中學生通訊解題第二十七期題目參考解答與評析

中學生通訊解題第二十七期題目

參考解答與評析

數學科

臺北市立建國高級中學

t

,

-I

t2= t l

-+

1 '

問題編號

912701

k匕主斗

tl

+

1

tι主斗

tl

+

1

主止

,

t_l

+

1 且 t

,

-I

tl+1 +1

叫-M-數列 tl ， t2，旬，

t

4

, ...

1--::J、如布的規則定義: 1,,

-1

t

,

_l

=2 .

_弓tn+1 三」ι一_{n十 t} ll+

1

， 0=1 立， 3 ，﹒

-2

1

2

tl t

l

句 試求t

₂₀₀₃

的值。 斗斗

_L

tl 扛斗 斗+

tl

I-t l

t]

有 +1

tγl

rtT=

參考解答:

to

=

.!J.土之1

1

2 一 tl+1

2+1

3 '

tl

=2

,

ιι斗.::t.:JJ.

1-

t] 匕』斗中

1-

tl 扛斗

₁

l咽_tl IH1 一一-ι+1

I-t

I tA-I t5_{= t} 4

+

1

11

=

.!cl

三二

i

3 t勻 +1 一 l 一 2

'

台了 +1

一三.!J.

_

<

2

-

'I 。 =

-3

,

il

-2

+1

11-1

t4

=

t

₃

+

1 一

1

1

…~

三字 t凹的二 t(2000+.1\

=

t3

=τ± 弓，得在 tA-I t5= t 4

+

1

解題重點:觀察規則收找出數之間的相關

1

1

1

1

觀察其規律 2 ，了 -2

,

-3

， 2 ，了司弓， -3

,

性，大膽猜測並論證 o 評析:本題徵答人數共有 114 人，答對者共 ‘ J 勻/』 109 人，如徵答情形所列。平均得分為 可猜測此為一循環數列 (4 f[，J;]-f間環) 6.66 分。有猜測卻無證明是本次同學 三字 2003+4寸 00 餘 3 們共同的疏忽。其中答題優良或解法 三字 t2003 三 2 富參考價值者有桃園市青溪國中置1且 宇同學。 26 一 證明:

t]

,

問題編自

912702

;三鏡面M

₁

，M

₂

夾

30°角(如圖-)

,

--光線從 S點 出發、平行於鏡面 M

2

'入射至鏡面 M

1 於

A點，

然後在二鏡面間反射(此反射遵守反射定

律)。經過若干次反射後，光線交回到JS 點，若 SA 三 AY

= 1

'試問:光線從S出發後-直 到回到 S 為止所走的距離總和。 參考解答: 設光線從 S 點出發後依序在 M

j

， M

₂

兩鏡面可1 反射的點分別為 A 、 B 、 C 、 '"

·

.光線從 S 點出發且平行於鏡面i

M

2 '

·

.ζSAX=ζYYX=30ρ

·

.反射角=入射角，

...

LBAC=30。

二今 LABY三 1800_{-ζSAB=180"-120持。(三 ζCBY}

由，6 CBY-I:1}t早知 :ζBCY=90"=ζACB 二今光線第三次到達鏡面M

₁

(即C 點)時，則回頭 走相同的路徑回到 S 點，所以光線從S 出發 後一直到回到 S 為止所走的距離總不II

S

恥1

₂

國 J 參考解答: 設光線從S 點出發後依序在 M

₁

弓

M

₂

兩鏡面中 反射的點分別為A 、 B 、 c 、.

