混合題型之多點計分知識結構分析與適性測驗選題策略

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

理學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授：郭伯臣 博士

混合題型之多點計分知識結構分析與適性測驗

選題策略

研究生：李佳蓁 撰

中華民國一百年八月

謝辭

轉眼間四個暑假的研究所課程已經完成了，在這期間論文能順利完成要感謝 的人相當多，首先最要感謝的是指導教授郭伯臣老師，老師除了在課堂上給予同 學們專業知識外，還提供許多撰寫論文的資訊，並且時常在百忙之中抽空來指導 我們。其次要感謝的是口試委員曾建銘老師、吳慧珉老師以及林素微老師，感謝 你們在口試時殷切的給予指導與建議，使我獲益良多。 在寫論文的過程中，難免會遇到許多難題，感謝劉育隆學長和楊智為學長總 是不厭其煩的指導我，爲我排除困難，解開困惑，因為有你們的協助，才能讓論 文順利如期完成。感謝所辦公室助教敏嫻，因為有妳貼心提醒流程上的細節，讓 程序更為順利。感謝同學豔鴽，時常與我聯繫，關心我研究上的進度，分享彼此 的近況；感謝同學子晏，在忙於論文修改之際，還熱心與我分享撰寫論文的許多 技巧，讓我在過程中更加順利。還要感謝陪伴我走過四個酷暑的同窗好友媺慧、 閔琦和靚瑜，在修課期間我們時常討論作業，共同完成報告，在我因懷孕而身體 不適，或者因照顧孩子而分身乏術時，給予我課業上和精神上最大的包容與支 持！ 在三年的研究所修業期間，同時歷經了工作調動後的適應期，歷經了懷孕生 子的人生重大轉變，這一路上因為有家人在身旁無怨無悔的默默支持，才能成就 我完成論文，感謝所有家人對我的包容和疼愛，讓我更深刻的體悟到自已的幸運 和幸福！ 由衷感謝這ㄧ路所有幫助過我的人！ 李佳蓁 謹誌 中華民國一百年八月

摘要

傳統的紙筆測驗，能清楚的紀錄學生的解題歷程，但對老師而言，卻增加了 閱卷上的負擔，對學生而言，亦無法在測驗後清楚得知自己的錯誤概念。近年來， 電腦化適性測驗已經廣泛被運用，以知識結構理論為基礎的適性診斷測能有效的 讓學生了解錯誤類型及讓在教師進行補救教學上提供更多學生作答的訊息。本研 究主要是建置一份包含選擇題與建構反應題的數學電腦化測驗，可透過電腦所記 錄的學生解題過程，了解學生的作答反應，並得知其迷思概念，再建立自動化分 析系統來診斷和分類學生的錯誤類型。如此一來可降低老師的閱卷負擔，並協助 老師調整教學方式以及便於進行補救教學，亦能提高學生的學習效率。 目前以知識結構為基礎的二元計分模式以被廣泛採用，且成效良好，但若是 以建構題來測驗較高層次思考，二元計分模式則無法有效達到最佳效果，為了更 精準的測驗出學生的能力以及減少測驗題數，本研究採用以知識結構為基礎的多 點計分模式來建立選擇題與建構反應題之間的試題結構，作為適性選題策略。 本研究結果摘述如下： 一、本研究建置「怎樣解題」單元之選擇題與建構反應題型，較僅有選擇題的試 題，更能有效診斷出學生的錯誤類型，有利於教師掌握學生的迷思概念。 二、本研究所建置「電腦化測驗之建構反應題型自動化分析診斷系統」之平均辨 識率為 98.34％，成效良好。 三、在精準度為 0.95 時，施測題數節省了 14 題與整份試卷共 20 題都要作答相比， 約可節省 70％以上的試題，可以說明本研究所發展之多點計分選題策略有其 一定的成效。 關鍵字：電腦化適性測驗、建構反應題、多點計分模式

Abstract

In recent years, the computerized adaptive test was already widespread. In this research, we aimed to build the mathematical computer-based test system including multiple-choice and constructed-response items. Through this system, the wrong answers of students were classified and diagnosed. As a result, teachers’ loading on examining test paper would be reduced however the learning efficiency of students would be increased.

The delivery strategy of item of polytomous structure was slightly better then binary structure. Therefore, the research adopted polytomous structure based on

knowledge structure to build test item structure between multiple-choice and constructed-response item. The results of this research were abstracted as follows: 1. This research builds the computer-based test system for multiple-choice and

constructed-response items of “algebra”. This system is more efficient for teachers to diagnose and know the error type and misconceptions of students. It’s helpful for the recovery teaching.

2. The average accuracy of “constructed-response items of the computerized test items automated analysis and diagnosis system” is 98.34％. The performance is fine.

3. When the accuracy is 95%, the number of test items reduced fourteen topics. Based on twenty topics of one test paper, 70% test items can be reduced. The result shows our strategy of polytomous scoring has well extent on students’ testing.

Keywords: computerized adaptive test, constructed-response items, polytomous scoring

目錄

目錄... III 表目錄... V 圖目錄... VII 第一章 緒論...1 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...2 第三節 名詞解釋...3 第二章 文獻探討...5 第一節 「怎樣解題」教材內容分析...5 第二節 以知識或試題結構為主的電腦適性測驗 ...10 第三節 以知識結構為基礎的多點計分... 11 第四節 建構反應題型 ...13 第三章 研究方法...17 第一節 研究流程...17 第二節 研究對象...26 第三節 研究工具...26 第四節 研究設計...28 第四章 研究結果...35 第一節 建構反應題題型之計分模式分析 ...35 第二節 學生解題過程之錯誤類型和解題策略分析...38 第三節 診斷系統成效評估 ...54

第四節 選題策略成效評估... 55 第五節 試題結構圖與專家知識結構圖之分析... 56 第五章 結論與建議 ... 59 第一節 結論 ... 59 第二節 建議 ... 59 參考文獻 ... 61 中文部分 ... 61 英文部分 ... 63 附錄一 線上施測題目... 65 附錄二 「怎樣解題」單元第 12-19 題錯誤類型編碼 ... 69

表目錄

表 2- 1 單元名稱及單元目標一覽表（康軒版）... 6 表 2- 2 相關能力指標與分年細目對照表... 7 表 2- 3 本單元能力指標內容... 8 表 2- 4 「怎樣解題」單元於各相關文獻中的錯誤類型整理... 9 表 2- 5 試題 j 與試題 k 之聯合邊界機率表...11 表 2- 6 建構反應題型其特性、優點與限制之分析表 ...13 表 3- 1 子技能一覽表（康軒版） ...20 表 3- 2 錯誤類型一覽表（康軒版） ...21 表 3- 3 解題歷程及錯誤類型對應表 ...32 表 3- 4 解題歷程區塊分析及錯誤類型對應表...32 表 4- 1 第 20 題建構反應題之學生解題過程編碼舉例說明...36 表 4- 2 建構反應題原本之錯誤類型及新增錯誤類型 ...38 表 4- 3 第 12 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 ...41 表 4- 4 第 13 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 ...42 表 4- 5 第 14 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 ...43 表 4- 6 第 15 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 ...44 表 4- 7 第 16 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 ...45 表 4- 8 第 17 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 ...46 表 4- 9 第 17 題學生解題策略數量統計表...47 表 4- 10 第 18 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 ...48 表 4- 11 第 18 題學生解題策略數量統計表...49

表 4- 12 第 19 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表... 49 表 4- 13 第 19 題學生解題策略數量統計表 ... 51 表 4- 14 第 20 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表... 52 表 4- 15 第 20 題學生解題策略數量統計表 ... 53 表 4- 16 建構反應題診斷辨識率 ... 54 表 4- 17 多點計分選題策略各閾值預測精準度及平均施測題數表 ... 55 表 4- 18 「減法」之試題答對率 ... 56

圖目錄

圖 2- 1 試題結構範例...10 圖 3- 1 研究流程圖 ...18 圖 3- 2 專家知識結構圖（加法） ...22 圖 3- 3 專家知識結構圖（減法） ...23 圖 3- 4 專家知識結構圖（乘法） ...24 圖 3- 5 專家知識結構圖（除法） ...25 圖 3- 6 選擇題型作答介面...27 圖 3- 7 建構反應題型作答介面 ...27 圖 3- 8 第 20 題建構反應題題型之解題策略分析流程 ...30 圖 3- 9 選題策略例圖 1...34 圖 3- 10 選題策略例圖 2...34 圖 4-1 第 17 學生解題策略示意圖 ...47 圖 4- 2 「減法」之子技能試題關聯結構圖...57

