booka52/lt99a521 三角函數的性質與圖形

第二 章 三 角 函數

2-1 三 角 函 數 的 性 質 與 圖 形

在 物 理 學 的 課 程 中 ﹐ 我 們 知 道 ﹕ 在 水 平 面 上 作 等 速 率 圓 周 運 動 的 物 體 ﹐ 若 以 平 行 光 從 側 面 照 射 ﹐ 則 在 屏 幕 上 物 體 的 影 子 會 沿 一 直 線 作 簡 諧 運 動 ﹒ 簡 諧 運 動 是 一 種 週 期 性 的 運 動 ﹐ 我 們 常 使 用 正 弦 函 數 與 餘 弦 函 數 來 描 述 它 ﹒ 本 節 我 們 將 從 引 進 角 的 另 一 種 度 量 單 位 開 始 ﹐ 探 討 三 角 函 數 的 性 質 與 它 們 的 圖 形 ﹒

甲 ﹑ 弧 度 ﹑ 弧 長 與 扇 形 面 積

在 測 量 角 度 時 ﹐ 除 了 「 度 」 之 外 ﹐ 在 數 學 上 還 有 一 種 稱 為 「 弧 度 」 的 度 量 單 位 ﹐ 介 紹 如 下 ﹕ 設 圓 O 的 半 徑 為 r﹐ 如 圖 2 所 示 ﹒ 在 圓 周 上 取 一 段 弧 PQ﹐ 使 得 圓 弧 PQ的 弧 長 等 於r﹐ 規 定 這 一 段 圓 弧 PQ所 對 的 圓 心 角POQ的 大 小 為 1 弧 度 ﹒ 如 果 圓 弧 PR的 弧 長 等 於 2r﹐ 那 麼 它 所 對 的 圓 心 角 POR  的 大 小 就 是 2r 2 r  弧 度 ﹒ 一 般 而 言 ﹐ 我 們 有 ▲圖 1 P Q R O r r r

弧 長 與 弧 度 弧 長

s

的 圓 弧 所 對 圓 心 角 的 弧 度 數﹐ 就 是 弧 長

s

與 半 徑r的 比 值 s r ﹐ 即 s r   ﹒ 此 定 義 之 弧 度 與 半 徑r無 關 ﹒ 因 為 半 圓 的 弧 長 為



r

﹐ 所 以 半 圓 所 對 的 圓 心 角 等 於 r r  _{弧 度 ﹒} 又 由 於 半 圓 所 對 的 圓 心 角 為 180﹐ 因 此 度 與 弧 度 有 下 列 的 互 換 關 係 ﹕ 180 弧 度 ﹒ 利 用 這 個 互 換 關 係 ﹐ 我 們 可 以 推 得 度 與 弧 度 之 間 的 換 算 公 式 ﹕ 度 與 弧 度 的 換 算 公 式 1 180    弧 度 ﹔ 1 弧 度 180     _ _ ﹒ 因 為 圓 周 率 3.14159﹐ 所 以 1 弧 度 180 57.2958 3.14159   _{ }     ﹒ 圖 3 就 是 1 弧 度 的 大 小 ﹒ s O r O r r 1弧度

【 例 題 1】 (1) 將 60﹐ 110化 為 弧 度 ﹒ (2) 2 5  _{弧 度 與 2 弧 度 分 別 等 於 多 少 度 ﹖} Ans： (1) 3  _{弧 度 ，}11 18  弧 度 ， (2) 72， 360        【 詳 解 】 利 用 度 與 弧 度 的 換 算 公 式 ﹐ 得 (1) 60 60 180     弧 度 3   弧 度 ﹒ 110 110 180     弧 度 11 18   弧 度 ﹒ (2) 2 5  _{弧 度} 2 1 8 0 72 5      _{ }    ﹒ 2 弧 度 2 1 8 0 3 6 0        _{ } _{ }     ﹒ 【 隨 堂 練 習 1】 下 表 是 度 與 弧 度 的 換 算 ﹐ 請 完 成 下 表 ﹒ 度 0 30 45 90 135 150 360 弧度 0 4  3  2 3  _ 3 2  Ans： 見 詳 解 【 詳 解 】 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   3 2  2 設 圓 O 的 半 徑 為 r﹐ P與Q為 圓 周 上 兩 點 ﹐ 如 圖 4 所 示 ﹒ 當 扇 形 P O Q的 圓 心 角 POQ為弧 度 時 ﹐ 扇 形 的 弧 長

s

與 面 積 A要 如 何 計 算 呢 ﹖ P Q O r s

因 為 弧 長

s

與 半 徑 r的 比 值 就 是 圓 心 角 的 弧 度 數 ﹐ 即 s r   ﹐ 所 以 sr﹒ 又 因 為 扇 形 面 積 A與 圓 面 積 2 r  之 比 等 於 其 所 對 應 圓 心 角 之 比 ﹐ 所 以 由 比 例 式 2 2 A r     ﹐ 推 得 1 2 2 A r ﹒ 因 此 我 們 有 底 下 的 公 式 ﹕ 扇 形 的 弧 長 與 面 積 公 式 ： 若 扇 形 的 半 徑 為r﹐ 圓 心 角 的 大 小 為弧 度 ﹐ 則 扇 形 的 弧 長

s

與 面 積 A有 底 下 的 公 式 ﹕ sr且 1 2 2 A r ﹒ 要 注 意 的 是 ﹕ 上 述 公 式 中 圓 心 角 的 大 小 是 以 弧 度 為 單 位 ﹒ 【 例 題 2】 已 知 扇 形 的 半 徑 為 10﹐ 圓 心 角 為 72﹐ 求 扇 形 的 弧 長 與 面 積 ﹒ Ans：弧 長 4﹐ 面 積 20 【 詳 解 】 因 為7 2 7 2 180     弧 度 2 5   弧 度 ﹐ 所 以 利 用 弧 長 與 面 積 公 式 ﹐ 得 弧 長 為 2 10 4 5 sr      ﹐ 面 積 為 2 2 1 1 2 10 20 2 2 5 A r       ﹒ 【 隨 堂 練 習 2】 已 知 扇 形 的 半 徑 為 6﹐ 弧 長 為 4 ﹐ 求 其 圓 心 角 的 大 小 及 面 積 ﹒ Ans：圓 心 角 120﹐ 面 積 12 s 10 10 72

【 詳 解 】 設 圓 心 角 為（ 弧 度 ）﹐ 此 時 6  4  2 120 3    ﹒ 又 面 積 為 1 2 2 6 12 2 3  _    ﹒ 我 們 在 第 三 冊 時 引 進 了 廣 義 角 的 概 念 ﹐ 知 道 廣 義 角 的 度 數 可 以 是 任 意 實 數 ﹒ 現 在 將 度 與 弧 度 的 換 算 公 式 延 伸 至 廣 義 角 ﹐ 使 得 有 向 角 的 弧 度 數 也 可 以 是 任 意 實 數 ﹒ 例 如 ﹕ 若3000﹐ 則 3000 50 180 3       弧 度 ﹔ 若 5 4     弧 度 ﹐ 則 5 180 225 4        _{ }     ﹒ 【 隨 堂 練 習 01】 問 ﹕1200是 多 少 弧 度 ﹖ 又 50 3  弧 度 是 多 少 度 ﹖ Ans： 20 3   弧 度 ﹐ 3000 【 詳 解 】 1200 1200 180       弧 度 20 3    弧 度 ﹒ 50 3  弧 度 5 0 (1 8 0) 3 0 0 0 3       ﹒ 

乙 ﹑ 三 角 函 數 的 基 本 性 質

在 第 三 冊 中 ﹐

我 們 已 經 定 義 過 sin , cos  及 tan三 個 三 角 函 數 值 ﹐

6 6

那 時 的 角 是 以 度 為 單 位 ﹐ 現 在 我 們 可 以 使 用 弧 度 做 為 角的 單 位 ﹒ 又 習 慣 上 ﹐ 我 們 使 用 弧 度 為 單 位 時 ﹐ 常 把 「 弧 度 」 兩 字 省 略 不 寫 ﹐ 例 如 ﹕ 角 3    的 意 思 就 是 說 3    弧 度 ﹐ 即 60 ﹒ 也 就 是 說 ﹐ 若 有 符 號 「」﹐ 則 單 位 為 度 ﹔ 否 則 為 弧 度 ﹒ 底 下 我 們 就 來 計 算 幾 個 以 弧 度 為 單 位 的 三 角 函 數 值 ﹒ 【 例 題 3】 求 下 列 各 式 的 值 ﹕ (1) sin 4  _{﹒ (2) cos} 3



_     ﹒ (3) 3 tan 4  _﹒ Ans：(1) 2 2 ， (2) 1 2 ， (3) 1 【 詳 解 】 (1) 因 為s i n 4  的 意 思 是sin( ) 4  弧度 ﹐ 又 4  弧 度 (180) 45 4       ﹐ 所 以s i n s i n 4 5 2 4 2  _{   ﹒} (2) cos( ) cos( 60 ) 1 3 2       ﹒ (3) tan3 tan135 1 4  _{   } ﹒ 【 隨 堂 練 習 3】 求 下 列 各 式 的 值 ﹕ (1) sin 2  ﹒ (2)cos﹒ (3) tan( ) 6   ﹒ Ans：(1) 1， (2) 1， (3) 3 3 

