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lt99b614 函 數 的 極 限

小 菱 實 施 減 重 計 畫 ﹐目 標 是 將 體 重 減 為 55 公 斤 ﹐歷 經 半 年 的 努 力 ﹐ 體 重 從 58 公 斤 減 到 53 公 斤 ﹒ 由 於 體 重 的 變 化 是 連 續 的 ﹐ 於 是 小 菱 在 減 重 這 段 期 間 內 ﹐ 至 少 會 有 一 個 時 刻 的 體 重 正 好 是 55 公 斤﹒這 現 象 在 數 學 上 稱 為 中 間 值 定 理 ﹐ 是 本 節 所 要 探 討 的 內 容 ﹒ 為 了 方 便 說 明 ﹐我 們 引 進 區 間 的 表 示 法 ﹕ 設 a ﹐b為 實 數 ﹐ 且 a<b﹒ 規 定

( )

a b, =

{

x∈ a< <x b

}

﹐

[ ]

a b, =

{

x∈a≤ ≤x b

}

﹐

[

a b,

)

=

{

x∈ a≤ <x b

}

﹐

(

a b,

]

=

{

x∈ a< ≤x b

}

﹐ 並 稱

( )

a b, 為 開 區 間 ﹐

[ ]

a b, 為 閉 區 間 ﹐

[

a b,

)

與

(

a b,

]

為 半 開 區 間 ﹐ a ﹐b為 所 表 示 區 間 的 端 點 ﹒ 此 外 ﹐ 我 們 又 規 定 底 下 4 個 區 間 ﹕

(

−∞, a

)

=

{

x∈ x<a

}

﹐

(

a,∞ =

)

{

x∈ x>a

}

﹐

(

−∞, a

]

=

{

x∈ x≤a

}

﹐

[

a,∞ =

)

{

x∈ x≥a

}

﹒

甲 、 函 數 的 極 限

首 先 考 慮 函 數 f x

( )

= +x 2﹒ 我 們 想 知 道 的 是 ﹕ 當 x 的 值 愈 來 愈 接 近 2﹐ 但 不 等 於 2 時 ﹐函 數 f x

( )

的 值 會 發 生 什 麼 變 化 ﹖ 底 下 我 們 用 兩 種 方 法 來 考 慮 這 個 問 題 ﹕

(一 )數 據 法

試 著 將 x 分 別 取 2 附 近 的 值 ﹐ 並 實 際 的 計 算 出 函 數 f x

( )

的 值 來 觀 察 ﹐ 如 下 表 ﹕ 2 x 1.7 1.9 1. 99 1.999 2 2.001 2. 01 2. 1

( )

f x 3.7 3.9 3. 99 3.999 4 4.001 4.01 4. 1 x 逐 漸 增 大 且 接 近 2 x 逐 漸 減 小 且 接 近 2

由 以 上 的 數 據 得 知 ﹐ 當 x 從 左 ﹑ 右 兩 邊 趨 近 2 （ x≠2） 時 ﹐ 函 數 f x

( )

的 值 會 趨 近 4﹒

(二 )圖 形 法

函 數 y= + 的 圖 形 是 斜 率 為 1 且x 2 y截 距 為 2 的 直 線 ﹐ 如 圖 2 所 示 ﹕ x y O B C B y=x+2 2 4 A A x 2 x ▲ 圖 2 在 圖 2 中 ﹐ 如 果 讓 AB 保 持 與 x 軸 垂 直 （ 其 中 A點 在 x 軸 上 移 動 ﹐ 且 B點 保 持 在 圖 形 上 ）﹐ 那 麼 當 A x

( )

, 0 逐 漸 向

( )

2, 0 靠 近 時 （ 從 左 邊 或 右 邊 靠 近 皆 可 ）﹐ 就 會 帶 動 B點 向C

( )

2, 4 點 靠 近 ﹒ 也 就 是 說 ﹐當 x 趨 近2（ x≠2）時 ﹐函 數 f x

( )

的 值 會 趨 近 4﹒ 綜 合 這 兩 個 方 法 ﹐ 我 們 將 這 樣 的 情 形 稱 為 「 函 數 f x

( )

在 x=2的 極 限 為 4」﹐ 並 用 符 號

( )

2 lim 4 x→ f x = 表 示 ﹒ 一 般 而 言 ﹐ 我 們 將 函 數 的 極 限 定 義 如 下 ﹕

函 數 的 極 限 ： 當 x 趨 近 a 時（ 從 a 的 左 ﹑右 兩 邊 趨 近 ﹐且 x≠ ）﹐若 對 應 的 函 數 值a f x

( )

會 趨 近 定 值 L﹐ 則 稱 f x

( )

在 x a= 的 極 限 為 L﹐ 記 作 lim

( )

x→a f x = ﹒ L x a x O x y y=f (x) L 由 函 數 極 限 的 定 義 知 道 ﹕ 函 數 f x

( )

在 x a= 的 極 限 取 決 於 接 近 a 但 不 等 於 a 的 那 些 x 的 函 數 值 ﹐ 而 不 是 在 x a= 的 函 數 值 ﹒ 因 此 ﹐ 不 管 a 有 沒 有 在 f x

( )

的 定 義 域 中 ﹐ 都 可 討 論 f x

( )

在 x a= 的 極 限 ﹒ 舉 例 如 下 ﹕ 【 例 題 1】 已 知 函 數

( )

2 4 2 x f x x − = − （ x≠2） ﹐ 求 limx→2 f x

( )

﹒ Ans ： 4 【 詳 解 】 因 為 x 不 等 於 2﹐ 所 以 ( )f x 可 以 改 寫 為 f x

( )

= +x 2 （ x≠2）﹒ 因 此 ﹐ y= f x

( )

的 圖 形 是 直 線 y= + 去 掉 點x 2 C

( )

2, 4 ﹐ 如 下 圖 所 示 ﹕

x y O B C B y=x+2 2 4 A A x ₂ x 在 上 圖 中 ﹐ 如 果 讓 AB 保 持 與 x 軸 垂 直 （ 其 中 A點 在 x 軸 上 移 動 ﹐ 且B點 保 持 在 圖 形 上 ）﹐那 麼 當 A x

( )

, 0 逐 漸 向

( )

2, 0 靠 近 時（ 從 左 邊 或 右 邊 靠 近 皆 可 ）﹐ 就 會 帶 動 B點 向C

( )

2, 4 點 靠 近 ﹒ 因 此

( )

(

)

2 2 2 2 4

lim lim lim 2 4

2 x x x x f x x x → → → − = = + = − ﹒ 在 上 例 中 ﹐雖 然 x=2不 在 f x

( )

的 定 義 域 中 ﹐但 f x

( )

在 x=2的 極 限 卻 是 存 在 的 ﹒ 因 此 ﹐ 不 可 認 為 某 數 不 在 定 義 域 中 ﹐ 就 判 定 函 數 在 此 數 的 極 限 不 存 在 ﹒ 【 隨 堂 練 習 1】 已 知 函 數