第一章 緒論

本章共分為三節加以說明，第一節為研究動機；第二節為研究目的；第三節 為名詞解釋。其分述如下：

第一節 研究動機

隨著網路科技的興盛，線上診斷測驗的好處為提供回饋給學習者與教學者以 及提供改進課程的依據（郭生玉，1989）。因此透過電腦化測驗，不只是能評定 學生成績的高低，而是希望藉由電腦化分析，能在測驗後立即得到更多、更精確 的訊息回饋，讓學習更完整。 而一般電腦化適性測驗所採用的理論基礎可分為兩種，第一種是試題反應理 論(item response theory, IRT)，第二種則是知識或試題結構理論（郭伯臣，2004）。 其中以知識或試題結構理論比較適合使用在以認知診斷為目的之電腦化適性測 驗。郭伯臣、何政翰（2004）在研究中指出，知識或試題結構的建立可採用以下 四種方法，分別是 expert knowledge structure、Diagnosys、IRS（item relational structure analysis）、OT（ordering theory）。以試題順序結構為基礎的適性測驗 的來說，OT 演算法在預測精確度和節省試題方面是一個較佳的選擇（劉育隆， 2007）。因此，本研究將採用 OT 演算法，作為電腦適性診斷測驗選題策略。 目前的電腦化測驗題型，仍大部分以選擇題為主，學生容易受猜題的影響， 較不具客觀性。因此本研究部分試題加入建構反應題型，即非選擇題，可以測量 出學生透過獨立思考來解決問題、在組織統合後有表達想法的能力（教育部， 2004）。 由於本研究部分試題採用建構反應題型，若採用二元計分模式無法做多點計 分試題間的連結，因為在二元計分模式下，題目難度估計值易呈兩極化現象、題 目的鑑別度亦較差，且低估學生的能力，而在題目認知成份明確和部份知識是存 在的假設下，多點計分模式可以精確估計各成份難度值，又可補二元計分之不足

(王佳文，1995)。而在比較二元選題策略與多點選題策略的成效上，多點的適性 測驗選題策有略好的效果(劉育隆，2007)。因此本研究亦加以採用以知識結構為 基礎的多點計分模式。 本研究是以國小五年級數學第十冊「怎樣解題」單元為例，由於本單元是學 生第一次學習以抽象文字符號來代表數，也是由四至五年級的具體表徵期轉換至 六至七年級的類化具體表徵期之間，認知形式轉換的過渡階段（教育部，2003）。 因此本研究根據學生概念發展順序來繪製知識結構圖，在以此為基礎設計 11 題 選擇題和 9 題建構反應題，並以線上測驗的方式，透過國小五年級學生的錯誤概 念，分析學習上常發生的作答錯誤類型，教師亦能於課後快速掌握學生是否已學 會使用文字符號表徵生活中的變量。 因此，本研究是以國小五年級數學第十冊「怎樣解題」單元為例，編製一份 具有選擇題與建構反應題的數學電腦化測驗，透過以知識結構為基礎的多點計分 模式作為最佳選題策略。

第二節 研究目的

基於以上的研究動機，本研究之主要研究目的如下： 壹、建置「怎樣解題」單元之建構反應題型的計分模式。 貳、建置「怎樣解題」單元電腦化測驗之建構反應題自動化分析診斷系統，並評 估其成效。 叁、評估以結構理論為基礎的多點計分適性診斷測驗的選題策略。

第三節 名詞解釋

壹、電腦化適性測驗

電腦化測驗指的是受試者透過電腦網路實施測驗的一種方式。周文正（1998） 指出受試者可以透過網際網路在遠端施測，使測驗不受時空的限制，並可透過電 腦，詳實的記錄學生所有的解題歷程，迅速經由電腦系統分析出學生的錯誤概 念。電腦化測驗可能記錄學生作答反應資訊，以利於測驗的分析，降低人工閱卷 出錯的機率，在計分上較具有效率，並可及時給予學生回饋，進行適性測驗，透 過具有一致性的試題編製，可使施測趨向標準化。

貳、建構反應題

建構反應試題（constructed-response item）是要求學生自己提供答案。Linn &

Gronlund（2000）認為透過此過程能測量學生運用思考、解決問題、組織統整、 和表達想法的能力。亦即透過學生獨立思考、自我批判、組織整合、系統評鑑、 並呈現成果（教育部，2004）。一般建構反應題分為填充題（completion item）和 開放式問題（open-ended question）兩種，而開放式問題又分成限制反應題和擴展 反應題，其中限制反應題因已指定討論主題和反應的方式，而具有避免猜測以及 可測量學生組織、表達的能力等優點（教育部，2004）。本研究所採用的建構反 應試題為限制反應題型。

第二章 文獻探討

為達到本研究之目的，在相關文獻部分，本章共分為四節加以探討：第一節 為「怎樣解題」教材內容分析；第二節為以知識或試題結構為主的電腦適性測驗； 第三節為以知識結構為基礎的多點計分模式；第四節為建構反應題。

第一節 「怎樣解題」教材內容分析

本研究是以國小五年級第十冊數學領域「怎樣解題」單元（康軒版）為依據， 本單元是學習代數的過渡階段，也是學生第一次學習以文字符號來代表「數」， 因此，本研究依據此教材內容進行電腦線上測驗，透過國小五年級學生的錯誤概 念，分析學習上常發生的作答錯誤類型，有助於教師在課後快速掌握學生是否已 學會使用文字符號表徵生活中的變量，可適時調整教學進度，以便於學生進一步 學習如何求出等式中，其文字符號的值。以下就分別整理出教材地位、能力指標 分析以及相關錯誤類型。

壹、教材地位

本研究是以康軒版國小五年級第十冊數學「怎樣解題」單元為依據，其教材 地位如表 2-1 所示： 表 2- 1 單元名稱及單元目標一覽表（康軒版） 年級 冊數-單元 單元名稱 單元目標 能力指標 分年細目 一下 2-2 20 以內的加減 在具體情境中，認識等號兩邊數量一 樣多的意義。 A-1-01 1-a-01 一下 2-6 加減應用 1.在具體情境中，察覺加法的交換律。 2.能在具體情境中，認識加減互逆。 3.解決加(減)數未知的問題。 A-1-03、A-1-04 1-a-02、1-a-03 二上 3-6 乘法 在具體情境中，察覺乘法的交換律。 A-1-03 2-a-03 三上 5-6 加減法的應用 1.能解決生活中被加數(加數)未知的 問題。 2.能解決生活中被減數(減數)未知的 問題。 A-1-02 2-a-02 三下 6-7 乘與除 1.在具體情境中，認識乘除互逆。 2.解決被乘(除)數未知、除(乘)數未知 的問題。 A-1-05、A-1-02 3-a-02、3-a-01 四上 7-7 整數四則計算 1. 以括號區分兩步驟問題的計算順 序。 2. 經驗乘法的結合律。 A-2-01 4-a-01 四下 8-2 整數四則混合計 算 能知道整數四則的併式約定，並用來 列式求答。 A-2-01、A-2-02 4-a-01、4-a-03 五上 9-4 整數四則計算 能利用整數四則運算的併式約定，來 簡化計算式子，並解決生活情境中的 問題。 A-2-01、A-2-01 5-a-01、5-a-02 五下 10-8 怎樣解題 能解決使用未知數符號所列出的單步 驟算式題，並嘗試解題及驗算其解。 A-2-03 5-a-03

貳、能力指標分析

在數學領域能力指標中，和「代數」學習概念有相關的分年細目整理如下表 2-2 所示： 表 2- 2 相關能力指標與分年細目對照表 能力指標 分年細目 A-1-01 能在具體情境中，認識等號兩邊數 量一樣多的意義與＜、＝、＞的遞移律。 1-a-01 能在具體情境中，認識等號兩邊數 量一樣多的意義。 A-1-02 能將具體情境中的單步驟問題列 成算式填充題，並解釋式子與原問題情 境的關係。 3-a-01 能將具體情境中單步驟的乘、除問 題列成算式填充題，並能解釋式子與原問 題情境的關係。 1-a-02 能在具體情境中，認識加法的交換 律、結合律，並運用於簡化計算。 2-a-02 能將具體情境中單步驟的加、減問 題列成算式填充題，並解釋式子與原問題 情境的關係。 A-1-03 能在具體情境中，認識加法的交 換律、結合律、乘法的交換律，並運用 於簡化計算。 2-a-03 能在具體情境中，認識乘法交換律。 A-1-04 能理解加減互逆，並運用於驗算 與解題。 1-a-03 能在具體情境中，認識加減互逆。 A-1-05 能在具體情境中，認識乘除互逆。 3-a-02 能在具體情境中，認識乘除互逆。 4-a-01 能在具體情境中，理解乘法結合 律、先乘再除與先除再乘的結果相同，也 理解連除兩數相當於除以此兩數之積。 5-a-01 能在具體情境中，理解乘法對加法 的分配律，並運用於簡化心算。 A-2-01 能在具體情境中，理解乘法結合 律、乘法對加法的分配律與其他乘除混 合計算之性質，並運用於簡化計算。 5-a-02 能熟練運用四則運算的性質，做整 數四則混合計算。 A-2-02 能理解乘除互逆，並運用於驗算 與解題。 4-a-03 能理解乘除互逆，並運用於驗算與 解題。 4-a-02 能將具體情境中所列出的單步驟算 式 填 充 題 類 化 至 使 用 未 知 數 符 號 的 算 式，並能解釋式子與原問題情境的關係。 A-2-03 能解決用未知數符號列出之單步 驟算式填充題。 5-a-03 能解決使用未知數符號所列出的單 步驟算式題，並嘗試解題及驗算其解。