【 詳 解 】 (1) sin sin 90 1 2  _{  } ﹒ (2) cos＝ cos180＝1﹒ (3) tan( ) tan( 30 ) 3 6 3        ﹒ 除 了s i n , c o s 及 tan外 ﹐ 我 們 再 定 義 三 個 三 角 函 數 值 ﹐ 一 併 整 理 如 下 ﹕ 三 角 函 數 值 的 定 義 ： 設 是 一 個 標 準 位 置 角 ﹐ 在的 終 邊 上 任 取 異 於 原 點 的 一 點 P x y

 

, ﹐ 令OPr﹐ 則r x2y2 ﹒ 規 定 角的 六 個 三 角 函 數 值 如 下 ﹕ sin y r   （ 正 弦 ）﹐ cos x r   （ 餘 弦 ）﹐ tan y x   ﹐ x0（ 正 切 ）﹐ cot x y



 ﹐ y0（ 餘 切 ）﹐ sec r x   ﹐ x0（ 正 割 ）﹐ csc r y   ﹐ y0（ 餘 割 ）﹒ y x O P(x,y) y x O P(x,y) y x O P(x,y) y x O P(x,y)

【 說 例 】 當 P



4,3



為 標 準 位 置 角 終 邊 上 的 一 點 時 ﹐ 因 為 x 4,y3﹐ 所 以

 

2 2 4 3 5 r    ﹐ 如 圖 5 所 示 ﹒ 由 定 義 ﹐ 得 角 的 六 個 三 角 函 數 值 為 3 4 sin , cos , 5 5 3 4 tan , cot , 4 3 5 5 sec , csc . 4 3 y x r r y x x y r r x y                       要 特 別 注 意 的 是 ﹕ 這 些 定 義 只 有 在 比 值 有 意 義 （ 即 分 母 不 為 0） 的 情 況 下 才 能 成 立 ﹐ 而 且 任 兩 個 同 界 角 的 三 角 函 數 值 相 等 ﹒ 又 六 個 三 角 函 數 値 中 有 三 組 互 成 倒 數 關 係 ﹕ 倒 數 關 係 式 ： 當 出 現 的 三 角 函 數 值 都 有 定 義 時 ﹐ 下 列 關 係 式 成 立 ﹕ 1 1 1 cot , sec , csc

tan cos sin

         ﹒ 現 在 利 用 倒 數 關 係 式 求 三 角 函 數 值 ﹒ 【 例 題 4】 求 下 列 各 式 的 值 ﹕ (1) cot4 3  ﹒ (2) sec2 3  ﹒ (3) csc3 2  ﹒ Ans：(1) 3 3 ， (2) 2， (3) 1 【 詳 解 】 y x O P( 4,3)

利 用 倒 數 關 係 式 計 算 如 下 ﹕ (1) 因 為 t a n4 3 3  _ ﹐ 所 以 c o t4 1 3 3 3 3  _{ } ﹒ (2) 因 為cos2 1 3 2  _{ } ﹐ 所 以s e c2 2 3  _{ } ﹒ (3) 因 為s i n3 1 2    ， 所 以c s c3 1 2    . 【 隨 堂 練 習 4】 求 下 列 各 式 的 值 ﹕ (1) cot2 3  ﹒ (2) sec0﹒ (3) csc5 3  ﹒ Ans：(1) 3 3  ， (2) 1， (3) 2 3 3  【 詳 解 】 (1) 因 為 t a n2 3 3  _{ } ﹐ 所 以c o t2 1 3 3 3 3  _{   } ﹒ (2) 因 為 cos0＝ 1﹐ 所 以 sec0＝ 1﹒ (3) 因 為sin5 3 3 2  _{ } ﹐ 所 以c s c5 2 2 3 3 3 3      ﹒ 除 了 倒 數 關 係 式 外 ﹐ 由 三 角 函 數 值 的 定 義 ﹐ 可 推 得 商 數 關 係 式 ﹕ sin tan cos y y _r x x r       （ x0）﹐ cos cot sin x x _r y y r       （ y0）﹒

商 數 關 係 式 ： 當 出 現 的 三 角 函 數 值 都 有 定 義 時 ﹐ 下 列 關 係 式 成 立 ﹕ sin cos tan , cot cos sin         ﹒ 此 外 ﹐ 將 平 方 關 係 式 2 2 sin cos  1的 等 號 兩 邊 分 別 除 以 2 s i n（ 此 時 s i n  0） 與 2 cos （ 此 時 cos0）﹐ 可 再 得 另 兩 個 平 方 關 係 式 ﹕ 2 2 2 2 cos 1 1 1 cot csc sin sin  _{ }       _{ } _{ }        ﹐ 2 2 2 2 sin 1 1 tan 1 sec cos cos  _{ }     _{ }  _{  }         ﹒ 平 方 關 係 式 ： 當 出 現 的 三 角 函 數 值 都 有 定 義 時 ﹐ 下 列 關 係 式 成 立 ﹕ 2 2 2 2 2 2

sin cos 1, 1 tan  sec , 1 cot csc ﹒

有 了 倒 數 ﹑ 商 數 與 平 方 關 係 式 ﹐ 只 要 知 道 角的 某 一 個 三 角 函 數 值 及 所 在 的 象 限 ﹐ 就 可 以 求 出 其 他 的 三 角 函 數 值 ﹒ 【 例 題 5】 已 知cos 3 5   且 是 第 四 象 限 角 ﹐ 求 的 其 他 三 角 函 數 值 ﹒ Ans：sin 4 5    ﹐ tan 4 3    ﹐cot 3 4    ﹐sec 5 3   ﹐csc 5 4    【 詳 解 】 由 2 2 sin cos  1可 得 2 s i n   1 c o s ﹐ 因 為 是 第 四 象 限 角 ﹐ sin <0﹐ 所 以 2 sin   1 cos  2 3 4 1 5 5     _{ }     ﹒ 由 商 數 關 係 式 ﹐ 得

4 sin ₅ 4 tan 3 cos 3 5         ﹒ 再 由 倒 數 關 係 式 ﹐ 得 1 3 cot tan 4      ﹐ 1 5 sec cos 3     ﹐ 1 5 csc sin 4      ﹒ 【 隨 堂 練 習 5】 已 知sin 5 13   且 是 第 三 象 限 角 ﹐ 求 tan及 sec的 值 ﹒ Ans： tan 5 12   ﹐sec 13 12    【 詳 解 】 由 sin2  cos2  1 可 得_{c o s}  _{1 s i n}2 _﹐ 因 為 是 第 三 象 限 角 ﹐ cos  0﹐ 所 以 2 5 2 12 cos 1 sin 1 ( ) 13 13            ﹒ 由 商 數 關 係 式 ﹐ 得 5 sin ₁₃ 5 tan 12 cos 12 13         ﹒ 再 由 倒 數 關 係 式 ﹐ 得sec 1 13 cos 12      ﹒ 倒 數 ﹑ 商 數 與 平 方 關 係 式 可 以 幫 助 我 們 求 值 ﹒ 【 例 題 6】 已 知 sincos  2﹐ 求 下 列 各 式 的 值 ﹕

Ans：(1) 1

2， (2) 2， (3) 2 2 【 詳 解 】

(1) 將sincos  2的 等 號 兩 邊 平 方 ﹐ 得

2 2

sin 2sincoscos  2﹒

因 為 2 2 sin cos  1﹐ 所 以 1 2sin cos 2﹒ 解 得 s i n c o s=1 2 ﹒ (2) 利 用 商 數 關 係 式 ﹐ 得 sin cos tan cot cos sin          2 2 sin cos 1 2 1 sin cos 2          ﹒ (3) 利 用 倒 數 關 係 式 ﹐ 得 seccsc  1 1 cos sin sin cos sin cos        2 2 2 1 2   ﹒ 【 隨 堂 練 習 6】 已 知sin cos 1 2    ﹐ 求 下 列 各 式 的 值 ﹕

(1) sincos﹒ (2) tancot﹒ (3) seccsc﹒

Ans：(1) 3 8， (2) 8 3， (3) 4 3 【 詳 解 】 (1) 因 為 2 2 2 1

(sin cos ) sin 2sin cos cos 1 2sin cos 4            ﹐ 所 以s i n c o s 3 8    ﹒ (2) 2 2

sin cos sin cos 1

tan cot

cos sin sin cos sin cos

                     8 3﹒

(3)

1

1 1 sin cos ₂ 4

sec csc

3

cos sin sin cos 3

8                 ﹒ 對 定 義 域 內 的 角 都 成 立 的 式 子 ﹐ 我 們 稱 為 恆 等 式 ﹒ 現 在 我 們 應 用 倒 數 ﹑ 商 數 與 平 方 關 係 式 來 證 明 恆 等 式 ﹒ 【 例 題 7】 當 出 現 的 三 角 函 數 值 都 有 定 義 時 ﹐ 證 明 恆 等 式 ﹕ sec csc sin cos tan cot   _{ }    _{ }  ﹒ 【 證 明 】 1 1

sec csc _{cos sin} sin cos tan cot cos sin   _{ }         _  _ （ 商 數 關 係 與 倒 數 關 係 ） 2 2 sin cos sin cos        （ 分 子 與 分 母 同 乘sin cos ） sin cos   ﹒ （ 平 方 關 係 ） 【 隨 堂 練 習 7】 當 出 現 的 三 角 函 數 值 都 有 定 義 時 ﹐ 證 明 恆 等 式 : tancot seccsc﹒

