2020年中考数学压轴题专题15 《动点综合问题》

专题

15 动点综合问题

【典例分析】 【考点_{1】动点之全等三角形问题} 【例_{1】如图，直线}

4

₄

3

y

 

x



与

x

轴和

y

轴分别交于

A B

,

两点，另一条直线过点

A

和点

C

(7,3)

_. (1)求直线

AC

的函数表达式_; (2)求证:

AB AC



; (3)若点 P 是直线

AC

上的一个动点，点

Q

是

x

轴上的一个动点，且以

P Q A

, ,

为顶点的三角形与 AOB 全 等，求点

Q

的坐标_. 【变式_{1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为 C,AC=2Cm,BC=6cm,射线 BM⊥BQ,垂足为 B,动点 P 从 C 点出发以 1cm/s}

时，△_{BCA 与点 P、N、B 为顶点的三角形全等.(2 个全等三角形不重合)} 【考点_{2】动点之直角三角形问题} 【例_{2】（模型建立）} （1）如图 1，等腰直角三角形

ABC

中，



ACB



90

，

CB CA



，直线

ED

经过点

C

，过

A

作

AD ED



于点

D

，过 B 作

BE ED



于点

E

_.求证：



BEC

 

CDA

； （模型应用） （_{2）已知直线}

l

1_：

4

₄

3

y



x



与坐标轴交于点

A

、 B ，将直线

l

1_绕点

A

_{逆时针旋转}

45

_至直线

l

2_{，如图2，} 求直线

l

2_{的函数表达式；} （_{3）如图 3，长方形}

ABCO

，

O

为坐标原点，点 B 的坐标为



8, 6





，点

A

、

C

分别在坐标轴上，点 P 是 线段

BC

上的动点，点

D

是直线

y

  

2

x

6

上的动点且在第四象限.若



APD

是以点

D

为直角顶点的等腰 直角三角形，请直接写出点

D

的坐标_. 【变式_2-1】（_{2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+4 的图象与 x 轴交于点 A(4，0)和点 D(﹣} 1，0)，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 BC 平行于 x 轴交抛物线于点 B，连接 AC (1)求这个二次函数的表达式； (2)点 M 从点 O 出发以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动；点 N 从点 B 同时出发，以每秒 1 个单位长度 的速度向点_{C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点 N 作 NQ 垂直于 BC 交 AC} 于点_{Q，连结 MQ.} ①求△_{AQM 的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当 t 为何值时，S 有最大} 值，并求出_{S 的最大值；} ②是否存在点M，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．

【变式_{2-2】如图，四边形 ABCD 是正方形，以 DC 为边向外作等边△DCE，连接 AE 交 BD 于点 F，交 CD} 于点_{G，点 P 是线段 AE 上一动点，连接 DP、BP．} （_{1）求∠AFB 的度数；} （2）在点 P 从 A 到 E 的运动过程中，若 DP 平分∠CDE，求证：AG•DP＝DG•BD； （_{3）已知 AD＝6，在点 P 从 A 到 E 的运动过程中，若△DBP 是直角三角形，请求 DP 的长．} 【考点_{3】动点之等腰三角形问题} 【例_{3】（2019·湖南中考真题）如图一，在射线}

DE

的一侧以

AD

为一条边作矩形

ABCD

，

AD 

5 3

， 5 CD  ，点

M

是线段

AC

上一动点（不与点

A

重合），连结BM，过点

M

作BM的垂线交射线

DE

于点

N

， 连接

BN

． （_{1）求 CAD} 的大小； （_{2）问题探究：动点}

M

在运动的过程中，

①是否能使



AMN

为等腰三角形，如果能，求出线段

MC

的长度；如果不能，请说明理由． ②



MBN

的大小是否改变？若不改变，请求出



MBN

的大小；若改变，请说明理由． （_{3）问题解决：} 如图二，当动点

M

运动到

AC

的中点时，

AM

与

BN

的交点为

F

，

MN

的中点为 H ，求线段

FH

的长度． 【变式_{3-1】如图①，已知正方形}

ABCD

边长为_{2，点 P 是}

AD

边上的一个动点，点

A

关于直线

BP

的对称 点是点

Q

，连结

PQ

、

DQ

、

CQ

、

BQ

_{.设 AP=x.} （_1）当

x 

1

时，求

BP

长； （_{2）如图②，若}

PQ

的延长线交

CD

边于

E

，并且



CQD



90

o ，求证：



CEQ

为等腰三角形； （3）若点 P 是射线

AD

上的一个动点，则当



CDQ

为等腰三角形时，求

x

的值. 【变式3-2】（2019·河南中考模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+3 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B（-3，0）和点 C（1，0），顶点为点 M． （_{1）求抛物线的解析式；} （_{2）如图，点 E 为 x 轴上一动点，若△AME 的周长最小，请求出点 E 的坐标；} （_{3）点 F 为直线 AB 上一个动点，点 P 为抛物线上一个动点，若△BFP 为等腰直角三角形，请直接写出点} P 的坐标． 【变式3-3】（2019·广西中考真题）已知抛物线

y mx



2和直线

y

  

x b

都经过点

M 



2,4



，点

O

为坐

标原点，点 P 为抛物线上的动点，直线

y

  

x b

与

x

轴、

y

轴分别交于

A B

、

两点． （_1）求

m b

、

的值； （_2）当



PAM

是以

AM

为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）满足（2）的条件时，求

sin BOP



的值． 【考点_{4】动点之相似三角形问题} 【例_{4】在边长为}

4

的正方形

ABCD

中，动点

E

以每秒

1

个单位长度的速度从点

A

开始沿边

AB

向点 B 运 动_,动点

F

以每秒

2

个单位长度的速度从点 B 开始沿边

BC

向点

C

运动，动点

E

比动点

F

先出发

1

秒_,其中一 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点

F

的运动时间为

t

秒.

 

1

_如图

₁

_，连接

_{DE , AF}

_，若

_{DE AF}

_

_，求

_t

_的值

 

2

_如图

₂

_，连接

EF DF

,

_，当

_t

_{为何值时，}



EBF



DCF

_?

