單元12-多項式不等式

208

體脂率是一種用來判定肥胖與否的標準，公式是 體脂率 = 體重 脂肪重 #100%。 30歲以下的男性超過20%，女性超過25%就算肥 胖。根據公式，體重為70公斤的18歲男生，身上的 脂肪超過14公斤就屬於肥胖者，這是一個不等式的 問題。本單元就來探討多項式不等式。

多項式不等式

12

▲ 圖1

甲

多項式函數的圖形

我們已經介紹過： 一次函數 f x^ h=ax+b的圖形是一條直線； 二次函數 f x^ h=ax2+bx+c的圖形是一條拋物線； 三次函數 f x^ h=ax3+bx2+cx+d的圖形是一條點對稱的曲線。 至於高於三次的函數圖形，目前我們只能透過描點的方法，描出約略的圖形，要 更精確了解多項式函數圖形的變化，待微積分課程時再處理。 除描點外，我們也可以藉助電腦繪製函數圖形，不但迅速且能較正確地描繪 出。例如圖2與圖3就是利用電腦繪製的函數圖形：

12

多項式不等式

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1 f x^ h= x4-5x2+4 x 2 x 1 x 1 x 2 =^ + h^ + h^ - h^ - h 。 ▲ 圖2 2 g x^ h=-x4-x3+3x2+ -x 2 x 2 x 1 x 1 2 =-^ + h^ + h^ - h 。 ▲ 圖3 觀察這兩個四次函數圖形，發現：它們的圖形都是連續不斷的，而且 1 y=f x^ h的圖形與x軸交於 2- , - ,1 1,2四點，最右方是上升的。 2 y=g x^ h的圖形與x軸交於 2- ,- ,1 1三點，最右方是下降的。 事實上，這些觀察對次數不低於1次的多項式函數都會成立。 關於多項式函數 y=f x^ h= a x_n n+a_n-1xn-1+g+a x₁ +a₀（ n $ ）的圖形。1 1 圖形都是連續不斷的。 2 若實數 x₀滿足 f` jx<sub>0</sub> =0，則ax<sub>0</sub>, f` jkx₀ 是 y=f x^ h的圖形與x軸的一個 交點。 3 當 a_n2 時，圖形的最右方是上升的；0 當 a_n1 時，圖形的最右方是下降的。0 多項式函數的圖形 利用函數圖形，可以判定函數值的正負。

210

已知三次函數 y=f x^ h的圖形如右，求 1 滿足 f x^ h=0的實數x。 2 滿足 f x^ h20的實數x。 3 滿足 f x^ h10的實數x。 4 滿足 f x^ h#0的實數x。 解 1 因為圖形與x軸交於1,3,5三點，所以 x= ,1 3,5。 2 因為圖形在x軸上方的部分，其y坐標（函數值）皆為正， 所以滿足 f x^ h20的實數為_1 3, i,_5,3i。 3 因為圖形在x軸下方的部分，其y坐標（函數值）皆為負， 所以滿足 f x^ h10的實數x為_-3,1i,_3 5, i。 4 由1,3得知，滿足 f x^ h#0的實數x為_-3,1@,73 5, A。

例題

1

已知四次函數 y=f x^ h的圖形如右，求 1 滿足 f x^ h=0的實數x。 2 滿足 f x^ h20的實數x。 3 滿足 f x^ h10的實數x。 4 滿足 f x^ h#0的實數x。

隨堂練習

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多項式不等式

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乙

多項式不等式

設 f x^ h是 實 係 數 n 次 多 項 式 。 不 等 式 ： f x^ h20, f x^ h10, f x^ h$0和 f x^ h#0都 稱 為 n 次 多 項 式 不 等 式 ， 簡 稱n 次 不 等 式。 當 實 數 a 使 得 不 等 式 f^ ha 20成立時，實數 a 稱為不等式 f x^ h20的解。「解不等式」就是找出滿 足該不等式的所有實數解。 (一)一次不等式 解一次不等式只要利用移項即可解出。 解一次不等式 x-323x+5。 解 移項得 x-3x25+3，即-2x28。 再兩邊同除 2- ，得不等式的解為 x1- ，即4 _-3,-4i。