( )

3 2 1 x x f x x − = − （ x≠1） ﹐ 求 limx→1 f x

( )

﹒ Ans ：1 【 詳 解 】 3 2 2 2 1 1 1 1 ( 1)

lim ( ) lim lim lim 1

1 1 x x x x x x x x f x x x x → → → → − − = = = = − − ﹒ 在 前 文 中 ﹐函 數 f x

( )

= +x 2在 x=2的 極 限 與 函 數 值 相 等 ﹐即

( )

( )

2 lim 2 x→ f x = f ﹒ 這 個 結 果 對 一 些 函 數 並 不 成 立 ﹐ 舉 例 如 下 ﹕

【 例 題 2】 設 函 數

( )

2 2, 0 1 , 0 2 0 x x f x x x x + >   =_ = − + <  若 若 ,若 ﹒ (1) 求

( )

0 lim x→ f x ﹒ (2) 函 數 值 f

( )

0 與

( )

0 lim x→ f x 是 否 相 等 ﹖ Ans ： (1) 2， (2) 不 相 等 【 詳 解 】 因 為 當 x>0時 ﹐ f x

( )

=2x+2﹔ 當 x=0時 ﹐ f x

( )

=1﹔ 當 x<0時 ﹐ f x

( )

= − +x 2﹐ 所 以 y= f x

( )

的 圖 形 如 右 圖 ﹒ (1) 當 x 趨 近 0 時 （ 無 論 從 左 邊 或 右 邊 趨 近 ） ﹐ f x

( )

會 趨 近 2﹒ 因 此

( )

0 lim 2 x→ f x = ﹒ (2) 因 為

( )

0 lim 2 x→ f x = ﹐ f

( )

0 =1﹐ 所 以

( )

( )

0 lim 0 x→ f x ≠ f ﹒ 在 上 例 中 ﹐ 雖 然 f x

( )

在 x=0處 有 定 義 且 極 限 存 在 ﹐ 但 兩 者 卻 不 相 等 ﹒ 【 隨 堂 練 習 2】 設 函 數

( )

4 , 0 2 , 0 4 0 x x f x x x x  _{+ >}  =_ =  _{− <}  若 若 ,若 ﹒ (1) 求

( )

0 lim x→ f x ﹒ (2) 函 數 值 f

( )

0 與 limx→0 f x

( )

是 否 相 等 ﹖ x y O 1 1 2

Ans ：(1) 2， (2) 相 等 【 詳 解 】 (1) 當 x 趨 近 0 時 （ 無 論 從 左 邊 或 右 邊 趨 近 ） ﹐ f (x)會 趨 近 4=2﹒ 因 此 0 lim ( ) 2 x→ f x = ﹒ (2) 因 為 f (0)＝ 2﹐ 且 0 lim ( ) 2 x→ f x = ﹐ 所 以 lim ( )x→0 f x = f(0)﹒ 綜 合 以 上 的 實 例 ﹐ 我 們 把 討 論 函 數 極 限 應 注 意 的 事 項 整 理 如 下 ﹕ 函 數 極 限 的 概 念 ： 當 lim

( )

x→a f x = 成 立 時 ﹐ 要 注 意 的 是 ﹕ L (1) 「 x 趨 近 a 」 指 的 是 x 從 左 ﹑ 右 兩 邊 趨 近 a ﹐ 但 不 等 於 a ﹒ (2) 函 數 f x

( )

在 x a= 處 不 一 定 有 定 義 ﹐ 即 f a

( )

可 能 存 在 或 不 存 在 ﹒ (3) 即 使 函 數 值 f a

( )

存 在 ﹐ lim

( )

x→a f x 也 不 一 定 等 於 f a

( )

﹒ 並 不 是 所 有 函 數 在 任 意 數 的 極 限 都 存 在 ﹐ 舉 例 如 下 ﹕ 【 例 題 3】 設 函 數 f x

( )

x x = ﹐ 討 論 f x

( )

在 x=0的 極 限 是 否 存 在 ﹖ Ans ： 不 存 在 【 詳 解 】 由 1－ 3 節 的 例 題 2 得 知 ﹐ 函 數 y= f x

( )

的 圖 形 如 右 圖 所 示 ﹒ 根 據 函 數 極 限 的 定 義 ﹐x 趨 近 0 是 指 從 左 ﹑右 兩 邊 趨 近 0﹐ 分 別 討 論 如 下 ﹕ (1) 當 x 從 右 邊 趨 近 0 時 ﹐ f x

( )

會 趨 近 1﹒ (2) 當 x 從 左 邊 趨 近 0 時 ﹐ f x

( )

會 趨 近−1﹒ 故 當 x 趨 近 0 時 ﹐ 對 應 的 函 數 值 f x

( )

不 會 趨 近 某 一 定 值 ﹒ x y O 1 1

此 種 情 形 表 示 ﹕ f x

( )

在 x=0的 極 限 不 存 在 ﹒ 從 這 個 例 子 我 們 知 道 ﹕ x 分 別 從 左 ﹑ 右 兩 邊 趨 近 a ﹐ 函 數 f x

( )

趨 近 的 定 值 可 能 不 相 等 ﹒ 為 了 方 便 討 論 ﹐ 我 們 引 進 下 列 符 號 ﹕ (1) 符 號 x→a+表 x 從 右 邊 趨 近 a ﹐ 即 x a> 且 x→ ﹒ a (2) 符 號 x→a−表 x 從 左 邊 趨 近 a ﹐ 即 x a< 且 x→ ﹒ a (3) 當 x 從 右 邊 趨 近 a 時 ﹐ 若 f x

( )

趨 近 定 值 L﹐ 則 稱 L為 f x

( )

在 x a= 的 右 極 限 ﹐ 記 作 lim

( )

x a f x L + → = ﹒ (4) 當 x 從 左 邊 趨 近 a 時 ﹐若 f x

( )

趨 近 定 值 M ﹐則 稱 M 為 f x

( )

在 x a= 的 左 極 限 ﹐ 記 作 lim

( )

x a f x M − → = ﹒ 由 極 限 的 定 義 ﹐ 我 們 有 以 下 的 結 論 ﹕ 極 限 與 左 右 極 限 的 關 係 ： 設 函 數 f x

( )

在 x a= 處 的 鄰 近 區 域 有 定 義 ﹒ 若 lim

( )

x→a f x = ﹐ 則L xlim→a+ f x

( )

=xlim→a− f x

( )

= ﹔ 反 之 亦 成 立 ﹒ L 值 得 注 意 的 是 ﹕ 當 左 右 極 限 都 存 在 但 不 相 等 時 ﹐ 這 時 候 的 極 限 是 不 存 在 的 ﹒ 例 如 ﹕ 在 例 題 3 中 ﹐ 因 為

( )

0 lim 1 x→ + f x = ﹐ xlim→0− f x

( )

= − ﹐ 即 1

( )

0 lim x→ + f x ≠ xlim→0− f x

( )