Ans：見 詳 解

【 詳 解 】

2 2

sin cos sin cos 1 1 1

tan cot sec csc

cos sin sin cos sin cos cos sin

                            ﹒

丙 ﹑ 三 角 函 數 的 圖 形

給 定 一 個 廣 義 角 x ﹐ 在 三 角 函 數 値 存 在 的 情 形 下 ﹐

三 角 函 數 值sin , cos , tan , cot ,secx x x x x與 csc x 都 隨 之 唯 一 確 定 ﹐

因 此 它 們 都 是 x 的 函 數 ﹐ 依 序 稱 為 正 弦 函 數 ﹐ 餘 弦 函 數 ﹐ 正 切 函 數 ﹐ 餘 切 函 數 ﹐ 正 割 函 數 與 餘 割 函 數 ﹐ 並 將 這 六 個 函 數 統 稱 為 三 角 函 數 ﹒ 當 我 們 將 角 度 以 弧 度 表 示 並 去 除 單 位 時 ﹐ 三 角 函 數 也 可 以 看 做 是 實 數 對 應 到 實 數 的 函 數 ﹒ 現 在 我 們 將 角 度 以 弧 度 表 示 ﹐ 描 繪 六 個 三 角 函 數 的 圖 形 ﹐ 並 討 論 它 們 的 特 性 ﹕ (一 )正 弦 函 數 ysinx 描 繪 函 數 圖 形 最 直 接 的 方 法 就 是 描 點 法 ﹕ 首 先 對 某 些 特 殊 的 x 值 求 出 其 對 應 的 函 數 值 y﹐ 並 列 表 如 下 ﹕ x 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   5 4  3 2  7 4  2 y ₀ 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 2 2  1 2 2  0 接 著 利 用 上 表 在 坐 標 平 面 上 標 出 這 些 點 ﹐ 並 用 平 滑 曲 線 連 起 來 ﹒ 就 可 以 得 到 函 數 sin y x在0 x 2上 的 圖 形 ﹐ 如 圖 6 所 示 ﹕ 2 x y O 3 2 2 1 1 ▲ 圖 6

除 此 之 外 ﹐ 我 們 也 可 以 利 用 下 述 方 法 來 描 繪 正 弦 函 數 的 圖 形 ﹕ 在 坐 標 平 面 上 ﹐ 以 原 點O為 圓 心 ﹐ 作 一 單 位 圓 ﹐再 以 x 軸 正 向 為 始 邊 ﹐作 一 有 向 角﹐如 圖 7 所 示 ﹒ 設 此 有 向 角 的 終 邊 交 此 單 位 圓 於 P 點 ﹐ 根 據 三 角 函 數 值 的 定 義 ﹐ 得 P 點 的 坐 標 為



cos ,sin 



﹐ 即 P 點 的 y 坐 標 為 sin﹒ 由 圖 7﹐ 當 角由0逐 漸 增 加 到2 時 ﹐sin之 值 的 變 化 情 形 可 以 用 線 段 的 顏 色 （ 紅 色 表 正 ﹐ 綠 色 表 負 ） 與 長 短 （ 絕 對 值 愈 大 長 度 愈 長 ） 表 示 ﹐ 如 圖 8 ( )a 所 示 ﹕ x y O _(1,0) (0,1) (0, 1) ( 1,0) 2 x y O 3 2 2 1 1 (a) ( b) ▲ 圖 8 我 們 可 以 觀 察 到 以 下 的 現 象 ﹕ (1) 當從 0 增 加 到 2  時 ﹐P 點 的 y 坐 標 （ sin的 值 ） 就 從 0 逐 漸 增 加 到 1﹔ (2) 當從 2  增 加 到時 ﹐P 點 的 y 坐 標 （s i n的 值 ） 就 從 1 逐 漸 減 少 到 0﹔ (3) 當從增 加 到 3 2  時 ﹐P 點 的 y 坐 標 （ s i n的 值 ） 就 從 0 逐 漸 減 少 到 1 ﹔ (4) 當從 3 2  增 加 到 2 時 ﹐P 點 的 y 坐 標 （s i n的 值 ） 就 從 1 逐 漸 增 加 到 0﹒ 因 此 ﹐ 當 我 們 令 變 數 x﹐ 且 在0 x 2範 圍 內 時 ﹐ sin x的 值 由 0 遞 增 到 1﹐ 再 由 1 遞 減 到 1 ﹐ 然 後 又 由 1 遞 增 到 0﹒ 有 了 上 述 的 討 論 ﹐ 我 們 可 描 繪 出 函 數 ysinx在 0 x 2上 的 圖 形 ﹐ 如 圖 8 ( )b 所 示 ﹒ 由 等 式 s i n 2



 x



 s i nx恆 成 立 ﹐ 可 以 知 道 ﹕ x y O P(cos ,sin ) (1,0) (0,1) (0, 1) ( 1,0) 1

 sin y x在 2  x 4上 的 圖 形 與 在0 x 2上 的 圖 形 完 全 相 同 ﹒ 所 以 只 要 把 ysinx在0 x 2 上 所 畫 的 圖 形 逐 次 向 右 或 向 左 平 移 2 單 位 ﹐ 就 可 得 到 ysinx的 全 部 圖 形 ﹐ 描 繪 如 下 ﹒ 2 3 4 2 x y O y= sinx 1 1 ▲ 圖 9 像 這 種 具 有 每 隔 固 定 單 位 之 後 圖 形 就 會 重 複 出 現 的 函 數 ﹐ 我 們 稱 為 週 期 函 數 ﹒ 一 般 而 言 ﹐ 我 們 有 週 期 函 數 ： 當 函 數 y f

 

x在 x 軸 的 方 向 每 隔 p 單 位 就 重 複 一 段 相 同 的 圖 形 時 ﹐ 也 就 是 說 ﹐ 可 找 到 正 數 p ﹐ 使 得





 

f x p  f x 恆 成 立 ﹐ 則 稱 此 函 數 f x 為 週 期 函 數 ﹒

 

又 如 果 滿 足 上 述 性 質 的 最 小 正 數 p 存 在 時 ﹐ 稱 此 週 期 函 數 的 週 期 為 p ﹒ 例 如 ﹕ 因 為 對 任 意 實 數 x ﹐ 等 式





sin x2 sinx 恆 成 立 ﹐ 所 以 函 數 ysinx是 週 期 函 數 ﹒ 又 由 ys i nx的 圖 形 知 道 在2 的 範 圍 內 ﹐ 並 沒 有 圖 形 重 複 的 現 象 ﹐ 因 此 2 是 滿 足 這 個 性 質 最 小 的 正 數 ﹐ 所 以 函 數 ysinx的 週 期 是 2 ﹒ 我 們 再 進 一 步 來 討 論 正 弦 函 數 ysinx的 特 性 ﹕ (1) 定 義 域 ﹕ 因 為 對 任 意 實 數 x ﹐ sin x都 有 意 義 ﹐ 所 以 正 弦 函 數 的 定 義 域 為 全 體 實 數 ﹒ (2) 値 域 ﹕ 因 為 正 弦 函 數 的 應 變 數 y 之 範 圍 為1≦ y≦ 1﹐ 所 以 其 値 域 為



y   1 y 1,y



﹒ (3) 週 期 ﹕ 由 正 弦 函 數 的 圖 形 可 知 其 週 期 為 2 ﹒

(4) 對 稱 性 ﹕ 觀 察 正 弦 函 數 的 圖 形 ﹐ 可 得  圖 形 對 稱 於 通 過 最 高 點 或 最 低 點 的 鉛 直 線 （ 例 如 直 線 2 x 或 3 2 x  ） ﹒  因 為 對 於 任 意 實 數 x ﹐ 等 式s i n

 

  x s i nx恆 成 立 ﹐ 即 當 點



x y₀, ₀



在 圖 形 上 時 ﹐ 點



x₀,y₀



也 會 落 在 圖 形 上 ﹐ 故 圖 形 對 稱 於 原 點 ﹒ 至 此 ﹐ 我 們 已 對 正 弦 函 數 的 圖 形 及 特 性 有 相 當 的 認 識 ﹒ 現 在 我 們 藉 助 sin y x的 圖 形 及 圖 形 平 移 的 概 念 來 畫 函 數 圖 形 ﹕ 【 例 題 8】 利 用 ysinx的 圖 形 畫 出 下 列 各 函 數 的 圖 形 ﹐ 並 求 其 週 期 ﹑ 最 大 值 及 最 小 值 ﹕ (1) ysinx1﹒ (2) sin 4 y _x _  ﹒ Ans：(1) 圖 見 解 析 ﹐ 週 期 2﹐ 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 0; (2) 圖 見 解 析 ﹐ 週 期 2﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 1 【 詳 解 】

(1) 比 較 y＝ sinx 與 y＝ sinx ＋ 1 的 幾 個 特 殊 函 數 值 ﹕ x y 0 ₂   3 2  2 sin y x 0 1 0 1 0 sin 1 y x 1 2 1 0 1 一 般 而 言 ﹐ 當



x y0, 0



滿 足 ys i nx時 ﹐



x y0, 01



滿 足 ys i nx 1﹒ 因 此 只 要 將 ysinx的 圖 形 向 上 平 移 1 單 位 就 可 得 到 sin 1 y x 的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕ 2 3 4 O 2 x y 1 2 1 y = sinx1 y = sinx 故 函 數 ys i nx 1的 週 期 是 2 ﹐ 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 0﹒