【变式_{4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°，点 A，C 的坐标分}

别为_{A（﹣3，0），C（1，0），BC＝}

3

4

_AC （_{1）求过点 A，B 的直线的函数表达式；} （_{2）在 x 轴上找一点 D，连接 DB，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；} （_{3）在（2）的条件下，如 P，Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ，设 AP＝DQ＝m，问是否存在这样} 的m，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，已知抛物线

y ax bx c



2





经过A（－3，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，点 D 是抛

（_{1）求抛物线所对应的函数表达式；} （_{2）当 AD 平分∠CAB 时．} ①求直线AD 所对应的函数表达式； ②设_{P 是 x 轴上的一个动点，若△PAD 与△CAD 相似，求点 P 的坐标．} 【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形） 【例_{5】（2019·广东中考模拟）如图，点 O 是平面直角坐标系的原点，点 A（}

3

，_{3），AC⊥OA 与 x 轴的} 交点为_{C．动点 M 以每秒}

3

个单位长度由点_{A 向点 O 运动．同时，动点 N 以每秒 3 个单位长度由点 O} 向点C 运动，当一动点先到终点时，另一动点立即停止运动． （_{1）写出∠AOC 的值；} （_{2）用 t 表示出四边形 AMNC 的面积；} （_{3）求点 P 的坐标，使得以 O、N、M、P 为顶点的四边形是特殊的平行四边形？} 【变式5-1】（2019·江西中考真题）在图 1，2，3 中，已知 ， ，点 为线段 上的动点， 连接 ，以 为边向上作菱形 ，且 ． （_{1）如图 1，当点 与点 重合时， ________°；} （2）如图 2，连接 ． ①填空： _________ （填“>”，“<”，“=”）；

②求证：点 在 的平分线上； （_{3）如图 3，连接 ，} ，并延长 交 的延长线于点 ，当四边形 是平行四边形时，求 的值． 【变式_{5-2】（2019·湖南中考真题）如图，二次函数} 2

1

3

y

 

x



bx c



的图象过原点，与_{x 轴的另一个交点} 为

 

8,0

【变式_{5-3】．如图，在平面直角坐标系中， AOB} 的顶点

O

是坐标原点，点

A

坐标为

 

1,3

，

A

、 B 两点 关于直线

y x



对称，反比例函数



0



k y x x   图象经过点

A

，点 P 是直线

y x



上一动点_. （1） B 点的坐标为______； （2）若点

C

是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点

C

，使得以

A

、 B 、

C

、 P 四点为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，求出点

C

坐标；若不存在，请说明理由； （_3）若点

Q

是线段

OP

上一点（

O

不与

O

、 P 重合），当四边形

AOBP

为菱形时，过点

Q

分别作直线

OA

和直线

AP

的垂线，垂足分别为

E

、

F

，当

QE QF QB





的值最小时，求出

Q

点坐标_. 【考点6】动点之线段面积问题 【例_{6】如图已知平面内有一动点 A，x 轴上有一定点 B（4，0），连接 AB，且将线段 AB 绕 B 点逆时针旋} 转_{90°得到线段 BC．} ①当_{A 点坐标为（1，1）时，求 C 点坐标；} ②当_{A 点在直线 x=1 上滑动时，求在此运动过程中△BOC 的面积是否发生变化，若不变，请求出面积，若} 变化，请说明理由；

③若总条件中的动点A 改为直线 y=x 上的动点 A，其余条件都不变，请直接写出当 A 点在直线 y=x 上滑动 时，点_{D（0，-2）到 C 点的最短距离．} 【变式_{6-1】（2019·山东中考模拟）如图，抛物线}

y

  

x bx c

2



交

x

轴于点

A  ,



3 0



和点 B ，交

y

轴于 点

C

 

0,3

_. （_{1）求抛物线的函数表达式；} （2）若点 P 在抛物线上，且

S

AOP



4

S

BOC_{，求点 P 的坐标；} （_{3）如图，设点}

Q

是线段

AC

上的一动点，作

DQ x



轴，交抛物线于点

D

，求线段

DQ

长度的最大值， 并求出



DAC

面积的最大值_. 【变式_{6-2】如图，矩形}

ABCD

中，

AD



3,

AB



4

，点 P 是对角线

AC

上一动点（不与

A C

、

重合），连 接

PB

，过点 P 作

PE PB



，交射线

DC

于点

E

，以线段

PE PB

,

为邻边作矩形

BPEF

，过点 P 作

GH CD



_。分别交

AB CD

、

_于点

G H

、

_。 （_{1）求证：}



PGB





EHP

的值；

（_2）求

PE

PB

的值； （3）求矩形

BPEF

的面积的最小值。 【变式_{6-2】已知：在四边形}

ABCD

中，AD BC∥ ，

AB CD





5

，

AD 

6

，

BC 

12

． （

1

）求四边形

ABCD

的面积． （

2

）点 P 是线段

AD

上的动点，连接

BP

、

CP

，求



BCP

周长的最小值及此时

AP

的长． （

3

）点 P 是线段

AD

上的动点，

N

、

M

为边

BC

上的点，

BM CN





5

，连接

AN

、

DM

，分别交

BP

、

CP

于点

E

、

F

，记



ADG

和

△

BPC

重叠部分的面积为

S

，求

S

的最值． 【达标训练】 一、单选题

1．如图，在△ABC 中，AB=2，AO=BO，P 是直线 CO 上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB 是以 BP 为 直角边的直角三角形时，_{AP 的长为（} ）

A．

5

,1,2 B．

2

,

7

,2 C．

3

,

7

,1 D．

10

，₂

2．如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3，动点 P 在直线 AB 上方，且满足 S△PABS：矩形 ABCD=1：3， 则使△_{PAB 为直角三角形的点 P 有( )个} A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知抛物线 2

1

₁

4

y



x



具有如下性质:抛物线上任意一点到定点

F

 

0,2

的距离与到

x

轴的距离相等.如 图点

M

的坐标为

 

3,6

, P 是抛物线 2

1

₁

4

y



x



上一动点，则



PMF

周长的最小值是（ ） A．

5

B．

9

C．

11

D．

1

二、填空题

4．如图,四边形 ABCD 中,AB∥CD,∠B=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点 P 为 BC 边上一动点,若△PAB 与△PCD 是 相似三角形_{,则 BP 的长为 _____________}

5．如图，

AB BC



于 B_,

DC BC



于

C

_,

AB



6,

BC



8,

CD



2

，点 P 为

BC

边上一动点，当

BP

＝ ________时，形成的

Rt ABP



与

Rt PCD



全等_.