﹐ 所 以

( )

0 lim x→ f x 不 存 在 ﹒ 【 隨 堂 練 習 3】 設 函 數

( )

1 , 1 2 3, 1 x x f x x x + >  = _{− + <}  若 若 ﹒ (1) 求

( )

1 lim x→− f x ﹒ (2) 求

( )

1 lim x→+ f x ﹒ (3)

( )

1 lim x→ f x 是 否 存 在 ﹖ Ans ：(1) 1， (2) 2， (3) 不 存 在

【 詳 解 】 (1) 1 1 lim ( ) lim( 2 3) 2 3 1 x x f x x − − → = → − + = − + = ﹒ (2) 1 1 lim ( ) lim( 1) 1 1 2 x x f x x + + → = → + = + = ﹒ (3) 因 為 1 lim ( ) 2 x f x + → = ﹐ 1 lim ( ) 1 x f x − → = ﹐ 即 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x + − → ≠ → ﹐ 所 以 1 lim ( ) x→ f x 不 存 在 ﹒

乙 ﹑ 極 限 的 性 質

給 定 兩 函 數 f x

( )

與 g x

( )

﹒ 若 f x

( )

與 g x

( )

在 x a= 的 極 限 都 存 在 ﹐ 則

( ) ( )

f x +g x ﹐ f x

( ) ( )

−g x ﹐ f x

( ) ( )

⋅g x ﹐ c f x⋅

( )

與

( )

( )

f x g x 在 x a= 的 極 限 也 都 是 存 在 的（ 其 中

( )

( )

f x g x 的 極 限 存 在 之 前 提 是limx→ag x

( )

≠ ）﹒這 些 性 質 對 於 求 函 數 的 極 限 有0 很 大 的 幫 助 ﹐ 整 理 如 下 ﹕ 函 數 極 限 的 運 算 性 質 ： 設 函 數 f x

( )

與 g x

( )

在 x a= 的 極 限 分 別 為 L與 M ﹐ 即lim

( )

x→a f x = ﹐L

( )

lim x→ag x =M ﹐ c 為 一 常 數 ﹒ 我 們 有 以 下 的 性 質 ﹕ (1) lim

(

( ) ( )

)

x→a f x +g x = +L M ﹒ (2) lim

(

( ) ( )

)

x→a f x −g x = −L M﹒ (3) lim

(

( )

)

x→a c f x⋅ = ⋅ ﹒ c L (4) lim

(

( ) ( )

)

x→a f x ⋅g x = ⋅L M ﹒ (5) 若M ≠0﹐ 則

( )

( )

lim x a f x L g x M → = ﹒ 這 些 性 質 還 是 直 觀 上 加 以 理 解 即 可﹒利 用 這 些 性 質 ﹐可 以 求 多 項 式 函 數 的 極 限 ﹐ 先 以

(

3 2

)

2 lim 3 6 x→ x − x + 為 例 作 說 明 ﹕ 由 2 lim 2 x→ x= 及 函 數 極 限 的 運 算 性 質 (4)﹐ 得

(

)

( )( )

2 2 2 2 2 2

lim lim lim lim 2 2 2

x→ x =x→ x x⋅ = x→ x x→ x = ⋅ = ﹐

(

)

(

)( )

3 2 2 2 3

2 2 2 2

lim lim lim lim 2 2 2

x→ x =x→ x ⋅x = x→ x x→ x = ⋅ = ﹒

再 由 函 數 極 限 的 運 算 性 質 (1),(2)及 (3)﹐ 得

(

3 2

)

3 2

2 2 2 2

lim 3 6 lim 3 lim lim 6

x→ x − x + =x→ x − ⋅x→ x +x→

3 2

2 3 2 6

= − ⋅ + =2﹒ 再 仿 照 以 上 的 說 明 ﹐ 進 一 步 利 用 數 學 歸 納 法 證 得 ﹕ 對 任 何 正 整 數 n ﹐

lim n n x→ax =a 恆 成 立 ﹒ 因 此 有 以 下 的 推 論 ﹕ 多 項 式 函 數 與 有 理 函 數 的 極 限 性 質 ： 設 a 為 實 數 ﹐

( )

1 0 n n f x =a x + + a x+a 與

( )

1 0 m m g x =b x + + b x b+ 為 兩 實 係 數 多 項 式 函 數 ﹒ (1) lim

( )

( )

x→a f x = f a ﹒ (2) 若 g a

( )

≠0﹐ 則

( )

( )

( )

( )

lim x a f x f a g x g a → = ﹒ 性 質 (1)告 訴 我 們 ﹐ 多 項 式 函 數 在 x a= 的 極 限 就 是 在 x a= 的 函 數 值 ﹒ 【 例 題 4】 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1)

(

100

)

1 lim 2 3 x→− x − x+ (2) 2 1 3 lim 2 x x x x → + + + (3) 2 2 1 lim 1 3 x x x x x → + +  ₊   _{− −}    Ans ： (1) ， (2) ， (3) 【 詳 解 】 由 多 項 式 函 數 的 極 限 性 質 ﹐ 得 (1)

(

100

)

1 lim 2 3 x→− x − x+

( )

( )

100 1 2 1 3 6 = − − ⋅ − + = ﹒ (2) 2 1 3 lim 2 x x x x → + + + 2 1 1 3 5 1 2 3 + + = = + ﹒ (3) 因 為 2 2 2 2 lim 4 1 2 1 x x x → + + = = − − ﹐ 且 2 1 2 1 lim 3 3 2 3 x x x → + + = = − − − ﹐ 所 以 由 函 數 極 限 的 運 算 性 質 ﹐ 得

( )

2 2 1 lim 4 3 1 1 3 x x x x x → + +  ₊ _{= + − =}  _{− −}    ﹒ 【 隨 堂 練 習 4】 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1)

(

)

8 1 lim 3 2 x→− x+ (2) 2 3 3 lim 1 x x x → + + (3) 1 2 1 1 lim 3 1 x x x x x → + −  ₊   _{− +}   

Ans ：(1) 1， (2) 3， (3) 3 2 − 【 詳 解 】 (1) 8 8 8 1 lim (3 2) (3( 1) 2) ( 1) 1 x→− x+ = − + = − = ﹒ (2) 2 2 3 3 3 3 lim 3 1 3 1 x x x → + ₌ + ₌ + + ﹒ (3) 1 2 1 1 2 1 1 1 3 3 lim( ) 0 3 1 1 3 1 1 2 2 x x x x x → + ₊ − ₌ + ₊ − _{= − + = −} − + − + ﹒ 極 限 的 問 題 並 不 都 像 例 題 4 那 樣 直 接 代 入 就 可 求 得 極 限 ﹐ 有 時 直 接 代 入 會 出 現 分 母 為 0 的 情 形 ﹐ 此 時 多 項 式 函 數 的 極 限 性 質 就 不 適 用 了 ﹐ 那 極 限 是 否 存 在 呢 ﹖ 若 存 在 ﹐ 又 該 如 何 求 得 極 限 呢 ﹖ 先 看 底 下 的 兩 個 實 例 ﹒ 【 例 題 5】 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1) 2 3 5 6 lim 3 x x x x → − + − (2) 2 3 3 2 lim 3 x x x x → − + − Ans ： (1) 1， (2) 不 存 在 【 詳 解 】 (1) 因 為 分 子 與 分 母 在 x=3的 函 數 值 均 為 0﹐ 所 以 分 子 與 分 母 都 有 x−3的 因 式 ﹒ 於 是 ﹐ 當 x≠3時 ﹐ 我 們 可 以 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕

(

)

(

)

2 ₂ 5 6 3 3 2 3 x x x x x x x − − = − − + = − − ﹒ 故 2 3 5 6 lim 3 x x x x → − + − =limx→3

(

x−2

)

= − = ﹒ 3 2 1 (2) 因 為 分 母 在 x=3的 函 數 值 為 0﹐ 但 分 子 在 x=3的 函 數 值 不 為 0﹐ 所 以 x−3不 是 分 子 與 分 母 的 共 同 因 式 ﹒ 利 用 除 法 原 理 ﹐ 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕ 2 3 2 2 3 3 x x x x x − + _{= +} − − ﹒ 由 2 3 x− 在 x=3附 近 的 值 可 以 得 知 ﹕ 當 x 從 右 邊 趨 近 3 時 ﹐ 上 式 的 值 會 趨 向 無 限 大 ﹔ 而 當 x 從 左 邊 趨 近 3 時 ﹐ 上 式 的 值 會 趨 向 負 無 限 大 ﹒

故 上 式 在 x=3的 極 限 不 存 在 ﹐ 即 2 3 3 2 lim 3 x x x x → − + − 不 存 在 ﹒ 【 隨 堂 練 習 5】 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1) 2 2 2 4 lim 3 2 x x x x → − − + (2) 2 2 1 lim 2 x x x x → − − − Ans ：(1) 4， (2) 不 存 在 【 詳 解 】 (1) 2 2 2 2 2 4 ( 2)( 2) 2

lim lim lim 4

3 2 ( 2)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x → → → − − + + = = = − + − − − ﹒ (2) 因 為 2 _{1 1} ( 1) 2 2 x x x x x − − _{= + +} − − ﹐ 且 1 2 x− 在 x＝ 2 的 極 限 不 存 在 ﹐ 所 以 2 2 1 lim 2 x x x x → − − − 不 存 在 ﹒ 設 f x

( )

與 g x

( )

為 多 項 式 函 數﹒對 於 函 數

( )

( )

f x g x 在 x a= 的 極 限 之 求 法 ﹐分 成 以 下 三 種 情 況 ﹕ (1) 若 g a

( )

≠0﹐ 則

( )

( )

( )

( )

lim x a f x f a g x g a → = ﹒ (2) 若 g a

( )

=0且 f a

( )

≠0﹐ 則 此 極 限 不 存 在 ﹒ (3) 若 g a

( )

=0且 f a

( )

=0﹐ 則 將 分 子 與 分 母 的 共 同 因 式 x a− 約 去 後 ﹐ 再 依 照 以 上 的 原 則 繼 續 處 理 ﹒ 【 例 題 6】 求 ₂ 3 3 1 2 lim 4 3 3 x x x x x x →− − −  ₊   _{+ + +}   ﹒ Ans ： 2 【 詳 解 】 因 為 這 兩 個 分 式 的 分 母 在 x= −3的 函 數 值 均 為 0﹐ 且 分 子 在 x= −3的 函 數 值 均 不 為 0﹐

所 以 這 兩 個 分 式 在 x= −3的 極 限 都 不 存 在 ﹒ 雖 然 如 此 ﹐ 但 我 們 可 以 將 兩 個 分 式 合 併 成 一 個 分 式 再 考 慮 看 看 ﹒ 當 x≠ −3時 ﹐ 得 2 2 2 3 1 2 2 3 4 3 3 4 3 x x x x x x x x x − ₊ − ₌ + − + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

1 3 1 3 x x x x − = + + + 1 1 x x − = + ﹒ 故 ₂ 3 3 3 1 2 1 4 lim lim 2 4 3 3 1 2 x x x x x x x x x →− →− − − − −  ₊ _{= = =}  _{+ + +}  _{+ −}   ﹒ 【 隨 堂 練 習 6】 求 ₂ 2 1 9 lim 2 2 x x x x x → +  ₋   _{− − −}   ﹒ Ans ：2 【 詳 解 】 因 為 2 1 9 1 9 2 2 2 ( 2)( 1) x x x x x x x x + + − = − − − − − − + 2 2 8 ( 2)( 4) 4 ( 2)( 1) ( 2)( 1) 1 x x x x x x x x x x + − − + + = = = − + − + + ﹐ 所 以 ₂ 2 2 1 9 4 lim( ) lim 2 2 2 1 x x x x x x x x → → + + − = = − − − + ﹒ 底 下 ﹐ 我 們 利 用 函 數 極 限 的 性 質 ﹐ 求 未 知 係 數 ﹒ 【 例 題 7】 設 a 為 實 數 ﹐ 且 極 限 2 2 lim 2 x x x a x → − + − 存 在 ﹒ (1) 求 a 的 值 ﹒ (2) 求 此 極 限 ﹒ Ans ： (1) −2， (2) 3 【 詳 解 】 (1) 因 為 此 分 式 在 x=2的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x=2的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x=2的 函 數 值 為 0﹐ 即 2 2 − + = ﹒ 2 a 0 解 得a= −2﹒ (2) 當 x≠2時 ﹐ 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕

(

)

(

)

2 ₂ 2 1 2 1 2 x x x x x x x − + = − − − = + − ﹒

故 2 2 2 lim 2 x x x x → − − − =limx→2

(

x+ = + = ﹒ 1

)

2 1 3 【 隨 堂 練 習 7】 設 a 為 實 數 ﹐ 且 極 限 2 2 1 3 lim 2 x x ax x x →− + + − − 存 在 ﹒ (1) 求 a 的 值 ﹒ (2) 求 此 極 限 ﹒ Ans ：(1) 4， (2) 2 3 − 【 詳 解 】 (1) 因 為 此 分 式 在 x＝−1 的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x＝ −1 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x＝−1 的 函 數 值 為 0﹐ 即 1－ a＋ 3＝ 0﹒ 解 得 a＝ 4﹒ (2) 當 x ≠−1 時 ﹐ 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕ 2 2 4 3 ( 1)( 3) 3 2 ( 1)( 2) 2 x x x x x x x x x x + + ₌ + + ₌ + − − + − − ﹒ 故 2 2 1 1 4 3 3 1 3 2 lim lim 2 2 1 2 3 x x x x x x x x →− →− + + + − + = = = − − − − − − ﹒ 再 作 一 個 含 有 兩 個 未 知 係 數 的 例 題 ﹒ 【 例 題 8】 已 知 2 1 lim 7 1 x x ax b x → + + ₌ − ﹐ 求 實 數 a ﹐b的 值 ﹒ Ans ： a ＝ 5， b＝−6 【 詳 解 】 因 為 此 分 式 在 x=1的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x=1的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x=1的 函 數 值 為 0﹐ 即 1+ + =a b 0﹒ 將 a= − −b 1代 入 x2+ax b+ ﹐ 並 因 式 分 解 得