(2) 比 較 ys i nx與 sin 4 y _x _  的 幾 個 特 殊 函 數 值 ﹕ x y 0 ₄  2  3 4   sin y x 0 2 2 1 2 2 0 sin 4 y _x _   2 2  0 2 2 1 2 2 一 般 而 言 ﹐ 當



x y0, 0



滿 足 ys i nx時 ﹐ 0 , 0 4 x  y  _     滿 足 y s i n x 4     _  _  ﹒ 因 此 只 要 將 ysinx的 圖 形 向 右 平 移 4  單 位 就 可 得 到 sin 4 y _x _  的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕ 2 3 4 2 x y O y= sinx 5 4 3 4 4 y= sin x 4 1 1 故 函 數 s i n 4 y _x _  的 週 期 是 2 ﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 1 ﹒ 【 隨 堂 練 習 8】 利 用 ysinx的 圖 形 畫 出 下 列 各 函 數 的 圖 形 ﹐ 並 求 其 週 期 ﹑ 最 大 值 及 最 小 值 ﹕ (1) ysinx1﹒ 2 3 4 2 x y O y = sin x 1 1 (2) sin 2 y _x _  ﹒

2 3 4 2 x y O y = sin x 1 1 Ans：(1) 圖 見 解 析 ﹐ 最 大 值 為 0﹐ 最 小 值 為  2﹐ 週 期 2 ; (2) 圖 見 解 析 ﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為  1﹐ 週 期 2 【 詳 解 】 (1) 如 果 點



x y₀, ₀



在 ysinx上 ﹐ 那 麼 點



x y₀, ₀ 1



就 在 ys i nx 1上 ﹒ 因 此 只 要 將 ysinx的 圖 形 向 下 平 移 1單 位 就 可 得 到 sin 1 y x 的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 ﹕ 2 3 4 2 x y O y= sinx 1 1 2 _{y=sinx 1} 2 所 以 其 最 大 值 為 0﹐最 小 值 為 2 ﹐週 期 為2 ﹒ (2) 如 果 點



x y₀, ₀



在 ysinx上 ﹐ 那 麼 點 ₀ , ₀ 2 x  y  _     就 在 y s i n x 2     _  _  上 ﹒ 因 此 只 要 將 ysinx的 圖 形 向 左 平 移 2  單 位 就 可 得 到 sin 2 y _x _  的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 ﹕ 2 3 4 2 x y O y= sinx 1 1 3 2 3 2 2 2 y=sin x 2 所 以 其 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 1 ﹐ 週 期 為 2 ﹒

一 般 而 言 ﹐ 關 於 正 弦 函 數 圖 形 的 平 移 有 以 下 的 結 論 ﹕ (1) 函 數 ys i nx k的 圖 形 可 由 ysinx的 圖 形 向 上 k單 位 （ 當k<0 時 ﹐ 事 實 上 是 向 下 k 單 位 ） 平 移 得 到 ﹒ (2) 函 數 ys i n



x h



的 圖 形 可 由 ysinx的 圖 形 向 右 h單 位 （ 當h<0 時 ﹐ 事 實 上 是 向 左 h 單 位 ） 平 移 得 到 ﹒ (3) 函 數 ys i n



x h



 k的 圖 形 可 由 ysinx的 圖 形 綜 合 (1)與 (2)的 結 論 平 移 得 到 ﹒ 例 如 ﹕ 函 數 s i n 2 3 y _x _   的 圖 形 可 由 ysinx的 圖 形 向 左 3  單 位 ﹐ 向 上 2 單 位 平 移 得 到 ﹒ 底 下 再 藉 助 ysinx的 圖 形 及 圖 形 伸 縮 的 概 念 來 畫 函 數 圖 形 ﹒ 【 例 題 9】 利 用 ysinx的 圖 形 畫 出 下 列 各 函 數 的 圖 形 ﹐ 並 求 其 週 期 ﹑ 最 大 值 及 最 小 值 ﹕ (1) y2sinx﹒ (2) ysin 2x﹒ Ans：(1) 圖 見 解 析 ﹐ 週 期 2﹐ 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 2; (2) 圖 見 解 析 ﹐ 週 期﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 1 【 詳 解 】 (1) 比 較 ys i nx與 y2sinx的 幾 個 特 殊 函 數 值 ﹕ x y 0 ₂  _ 3 2  2 sin y x 0 1 0 1 0 2sin y x 0 2 0 2 0 一 般 而 言 ﹐ 當



x y₀, ₀



滿 足 ys i nx時 ﹐



x₀, 2y₀



滿 足 y2 s i nx﹒ 因 此 對 任 意 實 數 x ﹐ y2sinx的 函 數 值 都 是 ysinx的 2 倍 ﹐ 可 得 y2 s i nx的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕

2 3 4 2 x y O y= sinx 3 2 7 2 5 2 3 2 2 2 y= 2sinx 1 2 1 2 故 函 數 y2 s i nx的 週 期 是 2 ﹐ 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 2 ﹒ (2) 比 較 ys i nx與 ysin 2x的 幾 個 特 殊 函 數 值 ﹕ x y 0 ₄  2   2 sin y x 0 2 2 1 0 0 sin 2 y x 0 1 0 0 0 一 般 而 言 ﹐ 當



x y₀, ₀



滿 足 ys i nx時 ﹐ 0 0 , 2 x y      滿 足 ys i n 2x﹒ 因 此 ysin 2x的 週 期 只 有 ysinx的 一 半 ﹐ 可 得 ys i n 2x的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕ x y O y= sinx y= sin2x 1 2 1 2 2 3 4 2 3 2 7 2 5 2 3 2 2 2 故 函 數 ys i n 2x的 週 期 是﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 1 ﹒

【 隨 堂 練 習 9】 利 用 ysinx的 圖 形 畫 出 下 列 各 函 數 的 圖 形 ﹐ 並 求 其 週 期 ﹑ 最 大 值 及 最 小 值 ﹕ (1) y 2sinx﹒ 2 3 4 2 x y O y = sin x 1 1 (2) sin 2 x y ﹒ 2 3 4 2 x y O y = sin x 1 1 Ans：(1) 圖 見 解 析 ﹐ 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 2﹐ 週 期 2 ; (2) 圖 見 解 析 ﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 1﹐ 週 期 4 【 詳 解 】 (1) 如 果 點



x y₀, ₀



在 ysinx上 ﹐ 那 麼 點



x₀, 2 y₀



就 在 y 2 s i nx上 ﹐ 即 對 任 意 實 數 x ﹐ y 2sinx的 函 數 值 都 是 sin y x的 函 數 值 的 2 倍 ﹐ 可 得 y 2 s i nx的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 ﹕ 2 3 4 2 x y O y= sinx 1 1 2 2 y= 2sinx 所 以 其 最 大 值 為 2 ﹐最 小 值 為 2 ﹐週 期 為2 ﹒ (2) 如 果 點



x y₀, ₀



在 ysinx上 ﹐

那 麼 點



2 ,x y_{0 0}



就 在 s i n 2 x y 上 ﹐ 即 sin 2 x y 的 週 期 是 ysinx的 2 倍 ﹐ 可 得 s i n 2 x y 的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 ﹕ 2 3 4 2 x y O y= sinx 1 1 y=sinx 2 所 以 其 最 大 值 為 1﹐最 小 值 為 1 ﹐週 期 為 4 ﹒ 一 般 而 言 ﹐ 關 於 正 弦 函 數 圖 形 的 伸 縮 有 以 下 的 結 論 ﹕ (1) 函 數 y as i nx（ a0） 的 圖 形 可 由 ysinx的 圖 形 以 x 軸 為 基 準 線 ﹐ 鉛 直 方 向 拉 伸 （ 或 壓 縮 ） a 倍 得 到 ﹐ 其 週 期 為 2﹒ (2) 函 數 ys i nb x（b0） 的 圖 形 可 由 ysinx的 圖 形 以 y 軸 為 基 準 線 ﹐ 水 平 方 向 拉 伸 （ 或 壓 縮 ） 1 b 倍 得 到 ﹐ 其 週 期 為 2 b  ﹒ (3) 函 數 y as i nx（a0） 的 圖 形 可 由 yasinx 的 圖 形 以 x 軸 為 基 準 線 ﹐ 上 下 翻 轉 （ 或 對 稱 ） 得 到 ﹒ 藉 助 ys i nx的 圖 形 ﹐並 利 用 圖 形 平 移 及 伸 縮 的 概 念 ﹐就 可 以 畫 出 形 如





sin ya bx c d （ 其 中 , , ,a b c d均 為 常 數 ） 的 函 數 圖 形 ﹐ 舉 例 如 下 ﹕ 【 例 題 10】 畫 出 函 數 3sin 2 1 3 y _ x _   的 圖 形 ﹐ 並 求 其 週 期 ﹑ 最 大 值 及 最 小 值 ﹒ Ans：圖 見 解 析 ﹐ 週 期﹐ 最 大 值 為 4﹐ 最 小 值 為 2 【 詳 解 】 根 據 圖 形 平 移 及 伸 縮 的 形 式 ﹐ 將 函 數 3 s i n 2 1 3 y _ x _   改 寫 為