例題

2

解不等式 x2 +115x+10。

隨堂練習

(二)二次不等式 解二次不等式，可以藉助二次函數圖形解出。求解時，為了將問題單純化， 習慣將二次項係數調整為正數（此時圖形都是開口向上的拋物線）再解不等式。 設二次函數 y= ax2+bx+ 的判別式為c D=b2-4ac。 底下，依 D2 ,0 D= ,0 D1 三種情形來討論。0

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當判別式D 20時，拋物線與x軸交於兩點。 解下列二次不等式： 1 x2-4x+3#0。　　　　23+ -x x210。 解 1 函數 y=x2-4x+ =3 ^x-1h^x-3h 的圖形為開口 向上的拋物線，且與x軸交1,3二點，如右圖所示。 解此不等式就是：找那些讓y坐標（函數值）小 於或等於0的x坐標，由圖知其範圍為1#x# 。3 故不等式的解為1#x# ，即 ,3 7 A1 3 。 2 將兩邊同乘以^ h ,-1 使二次項係數為正數，即 x2- -x 320。 解方程式 x2- - =x 3 0，得 x 2 1! 13 = 。 因 此 ， y=x2- - 的 圖 形 為 開 口 向 上 的 拋 物x 3 線，且與x軸交 2 1- 13 , 2 1+ 13 二點，如右圖 所示。 因為不等式的解就是那些讓y坐標大於0的x坐標，所以不等式的解為 x 2 1 13 1 - 或 x 2 1 13 2 + ，即 , , 2 1 13 2 1 13 , 3 3 - - + f p f p 。

例題

3

解下列二次不等式： 1 6-5x-x210。　　　　2 3+5x$ x2。

隨堂練習

12

多項式不等式

213

當判別式 D=0時，拋物線與x軸相切。 解二次不等式 x2-4x+420。 解 函 數 y=x2-4x+4=^x-2h 的 圖 形 為 開 口 向 上2 的拋物線，且與x軸相切於點_2 0, i，如右圖所示。 因為拋物線除頂點_2 0, i以外都在x軸上方，所以 不等式的解為除2以外的一切實數。

例題

4

解二次不等式 x9 2-6x+1#0。

隨堂練習

當判別式D 10時，拋物線與x軸不相交。 解下列二次不等式： 1 x2+ +x 120。　　　　2 x2+ +x 1#0。 解 1 因 為 函 數 y =x2+ + 的 二 次 項 係 數x 1 1 為 正 數 ， 且 判 別 式 12-4# #1 1=-310， 所 以 圖 形為開口向上的拋物線，且與x軸不相交，如 右圖所示。因為整條拋物線均在x軸上方，即y 坐標皆大於0，所以不等式的解為全體實數。 2 由1的討論知：不等式 x2+ +x 1#0無實數解。

例題

5

214

隨堂練習

解下列二次不等式： 1 2x2-8x+1120。　　　　2 x2-2 3x+510。 底下，做一題應用問題。 右圖是一張底邊長與底邊上的高都是40的三 角形皮革。皮雕師傅想要從這皮革切下一塊面 積至少300的內接矩形（鋪色部分）。已知內 接矩形在底邊上的邊長為x（01 1x 40）， 求x的範圍。 解

設矩形的另一邊長為y。因為3ADE∼ ABC3 ， 所以 x y 40 40 40 -= ，即 y=40-x。 又因為矩形面積至少300，所以 x^40-xh$ 300， 整理得 x2-40x+300#0， 即 x^ -10h^x-30h#0。解得10#x#30，即710 30, A。

例題

6

12

多項式不等式

215

隨堂練習

如右圖，正方形ABCD的邊長為4，在 AB 與 BC 上分別各取一點P,Q，使得 AP=BQ ，且四邊形 PQCD的面積至少為10。已知 AP= x20，求x 的範圍。 (三)高次不等式 我們藉助函數的「正負區間示意圖」來解高次不等式。這裡所說的「正負區 間示意圖」，是用來標示函數圖形在各區間上是位於x軸的上方（此時函數值為 正）或下方（此時函數值為負）的示意圖。以底下的例題作進一步的說明。 解下列不等式： 1 ^x-1h^x-2h^x-3h20。　　　　2^x-1h2^x-3h10。 解 1 函數 y=^x-1h^x-2h^x-3h 的圖形與x軸交於1,2,3三點，而這三點將 x軸分成四段，逐段討論 f x^ h的正、負如下： x值的範圍 x11 11 1x 2 21 1x 3 x23 x-1 - + + + x-2 - - + + x-3 - - - + f x^ h - + - +