·

.光線從 S 點出發且平行於鏡面 M

₂

'

·

.ζSAX=ζYYX=30。

·

.反射角=入射角. .ζBAC=30。

=>LABY=1800-L三 SAB= 180"-120"=60ο=LCBY

由，6 CBY 可得知 :ζBCY=90"二 ζACB

二今光線第二次到達鏡面 MlomC 點)時，則回 頭走相同的路徑回到 S 點，所以光線從 S 出發後→直到回到 S 為止所走的距離總和 為 2x(

SA

+

AB

+

BC )

SA

=函 ±l3 ￡ =i

，6 ABC為 30°-60°-90°，6

=> AB

=斗"3， BC

玉立

2 x ( SA

+

AB

+

BC

)三 2 x (l+斗+

等)二吋

X

M

1

S

Y

M

₂

圓 --1 日 解題重點:應用對光學原理(入射角與反射角 相等)的了解，配合特殊三角形的 三邊比例長度，來推導出欲求路徑 ~由L>­ !I'it.::.'r.:~ 評析:本題徵答人數共有 71 人，答對者共的 人，如徵答情形所列。平均得分為 6.13 分。其中答題優良或解法富參考價值 者有台北縣光仁國中巫鐘1' 0 同學、桃 司/ 吋/缸

園市青溪國中宣i自主同學。 設的是整數，且 lOa十b 是 7 的倍數，試證: a-2b 也是 7 的倍數。 設的是輕數，且 5a十4b 是 7 的倍數，試證: 如-b 也是 7 的伯數。 參考解答:

(1)

令lO a+b =咒， t 為整數

二今b=7t-lOa' 代入 a-2b

苟且必=心 x(7t-lOa)

= a-14t+20a = 21a-14t = 7x

(3a-2t)

'''a 與 t 皆為整數，

...

(3a-2t) 為整數 二今 a-2b 為 7 的倍數。

(2)

令 5a+4b 三咒， k 為整數

'''(4

,

7)=1'

...乘上 4 不影響此數是百為7 的倍 數 勻的=咒，缸，代人[4x(4a-b)]

二今4x(4a-b) 三 l 的-4b

=

1 的-7k+5a 三 21a-7k=7

x(3a-k)

'''a 與 k 皆為整數，

...

(3a-k)為整數 =>4a-b 為 7 的倍數。 解題重點:以變數變換及代入消去的方式來 論證倍數的問題。部分同學以 M 證法亦可。 評析:本題徵答人數共有 96 人，答對者共 84 人，如徵答情形所列。平均得分為 5.85 分。其中答題優良或解法富參考價值 者有彰化市民生國小主建益同學、台 北縣江翠[蜀中且早監同學 O 碗中;有 n 顆彈珠，甲乙丙三人一起玩遊戲， 遊戲規則如t'-

:

甲乙丙每人依序輪流從碗中拿走 l 或 2 顆彈 珠(順序即為:甲乙丙 Ff1乙內公甲乙丙...) ，拿到 最後?頁彈珠的人就是輸家。 請問: (I)如果-開始有 5 顆彈珠(即 n=5) ，請 問乙干ClrA]能否合作迫使甲成為輸家? (2)請求出所有能讓乙丙合作而迫使甲成為輸 家的 n 11伯 υ 參考解答: “)旬以 3 }f j去女11

1< :

n三5 月1

_乙

內 _結果 拿走的彈珠數

2

甲輸 拿走的彈珠數

2

甲輸 拿走的彈珠數

2

甲輸 (2)將乙丙視做-人，可拿 2~4 顆彈珠，所以 lp+ 乙丙-次共 III 拿 3~6 顆。以 n 值來討論 甲輸/贏的情形: n=l 因為市先拿→輸

n=2

:因為甲吋先拿 l 顆→贏 n=3 、 4: 因為乙丙至少需拿 2 顆→贏 n=5 因為乙內-，IJ控制拿 2 或 3 顆→輸

n=6

:因為乙丙可控制拿 3 或 4 顆→輸

n=7

:甲第 4 次拿 l 顆即可拿到第 5 或 6 顆 →贏

n=8

:甲第一次拿 2 顆即可拿到第 6 或 7 顆 即可→贏

n=9

:乙丙合作拿成 4 的倍數即可，如甲 l 乙 2 內 l 或甲 2 乙 l 內 l 的方式→輸 28 一

n=IO: 同 n=9 '只要第-次乙或兩多拿 1 顆(即其中-次拿成 5 ct'1 倍數 )EP ~lJ

n=11

:乙丙合作拿成 5 的伯數即 11J→輸

n=12

:乙內只要使彈珠顆數剩 6 或 9 顆 (ftl] 避開甲勝的情形)，所以若甲 l 則乙 l 內 I (剩 9 顆，同 n斗的情形) ，若 [fl 2 乙 2 內f 2(剩 6 早頁，同 n=6 n月]情形) →輸 由後往前依甲乙丙之序拿走3 或 6 顆