3sin 2 1 6 y _ _x__     ﹐ 再 透 過 底 下 的 流 程 畫 出 其 圖 形 ﹕ sin y x的 圖 形    鉛直方向₃ 拉伸 倍 y3 s i nx的 圖 形 步 驟 一 1 2 水平方向 壓縮 倍 y3sin 2x的 圖 形 步 驟 二 6 1  _向上平移向左平移 單位_單位 3sin 2 1 6 y _ _x__     的 圖 形 步 驟 三 三 步 驟 圖 示 如 下 ﹕ 步 驟 一 2 y O 2 4 2 x y=sinx y =3sinx 步 驟 二 步 驟 三 2 y O 3 2 2 2 4 2 x y=3sin2x y =3sin x 2 y O 3 2 2 2 4 2 x y= 3sin 2x 1 3 y=3sin2x 故 函 數 3 s i n 2 1 3 y _ x _   的 週 期 是 2 2  ﹐ 最 大 值 為3 1 1  4﹐ 最 小 值 為3    

 

1 1 2﹒ 【 隨 堂 練 習 10】 求 下 列 各 函 數 的 週 期 ﹑ 最 大 值 及 最 小 值 ﹕ (1) y4sin 5

 

x 3﹒ (2) 2sin 3 1 4 y _ x _   ﹒

Ans：(1) 週 期 2 5  ﹐ 最 大 值 為 7﹐ 最 小 值 為 1 (2) 週 期 2 3  ﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 3 【 詳 解 】 (1) 函 數 y4 s i n 5

 

x  的 週 期 為3 2 5  ﹐ 最 大 值 為 4 1 3  7﹐ 最 小 值 為4    

 

1 3 1﹒ (2) 函 數 2 s i n 3 1 4 y _ x _   的 週 期 為 2 3  ﹐ 最 大 值 為 2 1 1 1   ﹐ 最 小 值 為 2    

 

1 1 3﹒ (二 )餘 弦 函 數 ycosx 有 了 正 弦 函 數 的 圖 形 ﹐ 我 們 可 以 藉 助 它 來 描 繪 餘 弦 函 數 的 圖 形 ﹕ 因 為 對 任 意 實 數 x ﹐ 等 式 sin cos 2 x  x  _ _     恆 成 立 ﹐ 所 以 只 要 將 正 弦 函 數 ysinx的 圖 形 向 左 平 移 2  單 位 就 可 得 到 餘 弦 函 數 ycosx的 圖 形 ﹐ 如 圖 10 所 示 ﹕ 2 3 4 2 x y O 3 2 7 2 5 2 3 2 2 2 y= cos x 1 1 _{y= sinx} ▲ 圖 10 我 們 再 進 一 步 來 討 論 餘 弦 函 數 ycosx的 特 性 ﹕ (1)定 義 域 ﹕ 因 為 對 任 意 實 數 x ﹐ cos x 都 有 意 義 ﹐所 以 餘 弦 函 數 ycosx的 定 義 域 為 全 體 實 數 ﹒ (2)値 域 ﹕ 因 為 餘 弦 函 數 的 應 變 數 y 之 範 圍 為 1  y 1﹐ 所 以 値 域 為





y   1 y 1,y ﹒ (3)週 期 ﹕ 由 餘 弦 函 數 的 圖 形 可 知 其 週 期 為 2 ﹒

圖 形 對 稱 於 通 過 最 高 點 或 最 低 點 的 鉛 直 線 （ 例 如 直 線 x0或 x ）﹒ 圖 形 對 稱 於 y 軸 ﹕ 這 可 由 y 軸 通 過 圖 形 的 最 高 點 ﹔ 或 由 等 式

 

cos  x cosx恆 成 立 推 得 ﹒ 【 隨 堂 練 習 02】 利 用 ycosx的 圖 形 畫 出 下 列 各 函 數 的 圖 形 ﹐ 並 求 其 最 大 值 ﹑ 最 小 值 及 週 期 ﹒ (1) ycosx2﹒ x y O 1 1 2 3 4 2 y=cosx 2 3 2 3 (2) y3cosx﹒ x y O 1 1 2 3 4 2 y=cosx 2 3 2 3 Ans：(1) 圖 見 解 析 ﹐ 最 大 值 為 3﹐ 最 小 值 為 1﹐ 週 期 2 ; (2) 圖 見 解 析 ﹐ 最 大 值 為 3﹐ 最 小 值 為  3﹐ 週 期 2 【 詳 解 】 (1) 將 ycosx的 圖 形 向 上 平 移 2 單 位 就 可 得 到 cos 2 y x 的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 ﹕

y O 1 4 2 3 x y= cosx 2 2 3 1 2 3 y= cosx2 所 以 其 最 大 值 為 3﹐最 小 值 為 1﹐週 期 為2 ﹒ (2) 由 對 任 意 實 數 x ﹐ y3cosx的 函 數 值 都 是 cos y x的 函 數 值 的3倍 ﹐ 可 得 y3 c o sx的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 ﹕ y O 1 4 2 3 x 2 2 3 y= 3cosx 1 2 3 y= cosx 所 以 其 最 大 值 為 3﹐最 小 值 為3﹐週 期 為2 ﹒ (三 )正 切 函 數 ytanx 因 為 對 任 意 實 數 x （ 2 xk ﹐k ）﹐ 等 式 tan



x



tanx 恆 成 立 ﹐ 所 以 我 們 只 須 畫 出 在 2 x 2      範 圍 內 的 圖 形 ﹐ 就 可 利 用 圖 形 平 移 的 概 念 畫 出 正 切 函 數 ytanx的 全 部 圖 形 ﹒ 又 因 為 t a nx 在 2 x 及 2 x  處 沒 有 定 義 ﹐ 所 以 底 下 只 討 論 在 2 x 2      範 圍 內 t a nx 的 變 化 情 形 ﹕ 在 坐 標 平 面 上 ﹐ 以 原 點O為 圓 心 ﹐ 作 一 單 位 圓 及 過 點T

 

1, 0的 切 線 L ﹐再 以 x 軸 正 向 為 始 邊 ﹐作 一 有 向 角﹐如 圖 11 所 示 ﹒設 此 有 向 角 的 終 邊 與 直 線 x y O L T(1,0) P(1,tan )

L 交 於 P 點 ﹐ 根 據 三 角 函 數 值 的 定 義 ﹐ 得 P 點 的 坐 標 為



1, tan



﹐ 即 P 點 的 y 坐 標 為 t a n﹒ 由 圖 11﹐當 角在 2 2  _     範 圍 變 動 時 ﹐tan之 值 的 變 化 情 形 可 以 用 線 段 的 顏 色 （ 紅 色 表 正 ﹐ 綠 色 表 負 ） 與 長 短 （ 絕 對 值 愈 大 長 度 愈 長 ） 表 示 ﹐ 如 圖 1 2 ( )a 所 示 ﹒ x y O T(1,0) x y O 2 2 (a) (b) ▲ 圖 12 我 們 可 以 觀 察 到 以 下 的 現 象 ﹕ (1) 當由 0 逐 漸 增 加 而 接 近 2  時 ﹐ P 點 的 y 坐 標（ tan的 值 ）也 隨 著 從 0 逐 漸 增 加 而 趨 向 ﹒ (2) 當由 0 逐 漸 減 少 而 接 近 2   時 ﹐ P 點 的 y 坐 標 （ tan的 值 ） 也 隨 著 從 0 逐 漸 減 少 而 趨 向﹒ 因 此 ﹐ 當 我 們 令 變 數 x﹐ 且 在 2 x 2      範 圍 內 時 ﹐ tan x 的 值 隨 著 x 的 值 增 加 而 逐 漸 增 加 ﹐ 且 其 值 的 範 圍 涵 蓋 每 一 個 實 數 ﹒ 有 了 上 述 的 討 論 ﹐ 我 們 可 以 描 繪 出 函 數 ytanx在 2 x 2      上 的 圖 形 ﹐ 如 圖 1 2 ( )b 所 示 ﹒ 同 時 因 為 tan



x



tanx﹐ 所 以 我 們 只 要 將 2 x 2      範 圍 內 所 畫 的 圖 形 逐 次 向 右 或 向 左 平 移單 位 ﹐ 就 可 得 到 ytanx的 全 部 圖 形 ﹐ 描 繪 如 下 ﹒

y O 3 2 2 1 x y = tanx 1 3 2 2 ▲ 圖 13 我 們 再 進 一 步 來 討 論 正 切 函 數 ytanx的 特 性 ﹕ (1) 定 義 域 ﹕ 正 切 函 數 tan sin cos x x x  的 定 義 域 為 , 2 x x x k  k  _{   }     且 ﹒ (2) 値 域 ﹕ 因 為 正 切 函 數 的 應 變 數 y 之 範 圍 涵 蓋 每 一 個 實 數 ﹐ 所 以 其 値 域 為 全 體 實 數 ﹒ (3) 週 期 ﹕ 由 正 切 函 數 的 圖 形 可 知 其 週 期 為﹒ (4) 對 稱 性 ﹕ 因 為 對 於 定 義 域 內 任 意 實 數 x ﹐