(

)

2 2 1 x +ax b+ =x + − −b x b+ =

(

x2− −x

)

b x

(

−1

)

=

(

x−1

)(

x b−

)

﹒ 於 是

(

)(

)

2 1 1 1 lim lim 1 1 x x x x b x ax b x x → → − − + + = − − =limx→1

(

x b−

)

= − ﹒ 1 b

因 此 ﹐ 由 題 意 得1− =b 7﹐ 解 得b= −6,a= − − =b 1 5﹒ 代 回 檢 驗 符 合 題 意 ﹐ 故 a=5﹐b= −6﹒ 【 隨 堂 練 習 8】 已 知

(

)(

)

2 2 2 lim 3 2 x x bx x x a → + − _{= −} − − ﹐ 求 實 數 a ﹐b的 值 ﹒ Ans ：a＝ 3﹐ b ＝−1 【 詳 解 】 因 為 此 分 式 在 x＝ 2 的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x＝ 2 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x＝ 2 的 函 數 值 為 0﹐ 即 4＋ 2b － 2＝ 0﹒ 解 得 b ＝−1﹒ 於 是 2 2 2 2 2 ( 2)( 1) 1 3

lim lim lim

( 2)( ) ( 2)( ) 2 x x x x x x x x x x a x x a x a a → → → − − − + + = = = − − − − − − ﹒ 因 此 ﹐ 由 題 意 得 3 3 2−a = − ﹒ 解 得 a＝ 3﹒

丙 ﹑ 連 續 函 數

棒 球 選 手 打 出 全 壘 打 時 ﹐ 球 在 空 中 飛 行 的 路 線 是 一 條「 連 續 」的 弧 線 ﹒這「 連 續 」與 數 學 上 的「 連 續 」 有 相 同 的 含 義 ﹒ 直 觀 來 看 ﹐若 函 數 f x

( )

的 圖 形 在 定 義 域 內 的 一 點 a 接 連 不 斷 ﹐則 當 x 趨 近 a 時 ﹐ f x

( )

就 必 須 趨 近 於 其 函 數 值 f a

( )

﹐ 如 圖 4 所 示 ﹒ a O x y y=f(x) f (a) ▲ 圖 4 這 個 直 觀 的 看 法 提 供 我 們 使 用 極 限 的 概 念 對 連 續 函 數 定 義 如 下 ﹕ 連 續 函 數 ： 設 a 為 函 數 f x

( )

定 義 域 的 一 點 ﹐ 當 滿 足 下 列 兩 個 條 件 時 ﹐ 稱 函 數 f x

( )

在 x a= 處 連 續 ﹕ (1) lim

( )

x→a f x 存 在 ﹔ (2) lim

( )

( )

x→a f x = f a ﹒ 又 當 函 數 f x

( )

在 定 義 域 中 的 每 一 點 都 連 續 時 ﹐ 稱 f x

( )

為 連 續 函 數 ﹒ 當 我 們 稱 函 數 f x

( )

在 區 間

[ ]

a b, 上 連 續 時 ﹐指 的 是 f x

( )

除 了 在 區 間

( )

a b, 上 的 每 一 點 都 連 續 外 ﹐ 也 要 滿 足 lim

( )

( )

x a f x f a + → = ﹐ limx b

( )

( )

f x f b − → = ﹒

關 於 連 續 ﹐ 舉 例 如 下 : (1) 多 項 式 函 數 f x

( )

﹕ 因 為 f x

( )

的 定 義 域 為 所 有 實 數 ﹐ 且 對 於 任 意 實 數 a 均 滿 足lim

( )

( )

x→a f x = f a ﹐ 所 以 f x

( )

為 連 續 函 數 ﹐ 即 多 項 式 函 數 都 是 連 續 函 數 ﹒ (2) 例 題 1 的 函 數

( )

2 4 2 x f x x − = − （ x≠2） ﹕ 因 為 f

( )

2 沒 有 定 義 ﹐ 所 以 f x

( )

在 x=2處 不 連 續 ﹒ (3) 高 斯 函 數 f x

( )

=

[ ]

x ﹕ 因 為

( )

1 lim 1 x f x + → = ﹐ 1

( )

lim 0 x f x − → = ﹐ 即

( )

( )

1 1 lim lim x x f x f x + − → ≠ → ﹐ 所 以

( )

1 lim x→ f x 不 存 在 ﹒ 因 此 ﹐ f x

( )

在 x=1處 不 連 續 ﹒ (4) 例 題 2 的 函 數

( )

2 2, 0 1 , 0 2 0 x x f x x x x + >   =_ = − + <  若 若 ,若 ﹕ 雖 然 f

( )

0 有 定 義 且

( )

0 lim x→ f x 存 在 ﹐ 但 因 為

( )

( )

0 lim 0 x→ f x ≠ f ﹐ 所 以 f x

( )

在 x=0處 也 是 不 連 續 ﹒ 直 觀 來 說 ﹐ 函 數 f x

( )

在 x a= 處 連 續 的 意 義 就 是 函 數 y= f x

( )

的 圖 形 在 x a= 處 沒 有 斷 裂 ﹒ 例 如 ﹐ 多 項 式 函 數 不 但 都 是 連 續 函 數 ﹐ 而 且 其 圖 形 都 是 連 續 不 斷 的 ﹒ 【 隨 堂 練 習 01】 選 出 在 x=0處 連 續 的 函 數 ﹕ (1) f x

( )

=x5−2x3+7 (2) f x

( )

= x (3) f x

( )

1 x = (4) f x

( )

=

[ ]

x Ans ： (1)(2) 【 詳 解 】 (1) 因 為 多 項 式 函 數 都 是 連 續 函 數 ﹐ 且 f (x)是 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以 f (x)在 x＝ 0 處 連 續 ﹒ (2) 因 為 0 lim ( ) 0 x→ f x = ﹐ 且 f (0)＝ 0﹐ 即 lim ( )x→0 f x = f(0)﹐

所 以 f (x)在 x＝ 0 處 連 續 ﹒ (3) 因 為 f (0)沒 有 定 義 ﹐ 所 以 f (x) 在 x＝ 0 處 不 連 續 ﹒ (4) 因 為 0 lim ( ) 0 x→ + f x = ﹐ 0 lim ( ) 1 x→ − f x = − ﹐ 即 0 0 lim ( ) lim ( ) x→ + f x x→ − f x ≠ ﹐ 所 以 0 lim ( ) x→ f x 不 存 在 ﹐ 因 此 ﹐ f (x)在 x＝ 0 處 不 連 續 ﹒ 故 選 項 (1)(2)正 確 ﹒ 底 下 ﹐ 我 們 利 用 連 續 函 數 的 定 義 ﹐ 求 未 知 係 數 ﹒ 【 例 題 9】 已 知 函 數