回國圓圓回國回國圓圓回回

會輸的顆數上，因此之後皆為甲輸。 除了 n=2 、 3 、 4 、 7 、 8 是甲贏之外，其餘的 n {i直皆可讓乙內合作使甲輸。 解題重點:觀察乙內可控制的顆數對遊戲的 影響並以實做去做測試，推論叮 能的 n{自並以歸納方式論證。 評析:本題徵答人數共有 64 人，答對者共 2 人，如徵答情形所列。平均得分為2.02 分。其中答題優良或解法富參考價值 者有台北市建成國中正直同學、東湖 國中主主主同學。

L

L

L

甲會輸的情形

L

L

L

問題編號

912705

(框中的數字 E代表第 t 顆)

叫:甲+乙內可拿3~6 顆酬，從回去

甲乙丙之序開始拿彈珠，若要甲輸 只要使拿完-輪後剩 9 顆即可，因 為第 13 顆到第 9 顆間差 4 顆，所以

乙內可合作使甲拿到圓，→輸

n二 14 :同 n三 13 '因為回到囝怕是巾，

所以乙丙可合作使甲拿到囝或回

→輸

因為國、圓、固、固、固、回都是甲輸，

目，乙內可拿 2~4 顆彈珠，甲十乙內-次共自J拿

3~6 顆，從回開始，與因之間的差會多於6

顆，所以之後的 n 值，乙丙皆可使甲停留在

n

值

2

3

4

5

甲輸/贏 輸 _{贏 贏 贏} 輸

n

{直

6

7

8

9

10

甲輸/贏 輸 _{贏 贏} 輸 輸

n

{直

_II

₁₂

₁₃

₁₄

...

甲輸/贏 輸 輸 輸 輸 輸 60EF 是銳角三。角形， OX 為高，圓 C\ ， C

₂

分

別為60XE 、 60XF 的外接圓， [員IC

_I

交

OF 於 Y點，圓 C

₂

交

DE 於Z點，連接 FZ射線依次交 圓 C

1 於

Q

、 S兩點，連接_{EY射線依次交圓 C}

_2於

p _{、 R兩點，如圍;。試證 : PQRS 四點 1于同 J} 區Lt 0

C

2 參考解答一: 由題目可知 : 60EF 是銳角三角形， OX 為

-

29 一

口­

F司 y

二今 LDXE三90"=ζDXF

山圓 C

₁

來看 . .ζDYE Ji!時 ζDXE 對到同→個

弧 (DSE弧)

,

:.ζDYE=90。三 LDXE

出圓 C

₂

來看 . .ζDZF 與 LDXF對到同一個弧 (DRF弧)

, :.

LDZF=90。二 ζDXF

.

.在L"， DEF 中， ζDXE=ζDYE=ζDZF=90"

,

:.DX 與射線 FZ 和射線 EY 交於同令點(即垂 心) ，令此點為 H 由圓 C

₁

來看 ，

DH

x

HX =SH

x

HQ 一一@ (相交弦定理) 由圓 C

₂

來看 ，

DH

x

HX =PH

x

HR

---(6)

(相交弦定理) 由 CD (6)口J 得 SH

x

HQ =PH

x

HR

'故 P，Q， R， S 四點共圓。 參考解答二: 連接DS

,

DP

,

DQ

,

DR

DX 為L"，DEF的高 ， =>L三 DXE=900 =

L

DXF

二今 DE 為圓 C

_I

的直徑 _{， DF 為圓 C}

₂

的直徑 --四---CD 由圓 C

₁

來看 . .ζDYE與 ζDXE對到同 1國 弧 (DSE弧)

,

:.ζDYE=900=ζDXE 由圓 C

₂

來看 . .ζDZF與 ζDXF 對到同-個弧 (DRF弧)

,

:.ζDZF=900=ζDXF 二今 DE ..1射線 FZ

' DF

..1射線 EY----一@ 二今由 CD (6)得知，

DS

DQ

,

DP

DR

一@ 在區IC

I

內，連接_SE ':DE 為直徑，

:.