6．如图，矩形

ABCD

中，AB  ，3

BC 

4

，点 P 是对角线

AC

上一动点，过点 P 作

PE AD



于点

E

， 若点 P ，

A

， B 构成以

AB

为腰的等腰三角形时，则线段

PE

的长是__________． 7．如图，在矩形

OAHC

中，

OC



8 ,

OA



12

，B 为

CH

中点，连接

AB

_{. 动点}

M

从点

O

出发沿

OA

边 向点

A

运动，动点

N

从点

A

出发沿

AB

边向点 B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1 个单位长度， 连接

CM CN MN

,

,

，设运动时间为

t

（秒）

(0

 

t

10)

. 则

t 

_____时，



CMN

为直角三角形 8．如图，在



ABC

中，已知

AB AC





4

，

BC 

6

， P 是

BC

边上的一动点（ P 不与点 B 、

C

重合）_. 连接

AP

，

  

B

APE

，边

PE

与

AC

交于点

D

，当



APD

为等腰三角形时，则

PB

之长为_{_________.} 9．如图，抛物线 y=﹣

1

2

_{x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，} 已知_{A（﹣1，0），C（0，2），点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，} 当四边形_{CDBF 的面积最大时，E 点的坐标为_____．}

10．如图，直线

PQ

经过

Rt ABC



的直角顶点

C ABC

,



的边上有两个动点

D E

,

，点

D

以

1 /

cm s

的速度 从点

A

出发沿

AC CB



移动到点 B ，点

E

以

3 /

cm s

的速度从点 B 出发，沿

BC CA



移动到点

A

，两动 点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点过点

D E

,

分别作

DM PQ



,

EN PQ



，垂足分别为 点

M N

,

.若

AC



6 ,

cm BC



8

cm

，设运动时间为

t

，则当

t 

___ s 时，以点

D M C

, ,

为顶点的三角形与以 点

E N C

, ,

为顶点的三角形全等． 11．如图，已知以点 A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC 中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动 点_{P（不与 A 重合），以 P、B、C 为顶点的三角形和△ABC 全等，则 P 点坐标为____________.} 12．如图，矩形

ABCD

中，

AB 

4

，

AD 

6

，点

E

为

AD

中点，点 P 为线段

AB

上一个动点，连接

EP

， 将



APE

沿

PE

折叠得到



FPE

，连接

CE

，

CF

，当



ECF

为直角三角形时，

AP

的长为_{_____．}

当

AP

_{=_______时，才能使}



ABC

和 PQA 全等_.

14．如图，已知 sinO＝

3

3

，_{OA＝6，点 P 是射线 ON 上一动点，当△AOP 为直角三角形时，则 AP＝________．}

15．如图，矩形

ABCD

中

AB 

10

，

AD 

12

，点

E

是线段

BC

上一动点，连接

AE

，将



ABE

沿直线

AE

折叠，点 B 落到

F

处，连接

CF

，

BF

，当



BFC

为等腰三角形时， BE 的长为_{__________．} 16．如图，直线y x 1与抛物线 2

₄

₅

y x





x



_交于

_A

_{，B 两点，点 P 是}

y

_{轴上的一个动点，当}

_

_PAB

_的 周长最小时，

S

PAB



_{_ ．} 三、解答题 17．如图，抛物线

y x



2



2

mx



3

m

x 轴交于

A B

,

y

C 



0, 3



.

（_{1）求该抛物线的解析式；} （_2）若点

E

为线段

OC

上一动点，试求

2

2

AE



EC

的最小值； （_3）点

D

是

y

轴左侧的抛物线上一动点，连接

AC

，当

∠

DAB



∠

ACO

时，求点

D

的坐标_.

18．如图,在菱形

ABCD

中_,



DAB

_{=60°, AB=2,点 E 是 AB 上的动点,作∠EDQ=60°交 BC 于点 Q,点 P 在 AD} 上,PD=PE. （_{1）求证：AE=BQ；} （_{2）连接 PQ, EQ,当∠PEQ=90°时,求} DE PQ 的值； （3）当 AE 为何值时,△PEQ 是等腰三角形. 19．已知：如图，∠B=90°AB∥DF，AB=3cm，BD=8cm，点 C 是线段 BD 上一动点，点 E 是直线 DF 上一 动点，且始终保持_AC⊥CE． （1）试说明：∠ACB =∠CED （_{2）当 C 为 BD 的中点时，}



_{ABC 与}



_{EDC 全等吗？若全等，请说明理由；若不全等，请改变 BD 的长} （直接写出答案），使它们全等． （_{3）若 AC=CE ,试求 DE 的长} （_{4）在线段 BD 的延长线上，是否存在点 C，使得 AC=CE，若存在，请求出 DE 的长及△AEC 的面积；若} 不存在，请说明理由．

20．如图 1 所示，抛物线

y ax



2



bx c



交_{x 轴于点}

A 4,0







和点

B 1,0

 

，交_{y 轴于点}

C 0,4

 

．

 

1

_{求抛物线的函数表达式；}

 

2

如图_{2 所示，若点 M 是抛物线上一动点，且}

S

AOM



3

S BOC _{，求点M 的坐标；}

 

3

如图_{3 所示，设点 N 是线段 AC 上的一动点，作}

PN x



轴，交抛物线于点_{P，求线段 PN 长度的最大} 值． 21．如图，已知抛物线经过 A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是 x=﹣1． （_{1）求抛物线对应的函数关系式；} （_{2）动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M 从 O 点出发以} 每秒_{3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 P，设} 运动的时间为_{t 秒．} ①当t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；

22．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以 A 为 顶点的抛物线_{y=ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动．同时动点 Q 从点 C 出发，} 沿线段CD 向点 D 运动．点 P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位．运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E． （_{1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；} （_{2）过点 E 作 EF⊥AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？} （_{3）在动点 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）存在点 H，使以 C，Q，E，} H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出 t 的值． 23．如图，平面直角坐标系

xOy

中点

A

的坐标为



1,1



，点 B 的坐标为

 

3,3

，抛物线经过

A

、

O

、

E

三 点，连接

OA OB AB

、

、

，线段

AB

交

y

轴于点

E

_. （1）求点

E

的坐标； （_{2）求抛物线的函数解析式；} （_3）点

F

为线段

OB

上的一个动点（不与点

O

、 B 重合），直线

EF

与抛物线交于

M

、

N

两点（点

N

在

y

_{轴右侧），连接}

ON BN

、

_{，当四边形}

ABNO

_{的面积最大时，求点}

N

_{的坐标并求出四边形}

ABNO

_面积的 最大值_. 24．如图 1,抛物线 2 1

1

₂

y ax





x c



与

x

轴交于点

A

和点

B

 

1,0

,与

y

轴交于点

3

0,

4

C 

_



_





_,抛物线

y

1_的顶点 为

G GM

,



x

轴于点

M

．将抛物线

y

1_{平移后得到顶点为 B 且对称轴为直}

l

_的抛物线

y

2_．

(1)求抛物线

y

2_{的解析式；} (2)如图 2,在直线

l

上是否存在点

T

_,使



TAC

是等腰三角形_{?若存在,请求出所有点}

T

的坐标_{:若不存在,请说} 明理由； (3)点 P 为抛物线

y

1_{上一动点,过点 P 作}

y

_{轴的平行线交抛物线}

y

2_于点

Q

_，点

Q

_关于直线

l

_{的对称点为}

R

_， 若以

P Q R

, ,

为顶点的三角形与



AMC

全等_,求直线

PR

的解析式． 25．如图．在平面直角坐标系中．抛物线 y＝

1

2

_{x2+bx+c 与 x 轴交于 A 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐} 标为（﹣_{1，0），点 C 的坐标为（0，﹣2）．已知点 E（m，0）是线段 AB 上的动点（点 E 不与点 A，B 重} 合）．过点_{E 作 PE⊥x 轴交抛物线于点 P．交 BC 于点 F．} （_{1）求该抛物线的表达式；} （_{2）当线段 EF，PF 的长度比为 1：2 时，请求出 m 的值；} （_{3）是否存在这样的 m，使得△BEP 与△ABC 相似？若存在，求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由．} 26．如图，已知一次函数