( )

2 3, 1 , 1 x x x f x x a x  + + ≥ =  + <  若 若 為 連 續 函 數 ﹐ 求 實 數 a 的 值 ﹒ Ans ： 4 【 詳 解 】 因 為 當 x>1或 x<1時 ﹐ f x

( )

是 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以 只 要 f x

( )

在 x=1處 連 續 ﹐ f x

( )

就 是 連 續 函 數 ﹒ 又 由 於 要 使 f x

( )

在 x=1處 連 續 ﹐ 必 須 滿 足

( )

( )

1 lim 1 x→ f x = f ﹐ 且

( )

2 1 1 1 3 5 f = + + = ﹐

( )

(

2

)

1 1 lim lim 3 5 x x f x x x + + → = → + + = ﹐

( )

(

)

1 1 lim lim 1 x→− f x =x→− x+a = + ﹐ a 於 是 可 得1+ =a 5﹐ 解 得 a=4﹒ 【 隨 堂 練 習 9】 已 知 函 數

( )

2 1, 2 3 , 2 x x x f x x a x  − + ≥ =  + <  若 若 在 x=2處 連 續 ﹐ 求 實 數 a 的 值 ﹒ Ans ：−3 【 詳 解 】

因 為 f (x)在 x＝ 2 處 連 續 ﹐ 所 以 2 lim ( ) (2) x→ f x = f ﹒ 又 由 於 f (2)＝ 22－ 2＋ 1＝ 3﹐ 2 2 2 lim ( ) lim ( 1) 3 x→ + f x =x→ + x − + =x ﹐ 2 2 lim ( ) lim (3 ) 6 x x f x x a a − − → = → + = + ﹐ 於 是 可 得 6＋ a＝ 3﹐ 解 得 a＝−3﹒ 某 日 氣 溫 變 化 大 ﹐ 上 午 6 時 的 氣 溫 為 18°C﹐ 下 午 15 時 的 氣 溫 為 27°C﹒ 由 於 氣 溫 的 高 低 變 化 是 連 續 的 ﹐ 於 是 在 6 時 到 15 時 之 間 必 然 至 少 有 一 時 刻 的 氣 溫 恰 好 是 20°C﹒ 這 個 生 活 經 驗 有 助 於 對 中 間 值 定 理 的 理 解 ﹒ 中 間 值 定 理 ： 設 函 數 f x

( )

在 區 間

[ ]

a b, 上 連 續 ﹐ 且 f a

( )

≠ f b

( )

﹒ 若 k是 介 於 f a

( )

與 f b

( )

之 間 的 實 數 ﹐ 則 在 a 與b之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

( )

=k﹒ b c a k f (b) f (a) O x y b c1 c2 c3 a k f (b) f (a) O x y （ 存 在 1 個 c ） （ 存 在 3 個 c ） 這 定 理 的 證 明 超 過 本 書 的 範 圍 ﹐ 故 省 略 ﹒

【 例 題 10】 已 知 f x

( ) (

= x−49

) (

2 x−51

)

2+2x﹐ 求 證 ﹕ 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

( )

=100﹒ 【 證 明 】 因 為 f x

( )

為 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以 f x

( )

是 連 續 函 數 ﹒ 又 因 為

( )

49 98 f = ﹐ f

( )

51 =102﹐ 所 以100介 於 f

( )

49 與 f

( )

51 之 間 ﹒ 由 中 間 值 定 理 得 知 ﹕ 在 49與51之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

( )

=100﹒ 【 隨 堂 練 習 10】 已 知

( )

3 2 f x =x −x +x﹐ 求 證 ﹕ 在 2與 3之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

( )

=10﹒ 【 證 明 】 因 為 f (x)為 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以 f (x)是 連 續 函 數 ﹒ 又 因 為 f (2)＝ 6﹐ f (3)＝ 21﹐ 所 以 10 介 於 f (2)與 f (3)之 間 ﹒ 由 中 間 值 定 理 得 知 ﹕ 在 2 與 3 之 間 至 少 有 一 實 數 c﹐ 使 得 f (c)＝ 10﹒ 利 用 中 間 值 定 理 可 以 幫 助 我 們 勘 定 方 程 式 實 根 的 位 置 ﹒ 【 例 題 11】 已 知 函 數 f x

( )

= ⋅ −x 3x 50為 連 續 函 數 ﹐ 求 證 ﹕ 方 程 式 x⋅ −3x 50= 在 2 與 3 之0 間 至 少 有 一 實 根 ﹒ 【 證 明 】 因 為 f

( )

2 = −32﹐ f

( )

3 =31﹐ 所 以 0介 於 f

( )

2 與 f

( )

3 之 間 ﹒ 由 中 間 值 定 理 得 知 ﹕ 在 2與3之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

( )

=0﹒ 故 方 程 式 f x

( )

=0在 2 與 3 之 間 有 一 實 根 ﹒

由 例 題 11 的 證 明 過 程 ﹐我 們 可 以 將 第 一 冊 第 二 章 中 限 制 在 多 項 式 函 數 的 勘 根 定 理 ﹐ 透 過 中 間 值 定 理 推 廣 為 適 用 於 所 有 的 連 續 函 數 ﹐ 敘 述 如 下 ﹕ 勘 根 定 理 ： 設 函 數 f x

( )

在 區 間

[ ]

a b, 上 連 續﹒若 f a f b

( ) ( )

<0（ 即 f a

( )

與 f b

( )

異 號 ）﹐ 則 方 程 式 f x

( )

=0在 a 與b之 間 至 少 有 一 實 根 ﹒ 事 實 上 ﹐ 勘 根 定 理 就 是 中 間 值 定 理 在 k=0時 的 特 例 ﹒ 【 隨 堂 練 習 11】 試 證 ﹕ 方 程 式 3 2 4x −6x +3x− = 在 1 與 2 之 間 至 少 有 一 實 根 ﹒ 2 0 【 證 明 】 令 f (x)＝ 4x3_{－ 6x}2_{＋ 3x－ 2﹒ 因 為 f (1)f (2)＝ ( −1) × 12＝ −12＜ 0﹐} 所 以 由 勘 根 定 理 得 知 ﹕ 方 程 式 f (x)＝ 0 在 1 與 2 之 間 至 少 有 一 實 根 ﹒ 現 在 我 們 利 用 勘 根 定 理 來 勘 察 實 根 的 位 置 ﹒ 【 例 題 12】 方 程 式 3 2 6 1 0 x −x − x+ = 在 哪 些 連 續 整 數 之 間 有 實 根 ﹖ Ans ： (−3， −2)。 (0， 1)， (2， 3) 【 詳 解 】 令

( )

