 f (x)＝ (x－ 1)(x－ 2)(ax＋ b)﹒ 由 1 ( ) lim 1 1 x f x x    及 2 ( ) lim 2 2 x f x x    ﹐ 可 列 得 ( 1)( ) 1 1 (1)(2 ) 2 2 2 a b a b a b a b           _{ }  _{ }   ﹒ 解 得 a＝ 3﹐ b＝4﹐ 故 f (x)=(x－ 1)(x－ 2)(3x－ 4)﹒ (2) 4 4 ( ) ( 1)( 2)(3 4) 3 2 8 lim lim 48 3 3 1 x x f x x x x x x             ﹒