1

y

3

x b

 



的图像与_{x 轴交于 A（-6,0）与 y 轴相交于点 B，动点 P 从 A 出发，} 沿_{x 轴向 x 轴的正方向运动.} （_{1）求 b 的值，并求出△PAB 为等腰三角形时点 P 的坐标；} （2）在点 P 出发的同时，动点 Q 也从点 A 出发，以每秒

10

个单位的速度，沿射线AB 运动，运动时间 为_t（s）； ①点_{Q 的坐标（用含 t 的表达式表示）；} ②若点_{P 的运动速度为每秒 k 个单位，请直接写出当△APQ 为等腰三角形时 k 的值.}

27．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 OABC 的顶点 B（6，8），动点 M，N 同时从 O 点出发，点 M 沿射线_{OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动，点 N 沿线段 OB 方向以每秒 0.6 个单位的速度运动，当点 N} 到达点_{B 时，点 M，N 同时停止运动，连接 MN，设运动时间为 t（秒）．} （_{1）求证△ONM～△OAB；} （2）当点 M 是运动到点

25 ,0

3













_{时，若双曲线}

k

y

x



的图象恰好过点N，试求 k 的值； （_{3）△MNB 与△OAB 能否相似？若能试求出所有 t 的值，若不能请说明理由．} 28．如图，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于点 A（2，0），点 B（0，2

3

），动点_{D 以 1 个单位长度/秒的速} 度从点_{A 出发向 x 轴负半轴运动，同时动点 E 以}

3

个单位长度_{/秒的速度从点 B 出发向 y 轴负半轴运动，} 设运动时间为_{t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为} 点_{G，与 AB 相交于点 F}

（1）求∠OAB 度数； （_{2）当 t 为何值时，四边形 ADEF 为菱形，请求出此时二次函数解析式；} （_{3）是否存在实数 t，使△AGF 为直角三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由．} 29．已知边长为 4 的正方形 ABCD，顶点 A 与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点 C，动点 P 以每秒 1 个单位速度从点 A 出发沿 AB 方向运动，动点 Q 同时以每秒 4 个单位速度从 D 点出发沿正方形的边 DC→CB→BA 方向顺时针折线运动，当点 P 与点 Q 相遇时停止运动，设点 P 的运动时间为 t． ⑴求出该反比例函数解析式； ⑵连接_{PD，当以点 Q 和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD 全等时，求 t 值；} 30．综合与探究 如图_{1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+} 8 3_{x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点} C．点 A 坐标为（﹣1，0）．直线 l 为该抛物线的对称轴，且交直线 BC 于点 D．抛物线上有一动点 P，且横 坐标为m（4＜m＜9），连接 PD，过点 P 作 PE⊥l 于点 E．

（_{2）当△DEP 与△BOC 相似时，求 m 的值；} （_{3）如图 2，点 M 为直线 BC 上一动点，是否存在点 P，使得以点 A，C，P．M 为顶点的四边形是平行四} 边形？若存在，直接写出此时点P 和点 M 的坐标；若不存在，说明理由． 31．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其对称轴交抛物线于点 ， 交 轴于点 ，已知 _. ⑴求抛物线的解析式及点 的坐标； ⑵连接 为抛物线上一动点，当 时，求点 的坐标； ⑶平行于 轴的直线交抛物线于 两点，以线段 为对角线作菱形 ，当点 在 轴上，且 时，求菱形对角线 的长. 32．如图，已知直线

4

₄

3

y

 

x



与抛物线 2

8

3

y ax





x b



交于点

A

、

C

两点，抛物线与

x

轴另一交点 为 B_. （1）求抛物线的解析式； （_{2）若点 P 为直线}

AC

上一动点，点 P 从点

A

出发，沿

AC

以每秒_{1 个单位长度的速度向点}

C

作匀速运 动，设运动时间为

t s t 



0



_.当



PAO

与



ABC

相似时，求出点 P 的运动时间

t

； （3）点

M

是位于直线

AC

上方

y

轴上一点，点

N

为直线

AC

上一点，点

Q

为第一象限内抛物线上一动点，

是否存在以点

C

，

M

，

N

，

Q

为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点

N

的坐标；若不存在，请说 明理由. 33．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣3，0），B 两点，与 y 轴交 于点_{C，点 D 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴是 x＝﹣1，且与 x 轴交于 E 点．} （_{1）请直接写出抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；} （_{2）如图 2，连接 AD，设点 P 是线段 AD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 G，交 x 轴} 于点H，连接 AG、GD，当△ADG 的面积为 1 时， ①求点_{P 的坐标；} ②连接_{PC、PE，探究 PC、PE 的数量关系和位置关系，并说明理由;} （_{3）设 M 为抛物线上一动点，N 为抛物线的对称轴上一动点，Q 为 x 轴上一动点，当以 Q、M、N、E 为} 顶点的四边形为正方形时，请直接写出点_{Q 的坐标．} 34．已知二次函数

y ax



2



2

ax c a



(



0)

的图象与_{x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴} 交于点_{C，它的顶点为 P，直线}

CP

与过点_{B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且}

CP PD 

:

1: 2

（_{1）求 A、B 两点的坐标；} （2）若

tan



PDB



1

，求这个二次函数的关系式； （_{3）在（2）的基础上，将直线}

CP

先绕点_{C 旋转到与 x 轴平行，再沿 y 轴向上平移 1 个单位得直线 n，Q} 是直线_{n 上的动点，是否存在点 Q，使}



OPQ

为直角三角形？若存在，求出所有点_{Q 的坐标；若不存在，} 请说明理由．

35．如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y＝﹣

1

2

_{x+2 向下平移 1 个单位后，得到直线 l2，l2 交 x 轴于点} A，点 P 是直线 l1 上一动点，过点 P 作 PQ∥y 轴交 l2 于点 Q （_{1）求出点 A 的坐标；} （_{2）连接 AP，当△APQ 为以 PQ 为底边的等腰三角形时，求点 P 和点 Q 的坐标；} （3）点 B 为 OA 的中点，连接 OQ、BQ，若点 P 在 y 轴的左侧，M 为直线 y＝﹣1 上一动点，当△PQM 与 △_{BOQ 全等时，求点 M 的坐标．} 36．如图，在平面直角坐标系中，直线

y



3

x



4 3

分别交

x

轴、

y

轴于点

A

、

C

，直线

BC

与直线

AC

关于

y

轴对称，动点

D

从点

A

出发，沿

AC

以每秒_{2 个单位长度的速度向终点}

C

运动_.当点

D

出发后，过 点

D

作DE BC‖ 交折线

A O C

 

于点

E

，以

DE

为边向上作等边



DEF

，设



DEF

与



ACO

重叠部分 图形的面积为

S

.点

D

运动的时间为

t

秒.