3 2 6 1 f x =x −x − x+ ﹐ 經 過 計 算 得 x −3 −2 −1 0 1 2 3

( )

f x −17 1 5 1 −5 −7 1 因 為 f

( ) ( )

−3 f − = − <2 17 0﹐ f

( ) ( )

0 f 1 = − <5 0﹐ f

( ) ( )

2 f 3 = − <7 0﹐ 所 以 在−3 與 −2﹐ 0 與 1 及 2 與 3 之 間 有 實 根 ﹒ （ 因 為 f x

( )

=0最 多 有 三 個 實 根 ﹐ 所 以 沒 有 其 他 可 能 的 根 了 ） 【 隨 堂 練 習 12】 方 程 式 3 2 3 4 10 0 x − x − x+ = 在 哪 些 連 續 整 數 之 間 有 實 根 ﹖ 異 號 異 號 異 號

Ans ：−2 與 −1﹐ 1 與 2 及 3 與 4 【 詳 解 】 令 f (x)＝ x3_{－ 3x}2_{－ 4x＋ 10﹐ 經 過 計 算 得} x _{−2 −1} 0 1 2 3 4 ( ) f x − 2 10 10 4 − 2 − 2 10 異號 異號 異號 因 為 f (−2)f (−1)＝ −20＜ 0﹐ f (1)f (2)＝ −8＜ 0﹐ f (3)f (4)＝ −20＜ 0﹐ 所 以 在 −2 與 −1﹐ 1 與 2 及 3 與 4 之 間 有 實 根 ﹒ （ 因 為 f (x)＝ 0 最 多 有 三 個 實 根 ﹐ 所 以 沒 有 其 他 可 能 的 根 了 ﹒ ）

lt99b614 習 題

一 、 基 礎 題

1. 關 於 函 數

( )

2 2, 1 3 , 1 x x f x x x  + ≥ =  + <  若 若 ﹐ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1) f

( )

1 =3 (2)

( )

0 lim 2 x→ f x = (3) xlim→−1f x

( )

= 2 (4)

( )

2 lim 5 x→ f x = (5) limx→1 f x

( )

= f

( )

1 Ans ： (1)(3) 【 詳 解 】 y＝ f (x)的 圖 形 如 下 圖 ﹒ 觀 察 函 數 圖 形 得 知 ﹕ x y O 1 1 2 3 1 2 3 (2,6) (1,4) (1,3) ( 1,2) (1) 因 為 圖 形 通 過 (1， 3)﹐ 所 以 f (1)＝ 3 ﹒ (2) 當 x 趨 近 0 時 ﹐ f (x)會 趨 近 3﹒ 因 此 0 lim ( ) 3 x→ f x = ﹒ (3) 當 x 趨 近 −1 時 ﹐ f (x)會 趨 近 2﹒ 因 此 1 lim ( ) 2 x→− f x = ﹒ (4) 當 x 趨 近 2 時 ﹐ f (x)會 趨 近 6﹒ 因 此 2 lim ( ) 6 x→ f x = ﹒ (5) 當 x 從 1 的 右 邊 趨 近 1 時 ﹐ f (x)會 趨 近 3 ﹔ 當 x 從 1 的 左 邊 趨 近 1 時 ﹐ f (x)會 趨 近 4﹒ 因 此 ﹐ 當 x 趨 近 1 時 ﹐ f (x)不 會 趨 近 某 一 定 值 ﹒ 故 1 lim ( ) x→ f x 不 存 在 ﹒ 故 選 項 (1)(3)正 確 ﹒

2. 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1)

(

2

)

1 lim 3 x→ x + − x (2) 2 2 0 4 lim 2 4 x x x x → − + + (3) ₂ 3 2 1 3 1 lim 1 1 x x x x x → − +  ₋   _{+ −}    Ans ：(1) −1， (2) −1， (3) 0 【 詳 解 】 (1) 2 2 1 lim( 3) 1 1 3 1 x→ x + − = + − = −x ﹒ (2) 2 2 2 2 0 4 0 4 lim 1 2 4 0 2 0 4 x x x x → − ₌ − _{= −} + + + ⋅ + ﹒ (3) 因 為 3 2 1 5 lim 1 4 x x x → − ₌ + ﹐ 且 ₃ 2 3 1 10 5 lim 1 8 4 x x x → + _{= =} − ﹐ 所 以 ₂ 3 2 1 3 1 5 5 lim( ) 0 1 1 4 4 x x x x x → − ₋ + _{= − =} + − ﹒ 3. 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1) 2 2 3 5 6 lim 8 15 x x x x x → − + − + (2) ₂ 2 1 lim 6 x x x x → − + − (3) ₂ 3 4 2 lim 3 4 3 x x x x x → −  ₊   _{− − +}    (4) ₁ 3 1 5 2 lim 1 1 x x x x → −  ₋   _{− −}    Ans ：(1) 1 2 − ， (2) 不 存 在 ， (3) 1 2， (4) 2 3 − 【 詳 解 】 (1) 2 2 3 3 3 5 6 ( 3)( 2) 2 1

lim lim lim

8 15 ( 3)( 5) 5 2 x x x x x x x x x x x x x → → → − + ₌ − − ₌ − _{= −} − + − − − ﹒ (2) 因 為 分 母 在 x ＝ 2 的 函 數 值 為 0 ﹐ 但 分 子 在 x＝ 2 的 函 數 值 不 為 0﹐ 所 以 ₂ 2 1 lim 6 x x x x → − + − 不 存 在 ﹒ (3) 因 為 2 2 4 2 5 6 ( 2)( 3) 2 3 4 3 ( 1)( 3) ( 1)( 3) 1 x x x x x x x x x x x x x x − − + − − − + = = = − − + − − − − − ﹐ 所 以 ₂ 3 3 4 2 2 1 lim( ) lim 3 4 3 1 2 x x x x x x x x → → − _{+ =} − ₌ − − + − ﹒

(4) 因 為 1 5₃ 2 4₂ 3 ( 1)(₂ 3) ₂ 3 1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x − − + − − − − = = = − − − + + − + + + + ﹐ 所 以 _{3 2} 1 1 1 5 2 3 2 lim( ) lim 1 1 1 3 x x x x x x x x → → − − − = = − − − + + ﹒ 4. 設 a 為 實 數 ﹐ 且 極 限 2 2 lim 2 x x x a x →− + + + 存 在 ﹒ (1) 求 a 的 值 ﹒ (2) 求 此 極 限 ﹒ Ans ：(1) −2， (2) −3 【 詳 解 】 (1) 因 為 此 分 式 在 x＝−2 的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x＝−2 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x＝−2 的 函 數 值 為 0﹐ 即 (−2)2_{＋ (−2)＋ a＝ 0﹒} 解 得 a＝−2﹒ (2) 當 x ≠−2 時 ﹐ 將 原 分 式 變 形 如 下 ﹕ 2 2 ( 2)( 1) 1 2 2 x x x x x x x + − + − = = − + + ﹒ 故 2 2 2 2 lim lim ( 1) 2 1 3 2 x x x x x x →− →− + − = − = − − = − + ﹒ 5. 設 函 數