「怎樣解題」單元依據教育部於 92 年公布之九年一貫課程綱要數學學習能 力指標，是屬於第二階段能力指標（四到五年級），以下就相關能力指標整理如 下表 2-3 所示： 表 2- 3 本單元能力指標內容 單元名稱 能力指標內容 怎樣解題 A-2-03 能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-3 能了解其他領域中所用到的數學知識與方法。 C-T-1 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。 C-T-2 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。 C-T-4 能把待解的問題轉化成數學的問題。 C-S-1 能分解複雜的問題為一系列的子題。 C-S-2 能選擇使用合適的數學表徵。 C-S-3 能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、 推演、驗證、論證等。 C-S-4 能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、 推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、 系統化、監控等。 C-C-1 能了解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等) 的內涵。 C-C-2 了解數學語言與一般語言的異同。 C-C-4 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。 C-C-5 用數學語言呈現解題的過程。 C-C-9 能回應情境共同決定數學模型中的一些待訂參數。 C-E-1 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。

參、相關錯誤類型整理

許多國內外相關研究結果指出學生在代數學習上仍有困難。Kieran(1984)指出 12 至 13 歲的學生對於符號與數學混合在一個式子呈現容易產生混淆。Brenner and Moseley(1997)發現，學生在剛開始學習代數時，在代數概念及變數符號表徵運算 上，會產生學習困難。Booth (1988)指出中學生在學習某些未知數概念的其學習困

難的原因是源自於在國小階段學習代數時過於重視算術過程和運算法則。以下為 各相關文獻中關於未知數的錯誤類型整理，表 2-4 所示： 表 2- 4 「怎樣解題」單元於各相關文獻中的錯誤類型整理 研究者 學生解題的錯誤類型 Kuchemann（1981） 對於 3000 名國中生代數學習成就進行研究，其結果發現大 多數學生的學習表現仍無法靈活的將文字符號視為特定未 知數來使用，更無法將文字符號視唯一般數或變數。 Kieran（1992） 學生主要有二大迷思概念：一是對等號意義，尚停留在算術 階段的「得到」；一是對未知數的認知，是將符號當成一個 特定的物性或標誌。 袁媛（1993） 在國中一年級學生的文字符號與代數文字題的解題能力研 究中發現，學生解以文字表示未知的數量關係的困難在於未 依題意列出關係式。 戴文賓、邱守榕（1999） 研究中顯示學生在進行代數式化簡時只處理含有 x 的同類 項，而常數項卻不合併，如 6x＋3，會寫成 9x；或是將 x 的 係數忽略不計，如 6(x－3)，會寫成 6x－3。 王佳文（1995） 研究國小六年級的學生解未知數問題的表現，其研究發現生 在「a-□＝b」及「a÷□＝b」兩類題目作答時，最容易出現錯 誤。 黃寶彰（2002） 學童在初學代數化簡過程時，常出現非系統性（unsystematic） 錯誤，如學生化簡 2a＋2b 時，會寫成 4ab。 王如敏（2004） 認為超過半數學生對文字符號缺乏有意義的了解，只會操作 數學符號，但卻不懂數學實質意義 陳嘉皇（2007） 以國小三年級的學生為研究對象，研究結果指出大多數三年 級學生在代數推理解題前測的表現不盡理想，呈現出對等價 關係意義理解產生困難，同時對符號所代表的數量大小混 淆，致使列式與計算步驟錯誤。 本研究將以上述之教材地位、能力指標、分年細目及相關錯誤類型為依據， 編製數學電腦化測驗，並進行電腦線上測驗。透過學生的錯誤概念，來分析學習 上常發生的作答錯誤類型。

A B1 B2 C1 C2 C3 C4 C5

第二節 以知識或試題結構為主的電腦適性測驗

壹、 以知識或試題結構為主的電腦適性測驗

根據知識或試題結構為主的電腦適性測驗對學生施測，下圖 2-1 為例，全部 的施測題數為 8 題，先選擇上位試題 A 施測，若答錯試題 A，再選擇試題 A 之 下位試題 B1 和 B2，若答對試題 B1，答錯試題 B2，則需再選擇試題 B2 之下位 試題 C4 和 C5 施測，如此和一般紙筆測驗相較之下，可節省 3 題試題。 圖 2- 1 試題結構範例 由此可見，以知識或試題結構為主的電腦適性測驗若結構的連結愈多、範圍 較大，則愈能節省施測試題數，進一步節省了施測時間，在此同時，也能透過學 生錯誤的節點，診斷出學生錯誤的概念，將有利於學生及老師了解學習成效。

貳、估計試題結構的方式

知識或試題結構的建立有多種方式，在 Huey-Min Wu, Bor-Chen Kuo, & Jinn-Min Yang (2011).的研究中發現，以 OT 演算法對樣本大小較不敏感，相對比 較穩定，預測精準度較 IRS 理想。OT 演算法其理論簡述如下。

將X (X₁,X₂,...X_n)表示一個向量，其包含 n 個二元試題成績變數，每一個受試者

者作答 n 題得到一個 0 與 1 的向量X (X₁,X₂,...X_n)後，觀察試題 j 跟 k 的聯合邊

界機率( the joint and marginal probabilities)，其兩試題間的關係如表 2-5 表示。 在此理論中，若其試題 j 與試題 k 發生試題 j 做錯且試題 k 做對機率很低時， 定義如下所示：  *  ( 0, 1) k j jk P X X ，ε 代表閾值(threshold)，常被定義為0.02 0.04。因此 當上述式子成立時，表示試題 j 做錯且試題 k 做對的發生機率低於所設定的值， 代表兩者之間的關係可以表示為 X _j X_k。 表 2- 5 試題 j 與試題 k 之聯合邊界機率表 試題 k

1



k

X

X

_k



0

總和 1  j X P(X_j 1,X_k 1)

P

(

X

_j



1

,

X

_k



0

)

P



X_j 1



試 題 j 0  j X P(X _j 0,X_k 1) P(X_j  0,X_k 0) P



Xj 0



總和

_

_1

_

k X P P



X_k  0



1 因此，本研究將採用 OT 演算法，使用學生施測資料來整理成學生知識結構， 作為電腦適性診斷測驗選題策略。

第三節 以知識結構為基礎的多點計分

王佳文(1995)以認知成分為測驗編製依據的自編計算題，在研究中發現於二 元計分模式下，題目難度估計值容易顯示兩極化現象，而題目的鑑別度也較不

佳，造成低估學生的能力，而在題目認知明確的假設下，多點計分模式比較能精 確估計其題目難度，亦可改善二元計分的不足。 本研究部分試題採用建構題型，由於二元計分模式對於多元計分的資料分析 產生限制，為了解決此計分問題，因此本研究亦加以採用以知識結構為基礎的多 點計分模式。 為解決各題計分點數須相同之情況，且能適用在多點計分的試題，需將其稍 作修改，例如：學者 Takeya( 1999)「試題 j 至試題 k 」之 m 點計分「關聯順序 係數」，劉育隆（2007）將多點計分試題順序定義於下，令試題 j_{與試題k之選} 項數分別為m_j、m_k，選項得分分別為q、r，N_jk(q,r)表試題 j得q分，試題k 得 r分之受試人數且試題 _j選項_q之計分為 jq x ，試題選項r之計分為x_kr，假設試題i 為m_i 1點計分，即試題i的計分範圍為0,1,2,...,m_i，且 j j j m X Y  介於 0 與 1 之間量 尺分數，則令係數_jk為



    j k m q m r k k j j jk jk m r Y m q Y p r q w ( , ) ( , )  。 其中 ，a0,1,...,mj；b0,1,...,mk ) , ( k k j j m r Y m q Y p   相同於發生試題 j得q分且試題k得r分事件之機率，為 ) , ( rq w_jk 此事件違反順序的嚴重性加權，違反順序越嚴重，w_jk( rq, )越大，當_jk  時，則X _j X_k。 因此本研究採用林文質（2005）及劉育隆（2007）提出的多點計分試題順序



    j k m a m b _{k j} j k jk m a m b m q m r r q w ) ( ) , (

係數。

第四節 建構反應題型

所謂「建構反應題型」即為非選擇題，其包含有填充題（completion item） 和論文題（essay question），論文題又可稱為開放式問題（open-ended question）。 「開放式問題」是允許學生能自由建構、組織和呈現想法，在依據其自由程度， 可將「開放式問題」分為兩大類：「限制反應題」（restricted-response question） 和「擴展反應題」（extended-response question），而擴展反應題又稱申論題（教 育部，2004）。