（_{1）写出坐标：点}

A

（ ）， B （ ），

C

（ ）；

（_2）当点

E

在线段

AO

上时，求

S

与

t

之间的函数关系式；

（4）直接写出点

F

运动的路径长为 . 37．如图，在矩形

OABC

中，点

O

为原点，点

A

的坐标为



0,4 3



，点

C

的坐标为

 

4,0

，抛物线 2

3

2

y

 

x bx c





经过点

A

、

C

，与

AB

交于点

D

． 备用图 ⑴求抛物线的函数解析式； ⑵点 P 为线段

BC

上一个动点（不与点

C

重合），点

Q

为线段

AC

上一个动点，

2 3

3

AQ



CP

，连接

PQ

， 设

CP m



，



CPQ

的面积为

S

．求

S

关于

m

的函数表达式； ⑶抛物线 2

3

2

y

 

x bx c





的顶点为

F

，对称轴为直线

l

，当

S

最大时，在直线

l

上，是否存在点

M

， 使以

M

、

Q

、

D

、

F

为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出符合条件的点

M

的坐标；若不存在， 请说明理由． 38．如图，AB 是半圆 O 的直径，半径 OC⊥AB，OB＝4，D 是 OB 的中点，点 E 是弧 BC 上的动点，连接 AE，DE． （_{1）当点 E 是弧 BC 的中点时，求△ADE 的面积；}

3

tan



AED



（_{3）点 F 是半径 OC 上一动点，设点 E 到直线 OC 的距离为 m，当△DEF 是等腰直角三角形时，求 m 的值.} 39．如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是

 

0,2

，动点

A

从原点_{O 出发，沿着}

x

轴正方向移动，以

AB

为斜边在第一象限内作等腰直角三角形



ABP

，设动点

A

的坐标为

 

t,0 t 0



. (1)当

t 

2

时，点 P 的坐标是 ；当

t 

1

时，点 P 的坐标是 ； (2)求出点 P 的坐标(用含

t

的代数式表示)； (3)已知点

C

的坐标为

 

1,1

，连接

PC

、

BC

，过点 P 作

PQ y



轴于点

Q

，求当

t

为何值时，当



PQB

与

PCB



_全等. 40．如图所示抛物线

y ax bx c



2





过点

A 



1,0



，点

C

 

0,3

，且

OB OC



（_{1）求抛物线的解析式及其对称轴；} （_2）点

D E

,

在直线

x 

1

上的两个动点，且

DE 

1

，点

D

在点

E

的上方，求四边形

ACDE

的周长的最 小值； （_{3）点 P 为抛物线上一点，连接}

CP

，直线

CP

把四边形

CBPA

的面积分为_{3∶5 两部分，求点 P 的坐标.}

41．如图，在

Rt ABC



中，



C 90



，

AC 8cm



，

BC 6cm



．现在有动点

P

从点

B

出发，沿线段

BA

向终点 A 运动，动点

Q

从点 A 出发，沿折线

AC CB



向终点运动．如果点

P

的速度是

1cm /

秒，点

Q

的速 度是

2cm /

秒．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为

t

秒．

 

1

如图

1

，

Q

在

AC

上，当

t

为多少秒时，以点 A 、

P

、

Q

为顶点的三角形与



ABC

相似？

 

2

如图

2

，

Q

在

CB

上，是否存着某时刻，使得以点

B

、

P

、

Q

为顶点的三角形与



ABC

相似？若存在， 求出

t

的值；若不存在，请说明理由． 42．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ ， ），点 B 在 轴正半轴上，∠ABO=30°，动点 D 从 点_{A 出发，沿着射线 AB 方向以每秒 3 个单位的速度运动，过点 D 作 DE⊥ 轴，交 轴于点 E，同时，动} 点_{F 从定点 C（ ， ）出发沿 轴正方向以每秒 1 个单位的速度运动，连结 DO，EF，设运动时间为 秒.} （_{1）当点 D 运动到线段 AB 的中点时，} ①求 的值； ②判断四边形_{DOFE 是否是平行四边形，请说明理由；} （_{2）点 D 在运动过程中，以点 D，O，F，E 为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的 的值；} （_{3）过定点 C 做直线} ⊥ 轴，与线段_{DE 所在的直线相交于点 M，连结 EC，MF，若四边形 ECFM 为平}

43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点 A（﹣1，0）和点 C（0，4），交 x 轴正半 轴于点_{B，连接 AC，点 E 是线段 OB 上一动点（不与点 O，B 重合），以 OE 为边在 x 轴上方作正方形 OEFG，} 连接_{FB，将线段 FB 绕点 F 逆时针旋转 90°，得到线段 FP，过点 P 作 PH∥y 轴，PH 交抛物线于点 H，设} 点E（a，0）． （_{1）求抛物线的解析式．} （_{2）若△AOC 与△FEB 相似，求 a 的值．} （_{3）当 PH＝2 时，求点 P 的坐标．} 44．如图，矩形

OABC

的顶点

O

、

A

、

C

都在坐标轴上，点 B 的坐标为

 

8,3

，

M

是

BC

边 的中点． （_{1）求出点}

M

的坐标和



COM

的周长；（直接写出结果） （2）若点

Q

是矩形

OABC

的对称轴

MN

上的一点，使以

O

、

M

、

C

、

Q

为顶点的四边形是平行 四边形，求出符合条件的点

Q

的坐标； （_{3）若 P 是}

OA

边上一个动点，它以每秒

1

个单位长度的速度从

A

点出发，沿

AO

方向向点

O

匀速运动，设运动时间为

t

秒．是否存在某一时刻，使以 P 、

O

、

M

为顶点的三角形与



COM

相 似或全等_{? 若存在，求出此时}

t

的值；若不存在，请说明理由． 45．如图，在△ABC 中，已知

AC



3

cm BC

，



4

cm

，



BCA



90

，直线

CM BC CD AB



,



，动点 E 从点 C 开始沿射线 CB 方向以每秒

2cm

的速度运动，动点_{F 也同时从点 C 开始在直线 CM 上以每秒}

1cm

的速度运动，_{R 是线段 AB 上任意一点，设运动时间为}

t(

t



0)

秒_. （_{1）求 CD 的长.} （_{2）当 t 为多少时，}



ABE

为等腰三角形？ （_{3）当 t 为多少时，}



EBR

与



DCF

全等，并简要说明理由_. 46．（_{1）如图 1，}

Rt MBC



中，



MCB

 