 

tan   x tanx恆 成 立 ﹐ 所 以 正 切 函 數 的 圖 形 對 稱 於 原 點 ﹒ (四 )餘 切 函 數 ycotx 藉 助 正 切 函 數 yt a nx的 圖 形 ﹐ 再 利 用 倒 數 關 係 式 cot 1 tan x x  描 點 繪 圖 ﹕ 先 在0 x 範 圍 內 ﹐ 對 某 些 特 殊 的 x 值 求 出 其 對 應 的 正 切 與 餘 切 函 數 值 ﹐ 並 列 表 如 下 ﹕ x 0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6  _ tan x 0 1 3 1 3   3 1 1 3  0 cot x  3 1 1 3 0 1 3  _{1  3 } 其 中表 示 沒 有 定 義 （ 由 此 表 可 看 出 二 函 數 的 定 義 域 不 相 同 ）﹒ 接 著 利 用 上 表 在 坐 標 平 面 上 描 點 ﹐ 再 藉 助 ytanx的 圖 形 ﹐

y O 3 2 2 1 x y = cotx 1 3 2 2 y = tanx 2 ▲ 圖 14 我 們 再 進 一 步 來 討 論 餘 切 函 數 ycotx的 特 性 ﹕ (1) 定 義 域 ﹕ 餘 切 函 數 cot cos sin x x x  的 定 義 域 為



x x 且xk,k



﹒ (2) 値 域 ﹕ 因 為 餘 切 函 數 的 應 變 數 y 之 範 圍 涵 蓋 每 一 個 實 數 ﹐ 所 以 其 値 域 為 全 體 實 數 ﹒ (3) 週 期 ﹕ 由 餘 切 函 數 的 圖 形 可 知 其 週 期 為﹒ (4) 對 稱 性 ﹕ 因 為 對 於 定 義 域 內 任 意 實 數 x ﹐

 

cot   x cotx恆 成 立 ﹐ 所 以 餘 切 函 數 的 圖 形 對 稱 於 原 點 ﹒ (五 )正 割 函 數 ysecx 藉 助 餘 弦 函 數 ycosx的 圖 形 ﹐ 再 利 用 倒 數 關 係 式sec 1 cos x x  描 點 ﹐ 可 得 正 割 函 數 ysecx的 圖 形 ﹐ 描 繪 如 下 ﹕ y O 3 2 2 1 x y= secx 1 3 2 2 2 2 3 y= cosx 5 2

▲ 圖 15 我 們 再 進 一 步 來 討 論 正 割 函 數 ysecx的 特 性 ﹕ (1) 定 義 域 ﹕ 正 割 函 數s e c 1 c o s x x  的 定 義 域 為 , 2 x x x k  k  _{   }     且 ﹒ (2) 値 域 ﹕ 正 割 函 數 的 値 域 為



y y1或y 1,y



﹒ (3) 週 期 ﹕ 由 正 割 函 數 的 圖 形 可 知 其 週 期 為 2 ﹒ (4) 對 稱 性 ﹕ 觀 察 正 割 函 數 的 圖 形 ﹐ 可 得  圖 形 對 稱 於 鉛 直 線 xk （ k ） ﹒  圖 形 對 稱 於 y 軸 ﹕ 這 可 由 中 k0得 到 ﹔ 或 由 等 式sec

 

 x secx恆 成 立 推 得 ﹒ (六 )餘 割 函 數 ycscx 藉 助 正 弦 函 數 ysinx的 圖 形 ﹐ 再 利 用 倒 數 關 係 式 csc 1 sin x x  描 點 ﹐ 可 得 餘 割 函 數 的 圖 形 ﹐ 描 繪 如 下 ﹕ y O 3 2 2 1 x y= cscx 1 3 2 2 2 2 3 y = sinx 5 2 ▲ 圖 16 我 們 再 進 一 步 來 討 論 餘 割 函 數 ycscx的 特 性 ﹕ (1) 定 義 域 ﹕ 餘 割 函 數 csc 1 sin x x  的 定 義 域 為



x x 且xk,k



﹒ (2) 値 域 ﹕ 餘 割 函 數 的 値 域 為



y y1或y 1,y



﹒

(3) 週 期 ﹕ 由 餘 割 函 數 的 圖 形 可 知 ﹐ 餘 割 函 數 的 週 期 為 2 ﹒ (4) 對 稱 性 ﹕ 觀 察 餘 割 函 數 的 圖 形 ﹐ 可 得  圖 形 對 稱 於 鉛 直 線 2 xk （ k ） ﹒  因 為 對 於 定 義 域 內 任 意 實 數 x ﹐ c s c

 

  x c s cx恆 成 立 ﹐ 所 以 餘 割 函 數 的 圖 形 對 稱 於 原 點 ﹒ 至 此 ﹐ 我 們 已 對 六 個 三 角 函 數 的 圖 形 與 特 性 有 相 當 的 認 識 ﹐ 底 下 再 介 紹 三 角 函 數 圖 形 的 幾 個 應 用 ﹒ 先 介 紹 應 用 函 數 圖 形 比 較 函 數 值 的 大 小 ﹒ 【 例 題 11】

比 較asin1,bsin 2,csin 3,dsin 4的 大 小 ﹒

Ans：b＞ a＞ c＞ d 【 詳 解 】

由asin1,bsin 2,csin 3,dsin 4知 道

 

1, a ﹐

 

2,b ﹐

 

3, c 與

 

4, d 四 點 分 別 落 在 sin y x的 圖 形 上 ﹒ 因 為 3 . 1 4 , 1 . 5 7 2     ,3 4 . 7 1 2  _ ﹐ 所 以 四 點 的 約 略 位 置 如 下 圖 所 示 ﹕ x y 1 1 2 3 2 2 O 1 2 3 4 (1,a) (2,b) (3,c) (4,d) 又 其 中 因 為 3﹐ 即 1 . 5 2   ﹐ 所 以 2 比 1 較 接 近 2  ﹐ 因 此 點

 

2,b 比

 

1, a 高 ﹐ 即ba﹐ 故b  a c d﹒

【 隨 堂 練 習 11】

比 較acos1,bcos 2,ccos3,dcos 4的 大 小 ﹒

Ans： a  b d c 【 詳 解 】 描 繪 yc o sx的 圖 形 如 下 ﹕ 2 3 2 2 1 3 2 4 x y O y= cosx 由 1.57 2   ﹐ 3.14﹐ 3 4.71 2   ﹐ 及 上 圖 中 四 點 位 置 的 高 低 ﹐ 得

cos1 cos 2 cos 4cos3﹐

故 a  b d c﹒ 接 著 ﹐ 再 介 紹 應 用 函 數 圖 形 來 幫 助 我 們 解 方 程 式 ﹒ 【 例 題 12】 在0 x 4 範 圍 內 ﹐ 求 方 程 式sin 1 2 x 的 解 ﹒ Ans： 6  ﹐ 5 6  ﹐13 6  ﹐17 6  【 詳 解 】 由 於 「 方 程 式sin 1 2 x 的 實 根 數 」 與 「 ysinx與 1 2 y 兩 圖 形 的 交 點 數 」 相 等 ﹐ 且 交 點 的 x 坐 標 就 是 方 程 式 的 實 根 ﹒ 2 x y O y=sinx 1 1 3 4 x1 x2 x3 x4 y=1₂ 於 是 由 上 圖 知 ﹕ (1) 因 為 在0 x 4 範 圍 內 ysinx與

1 2 y 兩 圖 形 有 4 個 交 點 ﹐ 所 以 方 程 式sin 1 2 x 有 4 個 實 根 ﹒ (2) 由 兩 圖 形 交 點 的 x 坐 標 ﹐ 得 4 個 根 為 1 6 x  ﹐ 2 5 6 6 x      ﹐ 3 13 2 6 6 x     ﹐ 4 5 17 2 6 6 x       ﹒ 【 隨 堂 練 習 12】 在0 x 4 範 圍 內 ﹐ 求 方 程 式cos 1 2 x  的 解 ﹒ Ans： 2 3  ﹐ 4 3  ﹐8 3  ﹐10 3  【 詳 解 】 在 同 一 坐 標 平 面 上 ﹐ 描 繪 ycosx與 1 2 y  的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕ x1 x2 2 x3 3 x4 4 y= cosx y= 1 2 x y O 1 由 兩 圖 形 交 點 的 x 坐 標 ﹐ 得 4 個 根 為 1 2 3 x   ﹐ ₂ 2 2 4 3 3 x       ﹐ 3 1 8 2 3 x    x  ﹐ ₄ 2 ₂ 10 3 x   x   ﹒ 應 用 函 數 圖 形 可 以 判 斷 方 程 式 實 根 的 個 數 ﹒ 【 例 題 13】 問 ﹕ 方 程 式 sin 10 x x 有 多 少 個 實 根 ﹖ Ans： 7 【 詳 解 】

在 同 一 坐 標 平 面 上 ﹐ 描 繪 ys i nx與 10 x y 的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕ (10,1) ( 10, 1) y= sinx x y O x 10 y= 由 10 x y 的 圖 形 是 斜 率 為 正 ﹐ 且 通 過