以下就「填充題」、「限制反應題」和「擴展反應題」分別探討其特性、優 點與限制（Linn & Gronlund，2000）。如下表 2-6 所示。

表 2- 6 建構反應題型其特性、優點與限制之分析表 特 性 優 點 限 制 一 、 填 充 題 1、要求學生提 供明確答案。 2、建構式反應 題中唯一屬於 客觀式測驗題 的題型。 3、試題容易建 置。 1、用於測量廣泛知 識成果。 2、和選擇題相比， 學 生 必 須 提 供 答 案，可降低學生的 猜測行為。 3、在測量數學和科 學的計算、公式和 方程式，及英文字 彙拼字，填充題較 選擇題有更佳的信 度和效度。 1 、 要 求 的 答 案 簡 短 明 確，較難測量到複雜的 思考、組織和表達之能 力。 2、適用於測量事實性知 識。 3、和選擇題相比，計分 較費力、耗時，且無法 採用電腦閱卷，若產生 學生答案部分正確、書 寫字跡和錯別字，都可 能 影 響 到 計 分 的 客 觀 性。

(續) 特 性 優 點 限 制 二 、 限 制 反 應 題 1、指明討論主 題的內容範圍 和 反 應 的 方 式。 2、對學生反應 的內容和形式 加以設限。 1、可用來測量特定 領域需要解釋和應 用資料的學習結果 上。 2、和選擇題相比， 限制反應題可免於 猜測因素影響，在 試題預備上也較容 易。 3、和擴展反應題相 比，學生答題方向 與範圍較能和預期 測量的目標相符， 較有利於計分。 1、和選擇題相比，限制 反應題在閱卷計分上較 費時、費力，而且評分 較不易客觀，且試題取 樣範圍亦有限，較不易 具代表性，內容效度較 差。 2、和擴展反應題相比， 較 無 法 測 量 到 強 調 整 合、組織和原創性的學 習能力。 三 、 擴 展 反 應 題 1、給予學生相 當大的答題自 由。 2、根據自己最 佳的判斷組織 答案，整合和 評鑑自己認為 適當的想法觀 念。 1、可測量複雜的學 習結果，特別是統 整和應用思考與問 題解決的技巧。 2、和選擇題相比， 擴展反應題可免於 猜測因素影響，在 試題預備上也較容 易。 3、對學生的學習貢 獻 較 為 直 接 ， 例 如 ， 在 準 備 考 試 上，學生花較多的 時間思考事實間的 關係、比較分析觀 念和問題解決的技 巧。 1、給予學生太大的作答 自由，不適合用來測量 特定的學習結果，且造 成計分上的困難。 2、容易因評分規範不明 確，而產生評分上的變 異。 3、和限制反應題相比， 計分難度增高，試題取 樣範圍亦更為侷限，信 度和內容效度容易受到 影響。 綜合以上分析，填充題較難測量複雜的能力，而擴展反應題給予學生太多的

作答自由，不適合用來測量特定的學習結果，亦容易造成計分上的困難。因此， 本研究採用限制反應題，可免於猜測因素影響，學生答題方向較能和預期測量的 目標相符，在試題預備上也較選擇題容易。

第三章 研究方法

本研究主要的根據為教育部於 2003 年公布的九年一貫課程綱要數學學習能 力指標「A-2-03」能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題，以及分年細目 「5-a-03」能解決使用未知數符號所列出的單步驟算式題，並嘗試解題及驗算其 解。以其知識結構為基礎，編製五年級「怎樣解題」單元之電腦化選擇題及建構 反應試題題庫，再根據學生施測後的作答反應，進行學生解題分析，以了解學生 在學習「怎樣解題」單元時，可能會產生的錯誤類型。本章共分為四節。第一節 為研究流程，第二節為研究對象，第三節為研究工具，第四節為研究設計。

第一節 研究流程

本研究之研究流程如下圖 3-1 所示。研究步驟如下： 步驟一：確定研究主題為國小五年級第十冊「怎樣解題」單元，並蒐集相關文獻。 步驟二：根據九年一貫能力指標分年細目「5-a-03」（能解決使用未知數符號所列 出的單步驟算式題，並嘗試解題及驗算其解），來整理出「怎樣解題」 單元相關的子技能及錯誤類型，並根據相關文獻資料和彙整多位專家學 者及國小教師的意見後，建立專家知識結構圖。 步驟三：依據單元內容、子技能和錯誤類型編製包含選擇題和建構反應題的電腦 化題庫。 步驟四：運用「KSAT 國小數學科電腦化適性診斷測驗」來進行施測。 步驟五：匯出學生選擇題和建構反應題的所有測驗資料，進行彙整、分析。 步驟六：分析建構反應題錯誤類型以及進行知識結構分析。 步驟七：建置電腦化自動化分析建構反應試題，並評估其成效。 步驟八：評估選題策略成效。 步驟九：撰寫研究報告。

本研究之架構圖如圖 3-1： 圖 3- 1 研究流程圖 確認研究主題 建立錯誤類型和子技能 相關文獻探討 建立專家知識結構圖 建立電腦化題庫 實際施測 匯出整理作答資料 評估選題策略成效 分析建構反應題錯誤類型 建立建構反應題的 自動化分析模型 評估自動化分析建構反應 題模型之成效 探討計分模式 撰寫研究報告 知識結構分析

根據以上研究流程圖，其實驗重點分述如下：

壹、建立相關錯誤類型與子技能

本研究根據九年一貫能力指標分年細目「5-a-03」（能解決使用未知數符號所 列出的單步驟算式題，並嘗試解題及驗算其解），和探討相關文獻，並匯整多位 專家學者及國小教師的意見後，整理出「康軒版」學童在學習「怎樣解題」單元 中，須具備之子技能（如表 3-1）及可能發生的錯誤類型（如表 3-2），以作為 研究試題編製之依據。在子技能 S7 至 S10 中「寫出算式並用『＝』來表示相等 關係的式子」，其與錯誤類型 B7 至 B10 中之「使用等式」的意思是相同的。

表 3- 1 子技能一覽表（康軒版） 代號 子技能內容 S1 以文字符號（□、△、甲、乙、x、y）表徵生活情境中的變量（寫 出加法式子） S2 以文字符號（□、△、甲、乙、x、y）表徵生活情境中的變量（寫 出「被減數未知」的減法式子） S3 以文字符號（□、△、甲、乙、x、y）表徵生活情境中的變量（寫 出「減數未知」的減法式子） S4 以文字符號（x、y）表徵生活情境中的變量（寫出乘法式子） S5 以文字符號（x、y）表徵生活情境中的變量（寫出「被除數未知」 的除法式子） S6 以文字符號（x、y）表徵生活情境中的變量（寫出「除數未知」的 除法式子） S7 以文字符號表徵生活情境中的變量列式（寫出加法算式並用「＝」 來表示相等關係的式子） S8 以文字符號表徵生活情境中的變量列式（寫出減法算式並用「＝」 來表示相等關係的式子） S9 以文字符號表徵生活情境中的變量列式（寫出乘法算式並用「＝」 來表示相等關係的式子） S10 以文字符號表徵生活情境中的變量列式（寫出除法算式並用「＝」 來表示相等關係的式子） S11 知道「乘法交換律」，當被乘數或乘數為未知數時乘號「×」可省略 S12 數字要在文字之前(文字符號的係數為 1 時，可省略「1」不記) S13 以文字符號表徵生活情境中變量的列式求其解答 S14 以文字符號表徵生活情境中的變量並以等式列式，及求其解和驗算

表 3- 2 錯誤類型一覽表（康軒版） 代號 錯誤類型內容 B1 題意應使用加法式子卻使用其他錯誤之運算方式 B2 題意應使用減法(被減數未知)式子卻使用其他錯誤之運算方式 B3 題意應使用減法(減數未知)式子卻使用其他錯誤之運算方式 B4 題意應使用乘法式子卻使用其他錯誤之運算方式 B5 題意應使用除法(被除數未知)式子卻使用其他錯誤之運算方式 B6 題意應使用除法(除數未知)式子卻使用其他錯誤之運算方式 B7 題意應使用加法等式卻使用其他錯誤之運算方式 B8 題意應使用減法等式卻使用其他錯誤之運算方式 B9 題意應使用乘法等式卻使用其他錯誤之運算方式 B10 題意應使用除法等式卻使用其他錯誤之運算方式 B11 應知道被乘數或乘數為未知數時乘號「×」可省略卻未省略 B12 省略乘法符號時，數字寫在文字之後 B13 無驗算或驗算不確實 B15 無計算或計算粗心 B19 不懂題意(未知數假設錯誤、數字抄錯、公式背錯)