90

，点

M

在数轴_{-1 处，点}

C

在数轴_{1 处，}

MA MB



，BC  ，1 则数轴上点

A

对应的数是 ． （2）如图 2，点

M

是直线y2x3上的动点，过点

M

作

MN

垂直

x

轴于点

N

，点 P 是

y

轴上的动点， 当以

M

，

N

， P 为顶点的三角形为等腰直角三角形时点

M

的坐标为 ．

【典例分析】 【考点_{1】动点之全等三角形问题} 【例_{1】如图，直线}

4

₄

3

y

 

x



与

x

轴和

y

轴分别交于

A B

,

两点，另一条直线过点

A

和点

C

(7,3)

_. (1)求直线

AC

的函数表达式_; (2)求证:

AB AC



; (3)若点 P 是直线

AC

上的一个动点，点

Q

是

x

轴上的一个动点，且以

P Q A

, ,

为顶点的三角形与 AOB 全 等，求点

Q

的坐标_. 【答案】₍₁₎

3

9

4

4

y



x



;(2)

AB

2



AD

2



BD

2; (3) 点

Q

的坐标为

(7,0)

或

(8,0)

或

( 1,0)



或

( 2,0)



【解析】（_1）在

y=-4

3

_{x+4 中，令 y=0，则}

0=-4

3

_{x+4，求得 A（3，0），设直线 AC 对应的函数关系式为 y=kx+b，} 解方程组即可得到结论； （_{2）在直线}

ABy=-4

3

_{x+4 中，得到}

k1=-4

3

，在直线_ACy＝

3

4

_x−

9

4

中，得到_k2=

3

4

，由于_{k1•k2=-1，即可} 得到结论； （3）根据勾股定理得到 AB=5，①当∠AQP=90°时，如图 1，由全等三角形的性质得到 AQ=OB=4，于是得 到_{Q1（7，0），Q2（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图 2，根据全等三角形的性质得到 AQ=AB=5，于是得} 到_{Q3（8，0），Q4（-2，0），③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在．} 【详解】（_1）在

y=-4

3

_{x+4 中，} 令y=0，则

0=-4

3

_x+4， ∴_x=3， ∴A（3，0）， 设直线_{AC 对应的函数关系式为 y=kx+b，}

则：

0 3

3 7

k b

k b







_



＝

＝

_，解得：

3

4

9

4

k

b









_



＝

＝

， ∴直线AC 对应的函数关系式为 y＝

3

4

x-9

4

_. (2) 在直线

ABy=-4

3

_{x+4 中，} ∵

k1=-4

3

， 在直线_ACy＝

3

4

_x−

9

4

中，_k2=

3

4

， ∴k1•k2=-1， ∴AB⊥AC；（3）在

y=-4

3

_{x+4 中，} 令_{x=0，则 y=4，} ∴OA=3，OB=4，由勾股定理得 AB=5， ①当∠_{AQP=90°时，如图 1，∵△AOB≌△AQP，} ∴_AQ=OB=4， ∴_{Q1（7，0），Q2（-1，0），} ②当∠_{APQ=90°时，如图 2，∵△AOB≌△AQP，} ∴AQ=AB=5， ∴_{Q3（8，0），Q4（-2，0）．} ③当∠_{PAQ=90°时，这种情况不存在，} 综上所述：点_{Q 的坐标为：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．} 【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知 识，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为 C,AC=2Cm,BC=6cm,射线 BM⊥BQ,垂足为 B,动点 P 从 C 点出发以 1cm/s

时，△_{BCA 与点 P、N、B 为顶点的三角形全等.(2 个全等三角形不重合)} 【答案】_{0；4；8；12} 【解析】此题要分两种情况：①当_{P 在线段 BC 上时，②当 P 在 BQ 上，再分别分两种情况 AC＝BP 或 AC} ＝_{BN 进行计算即可．} 【详解】解：①当P 在线段 BC 上，AC＝BP 时，△ACB≌△PBN， ∵_AC＝2， ∴BP＝2， ∴_{CP＝6−2＝4，} ∴点_{P 的运动时间为 4÷1＝4（秒）；} ②当_{P 在线段 BC 上，AC＝BN 时，△ACB≌△NBP，} 这时_{BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为 0 秒；} ③当P 在 BQ 上，AC＝BP 时，△ACB≌△PBN， ∵_AC＝2， ∴_BP＝2， ∴_{CP＝2＋6＝8，} ∴点_{P 的运动时间为 8÷1＝8（秒）；} ④当P 在 BQ 上，AC＝NB 时，△ACB≌△NBP， ∵_BC＝6， ∴_BP＝6， ∴_{CP＝6＋6＝12，} 点_{P 的运动时间为 12÷1＝12（秒），} 故答案为：0 或 4 或 8 或 12． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相 等时，角必须是两边的夹角． 【考点_{2】动点之直角三角形问题} 【例_{2】（模型建立）} （_{1）如图 1，等腰直角三角形}

ABC

中，



ACB



90

，

CB CA



，直线

ED

经过点

C

，过

A

作

AD ED



于点

D

，过 B 作

BE ED



于点

E

_.求证：



BEC

 

CDA

； （模型应用） （2）已知直线

l

1_：

4

₄

3

y



x



与坐标轴交于点

A

、 B ，将直线

l

1_绕点

A

_{逆时针旋转}

45

_至直线

l

2_{，如图2，} 求直线

l

2_{的函数表达式；} （_{3）如图 3，长方形}

ABCO

，

O

为坐标原点，点 B 的坐标为



8, 6





，点

A

、

C

分别在坐标轴上，点 P 是 线段

BC

上的动点，点

D

是直线

y

  

2

x

6

上的动点且在第四象限.若



APD

是以点

D

为直角顶点的等腰 直角三角形，请直接写出点

D

的坐标_. 【答案】（_{1）见解析；（2）y＝−7x−21；（3）D（4，−2）或（}

20

3

，

22

3



）_.

