解直角三角形及其应用--巩固练习
【巩固练习】 一、选择题 1.在△ABC 中，∠C＝90°，sin
4
5
A
，则 tan B＝( )． A．4
3
B．3
4
C．3
5
D．4
5
2．（2016•绍兴）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点 A 为圆 心，BC 长为半径画弧交 AB 于点 D，分别以点 A、D 为圆心，AB 长为半径 画弧，两弧交于点E，连接 AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（ ） A． B． C． D． 3．河堤、横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1:3
(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平 宽度 AC 之比)，则 AC 的长是( )． A．5 3
米 B．10 米 C．15 米 D．10 3
米4．如图所示，正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 M、N 分别为 OB、OC 的中点， 则 cos∠OMN 的值为( )． A．
1
2
B．2
2
C．3
2
D．1 第 3 题 第 4 题 第 5 题 5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为 h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l
为 ( ) A．sin
h
B．tan
h
C．cos
h
D．h
sin
6．如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16 cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，连接 BD，
若
cos
3
5
BDC
，则 BD 的长是( )． A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 7．如图所示，一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏 西20°
的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距( )． A．30 海里 B．40 海里 C．50 海里 D．60 海里第 6 题 第 7 题 第 8 题 8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距 200 m 的 M 和 N 两点分别测定对岸一棵树 P 的 位置，P 在 M 的正北方向，在 N 的北偏西 30°的方向，则河的宽度是( )． A．
200 3
m B．200 3
3
m C．100 3
m D．100m 二、填空题9．（2015•揭西县一模）在菱形 ABCD 中，DE⊥AB， ，BE=2，则 tan∠DBE 的值是 ．
(第 9 题) （第10 题） 第11 题
10．如图所示，等边三角形 ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 边上的点，AD＝BE，AE 与 CD 交于点 F，AG⊥CD 于点 G，则
AG
AF
的值为________．11．如图所示，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔
40 2
海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 为________海里(结果保留 根号)．12．如图所示，直角梯形 ABCD 中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点 E 在 AB 上，将△CBE 沿 CE 翻折，使 B 点与 D 点重合，则∠BCE 的正切值是________．
13．如图所示．线段 AB、DC 分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离
BC＝30 米，若甲建筑物高 AB＝28 米，在 A 点测得 D 点的仰角α＝45°，则乙建筑物高 DC＝__ __米．
14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发，要到 A 地的北偏东 60°方向的 C 处，他先沿正东方向 走了 200m 到达 B 地，再沿北偏东 30°方向走，恰能到达目的地 C(如图所示)，那么，由此可知，B、C 两地相距________m． 三、解答题 15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树正前方一座 楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树 顶端 D 的仰角为 60°．已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度为 1:
3
(即 AB:BC＝1:3
)，且 B、C、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树 DE 的高度(测倾器的高度忽略不计)． 16. （2016•包头）如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线 与AD 的延长线交于点 E． （1）若∠A=60°，求 BC 的长； （2）若 sinA= ，求 AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 17．（2015•资阳）北京时间 2015 年 04 月 25 日 14 时 11 分，尼泊尔发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织抢 险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象， 已知探测线与地面的夹角分别是25°和 60°，且 AB=4 米，求该生命迹象所在位置 C 的深度．（结果精确到 1 米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5， ≈1.7）【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】如图，sin A＝
4
5
BC
AB
，设 BC＝4x．则 AB＝5x． 根据勾股定理可得 AC＝AC
AB
2
BC
2
3
x
，∴tan
3
3
4
4
AC
x
B
BC
x
． 2.【答案】B． 【解析】如图所示：设BC=x， ∵在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°， ∴AC=2BC=2x，AB= BC= x， 根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x， 作EM⊥AD 于 M，则 AM= AD= x，在Rt△AEM 中，cos∠EAD= = = ； 3.【答案】A； 【解析】由
i
tan
A
BC
BC
1: 3
知，AC
3
BC
5 3
(米)． 4.【答案】B； 【解析】由题意知 MN∥BC，∠OMN＝∠OBC＝45°，∴cos
2
2
OMN
． 5.【答案】A； 【解析】由定义sin
h
l
，∴sin
h
l
. 6.【答案】D； 【解析】∵ MN 是 AB 的中垂线, ∴ BD＝AD．又cos
3
5
DC
BDC
BD
， 设 DC＝3k，则 BD＝5k，∴ AD＝5k，AC＝8k．∴ 8k＝16，k＝2，BD＝5×2＝10． 7.【答案】B；【解析】 连接 AC，∵ AB＝BC＝40 海里，∠ABC＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC＝AB＝40 海里． 8.【答案】A 【解析】依题意 PM⊥MN，∠MPN＝∠N＝30°，tan30°
200
PM
，PM
200 3
． 二、填空题 9．【答案】2； 【解析】设菱形ABCD 边长为 t， ∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA= ，∴ ，∴ = ，∴t=5，∴AE=5﹣2=3， ∴DE= =4， ∴tan∠DBE= = =2．故答案为：2． 10．【答案】
3
2
； 【解析】由已知条件可证△ACE≌△CBD．从而得出∠CAE＝∠BCD．∴ ∠AFG＝∠CAE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，在 Rt△AFG 中，
sin 60
3
2
AG
AF
°
． 11．【答案】40 40 3
； 【解析】在 Rt△APC 中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝40 2
2
40
2
． 在 Rt△BPC 中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝40 3
， 所以 AB＝AC+BC＝40 40 3
． 12．【答案】1
2
； 【解析】如图，连接 BD，作 DF⊥BC 于点 F，则 CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以
tan
tan
2 1
4 2
BF
BCE
BDF
DF
． 13．【答案】58； 【解析】α＝45°，∴ DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200； 【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴ BC＝AB＝200. 三、解答题 15.【答案与解析】 过点 A 作 AF⊥DE 于 F，则四边形 ABEF 为矩形， ∴ AF＝BE，EF＝AB＝2．设 DE＝x， 在 Rt△CDE 中，3
tan
tan 60
3
DE
DE
CE
x
DCE
°
． 在 Rt△ABC 中，∵1
3
AB
BC
，AB＝2，∴BC
2 3
． 在 Rt△AFD 中，DF＝DE-EF＝x-2． ∴2
3(
2)
tan
tan 30
DF
x
AF
x
DAF
°
∵ AF＝BE＝BC+CE．∴
3(
2) 2 3
3
3
x
x
，解得x
6
． 答：树 DE 的高度为 6 米． 16.【答案与解析】 解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA= ， ∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6 ， 又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE= ，∠E=30°， ∴CE= =8， ∴BC=BE﹣CE=6 ﹣8； （2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA= = ， ∴设BE=4x，则 AE=5x，得 AB=3x，∴3x=6，得 x=2， ∴BE=8，AE=10， ∴tanE= = = = ， 解得，DE= ， ∴AD=AE﹣DE=10﹣ = ， 即AD 的长是 ． 17.【答案与解析】 解：作CD⊥AB 交 AB 延长线于 D，设 CD=x 米． Rt△ADC 中，∠DAC=25°， 所以tan25°= =0.5， 所以AD= =2x． Rt△BDC 中，∠DBC=60°， 由tan 60°= = ， 解得：x≈3 米． 所以生命迹象所在位置C 的深度约为 3 米．