貳、建立專家知識結構圖

匯整多位專家學者及國小教師的意見後，將學習本單元後應學會的子技能， 依教學順序及知識上下位的關係，建立專家知識結構（康軒版），如圖 3-2 至 3-5 所示： 圖 3- 2 專家知識結構圖（加法） 【S1】以文字符號（□、、甲、乙、 x、y）表徵生活情境中的變量（寫出 加法式子） 【S7】以文字符號表徵生活情境中的 變量列式（寫出加法算式並用「＝」 來表示相等關係的式子） 【S13】以文字符號表徵生活情境中變 量並寫出等式及求其解答（加法） 【S14】以文字符號表徵生活情境中的 變量並以等式列式，及求其解和驗算 （加法）

圖 3- 3 專家知識結構圖（減法） 【S2】以文字符號（□、、甲、 乙、x、y）表徵生活情境中的變 量（寫出「被減數未知」的減法 式子） 【S3】以文字符號（□、、甲、 乙、x、y）表徵生活情境中的變 量（寫出「減數未知」的減法式 子） 【S8】以文字符號表徵生活情境中 的變量列式（寫出減法算式並用 「＝」來表示相等關係的式子） 【S13】以文字符號表徵生活情境 中變量並寫出等式及求其解答（減 法） 【S14】以文字符號表徵生活情境 中的變量並以等式列式，及求其解 和驗算（減法）

圖 3- 4 專家知識結構圖（乘法） 【S4】以文字符號（x、y）表徵 生活情境中的變量（寫出乘法式 子） 【S11】知道「乘法交換律」（其 中被乘數或乘數為未知數），乘 號「×」可省略 【S12】數字要在文字之前(文字 符號的係數為 1 時，可省略「1」 不記) 【S9】以文字符號表徵生活情境 中的變量列式（寫出乘法算式並 用「＝」來表示相等關係的式子） 【S13】以文字符號表徵生活情 境中變量並寫出等式及求其解 答（乘法）（結果為整數） 【S13】以文字符號表徵生活情境 中變量並寫出等式及求其解答（乘 法）（結果以分數或小數表示） 【S14】以文字符號表徵生活情 境中的變量並以等式列式，及求 其解和驗算（乘法）

圖 3- 5 專家知識結構圖（除法） 【S5】以文字符號（x、y）表 徵生活情境中的變量（寫出 「被除數未知」的除法式子） 【S6】以文字符號（x、y）表 徵生活情境中的變量（寫出 「除數未知」的除法式子） 【S10】以文字符號表徵生活情 境中的變量列式（寫出除法算 式並用「＝」來表示相等關係 的式子） 【S13】以文字符號表徵生活情 境中變量並寫出等式及求其解 答（除法） 【S14】以文字符號表徵生活情 境中的變量並以等式列式，及 求其解和驗算（除法）

叁、編製試題

依據專家知識結構及錯誤類型，來進行試題的編製（如附錄一）。每一題選 擇題除了 1 個正確答案外，另有 3 個錯誤選項，因此可根據受測試者的作答情況， 便能診斷出受試者所具備的子技能及不足之概念。

肆、開放性試題之電腦自動化分析

藉由電腦化測驗來收集學生在建構反應題型中的作答資料，再利用 MATLAB 撰寫相關程式，以自動化判別學生的解題歷程，來達到自動化分析。在電腦輸入 的解題過程中，學生可能發生誤按其他與解題無關的運算符號的情形，而影響電 腦產生錯誤判別，因此可經由「區塊比對」的方式來判斷出學生的錯誤類型。

第二節 研究對象

本研究實施電腦線上測驗的對象為九十八學年度臺中市立上安國小五年級的 學生。在完成國民小學五年級數學領域第十冊康軒版第八單元「怎樣解題」之相 關能力指標教材的學習後，對於該校 9 個班級進行施測，有效樣本共計 184 人。

第三節 研究工具

本研究所使用的工具分別為「MATLAB 軟體」以及「KSAT 國小數學科 電腦化適性診斷測驗」等工具，分別說明如下：

壹、MATLAB 軟體

MATLAB 是屬於具有高階科學運算語言的數值分析模擬軟體，其包含許多 不同功能，可提升繪圖、編碼以及撰寫程式的效率。因此本研究將運用此軟體撰 寫自動化分析模型之程式，並分析試題之精準度。

貳、KSAT 國小數學科電腦化適性診斷測驗

本研究使用「KSAT 國小數學科電腦化適性診斷測驗」（郭伯臣，2003-2005） 建置線上測驗學習系統題庫，並進行電腦化測驗，將學生的作答反應資料彙整

後，便可診斷出學生不足之概念。 本研究是以「KSAT 國小數學科電腦化適性診斷測驗」來進行線上施測，每 位學生依照個人帳號與密碼登入的方式進行。首先進行選擇題型測驗部分，畫面 分為試題及作答二個部份，學生必須選填一個選項後，才能繼續下一道題目，可 避免漏答情形的產生。如圖 3-6。 圖 3- 6 選擇題型作答介面 在選擇題型電腦測驗作答完成後，接下來則是進行建構反應題型測驗，畫面 亦分為試題及作答二個部份，學生必須在右方工具欄輸入數值及點選所需運算符 號，「試題作答區」便會呈現解題歷程。如圖 3-7。 圖 3- 7 建構反應題型作答介面 試題作答區

第四節 研究設計

經由專家判別學生解題歷程之錯誤類型後，利用 MATLAB 撰寫程式以自動 化判別學生解題歷程，進而達到自動化計分。以下就「建構反應題之解題策略分 析流程」、「區塊分析法」、「建構反應題題型之計分編碼規則」及「選題策略 實驗設計」分別說明。

壹、 建構反應題之解題策略分析流程

當學生經由線上施測完成測驗後，我們可由資料庫中取得學生之解題歷程， 將學生解題歷程以下列流程進行分析，經由使用區塊分析的方法，自動化判別學 生錯誤類型。以第 20 題為例，以下為建構反應題題型之解題策略分析流程。 一、題目： 華新電影院的學生票是 y 元，全票是 260 元，小偉買了 2 張學生票和 1 張全票， 一共花了 500 元，那麼 1 張學生票是多少元？依照題意列出一個等式，再算算看。 並寫下驗算的式子。 二、設計決策之步驟： 下列判斷方法為圖中的判斷節點，在錯誤類型較複雜的節點，將使用區塊分 析方法做為決策。 若解題歷程為空白，編碼為 99。 若解題歷程中出現「正確答案」以及「正確驗算」，則視為「全對」，編碼為 00。其他情形則視為「非全對」。 於「非全對」情形下，若解題歷程中出現「2 y + 260 = 500」則視為「列式正確」； 若解題歷程中出現「x」則視為「不解題意」；其他情形視為「列式錯誤」。 於「列式正確」情形下，若解題歷程中只出現「正確答案」但「無驗算或驗算 錯誤」，則編碼為 13；其他情形視為「答案錯誤」，根據區塊分析，給予最接 近的錯誤類型。

於「列式錯誤」情形下，若解題歷程中沒有出現「= 500」則視為「等式有誤」； 其他情形視為「列出等式」。 於「列出等式」情形下，若解題歷程中出現「2*y」則視為「乘號未省略」； 若解題歷程中出現「2y =500－260」則視為「未依照題意」；若解題歷程中出 現「y2」則視為「數字在文字前」；若解題歷程中沒有出現「y」則視為「未 含未知數」，最後再依照答案正確與否、驗算正確與否，根據區塊分析，給予 最接近的錯誤類型。  於「等式有誤」情形下，若解題歷程中出現「y + 260」則視為「只有式子」， 則編碼為 59；其他情形視為「無列式」，最後再依照答案正確與否，根據區塊 分析，給予最接近的錯誤類型。 三、解題策略分析流程： 依照解題策略分析，其最後判別出最接近的錯誤類型以代號表示，其詳細內 容可對照表 4-2。以第 20 題為例，其建構反應題題型之解題策略分析流程，如下 圖 3-8。