【解析】（_{1）根据△ABC 为等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定}



BEC

 

CDA

；

（_{2）①过点 B 作 BC⊥AB，交 l2 于 C，过 C 作 CD⊥y 轴于 D，根据△CBD≌△BAO，得出 BD＝AO＝3，} CD＝OB＝4，求得 C（−4，7），最后运用待定系数法求直线 l2 的函数表达式； （_{3）根据△APD 是以点 D 为直角顶点的等腰直角三角形，当点 D 是直线 y＝−2x＋6 上的动点且在第四象} 限时，分两种情况：当点_{D 在矩形 AOCB 的内部时，当点 D 在矩形 AOCB 的外部时，设 D（x，−2x＋6），} 分别根据△_{ADE≌△DPF，得出 AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．} 【详解】解：（_{1）证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，} ∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°， 又∵_{AD⊥ED，BE⊥ED，} ∴∠_{D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，} ∴∠_{ACD＝∠EBC，} 在△ACD 与△CBE 中，

D

E

ACD

EBC

CA CB

















＝

＝

＝

， ∴



BEC

 

CDA

（_AAS）；

∵∠_{BAC＝45°，} ∴△_{ABC 为等腰直角三角形，} 由（_{1）可知：△CBD≌△BAO，} ∴_{BD＝AO，CD＝OB，} ∵直线_l1：y＝

4

3

_{x＋4 中，若 y＝0，则 x＝−3；若 x＝0，则 y＝4，} ∴_{A（−3，0），B（0，4），} ∴_{BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，} ∴OD＝4＋3＝7， ∴_{C（−4，7），} 设_{l2 的解析式为 y＝kx＋b，则}

7

4

0

3

k b

k b

  



   



_， 解得：

7

21

k

b

 



  



_， ∴_{l2 的解析式为：y＝−7x−21；} （_{3）D（4，−2）或（}

20

3

，

22

3



）． 理由：当点_{D 是直线 y＝−2x＋6 上的动点且在第四象限时，分两种情况：}

当点_{D 在矩形 AOCB 的内部时，如图，过 D 作 x 轴的平行线 EF，交直线 OA 于 E，交 BC 于 F，}

设_{D（x，−2x＋6），则 OE＝2x−6，AE＝6−（2x−6）＝12−2x，DF＝EF−DE＝8−x，} 由（_{1）可得，△ADE≌△DPF，则 DF＝AE，即：12−2x＝8−x，}

解得x＝4， ∴_{−2x＋6＝−2，}

∴_{D（4，−2），}

此时，_{PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；}

当点D 在矩形 AOCB 的外部时，如图，过 D 作 x 轴的平行线 EF，交直线 OA 于 E，交直线 BC 于 F，

设D（x，−2x＋6），则 OE＝2x−6，AE＝OE−OA＝2x−6−6＝2x−12，DF＝EF−DE＝8−x， 同理可得：△_{ADE≌△DPF，则 AE＝DF，即：2x−12＝8−x，} 解得_x＝

20

3

， ∴_−2x＋6＝

22

3



， ∴_D（

20

3

，

22

3



）， 此时，ED＝PF＝

20

3

，AE＝BF＝

4

3

，BP＝PF−BF＝

16

3

＜6，符合题意， 综上所述，_{D 点坐标为：（4，−2）或（}

20

3

，

22

3



） 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的 性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角 形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用． 【变式2-1】（2019·辽宁中考模拟）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+4 的图象与 x 轴交于点 A(4，0)和点 D(﹣ 1，0)，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 BC 平行于 x 轴交抛物线于点 B，连接 AC (1)求这个二次函数的表达式； (2)点 M 从点 O 出发以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动；点 N 从点 B 同时出发，以每秒 1 个单位长度 的速度向点_{C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点 N 作 NQ 垂直于 BC 交 AC} 于点Q，连结 MQ. ①求△_{AQM 的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当 t 为何值时，S 有最大} 值，并求出_{S 的最大值；} ②是否存在点_{M，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．}

【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)①S=-t2+t+2；0≤t≤2；t＝

1

2

时，S 最大值＝

9

4

；②存在，点M 的坐标分别为 (1，0)和(2，0)． 【解析】_{(1)由待定系数法将 AD 两点代入即可求解．} (2)①分别用 t 表示出 AM、PQ，由三角形面积公式直接写出含有 t 的二次函数关系式，由二次函数的最大值 可得答案； ②分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出_{t，求得 M 坐标．} 【详解】(1)∵二次函数的图象经过 A(4，0)和点 D(﹣1，0)， ∴

16

4

4 0

4 0

a

b

a b



 



   



_， 解得

1

3

a

b

 



 



_， 所以，二次函数的解析式为_{y＝﹣x2+3x+4．} (2)①延长 NQ 交 x 轴于点 P， ∵_{BC 平行于 x 轴，C(0，4)} ∴B(3，4)，NP⊥OA． 根据题意，经过_{t 秒时，NB＝t，OM＝2t，} 则_{CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．} ∵∠_{BCA＝∠MAQ＝45°，} ∴_{QN＝CN＝3﹣t，} ∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t，

∴_S△AMQ=

1

2

_AM×PQ=

1

2

_(4-2t)(1+t) ＝﹣_t2+t+2． ∴

S=-t2+t+2=-(t-1

2

₎₂₊

9

4

． ∵a＝﹣1＜0，且 0≤t≤2，∴S 有最大值． 当_t＝

1

2

时，_{S 最大值＝}

9

4

． ②存在点_{M，使得△AQM 为直角三角形．} 设经过t 秒时，NB＝t，OM＝2t， 则_{CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，} ∴∵∠_{BCA＝∠MAQ＝45°．} Ⅰ．若∠_{AQM＝90°，} 则_{PQ 是等腰 Rt△MQA 底边 MA 上的高．} ∴PQ 是底边 MA 的中线， ∴_PQ＝AP＝

1

2

_MA， ∴_1+t＝

1

2

_(4﹣2t)， 解得，t＝

1

2

， ∴M 的坐标为(1，0)． Ⅱ．若∠_{QMA＝90°，此时 QM 与 QP 重合．} ∴_{QM＝QP＝MA，} ∴_{1+t＝4﹣2t，} ∴_t＝1， ∴点M 的坐标为(2，0)． 所以，使得△_{AQM 为直角三角形的点 M 的坐标分别为(1，0)和(2，0)．} 【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意利用点的坐标的意义表示线段 的长度，从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数． 【变式_{2-2】如图，四边形 ABCD 是正方形，以 DC 为边向外作等边△DCE，连接 AE 交 BD 于点 F，交 CD} 于点G，点 P 是线段 AE 上一动点，连接 DP、BP． （_{1）求∠AFB 的度数；} （_{2）在点 P 从 A 到 E 的运动过程中，若 DP 平分∠CDE，求证：AG•DP＝DG•BD；} （_{3）已知 AD＝6，在点 P 从 A 到 E 的运动过程中，若△DBP 是直角三角形，请求 DP 的长．}