LDSE三"。 二今L"，DSE~L"，DZS(AA 相似)

DS

DE

可 二三〉 二今

DS

= DZ

x

DE

DZ

DS

--®

同理，在圓C

₂

內，連接PF ':DF 為 yg徑. .ζDPF=90。 二今L"，DPF~L"， DYP(AA 相似) 二三〉

DP

DY

DF

DP

FA

D

×

-Y

-D

一-p 且

D

3

---(3)

在L"，DEF 中，

L",

DEY

~L"，DFZ(AA 相似)

DY

DE

二今

DY

x

DF

三

DZ

x 二三〉 一一一一

DZ

DF

DE

一一一@ 由®(3)@得知，

DS = DP

代回@二今 DS

= DP =

DQ 三 DR (下轉第 25 頁)

- 30

在黃色濾鏡下顯得特別明亮，因而得名。規 模龐大的黃雲形成塵暴，有時瀰漫整個火星 表面，如 1971 、 1973 年，即使透過望遠鏡也 只能看到一片黃茫。 1971 年水手九號太空船 抵達火星時便遇上了大規模的塵暴，幾乎使 探測任務無法進行。 根據最近的研究發現，黃雲與塵暴在任 何季節昀會形成，但最旺盛期發生在火星過 近日點附近，即南半球的夏季與北半球的初 夏時分。最常發生塵暴的地區分佈干 f::

Hellas

、 Noachis 、 Hellespontus 、 Iapygia

@J

Solis

Lacus 區域。黃雲剛開始生成時呈現很 亮的白色，而後隨著強烈的 roo昇氣流，挾帶 著地面黃沙，轉為黃色。 接著火旱地面的明 暗特徵逐漸消失，甚至整個火星表面都被籠 罩，當塵暴範圍擴張達到最大時，其周圍會 出現藍白色的雲。南半球的大型塵暴通常呈 (上承第 30 頁) 故 P，Q ， R， S 四點皆落在以 D 為圓，心、 OS

(=

OP

=

OQ

=

DR

)為半徑之圓上 二今 P， Q， R， S 四點共圓 O 解題重點:先了解四點共圓的條件，利用直 角三角形或圓內接四邊形的性 質來論證。

25

東西向行進，在塵暴發生前火星大氣會變得 特別澄靜，正所謂暴風前的寧靜吧! 火星塵暴發生的時間、路徑與蔓延的區 域對未來的火星探測任務相當重要，但塵暴 的發主目前尚無法完全准確預測，例如預測 將在 1988 年發生的塵暴結果並未出現，反倒 是 1956 、 1971 與 1973 年的大塵暴有點出人 意料!而從 1983.1 1.1 3 至 12 時，以及 1984. 1.1 7 至 2.19 間的塵暴路徑來看，要預測 它的行徑的確不是件:容易的事，必須累積 大量的觀測資料與氣象理論，來建立精確的 火星大氣模型才行，不過從另角度來看， 火星的多變與不可預測正是它神秘與引 人的重要因素。 【本文轉載性修改白 TAS 台灣天文網 2003

年八月天文新聞】

評析:本題徵答人數共有 12 人，答對者共 9 人，如徵答情形所列。平均得分為 5.60 分。 幾乎所有的同學皆無說明為何可設兩射線交 高 (OX) 於同一點，過程皆不夠完整。其中 答題優良或解法，富參考價值者有台北縣永和 國中施恩銘同學。