1 0 , 1



﹐



10,1 兩 點 的 直 線 ﹐ 及



 1 sinx1﹐ 得 知 兩 圖 形 有 7 個 交 點 ﹐ 如 上 圖 所 示 ﹒ 故 方 程 式 sin 10 x x 有 7 個 實 根 ﹒ 【 隨 堂 練 習 13】 求 方 程 式8cos xx的 實 根 個 數 ﹒ Ans： 5 【 詳 解 】 在 同 一 坐 標 平 面 上 ﹐ 描 繪 y8cosx與 yx的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕ 2 4 3 2 4 3 ( 8, 8) (8,8) x y O y= 8cosx y=x 8 8 因 為 兩 圖 形 有5個 交 點 ﹐ 所 以 方 程 式8cos xx有5個 實 根 ﹒ 我 們 常 利 用 正 弦 函 數 來 描 述 週 期 現 象 ﹐ 底 下 是 一 個 實 例 ﹒

【 例 題 14】 海 水 受 到 月 球 引 力 的 影 響 會 發 生 漲 落 的 潮 汐 現 象 ﹒ 下 表 是 某 港 口 在 一 天 內 海 水 漲 落 的 記 錄 表 ﹕ 時間t（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深y（公尺） 10 13 10 7 10 13 10 7 10 經 過 長 期 的 觀 測 得 知 ﹐ 水 深 y 與 時 間t可 以 用 函 數 sin ya btc來 描 述 ﹒ 根 據 上 述 資 料 ﹐ 求 出 正 數 , ,a b c 的 值 ﹒ Ans： a＝ 3﹐ b＝ 6  ﹐ c＝ 10 【 詳 解 】 以 時 間t為 橫 軸 ﹐ 水 深 y 為 縱 軸 ﹐ 將 紀 錄 表 中 的 數 據 描 繪 在 坐 標 平 面 上 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕ 13 7 y= 10 18 12 6 24 x y O 從 圖 中 得 知t0﹐ 3﹐ 6﹐ 9﹐ 12 分 別 與 t12﹐ 15﹐ 18﹐ 21﹐ 24 的 函 數 值 對 應 相 等 ﹐ 推 得 潮 汐 的 週 期 為 12 小 時 ﹔ 又 因 為 函 數 yasinbtc的 週 期 為 2 b  ﹐ 所 以 12 2 b   ﹐ 解 得 2 1 2 6 b   ﹐ 即 sin 6 ya  tc﹒ 將

  

t y,  0,10



﹐



3,13 代 入 上 式 ﹐ 得



10 sin 0 10 13 13 sin 2 a c c a c a  c    _{ }  _  _{  }   _  ﹒ 解 得a3﹐c10﹒ 又 將

 

t y =,



6,10 ﹐



 

9, 7 代 入 3 s i n 1 0 6 y  t 亦 成 立 ﹒

故 3, , 10 6 a b c ﹒ 【 隨 堂 練 習 14】 某 工 廠 使 用 交 流 電 的 電 流 強 度 y （ 安 培 ） 與 時 間t（ 秒 ） 可 用 函 數 20sin 100 2 3 y _ t  _  表 示 ﹒ 求 (1) 當 7 120 t （ 秒 ） 時 ﹐ 電 流 的 強 度 ﹒ (2) 電 流 強 度 y 變 化 的 週 期 ﹒ Ans：(1) 20 安 培 ， (2) 1 50秒 【 詳 解 】 (1) 將 7 120 t  代 入 2 0 s i n 1 0 0 2 3 y _ t _  中 ﹐ 得 35 2 13

20sin 20sin 20sin 20 1 20

6 3 2 2 y _    _         ﹐ 即 當 7 120 t  （ 秒 ） 時 ﹐ 電 流 的 強 度 為 20安 培 ﹒ (2) 因 為 此 函 數 的 週 期 為 2 1 100 50    ﹐ 所 以 電 流 強 度 y 變 化 的 週 期 為 1 50秒 ﹒ 在 物 理 和 工 程 技 術 的 許 多 問 題 中 ﹐常 會 遇 到 形 如 yasin



bx c 



d的 函 數 （ 其 中 , , ,a b c d均 為 常 數 ）﹐ 例 如 某 質 點 做 簡 諧 運 動 時 相 對 於 平 衡 點 的 位 移 y 與 時 間 x 的 關 係 可 用 函 數 yAsin



x



（ A0,0,為常數） 表 示 ﹒ 因 為 這 函 數 的 週 期 為 2  ﹑最 大 值 為 A ﹐所 以 此 振 動 的 頻 率（ 週 期 的 倒 數 ） 為 1 2 ₂      ﹐ 振 幅 （ 離 平 衡 點 的 最 大 距 離 ） 為 A ﹒

lt99a521 習 題

一 ﹑ 基 礎 題

1. 將 下 列 各 度 數 化 為 弧 度 ﹕ (1)18﹒ (2)150﹒ (3)300﹒ Ans： (1) 10  ， (2) 5 6   ， (3) 5 3  【 詳 解 】 利 用 度 與 弧 度 的 換 算 公 式 ﹐ 得 (1) 18 18 180     弧 度 10   弧 度 ﹒ (2) 150 150 180       弧 度 5 6    弧 度 ﹒ (3) 300 300 180     弧 度 5 3   弧 度 ﹒ 2. 將 下 列 各 弧 度 化 為 度 數 ﹕ (1) 12  ﹒ (2) 3 4   _{﹒ (3) 3﹒} Ans： (1) 15， (2) 135， (3) (540)   【 詳 解 】 利 用 度 與 弧 度 的 換 算 公 式 ﹐ 得 (1) 12  弧 度 180 15 12      _{ }     ○ ﹒ (2) 3 4   弧 度 3 1 8 0 135 4       _{ }      ○ ﹒ (3) 3弧 度 3 1 8 0 5 4 0        _{ } _{ }     ○ ○ ﹒

3. 已 知 扇 形 的 面 積 為 1﹐ 弧 長 為 2﹐ 求 其 圓 心 角 的 弧 度 ﹒ Ans：2 弧 度 【 詳 解 】 設 圓 心 角 為（ 弧 度 ）﹐ 半 徑 為r﹐ 則 2 1 1 2 2 r r    _    _  由 得 1 1 2r 2 r1﹐ 代 入 得 2（ 弧 度 ）﹒ 4. 求 下 列 各 式 的 值 ﹕

(1)cos3 csc5 sin2 cos5 tan sec5

4 4 3 6 3 6

 _  _  _  _  _ 

﹒

(2)sin cos5 cos5 sin7 tan5 sec

3 6 4 4 3  _  _  _  _  _{ } ﹒ Ans：(1) 1 4  ， (2) 5 3 4   【 詳 解 】 (1) 原 式

 

 

1 3 3 2 2 3 2 2 2 3     _{ }    _{ }  _{   }  _  _{ }   _{   }  

 

3 1 2 4     _{ }    1 4   ﹒ (2) 原 式

 

 

3 3 1 1 3 1 2 2 2 2    _{    } _  _{ }  _{  }  _{ }  _           3 1 3 4 2     5 3 4    ﹒ 5. 已 知sin 3 5   ﹐ 且 2     ﹐ 求 下 列 各 値 ﹕

(1)csc﹒ (2)sec﹒ (3)cos



 



﹒ (4)cot



 



﹒

Ans：(1) 5 3， (2) 5 4  ， (3) 4 5， (4) 4 3 【 詳 解 】 (1) 由 倒 數 關 係 式 ﹐ 得csc 1 5 sin 3     ﹒

(2) 由sin2cos2 1可 得 2 c o s  1 s i n ﹐ 因 為 是 第 二 象 限 角 ﹐cos0﹐所 以 2 2 3 4 cos 1 sin 1 5 5         _{ }     ﹒ 由 倒 數 關 係 式 ﹐得sec 1 5 cos 4      ﹒ (3) cos





cos 4 5       ﹒ (4)





4 cos ₅ 4 cot cot 3 sin 3 5               _﹒ 6. 已 知是 第 三 象 限 角 ﹐ 且 tan cot 25 12    ﹐ 求 下 列 各 值 ﹕ (1)sincos﹒ (2)sincos﹒ (3)seccsc﹒ (4)sin 2﹒

Ans：(1) 12 25， (2) 7 5  ， (3) 35 12  ， (4) 24 25 【 詳 解 】 (1) 因 為 2 2

sin cos sin cos 1

tan cot

cos sin sin cos sin cos

                    ﹐ 所 以sin cos 12 25    ﹒ (2) 因 為





2 _{2 2} 49

sin cos sin 2sin cos cos 1 2sin cos 25            ﹐ 且是 第 三 象 限 角 ﹐sin0﹐cos 0﹐ 所 以s i n c o s 7 5     ﹒ (3) 7 1 1 sin cos ₅ 35 sec csc 12

cos sin sin cos 12

25                   ﹒

(4) 利 用 兩 倍 角 公 式 ﹐得sin 2 2sin cos 2 12 24 25 25

7. 證 明 恆 等 式 ﹕



sec tan



2 1 sin 1 sin         （sin  1） ﹒ 【 證 明 】





2 2





2 2 1 sin 1 sin sec tan

cos cos cos

           _  _   





2 2 1 sin 1 sin     











2 1 sin 1 sin 1 sin        1 sin 1 sin      ﹒ 8. 求 下 列 各 函 數 的 週 期 ﹑ 最 大 值 與 最 小 值 ﹕ (1) y3sinx﹒ (2) cos 2 x y ﹒ (3) 3cos 2 4 y _x_   ﹒ Ans：(1) 週 期 2﹐ 最 大 值 為 3﹐ 最 小 值 為 3; (2) 週 期 4﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 1; (3) 週 期 2﹐ 最 大 值 為 5﹐ 最 小 值 為 1 【 詳 解 】 (1) 將 y＝ sinx 的 圖 形 之 y 坐 標 放 大3倍 （ x 坐 標 保 持 不 變 ） ﹐ 就 得 到 y＝ 3sinx 的 圖 形 ﹒ y O 1 2 3 4 2 y= sinx 2 3 x 1 2 3 y=3sinx 所 以 週 期 為 2 ﹐最 大 值 為3﹐最 小 值 為3﹒ (2) 將 ycosx的 圖 形 之 x 坐 標 放 大 2 倍 （ y 坐 標 保 持 不 變 ） ﹐ 就 得 到 c o s 2 x y 的 圖 形 ﹒ y O 1 2 3 4 2 y= cosx 2 x 1 2 y= cosx 2