圖 3- 8 第 20 題建構反應題題型之解題策略分析流程 第 20 題  未作答＜99＞ 有作答  非全對 全對  列式正確 列式錯誤  答 案 錯 誤   列 出 等 式 等 式 有 誤 乘 號 未 省 略 未 依 照 題 意 數 字 在 文 字 前 未 含 未 知 數 答 案 錯 誤 答 案 正 確 驗 算 錯 誤 63 67 答 案 錯 誤 答 案 正 確 81 答 案 錯 誤 答 案 正 確 51 答 案 錯 誤 73 53 85 83 答 案 錯 誤 答 案 正 確 驗 算 錯 誤 31 43 45 47 49 驗 算 正 確 22 驗 算 正 確 60 驗 算 錯 誤 33 驗 算 正 確 12 驗 算 錯 誤 73 驗 算 正 確 70  答 案 正 確 37 13 39 41 35 無 列 式 只 有 式 子 59 答案正確 驗算錯誤 不 解 題 意 19 9

貳、 區塊分析法

區塊分析，係將解題歷程以符號分割為區塊，再以每區塊與錯誤類型進行比 對，稱為「區塊分析法」（吳任婕，2009）。將學生作答解題歷程以「\\\\」分割 成區塊，再以每個錯誤類型和區塊進行比對，最後以重疊次數最多的錯誤類型來 辨識出解題歷程所屬的錯誤類型。 以第 20 題為例，其中有兩個為錯誤類型 12 以及錯誤類型 33。錯誤類型 12 是「省略乘法符號時，數字寫在文字之後」，屬於此錯誤類型其解題歷程為「y2 + 260 = 500 y= 120 120 × 2 + 260 = 500」，在資料庫中的形式為「y2 + 260 = 500 \\\\ y= 120 \\\\ 120 * 2 + 260 = 500」；錯誤類型 33 是「省略乘法符號時，數字 寫在文字之後，無驗算或驗算不確實」，屬於此錯誤類型其解題歷程為「y 2 + 260 = 500 y= 120」，在資料庫中的形式為「y 2 + 260 = 500 \\\\ y= 120」 若某學生的解題歷程為「y2 + 260 = 500 y = ( 500 - 260 )÷2 y = 240÷2 = 120 120×2 + 260 = 500」，在資料庫中的形式為「y2 + 260 = 500 \\\\ y = ( 500 - 260 ) \\div 2 \\\\ y = 240 \\div 2 \\\\ = 120 \\\\ 120 * 2 + 260 = 500」，將其區塊分成 5 個部分，在和錯誤類型比較之後，該生的解題歷程有有 3 個區塊與錯誤類型 12 相 同，有 2 個區塊與錯誤類型 33 相同，因此將該學生的解題歷程歸類於錯誤類型 12。範例如下表 3-3 和表 3-4 所示。

表 3- 3 解題歷程及錯誤類型對應表 學生之解題歷程 錯誤類型 12 之解題歷程 錯誤類型 33 之解題歷程 省略乘法符號時，數字寫在 文字之後 數字寫在文字之後，無驗 算或驗算不確實 y2 + 260 = 500 y = ( 500 - 260 )÷ 2 y = 240÷2 = 120 120 × 2 + 260 = 500 y2 + 260 = 500 y= 120 120 × 2 + 260 = 500 y 2 + 260 = 500 y= 120 表 3- 4 解題歷程區塊分析及錯誤類型對應表 解題歷程區塊分析 區塊分析錯誤類型 12 區塊分析錯誤類型 33 1 y2 + 260 = 500 y2 + 260 = 500 y 2 + 260 = 500 2 y = ( 500 - 260 ) \\div 2 3 y = 240 \\div 2 4 = 120 y= 120 y= 120 5 120 * 2 + 260 = 500 120 * 2 + 260 = 500 以此題為例，錯誤類型 12 重疊 3 個區塊；錯誤類型 33 重疊 2 個區塊，因此 該生之錯誤類型屬於錯誤類型 12。

參、 建構反應題題型之計分編碼規則

在判別出學生的錯誤類型後，為了說明學生的錯誤類型及其得分，因而結合 兩者進行編碼，其編碼規則說明如下： 編碼規則將編碼分為兩個部分，一共四碼（例如：0801） 一、第一部分：前兩碼代表得分，如 00、01、02、03、04, …。說明如下，若此

題滿分 8 分，計分規則為全對 8 分，其中列式正確得 4 分，答案正確得 3 分， 驗算正確得 1 分。若此題滿分 7 分，計分規則為全對 7 分，其中列式正確得 4 分，答案正確得 3 分。 二、第二部分：後兩碼代表解題過程類型之編碼，如 00、01、02、03、04 …。 當學生全對時，編碼為 00，其餘為當學生部份答錯或全錯時的錯誤類型編碼。

肆、 選題策略實驗設計

在選題策略圖中，每一個節點代表一個試題，在上面的節點即為「上位節 點」，在下面的節點即為「下位節點」。在上位的節點代表概念較困難的試題， 所以當上位節點答對時，代表其下位節點也都會答對。以上位節點概念學會，下 位節點概念一定也會，下位節點概念學會，上位節點概念不一定學會。以甲乙兩 生作答情形為例，其說明如下： 甲生先選擇「節點 A」來施測，若「節點 A」答錯，再選擇下位節點數最多 的試題繼續進行施測，因「節點 B1」的下位節點數比「節點 B2」多，因此，先 施測「節點 B1」再施測「節點 B2」。若「節點 B1」答對，則「節點 C1」、「節 點 C2」、「節點 C3」會判斷為答對，接著繼續施測「節點 B2」，若「節點 B2」 答錯，便會繼續施測「節點 C4」、「節點 C5」，如圖 3-9。 乙生先選擇「節點 A」來施測，若「節點 A」答對，則「節點 B1」、「節點 B2」會判斷為答對，因此最下位節點「節點 C1」、「節點 C2」、「節點 C3」 「節點 C4」、「節點 C5」皆會判斷為答對，如圖 3-10。

圖 3- 9 選題策略例圖 1 圖 3- 10 選題策略例圖 2 A B1 B2 C1 C2 C3 C4 C5 A C1 C2 C3 B1 B2 C4 C5

第四章 研究結果

本章為研究結果的探討，並依據研究目的將研究結果分為五部分，分別於以 下各節中說明：第一節是「建構反應題題型之計分模式分析」，第二節為「學生 解題過程之錯誤類型和解題策略分析」，第三節為「診斷系統成效評估」，第四 節為「選題策略成效評估」以及第五節為「試題結構圖與專家知識結構圖之分析」。

第一節 建構反應題題型之計分模式分析

本研究根據以國小五年級第十冊「怎樣解題」為依據，建置 9 題建構反應題 型。以下以其中一題為例，說明學生的解題過程及計分編碼。 壹、學生完全答對之編碼： 當學生全對時，後兩碼編碼為 00。若此題滿分 8 分，則編碼為 0800； 若此題滿分 7 分，則編碼為 0700。 貳、學生部份答錯之編碼： （一）編碼為 0437，表示該學生此題得 4 分，且具有的錯誤類型為 B37「列 式正確、答案錯誤（計算錯誤）、無驗算或驗算不確實」。 （二）編碼為 0345，表示該學生此題得 3 分，且具有的錯誤類型為 B45「列 式中乘號未省略、答案錯誤（計算錯誤）、無驗算或驗算不確實」。 叁、學生全錯之編碼： （一）編碼為 0053，表示該學生此題得 0 分，且具有的錯誤類型為 B53「列 式錯誤（題目看不清楚或不解題意）、答案錯誤、無驗算或驗算不確實」。 （二）編碼為 0085，表示該學生此題得 0 分，且具有的錯誤類型為 B85「列 式錯誤、答案錯誤（無法逆向思維）、無驗算或驗算不確實」。 下表 4-1 為「怎樣解題」單元建構反應題學生解題過程編碼舉例。