例題

7

216

電腦繪製的函數圖形 綜 合 上 表 ， 可 得 函 數 的 正 負 區 間 示 意圖如下： 示 意 圖 的 最 右 一 段 為 正 ， 且 每 往 左 一 段 就 變 號 。 由 示 意 圖 知 不 等 式 的 解為 x 11 1 或 x2 2 ，3 即 ,_1 2i,_3,3i。 2 函數 y =^x-1h2^x-3h 的圖形與x軸 交於1,3二點，而這二點將x軸分成 三段，仿照1逐段討論y的正負，可 得函數的正負區間示意圖如下： 示意圖的最右一段為正，而在1的左 右 兩 段 同 號 ， 皆 為 負 （ 這 是 因 為 x-12 ^ h 是偶數次的關係）。由示意圖知不等式的解為 x 1 或1 11 1 ，x 3 即_-3,1i,_1 3, i。 電腦繪製的函數圖形

12

多項式不等式

217

隨堂練習

解下列不等式： 1 ^x+2h^x-1h^x-3h$0。　　　　2 ^x+1h2^x-2h$0。 為了將問題單純化，習慣將最高次方的係數調整為正數（此時最右一段區間 的函數值為正數）再解不等式。 解下列不等式： 1 ^2-x xh^ -1h^x+1h^x+2h20。　　2 _x2-2x+1i_x2-4x+3i$0。 解 1 將兩邊同乘^ h ，使得最高次項係數為正數，得-1 x-2 x-1 x+1 x+2 10 ^ h^ h^ h^ h 。 仿 照 例 7 分 五 段 討 論 ， 可 得 函 數 y=^x-2h^x-1h^x+1h^x+2h 的正負 區間示意圖如下： 示 意 圖 的 最 右 一 段 為 正 ， 每 往 左 一 段 就 變 號 。 由 示 意 圖 知 不 等 式 的 解 為 x 21 1 1 - - 或11 1 ，x 2 即_-2,-1i,_1 2, i。

例題

8

電腦繪製的函數圖形

218

隨堂練習

解不等式_9-x2i_x2- -x 6i$0。 2 利用因式分解，得 x-12 x-1 x-3 $ 0 ^ h ^ h^ h ，即 x^ -1h3^x-3h$0。 仿照例題 7分三段討論，可得函數 y=^x-1h3^x-3h 的正負區間示意 圖如下： 示意圖的最右一段為正，而在1的左 右 兩 段 異 號 ， 一 正 一 負 （ 這 是 因 為 x-13 ^ h 是奇數次的關係）。由示意 圖知不等式的解為 x# 或 x1 $ ，3 即`-3,1A,83,3i。 電腦繪製的函數圖形 當不等式中有「恆正的因式」時，可將其剔除後再求解。以底下的例題說 明。

12

多項式不等式

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解不等式^x-1h^x-3h2_2x2+3x+4i#0。 解 因 為 二 次 函 數 y=2x2+3x+4 的 二 次 項 係 數 2 為 正 數 ， 且 判 別 式 32-4# #2 4=-2310， 所 以 函 數 值 x2 2+3x+4恆 為 正 數 。 因 此 ， 原 不等式的解與不等式 x-1 x-3 2#0 ^ h^ h 的解相同。 分三段討論，可得函數 y=^x-1h^x-3h 的正負區間示意圖如下：2 示意圖的最右一段為正，而在3的左右 兩段同號，皆為正（這是因為 x 3^ - h2 是偶數次的關係）。由示意圖知不等式 的解為 x# 或 x1 =3。

例題

9

解不等式 x_ 2+1i^x-2h2^x-5h310。

隨堂練習

電腦繪製的函數圖形

220

舉一個由不等式的解反求未知係數的例題。 已知三次不等式 ax3+bx2+cx-8#0的解為-2#x#1或 x$4，求實數 a,b,c的值。 解 依題意，可得函數 y=ax3+bx2+cx-8的正負區間 示意圖如右： 因為 x=- ,2 1,4的函數值為0 ，且最右方一段為 負，所以 y=a x^ +2h^x-1h^x-4h ,a1 。0 將上式與 y=ax3+bx2+cx-8比較常數項，得 a8 =-8， 即 a=- 。因此1 y=-^x+2h^x-1h^x-4h=-x3+3x2+6x-8。 故 a=- , b1 = , c3 =6。