【答案】_{(1) 60°；(2)见解析；(3) DP=6 或 DP＝3}

3

－_{3 或 DP＝3}

6 3 2



时，△_{DBP 是直角三角形} 【解析】（_{1）根据正方形的性质、等边三角形的性质解答；} （_{2）连接 AC，证明△DGP∽△AGC，根据相似三角形的对应边的比相等证明；} （_{3）根据正方形的性质、勾股定理分别求出 BD、OD，根据直角三角形的性质求出 DF，分∠BPD＝90°、} ∠BDP＝90°两种情况，根据相似三角形的性质计算． 【详解】（_{1）∵四边形 ABCD 是正方形，} ∴_{AB＝DC，∠ADC＝90°，} 又∵△_{DCE 是等边三角形，} ∴_{DE＝DC，∠EDC＝60°，} ∴DA＝DE，∠ADE＝150°， ∴∠_{DAE＝15°，} 又∠_{ADB＝45°，} ∴∠_{AFB＝∠DAF+∠ADF＝15°+45°＝60°；} （_{2）连接 AC，} ∠CAG＝∠CAD﹣∠DAG＝45°﹣15°＝30°， ∵_{DP 平分∠CDE，} ∴

1

₃₀

2

GDP

EDC





 



， ∴∠PDG＝∠CAG， 又∠_{DGP＝∠AGC，} ∴△_{DGP∽△AGC，} ∴

DG DP

AG AC



，即_{AG•DP＝DG•AC，} ∵_AC＝DB， ∴_{AG•DP＝DG•BD；} （_{3）连接 AC 交 BD 于点 O，则∠AOF＝90°，} ∵_AD＝6， ∴

0A 0D 3 2





， 在_{Rt△AOF 中，∠OAF＝30°，} ∴

OF



6,

AF



2 6

， ∴

FD 3 2





6

，

由图可知：_{0°＜∠DBP≤45°，} 则△_{DBP 是直角三角形只有∠BPD＝90°和∠BDP＝90°两种情形：} ①当∠BPD＝90°时， I、若点 P 与点 A 重合，∠BPD＝90°， ∴_{DP＝DA＝6；} II、当点 P 在线段 AE 上时，∠BPD＝90°， 连接_OP，

1

_{3 2}

2

OP OA





BD



， ∴∠_{OPA＝∠OAP＝30°，} ∴∠_{AOP＝120°，} ∴∠_{FOP＝∠AOP﹣∠AOF＝30°，} ∴∠DBP＝∠OPB＝15°， ∴∠_{FDP＝75°，} 又∠_{BAF＝∠BAD﹣∠DAF＝75°，} ∴∠_{BAF＝∠PDF，} 又∠_{AFB＝∠DFP，} ∴△BAF∽△PDF， ∴

DP DF

AB



AF

，即

3 2

6

6

2 6

DP

_



解得，

DP 

3 3 3



； ②当∠_{BDP＝90°时，∠DFP＝∠AFB＝60°，} ∴_{DP＝DF×tan∠DFP＝}

3(3 2



6) 3 6 3 2





， 综上，DP=6 或 DP＝3

3

－3 或 DP＝3

6 3 2



时，△DBP 是直角三角形． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角三角形的性 质，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【考点3】动点之等腰三角形问题 【例_{3】（2019·湖南中考真题）如图一，在射线}

DE

的一侧以

AD

为一条边作矩形

ABCD

，

AD 

5 3

， 5 CD  ，点

M

是线段

AC

上一动点（不与点

A

重合），连结BM，过点

M

作BM的垂线交射线

DE

于点

N

， 连接

BN

．

（_{1）求 CAD} 的大小； （_{2）问题探究：动点}

M

在运动的过程中， ①是否能使



AMN

为等腰三角形，如果能，求出线段

MC

的长度；如果不能，请说明理由． ②



MBN

的大小是否改变？若不改变，请求出



MBN

的大小；若改变，请说明理由． （_{3）问题解决：} 如图二，当动点

M

运动到

AC

的中点时，

AM

与

BN

的交点为

F

，

MN

的中点为 H ，求线段

FH

的长度． 【答案】（_1）



CAD



30

；（_{2）①能，}

CM

的值为_{5 或}

5 3

；②大小不变，



MBN



30

；（_3）

5 3

6



FH

. 【解析】（1）在

Rt ADC



中，求出



DAC

的正切值即可解决问题． （_{2）①分两种情形：当}

NA NM



时，当

AN AM



时，分别求解即可． ②



MBN



30

．利用四点共圆解决问题即可． （_{3）首先证明 ABM} 是等边三角形，再证明

BN

垂直平分线段

AM

，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：（_{1）如图一（1）中，} ∵四边形

ABCD

是矩形，

∴



ADC



90

， ∵

DC

5

3

tan

AD

5 3

3



CAD







， ∴



CAD



30

． （_{2）①如图一（1）中，当}

AN NM



时， ∵



BAN

 

BMN



90

，

BN BN



，

AN NM



， ∴

 

Rt

BNA

 

Rt

BNM HL

(

)

， ∴

BA BM



，

在

Rt ABC



中，∵



ACB

 

DAC



30

，

AB CD





5

，

∴

AC



2

AB



10

， ∵



BAM



60

，

BA BM



， ∴ ABM 是等边三角形， ∴

AM AB





5

， ∴

CM AC AM







5

． 如图一（_{2）中，当}

AN AM



时，易证



AMN

 

ANM



15

， ∵



BMN



90

， ∴



CMB



75

，∵



MCB



30

， ∴



CBM



180 75 30













75

， ∴



CMB

 

CBM

，

∴

CM CB





5 5

， 综上所述，满足条件的

CM

的值为_{5 或}

5 3

． ②结论：



MBN



30

大小不变． 理由：如图一（_{1）中，∵}



BAN

 

BMN



180

， ∴

A B M N

, , ,

四点共圆， ∴



MBN

 

MAN



30

． 如图一（_{2）中，∵}



BMN

 

BAN



90

， ∴

A N B M

, , ,

四点共圆， ∴



MBN

 

MAN



180

， ∵



DAC

 

MAN



180

， ∴



MBN

 

DAC



30

， 综上所述，



MBN



30

． （_{3）如图二中，} ∵

AM MC



， ∴

BM AM CM





， ∴

AC



2

AB

， ∴

AB BM AM





， ∴ ABM 是等边三角形， ∴



BAM

 

BMA



60

，

∵



BAN

 

BMN



90

， ∴



NAM

 

NMA



30

， ∴

NA NM



， ∵

BA BM



， ∴

BN

垂直平分线段

AM

， ∴

5

2

FM 

， ∴

5 3

cos30

3

FM

NM



_



， ∵



NFM



90

，

NH HM



， ∴

1

5 3

2

6

FH



MN



． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三 角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式_{3-1】如图①，已知正方形}

ABCD

边长为_{2，点 P 是}

AD

边上的一个动点，点

A

关于直线

BP

的对称 点是点

Q

，连结

PQ

、

DQ

、

CQ

、

BQ

_{.设 AP=x.} （1）当

x 

1

时，求

BP

长； （_{2）如图②，若}

PQ

的延长线交

CD

边于

E

，并且



CQD



90

o ，求证：



CEQ

为等腰三角形； （_{3）若点 P 是射线}

AD

上的一个动点，则当



CDQ

为等腰三角形时，求

x

的值_.