表 4- 1 第 20 題建構反應題之學生解題過程編碼舉例說明 「怎樣解題」單元之第 20 題（8％） 華新電影院的學生票是 y 元，全票是 260 元，小偉買了 2 張學生票和 1 張全票， 一共花了 500 元，那麼 1 張學生票是多少元？依照題意列出一個等式，再算算 看。並寫下驗算的式子。 編碼 解題過程 2 y + 260 = 500 \\\\ y = 120 \\\\ 2 * 120 + 260 = 500 2y + 260 = 500 \\\\ y = ( 500 - 260 ) \\div 2 \\\\ = 120 \\\\ 2 * 120 + 260 = 500 0800 260 + 2y = 500 \\\\ 2y = 240 \\\\ y = 120 \\\\ 260 +2 * 120 = 500 編碼 編碼說明 解題過程 0722 乘號未省略 y * 2 + 260 = 500 \\\\ y = 120 \\\\ 120 * 2 + 260 = 500 0713 無驗算或驗算不確實 2y + 260 = 500 \\\\ y = 120 0760 未依照題意列式 2y=500-260\\\\ y = 240 \\div 2 = 120 \\\\ 120 * 2 +260 = 500 0712 數字寫在未知數之後 y2 + 260 = 500 \\\\ y = 120 \\\\ 120 * 2 + 260 = 500 0631 乘號未省略、 無驗算或驗算不確實 y * 2 + 260 = 500 \\\\ y = ( 500 - 260 ) \\div 2 \\\\ = 240 \\div 2 = 120 0663 未依照題意列式、 無驗算或驗算不確實 2y=500-260\\\\ y = 240 \\div 2 = 120 0633 數字寫在未知數之後、 無驗算或驗算不確實 y2 + 260 = 500 \\\\ y = ( 500 - 260 ) \\div 2\\\\ = 240 \\div 2 = 120 0437 答案錯誤（計算錯誤）、 無驗算或驗算不確實 2y + 260 = 500\\\\ y =( 500-260) \\div 2 = 70 0439 答案錯誤（不會解係數大於 1）、 無驗算或驗算不確實 2y + 260 = 500\\\\ 500-260 = 240 0441 答案錯誤（無法逆向思維）、 無驗算或驗算不確實 2y + 260 = 500\\\\( 500-260) * 2 = 480 0435 答案錯誤（不會解未知數）、 無驗算或驗算不確實 2y+260=500 0470 無未知數列式 500 - 260 = 240 \\\\ 240 \\div 2 = 120 \\\\ 120 * 2 + 260 = 500 0345 乘號未省略、 答案錯誤（計算錯誤）、 無驗算或驗算不確實 y * 2 + 260 = 500\\\\ y = 500-260 \\div 2 = 70

0347 乘號未省略、 答案錯誤（不會解係數大於 1）、 無驗算或驗算不確實 y * 2 + 260 = 500\\\\ 500-260 = 240 0349 乘號未省略、 答案錯誤（無法逆向思維）、 無驗算或驗算不確實 y * 2 + 260 = 500\\\\( 500-260) * 2 = 480 0343 乘號未省略、 答案錯誤（不會解未知數）、 無驗算或驗算不確實 y * 2+260=500 0367 未依照題意列式、 答案錯誤 無驗算或驗算不確實 2y=500-260 0359 只未知數式子（缺等式）、 答案錯誤、 無驗算或驗算不確實 2y+260 0351 數字寫在未知數之後、 答案錯誤、 無驗算或驗算不確實 y2 + 260 = 500 500 - 260 = 240 \\\\ 240 \\div 2 = 120 0373 無未知數列式、 無驗算或驗算不確實 \\\\ 120 0181 無未知數列式、 答案錯誤（解題方法正確）、 無驗算或驗算不確實 ( 500 - 260 ) \\div 2 0053 列式錯誤（題目看不清楚或不解 題意）、 答案錯誤、 無驗算或驗算不確實 y+260=500 0083 列式錯誤（不會係數大於 1）、 答案錯誤、 無驗算或驗算不確實 \\\\ 240 0085 列式錯誤（無法逆向思維）、 答案錯誤、 無驗算或驗算不確實 \\\\ 480 0019 題目看不清楚或不解題意 x 0099 空白未作答 （空白未作答）

第二節 學生解題過程之錯誤類型和解題策略分析

本研究根據國小五年級第十冊「怎樣解題」來建置 9 題建構反應題型，在經 過實際測驗後，進行學生解題過程的錯誤類型分析，在第 17-20 題當中，學生可 能會產生多種解題方式，因此進行解題策略分析。 在研究中發現相較於選擇題型，建構反應題可進一步分析出「答案正確但在 列式部分產生錯誤」之錯誤類型，因此學生在建構反應題的作答反應中，將出現 不同於選擇題型所預設之錯誤類型，且每題建構反應題會因題意不同，而產生出 不同的複合式錯誤類型，單一之錯誤類型為 B1 至 B22 共 22 個，複合之錯誤類型 為 B27 至 B85 共 36 個。以下就建構反應題原本之錯誤類型及新增錯誤類型進行 整理，如下表 4-2。 表 4- 2 建構反應題原本之錯誤類型及新增錯誤類型 編號 錯誤類型（複合） 錯誤類型 B1 題意應使用加法式子卻使用其他錯誤運算 B2 題意應使用減法(被減數未知)式子卻使用其他錯誤運算 B3 題意應使用減法(減數未知)式子卻使用其他錯誤運算 B4 題意應使用乘法式子卻使用其他錯誤運算 B5 題意應使用除法(被除數未知)式子卻使用其他錯誤運算 B6 J： 使用其他錯誤式子 運算 題意應使用除法(除數未知)式子卻使用其他錯誤運算 B7 題意應使用加法等式卻使用其他錯誤運算 B8 題意應使用減法等式卻使用其他錯誤運算 B9 題意應使用乘法等式卻使用其他錯誤運算 B10 K： 使用其他錯誤等式 運算 題意應使用除法等式卻使用其他錯誤運算 B11 應知道被乘數或乘數為未知數時乘號「×」可省略卻未省 略 B12 省略乘法符號時，數字寫在文字之後 B13 無驗算或驗算不確實 B14 列式後不會解未知數 B15 計算錯誤 B16 列式後不會解係數大於 1 B17 無法逆向思維

B18 未使用未知數列式 B19 題目看不清楚或不解題意(未知數假設錯誤.數字抄錯.公 式背錯) B20 忽略細節(缺括號.百分比符號) B21 驗算正確，但忽略細節(缺括號.百分比符號) B22 驗算正確，乘號「×」可省略卻未省略 B27 B11+B14 乘號「×」可省略卻未省略，列式後不會解未知數 B29 B11+B15 乘號「×」可省略卻未省略，計算錯誤 B31 B11+B13 乘號「×」可省略卻未省略，無驗算或驗算不確實 B33 B12+B13 省略乘法符號時，數字寫在文字之後，無驗算或驗算不 確實 B35 B14+B13 列式後不會解未知數，無驗算或驗算不確實 B36 B20+B14 忽略細節，列式後不會解未知數 B37 B15+B13 計算錯誤，無驗算或驗算不確實 B38 B20+B15 忽略細節，計算錯誤 B39 B16+B13 列式後不會解係數大於 1，無驗算或驗算不確實 B40 B20+B17 忽略細節，無法逆向思維 B41 B17+B13 無法逆向思維，無驗算或驗算不確實 B43 B11+B14+B13 乘號「×」可省略卻未省略，列式後不會解未知數，無驗 算或驗算不確實 B45 B11+B15+B13 乘號「×」可省略卻未省略，計算錯誤，無驗算或驗算不 確實 B47 B11+B16+B13 乘號「×」可省略卻未省略，列式後不會解係數大於 1， 無驗算或驗算不確實 B49 B11+B17+B13 乘號「×」可省略卻未省略，無法逆向思維，無驗算或驗 算不確實 B51 B12+B14+B13 省略乘法符號時，數字寫在文字之後，列式後不會解未 知數，無驗算或驗算不確實 B53 B16+B13+B19 列式後不會解係數大於 1，無驗算或驗算不確實，題目看 不清楚或不解題意 B58 K+B14 K+列式後不會解未知數 B59 K+B14+B13 K+列式後不會解未知數，無驗算或驗算不確實 B60 J+K+驗算正確 J+K，未依照題意列式，驗算正確 B61 J+K J+K，未依照題意列式 B63 J+K+B13 J+K，未依照題意列式，無驗算或驗算不確實 B65 J+K+B14 J+K，未依照題意列式，列式後不會解未知數

B67 J+K+B14+B13 J+K，列式後不會解未知數，無驗算或驗算不確實 B69 J+K+B16+B13 J+K，列式後不會解係數大於 1，無驗算或驗算不確實 B70 J+K+B18+驗算正確 J+K，未使用未知數列式，驗算正確 B71 J+K+B18 J+K，未使用未知數列式 B73 J+K+B18+B13 J+K，未使用未知數列式，無驗算或驗算不確實 B74 J+K+B18+B14 J+K，未使用未知數列式，列式後不會解未知數 B75 J+K+B18+B15 J+K，未使用未知數列式，計算錯誤 B77 J+K+B18+B17 J+K，未使用未知數列式，無法逆向思維 B79 J+K+B18+B14+B13 J+K，未使用未知數列式，列式後不會解未知數，無驗算 或驗算不確實 B81 J+K+B18+B15+B13 J+K，未使用未知數列式，計算錯誤，無驗算或驗算不確 實 B82 J+K+B18+B15+B19+B13 J+K，未使用未知數列式，計算錯誤，題目看不清楚或不 解題意，無驗算或驗算不確實 B83 J+K+B18+B16+B13 J+K，未使用未知數列式，列式後不會解係數大於 1，無 驗算或驗算不確實 B85 J+K+B18+B17+B13 J+K，未使用未知數列式，無法逆向思維，無驗算或驗算 不確實