例題

10

已 知 f x^ h是 首 項 係 數 為 1 的 三 次 多 項 式 ， 且 不 等 式 f x^ h20的 解 為 x 01 1 或 x1 2 ，求不等式 f x1 ^ h2x的解。

隨堂練習

最後，練習一題應用問題。

12

多項式不等式

221

某公司想建一個正立方體儲存桶出租，每年租金 是以容積一立方公尺100元計算。為了防水，每 年須在容器內部底面上漆，及更換內部底面4個 邊 的 封 條 ， 如 右 圖 所 示 。 底 漆 每 平 方 公 尺 3 0 0 元，封條每公尺200元。若儲存桶的容積不大於 1000立方公尺，且每年防水材料費不可高於每年租金的一半，則儲水槽 內部邊長應設計在何範圍內？ 設儲存桶內部邊長為x公尺。因為容積不大於1000立方公尺，所以 x 01 3#1000， 解得01 #x 10。再依題意，得 x x x 300 200 4 100 2 1 2 3 # # # # + ， 整理得 x3-6x2-16x$0， 分解得 x x^ -8h^x+2h$0。 解得 x$ 或8 -2#x#0（不合）。 故8 #x#10，即儲水槽內部邊長應設計在8到10公尺之間。

例題

11

某工廠想建造一個膠囊形狀的容器，其中間為 圓柱體，左右兩端均為半球體，如右圖所示。 按照設計的要求，圓柱的高為 8，球的半徑r 至少為2，中間圓柱的容積須不小於左右兩半 球的容積總和，求r的範圍。（註：半徑為r的球體之體積為 r 3 4 3 r 。）

隨堂練習

解

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12

一、觀念題

以下各小題對的打「○」，錯的打「×」。 1 不等式-2x 23的解為 x 2 3 2- 。 2 不等式 x^ -3h^x-5h20的解為31 1 。x 5 3 不等式5^x+4h220的解為所有實數。 4 不等式 x^ -1h^x-2h#0與^1-x xh^ -2h$0有相同的解。 5 不等式 x^ -1h^x-2h#0與 x_ 2+ +x 1i^x-1h^x-2h#0有相同的解。

二、基礎題

解下列不等式： 1 x223x+10。 2 x21 + 。x 1 3 x4 2-12x+9 #0。 4 x2 2-4x+720。 解下列不等式： 1 x^ +1h^x+2h^x+3h10_{。 2 x^ -1h^x+2h^x-2h}2_^x-3h3_$0。 3 x_ 2+ +x 1i_x2-6x+9i#0_{。 4} ^_x-₂h2^_x-₁h^_x+₂h_x2+ +x 3i_#0。 已知不等式 ax2-3x+b20的解為 3 x 2 1 1 1 - ，求實數a,b的值。

三、進階題

已知二次不等式 x2+kx+k$0的解為全體實數，求實數k的範圍。 解不等式 x x2^ +2h^x+1h^x-5h#^2x+3h^x+2h^x+1h^x-5h 。

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如右圖，三次函數 f x^ h= ax3+bx2+cx+d的圖形通過_0 0, i, _1 0, i與_2 0, i 三點，選出正確的選項。 1 a20 2 b20 3 c20 4 d20 5 a b c d+ + + 20。 已知a,b為實數，且不等式_3x2- +x 1i_x2+ax+bi#0的解為-1#x#3， 求a,b的值。 如圖，有一個寬10公尺，長12公尺的矩形土地，今要 在土地內的周邊闢一等寬的小路。若內部矩形的周長至 少為20公尺，且面積不大於48平方公尺，則小路寬度 的範圍為何？ 遊樂場裡有一門大砲，可發射出砲彈供人玩樂。 設大砲發射t秒後與砲彈高度y公尺的關係式為 y=kt^4-th ， 其中正數k為大砲上可調整的變數。為了不讓砲 彈打中高16公尺的天花板，請問：變數k應限制 在什麼範圍內。 某工廠想設計一個實心的塑膠正立方體，並在表面烤漆出售。塑膠材料每立 方單位20元，烤漆每平方單位10元。若烤漆的費用不可高於塑膠材料費用的 一半，且工廠能作的正立方體之最大邊長為8，則正立方體邊長的範圍為何？