《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）

【巩固练习】 一、选择题 1．如图所示，给出下列条件：① ； ② ；③ ； ④ . 其中单独能够判定 的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2015•十堰）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点 O 为位似中心，相 似比为 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 3．如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，E 在 AD 上，且 CE 平分∠BCD，BE平分∠

ABC，则下列关系式中成立的有( ) ① ； ② ； ③ ；④CE2 =CD×BC； ⑤BE2 =AE×BC. A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若 OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( ) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 5．如图，在正方形网格上有 6 个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥ △EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( ) A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥ 第 4 题 第 5 题 第 6 题

6. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2 2，CD=

2

，点P在四边形ABCD的边上．若P 到BD的距离为

3

2

，则点P的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7. 如图，路灯距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距离灯的底部(点 O)20 米的点 A 处，沿 OA 所在的直线 行走 14 米到点 B 时，人影的长度( )

A.增大 1.5 米 B.减小 1.5 米 C.增大 3.5 米 D.减小 3.5 米

第 7 题 第 8 题

8. 已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点， 若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ）

A.

5 1

2



_B.

5 1

2



_C.

₃

_{D. 2} 二、填空题 9.顶角为 36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图，△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，已知 AB=1，则 DE=____________． 第 9 题 第 10 题

10.如图，M 是 ABCD 的边 AB 的中点，CM 交 BD 于 E，则图中阴影部分的面积与 ABCD 的面积之比 为___ __. 11.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为_______________. 12.如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片 30cm，幻灯片距屏幕 1.5m，幻灯 片中的小树高 8cm，则屏幕上的小树高是__ ____. 13.（2015•娄底）一块直角三角板 ABC 按如图放置，顶点 A 的坐标为（0，1），直角顶点 C 的坐标为（﹣ 3，0），∠B=30°，则点 B 的坐标为 ．

14.如图，O 为矩形 ABCD 的中心，M 为 BC 边上一点，N 为 DC 边上一点，ON ⊥ OM ， 若 AB=6 ， AD=4 ， 设 OM=x ， ON=y ， 则 y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 __________________．

15.如图，



ABCD中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，CD=2DE.若△DEF 的面积为a，则



ABCD 中的面积为 .(用_{a 的代数式表示)}

第 14 题 第 15 题 第 16 题

16.如图，△ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上的一点，且 AD=

2

3

AB，DF∥BC，E 为 BD 的中点．若 EF⊥AC，BC=6， 则四边形 DBCF 的面积为_______________.

三、解答题

17. 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB=2CD，E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF 与 BD 相交于点 M. (1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若 DB=9，求 BM. 18.在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点 P 是 AB 边上任意一点， 直线 PE⊥AB，与边 AC 或 BC 相交于 E．点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上， EM＝EN， （注解 =

EP

EM

）． （1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长； （2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP＝x，BN＝y，求 y 关于 x 的函数 关系式，并写出函数的自变量取值范围；

（3）若△AME∽△ENB（△AME 的顶点 A、M、E 分别与△ENB 的顶点 E、N、B 对应），求 AP 的长．

19. （1）如图 1，在△ABC 中，点 D，E，Q 分别在 AB，AC，BC 上,且 DE∥BC,AQ 交 DE 于点 P．

求证： ．

（2）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，正方形 DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接 AG，AF 分别交 DE 于 M，N 两点．

①如图 2，若 AB=AC=1，直接写出 MN 的长； ②如图 3，求证 MN2

=DM·EN．

20.（2015•黄石）在△AOB 中，C，D 分别是 OA，OB 边上的点，将△OCD 绕点 O 顺时针旋转到△OC′D′． （_{1）如图 1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D 分别为 OA，OB 的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；} （_{2）如图 2，若△AOB 为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点 E，猜想∠AEB=θ是否} 成立？请说明理由．

【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】C. 【解析】①②④正确，考点：三角形相似的判定. 2．【答案】D. 【解析】∵点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，∴点 A 的对应点 A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D． 3．【答案】B. 【解析】提示：②③④成立. 4．【答案】B. 5．【答案】B. 6．【答案】B； 【解析】A 到 BD 的距离为 2，故在 AB、AD 上存在 P. 7.【答案】D； 【解析】由题意， ， 由相似， ， 同理，

.

8. 【答案】B.