壹、 第 12 題錯誤類型分析

學生在第 12 題共有 8 個錯誤類型，其數量統計表如表 4-3 ，與原先選擇題 型所預設的錯誤類型（表 3-2）比較，學生在建構反應題增加 4 種複合式錯誤類 型。此題約有 70％共 128 位學生答對，約有 2％共 4 位學生未作答，同時具備 3 個錯誤類型的學生約有 8％共 14 人；同時具備 4 個錯誤類型以上的學生約有 2％ 共 3 人。 其中錯誤類型 B15 為學生在列式部分雖然正確，答案部分卻「計算錯誤」， 例如：x + 2300 = 6100 \\\\ x = 6100 - 2300 = 2800，此結果顯示學生雖然已會使用 未知數列式，但在計算上表現粗心，此錯誤類型學生約有 8％共 14 位。 又以錯誤類型 B71 說明，其為「學生未使用未知數列式」，但答案正確，例 如：6100 - 2300 = 3800，此結果顯示學生具有正確的解題概念，但仍未習慣使用

未知數列式，此錯誤類型學生約有 8％共 14 位。 表 4- 3 第 12 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 編號 錯誤類型（複合） 錯誤類型 數量 B1 J 題意應使用加法式子卻使用其他錯誤運算 B7 K 題意應使用加法等式卻使用其他錯誤運算 B14 列式後不會解未知數 7 ％ B15 計算錯誤 8 ％ B17 無法逆向思維 <1 ％ B19 題目看不清楚或不解題意 4 ％ B58 K+B14 K+列式後不會解未知數 0 ％ B71 J+K+B18 J+K，未使用未知數列式 8 ％ B75 J+K+B18+B15 J+K，未使用未知數列式，計算錯誤 <1 ％ B77 J+K+B18+B17 J+K，未使用未知數列式，無法逆向思維 1 ％

貳、 第 13 題錯誤類型分析

學生在第 13 題共有 7 個錯誤類型，其數量統計表如表 4-4 ，與原先選擇題 型所預設的錯誤類型（表 3-2）比較，學生在建構反應題增加 4 種複合式錯誤類 型。此題約有 46％共 85 位學生答對，約有 6％共 11 位學生未作答，同時具備 2 個錯誤類型的學生約有 5％共 9 人；同時具備 3 個錯誤類型的學生約有 10％共 18 人；同時具備 4 個錯誤類型以上的學生約有 3％共 5 人。 其中錯誤類型 B11 為學生在解答歷程及答案列式部分都正確，唯「被乘數或 乘數為未知數時乘號「×」可省略卻未省略」，例如：32 * y = 16000 \\\\ y = 16000 \\div 32 \\\\ = 500，此結果顯示大部分的學生尚未習慣在適當時機省略乘法符號， 此錯誤類型學生約有 22％共 40 位。 又以錯誤類型 B71 說明，其為學生「未使用未知數列式」，但答案正確，例 如：y = 16000 \\div 32 = 500，此結果顯示學生具有正確的解題概念，但仍未習慣

使用未知數列式，此錯誤類型學生約有 10％共 18 位。 表 4- 4 第 13 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 編號 錯誤類型（複合） 錯誤類型 數量 B4 J 題意應使用乘法式子卻使用其他錯誤運算 B9 K 題意應使用乘法等式卻使用其他錯誤運算 B11 被乘數或乘數為未知數時乘號「×」可省略卻未省略 22 ％ B14 列式後不會解未知數 2 ％ B19 題目看不清楚或不解題意(未知數假設錯誤.數字抄錯. 公式背錯) 7 ％ B27 B11+B14 乘號「×」可省略卻未省略，列式後不會解未知數 4 ％ B29 B11+B15 乘號「×」可省略卻未省略，計算錯誤 <1 ％ B71 J+K+B18 J+K，未使用未知數列式 10 ％ B75 J+K+B18+B15 J+K，未使用未知數列式，計算錯誤 3 ％

參、 第 14 題錯誤類型分析

學生在第 14 題共有 8 個錯誤類型，其數量統計表如表 4-5，與原先選擇題型 所預設的錯誤類型（表 3-2）比較，學生在建構反應題增加 5 種複合式錯誤類型。 此題約有 49％共 90 位學生答對，約有 5％共 9 位學生未作答，同時具備 2 個錯 誤類型的學生約有 16％共 29 人；同時具備 3 個錯誤類型的學生約有 12％共 22 人；同時具備 4 個錯誤類型以上的學生約有 7％共 12 人。 其中錯誤類型 B61 為學生為「未依照題意列式」，例如：176 - 16 = x \\\\ x = 176 - 16 = 160，此結果顯示學生尚未習慣運用未知數來依照題意列式，此錯誤類 型學生約有 16％共 29 位。 又以錯誤類型 B71 說明，其為學生「未使用未知數列式」，但答案正確，例 如：176 - 16 = 160，此結果顯示學生具有正確的解題概念，但仍未習慣使用未知 數列式，此錯誤類型學生約有 11％共 20 位。

表 4- 5 第 14 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 編號 錯誤類型（複合） 錯誤類型 數量 B3 J 題意應使用減法式子卻使用其他錯誤運算 B8 K 題意應使用減法等式卻使用其他錯誤運算 B14 列式後其餘空白不會解未知數 6 ％ B17 無法逆向思維 <1 ％ B19 題目看不清楚或不解題意 5 ％ B61 J+K J+K，未依照題意列式 16 ％ B65 J+K+B14 J+K，列式後不會解未知數 1 ％ B71 J+K+B18 J+K，未使用未知數列式 11 ％ B75 J+K+B18+B15 J+K，未使用未知數列式，計算錯誤 4 ％ B77 J+K+B18+B17 J+K，未使用未知數列式，無法逆向思維 3 ％

肆、 第 15 題錯誤類型分析

學生在第 15 題共有 6 個錯誤類型，其數量統計表如表 4-6，與原先選擇題型 所預設的錯誤類型（表 3-2）比較，學生在建構反應題增加 4 種複合式錯誤類型。 此題約有 61％共 113 位學生答對，約有 5％共 10 位學生未作答，同時具備 2 個 錯誤類型的學生約有 7％共 13 人；同時具備 3 個錯誤類型的學生約有 7％共 13 人；同時具備 4 個錯誤類型以上的學生約有<1％共 1 人。 其中錯誤類型 B19 為學生為「不解題意」，例如：y - 16 = 15 \\\\ y = 31，此 結果顯示學生不了解全班人數的一半的意思，此錯誤類型學生約有 13％共 24 位。 又以錯誤類型 B61 為學生為「未依照題意列式」，但答案正確，例如： y=16*2 或 16*2=y\\\\y=32，此結果顯示學生尚未習慣運用未知數來依照題意列式，此錯 誤類型學生約有 7％共 13 位。

表 4- 6 第 15 題之全部學生解題錯誤類型數量統計表 編號 錯誤類型（複合） 錯誤類型 數量 B5 J 題意應使用除法式子卻使用其他錯誤運算 B10 K 題意應使用除法等式卻使用其他錯誤運算 B14 列式後不會解未知數 5 ％ B19 題目看不清楚或不解題意 13 ％ B61 J+K J+K，未依照題意列式 7 ％ B65 J+K+B14 J+K，列式後不會解未知數 1 ％ B71 J+K+B18 J+K，未使用未知數列式 6 ％ B75 J+K+B18+B15 J+K，未使用未知數列式，計算錯誤 <1 ％

伍、 第 16 題錯誤類型分析

學生在第 16 題共有 11 個錯誤類型，其數量統計表如表 4-7，與原先選擇題 型所預設的錯誤類型（表 3-2）比較，學生在建構反應題增加 6 種複合式錯誤類 型。此題約有 17％共 31 位學生答對，約有 15％共 27 位學生未作答，同時具備 2 個錯誤類型的學生約有 15％共 28 人；同時具備 3 個錯誤類型的學生約有 5％共 9 人；同時具備 4 個錯誤類型以上的學生約有 7％共 12 人。 其中錯誤類型 B19 為學生為「不解題意」，例如：625 \\div x = 500 \\\\ x = 625 \\div 500 \\\\ x = 1.25，此結果顯示學生誤以為打折的意思就是除，此錯誤類型學 生約有 11％共 21 位。 又以錯誤類型 B14 為學生為「列式後其餘空白或不會解未知數」，但答案正 確，例如：625 * x \\% = 500，此結果顯示學生尚無法了解可將 x %化為分數 x/100， 此錯誤類型學生約有 13％共 24 位。