所 以 週 期 為 4 ﹐最 大 值 為 1﹐最 小 值 為 1 ﹒ (3) 根 據 圖 形 平 移 及 伸 縮 的 形 式 ﹐ 透 過 底 下 的 流 程 畫 出 圖 形 ﹕ cos y x的 圖 形 3      鉛直方向  拉伸為 倍 y3 c o sx的 圖 形 4 2  向左平移_{向上平移 單位}單位 3cos 2 4 y _x _   的 圖 形 所 以 週 期 為 2 ﹐最 大 值 為3 1 2  5﹐最 小 值 為3    

 

1 2 1﹒ 9. 已 知asin 5﹐ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1) 1 1 2 a     (2) 1 0 2 a    (3)0 1 2 a   (4)1 1 2  a ﹒ Ans： (1) 【 詳 解 】 由asin 5知 道 點

 

5, a 落 在 ys i nx的 圖 形 上 ﹒ 因 為 3 . 1 4﹐ 3 4.71 2   ﹐11 5.76 6   ﹐ 所 以 點

 

5, a 約 略 位 置 如 下 圖 所 示 ﹕ x y O 2 3 2 11 6 5 (5,a) 由 圖 知 ﹐ 點

 

5, a 比 點 3 , 1 2   _     高 ﹐ 但 比 點 11 1 , 6 2   _     低 ﹐ 因 此 ﹐ 1 1 2 a     ﹐ 故 選 (1)﹒ 10. 在0 x 2 的 範 圍 內 ﹐ 求 方 程 式 tanx 1 x的 實 根 個 數 ﹒ Ans： 3 【 詳 解 】 在 同 一 坐 標 平 面 上 ﹐ 描 繪 ytanx與 y 1 x的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕

3 2 2 x y O y = tanx 2 y=1 x 因 為 在 0 x 2的 範 圍 內 ﹐ 兩 圖 形 有3個 交 點 ﹐ 所 以 方 程 式 tanx 1 x有3個 實 根 ﹒ 11. 關 於 函 數 f x

 

2sin 3x﹐ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1) 2 f x

 

2 (2) f x

 

在 6 x 時 有 最 大 值 (3) f x

 

的 週 期 為 2 3  (4) y = f x

 

的 圖 形 對 稱 於 直 線 2 x (5) f

 

2 0﹒ Ans： (1)(2)(3)(4) 【 詳 解 】 先 作 y f

 

x 2 s i n 3x的 圖 形 ﹐ 如 下 ﹕ x = 2 2 6 3 2 3 2, f (2) x y O 2 1 1 2

(1) 因 為  1 s i n 3x  ﹐ 所 以1  2 f x

 

2﹒ (2) 2sin 2 6 2 f   _{ }     為 最 大 值 ﹒ (3) 由 上 圖 知 ﹕ 週 期 為 2 3  ﹒ (4) 因 為 以 直 線 2 x 為 折 線 ﹐ 對 折 後 左 右 圖 形 會 重 合 ﹐ 所 以 函 數 圖 形 會 對 稱 於 2 x ﹒ (5) 由 上 圖 知 ﹕ 點



2, f

 

2



落 在 x 軸 下 方 ﹐ 故 f

 

2 0﹒ 故 答 案 為 (1)(2)(3)(4)﹒

二 ﹑ 進 階 題

12. 如 右 圖 ﹐正 方 形 ABCD的 邊 長 為 6﹐分 別 以 A 和 B 為 圓 心 ﹑ 6 為 半 徑 畫 弧 ﹐ 兩 弧 交 於 E 點 ﹐ 求 鋪 色 區 域 的 面 積 ﹒ Ans： 12 9 3 【 詳 解 】 連 接 AE ﹑ BE ﹐ 因 為 A E B E A B﹐ 所 以 △ABE為 正 三 角 形 ﹒ 故 鋪 色 區 域 面 積 2  扇 形 ABE 的 面 積 △ABE的 面 積 2 2 1 3 2 6 6 2 3 4     _   _    12 9 3﹒ A B D C E A B D C E 3

C D B A 120 2 ° 13. 包 裝 七 根 半 徑 皆 為 1 的 圓 柱 ﹐ 其 截 面 如 下 圖 所 示 ﹐ 求 外 圍 粗 黑 線 條 的 長 度 ﹒ Ans：12 2  【 詳 解 】 因 為BAC3 6 0  9 0 9 0 1 2 0  6 0﹐ 所 以 外 圍 粗 黑 線 長 度 6CD 6BC   6 2 6 1 3       12 2   ﹒ 14. 在0 x 2 的 範 圍 內 ﹐ 求 方 程 式2sin2 x5cosx 4 0的 解 ﹒ Ans： 3  ﹐ 5 3  【 詳 解 】 利 用 2 2 sin xcos x1﹐ 將 原 方 程 式 改 寫 為



2



2 1 cos x 5cosx 4 02cos2x5cosx 2 0﹐

即



2cosx1 cos



x2



0﹐ 解 得cos 1 2 x 或 2 （ 不 合 ）﹒ 因 為0 x 2﹐ 所 以 3 x ﹐ 5 3  ﹒

15. 如 右 圖 ﹐ 已 知 a0,b0﹐ 函 數 f x

 

asinbx的 圖 形 通 過 最 高 點

 

3, 2 P 及 最 低 點 Q



9, 2



﹐ 且 與 直 線 1 y  交 於 A﹐ B﹐ C 三 點 ﹐ 求 (1) a b 的 值 ﹒ , (2) AB 的 長 ﹒ (3) BC的 長 ﹒ Ans：(1) a＝ 2﹐ b＝ 6  ， (2) 8， (3) 4 【 詳 解 】 (1) 因 為 f x 的 最 大 值 為

 

2 ﹐ 最 小 值 為 2 ﹐a0﹐ 所 以a2﹒ 又 因 為 f x 的 週 期 為

 

2 9 3



 



12﹐b0﹐ 所 以 2 12 b  _ ﹐ 即 6 b ﹒ (2) 由 (1)得

 

2sin 6 f x   x﹐ 令 2sin 1 6 x  _{ } ﹐ 則s i n 1 6 x 2  _{ } ﹒ 由 6 x 6     ﹐ 解 得 x 1﹐ 即 A



 1, 1



﹔ 由 7 6 x 6    ﹐ 解 得 x7﹐ 即 B



7 , 1



﹒ 故 AB   7

 

1 8﹒ (3) 由 11 6 x 6    ﹐ 解 得 x11﹐ 即C



1 1, 1



﹒ 故 BC  11 7 4﹒ x y O A B C Q P y= 1

16. 問 ﹕ 方 程 式 cos 1 3 x  在0 x 2範 圍 內 有 多 少 個 實 根 ﹖ 又 這 些 實 根 的 總 和 為 何 ﹖ Ans：2 個 ﹐ 2 【 詳 解 】 在 同 一 坐 標 平 面 上 ﹐ 描 繪 ycosx與 1 3 y  的 圖 形 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕ x y O 1 x1 x2 2 y = 1 3 y = cosx 因 為 在 0 x 2的 範 圍 內 ﹐ 兩 圖 形 有 2 個 交 點 ﹐ 所 以 方 程 式cos 1 3 x  有 2 個 實 根 ﹒ 又 因 為 圖 形 對 稱 於 直 線 x ﹐ 所 以 1 2 2 x x _{ } 1 2 2 x x  ﹐ 即 2 個 實 根 的 總 和 為 2 ﹒ 17. 描 繪 下 列 各 函 數 的 圖 形 ﹐ 並 求 其 週 期 ﹑ 最 大 值 及 最 小 值 ﹕ (1) y sinx ﹒ (2)ycosx cosx﹒

Ans：(1) 圖 見 解 析 ﹐ 週 期﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 0; (2) 圖 見 解 析 ﹐ 週 期 2﹐ 最 大 值 為 2﹐ 最 小 值 為 0 (1) 因 為 s i n s i n , s i n 0 s i n , s i n 0 x x y x x x    _{ }    若 若 ﹐ 所 以 y s i nx 的 圖 形 如 下 ﹕ 2 2 O x y 2 1

故 其 週 期 為﹐ 最 大 值 為 1﹐ 最 小 值 為 0﹒ (2) 因 為 c o s c o s 2 c o s , c o s 0 0 , c o s 0 x x y x x x     _{ }   若 若 ﹐ 所 以 yc o sx c o sx的 圖 形 如 下 ﹕ x y O 2 2 2 3 2 3 2 2 2 故 其 週 期 為2 ﹐ 最 大 值 為 2 ﹐ 最 小 值 為0﹒