【解析】∵AB=1，设 AD=x，则 FD=x-1，FE=1， ∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ∴

EF

AD

FD AB



,

1

1 1

x

x





， 解得 x1=

1

5

2



，x2=

1

5

2



（负值舍去）， 经检验 x1=

1

5

2



是原方程的解．故选 B． 二．填空题 9．【答案】

3

5

2



. 【解析】∵△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，AB=1 ∴AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE∥AB ∴设 DE=x，则 CD=BE=x，AD=BC=1-x，

DE EC

AB BC



∴EC=BC-BE=1-x-x=1-2x

∴

1 2

1

1

x

x

x







解得：DE=

3

5

2



． 10．【答案】 . 【解析】 ， ， (三角形等高，面积比等于底边比) ， 阴影部分的面积与 ABCD 的面积之比为 1：3. 11．【答案】12.36cm. 12．【答案】48cm. 13.【答案】

（

3



3 3 3

， ）

. 【解析】过点 B 作 BD⊥OD 于点 D， ∵△ABC 为直角三角形， ∴∠BCD+∠CAO=90°， ∴△BCD∽△COA， ∴ = ， 设点 B 坐标为（x，y）， 则 = ， y=﹣3x﹣9， ∴BC= = ， AC= = ， ∵∠B=30°， ∴ = = ， 解得：x=﹣3﹣ ， 则 y=3 ． 即点 B 的坐标为

（

3



3 3 3

， ）

． 14．【答案】

2

3

y



x

. 【解析】求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解． 15.【答案】12_a.

【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相 似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为 4_{a、9a，然后推出四边形}BCDF的面积为 8_{a 即可.}

16.【答案】15. 三.综合题

17．【解析】(1)证明：∵E 是 AB 的中点，

∴AB=2EB，∵AB=2CD，∴CD=EB.

又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形.∴CB∥DE， ∴ ∴△EDM∽△FBM. (2)解：∵△EDM∽△FBM，∴ . ∵F 是 BC 的中点， ∴DE=2BF.∴DM=2BM.∴BM= DB=3. 18．【解析】(1) 由 AE=40，BC=30，AB=50，∴CP=24，又 sin∠EMP= ，∴CM=26。 (2) 在 Rt△AEP 与 Rt△ABC 中，∵∠EAP=∠BAC，∴Rt△AEP∽Rt△ABC，

∴ ，即 ，∴ EP= x， 又 sin∠EMP= ，∴tan∠EMP= = ，∴ = ，∴ MP= x=PN， y=BN=AB-AP-PN=50-x- x=50- x (0<x<32). (3) ① 当 E 在线段 AC 上时，由(2)知， ，即 ，∴EM= x=EN， 又 AM=AP-MP=_{x- x= x，} 由题设△AME∽△ENB，∴ ，∴ = ，解得 x=22=AP. ② 当 E 在线段 BC 上时，由题设△AME∽△ENB，∴ ∠AEM=∠EBN. 由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP， ∴ Rt△ACE∽Rt△EPM，∴ ，即 ，∴CE= …①.

设 AP=z，∴PB=50-z， 由 Rt△BEP∽Rt△BAC，∴ ，即 = ，∴BE= (50-z)， ∴CE=BC-BE=30- (50-z)…②. 由①，②，解 =30- (50-z)，得 z=42=AP. ∴AP的长为 22 或 42． 19．【解析】（1）证明：在△ABQ 中，由于 DP∥BQ， ∴△ADP∽△ABQ，∴ ． 同理△APE∽△AQC， ． ∴ ． （2）① ． ②证明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°． ∴∠B=∠CEF， 又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC． ∴ ， ∴DG·EF＝CF·BG 又∵DG＝GF＝EF，∴GF2 ＝CF·BG 由（1）得 ， ∴

(

MN

)

DM EN

GF

2



BG CF



. ∴MN2 ＝DM·EN. 20.【解析】（_{1）证明：①∵△OCD 旋转到△OC′D′，} ∴_{OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，} ∵_{OA=OB，C、D 为 OA、OB 的中点，} ∴_OC=OD， ∴OC′=OD′， 在△_{AOC′和△BOD′中，} ， ∴△_{AOC′≌△BOD′（SAS），} ∴AC′=BD′； ②延长 AC′交 BD′于 E，交 BO 于 F，如图 1 所示： ∵△_{AOC′≌△BOD′，}

∴∠_{OAC′=∠OBD′，} 又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°， ∴∠_{OBD′+∠BFE=90°，} ∴∠_BEA=90°， ∴_{AC′⊥BD′；} （_{2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图 2 所示：} ∵△OCD 旋转到△OC′D′， ∴_{OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，} ∵_CD∥AB， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∠_{AOC′=∠BOD′，} ∴△AOC′∽△BOD′， ∴∠_{OAC′=∠OBD′，} 又∠_{AFO=∠BFE，} ∴∠_{AEB=∠AOB=θ．}