( )

2 1 , 1 1 0 , 1 x x f x x x  − _≠  = −  ₌  若 若 ﹒ (1) 求

( )

1 lim x→ f x ﹒ (2) 函 數 f x

( )

在 x=1處 是 否 連 續 ﹖ Ans ：(1) 2， (2) 不 連 續 【 詳 解 】 (1) 當 x ≠ 1 時 ﹐ 2 1 ( 1)( 1) 1 1 1 x x x x x x − − + = = + − − ﹒ 故 1 1 lim ( ) lim( 1) 2 x→ f x = x→ x+ = ﹒ (2) 因 為 1 lim ( ) 2 x→ f x = ﹐ 且 f (1)＝ 0﹐ 即 lim ( )x→1 f x ≠ f(1)﹐

所 以 f (x)在 x＝ 1 處 不 連 續 ﹒ 6. 已 知 函 數

( )

2 5 , 1 2 , 1 x x f x ax x  + ≥ =  − <  若 若 在 x=1處 連 續 ﹐ 求 實 數 a 的 值 ﹒ Ans ：8 【 詳 解 】 因 為 f (x)在 x＝ 1 處 連 續 ﹐ 所 以 1 lim ( ) (1) x→ f x = f ﹒ 又 由 於 f (1)＝ 12＋ 5＝ 6﹐ 2 1 1 lim ( ) lim( 5) 6 x→+ f x =x→+ x + = ﹐ 1 1 lim ( ) lim( 2) 2 x→− f x x→− ax a = − = − ﹐ 於 是 可 得 a－ 2＝ 6﹐ 解 得 a＝ 8﹒ 7. 已 知

( )

3 f x =x +x﹐ 求 證 ﹕ 在3與 4 之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

( )

=64﹒ 【 證 明 】 因 為 f (x)為 多 項 式 函 數 ﹐ 所 以 f (x)是 連 續 函 數 ﹒ 又 因 為 f (3)＝ 30﹐ f (4)＝ 68﹐ 所 以 64 介 於 f (3)與 f (4)之 間 ﹒ 由 中 間 值 定 理 得 知 ﹕ 在 3 與 4 之 間 至 少 有 一 實 數 c﹐ 使 得 f (c)＝ 64﹒ 8. 已 知 方 程 式 3 2 4 7 0 x − x − + = 恰 有 一 負 根 ﹐ 求 與 此 負 根 最 接 近 的 整 數 ﹒ x Ans ：−1 【 詳 解 】 令 f (x)＝ x3_{－ 4x}2_{－ x＋ 7} 經 過 計 算 得 x ₋₂ 3 2 − − 1 0 ( ) f x − 15 31 8 − 3 7 異號 因 為 ( 3) ( 1) 0 2 f − ⋅ − <f ﹐ 所 以 此 負 根 介 於 3 2 − 與 −1 之 間 ﹐ 即 此 負 根 最 接 近 的 整 數 為 −1﹒

二 ﹑ 進 階 題

9. 已 知 函 數 f x

( )

滿 足

( )

1 lim 5 1 x f x x → − = ﹐ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1)

( )

1 1 lim 5 1 x f x x x x →  ₊ − ₌  ₋    (2)

( )

(

)

1 lim 5 2 1 x f x x → − = (3)

( )

(

)

2 1 lim 5 1 x f x x → ₋ = (4)

( )

1 lim 0 x→ f x = (5)limx→1

(

x f x⋅

( )

)

= 0 Ans ： (1)(4)(5) 【 詳 解 】 (1) 因 為 1 ( ) lim 5 1 x f x x → − = ﹐ 且 1 1 0 lim 0 1 x x x → − = = ﹐ 所 以 1 ( ) 1 lim( ) 5 0 5 1 x f x x x x → − + = + = − ﹒ (2) 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 5

lim lim( ) lim 5

2( 1) 2 1 2 1 2 2 x x x f x f x f x x x x → − = → ⋅ − = ⋅ → − = ⋅ = ﹒ (3) 假 設 ₂ 1 ( ) lim ( 1) x f x x → − 存 在 且 其 值 為 L﹐ 則 因 為 lim(x→1 x− =1) 0﹐ 所 以 ₂ 1 1 ( ) ( ) lim lim( ( 1)) 0 0 1 ( 1) x x f x f x x L x x → − = → − ⋅ − = ⋅ = ﹒ 這 與 已 知 1 ( ) lim 5 1 x f x x → − = 不 合 ﹐ 假 設 錯 誤 ﹐ 故 ₁ 2 ( ) lim ( 1) x f x x → − 不 存 在 ﹒ (4) 因 為 1 ( ) lim 5 1 x f x x → − = ﹐ 且 lim(x→1 x− =1) 0﹐ 所 以 1 1 ( ) lim ( ) lim( ( 1)) 5 0 0 1 x x f x f x x x → = → − ⋅ − = ⋅ = ﹒ (5) 因 為 1 lim 1 x→ x= ﹐ 且lim ( )x→1 f x =0﹐ 所 以 lim(x→1 x f x⋅ ( )) 1 0= ⋅ =0﹒ 故 選 項 (1)(4)(5)正 確 ﹒ 10. 已 知 2 2 2 4 lim 4 x x x ax b → − = + + ﹐ 求 實 數 a ﹐b的 值 ﹒ Ans ：a＝−3﹐ b＝ 2 【 詳 解 】 因 為 此 分 式 在 x＝ 2 的 極 限 存 在 且 不 為 0﹐ 又 其 分 子 在 x＝ 2 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 母 在 x＝ 2 的 函 數 值 為 0﹐ 即 4＋ 2a＋ b＝ 0﹒ 將 b＝−2a－ 4 代 入 x2_{＋ ax＋ b﹐}

並 因 式 分 解 得

x2＋ ax＋ b＝ x2_{＋ ax－ 2a－ 4＝ (x}2_{－ 4)＋ a( x－ 2)＝ (x－ 2)(x＋ 2＋ a)﹒} 於 是

2 2

2 2 2

4 ( 2)( 2) 2 4

lim lim lim

( 2)( 2 ) 2 4 x x x x x x x x ax b x x a x a a → → → − − + + = = = + + − + + + + + ﹒ 因 此 ﹐ 由 題 意 得 4 4 4+a = ﹐ 解 得 a＝−3﹐ b＝ −2a－ 4＝ 2﹒ 11. 求 下 列 各 極 限 ﹕ (1) 2 lim 2 x x x x → − − (2) 2 1 2 lim 1 x x x x →− − − − Ans ：(1) 0， (2) 3 【 詳 解 】 (1) 2 2 2 | | 0

lim lim lim 0

| | 2 2 2 x x x x x x x x x x → → → − − = = = − − − ﹒ (2) 2 2 1 1 1 1 2 2 ( 1)( 2)

lim lim lim lim ( 2) 3

| | 1 1 ( 1) x x x x x x x x x x x x x x →− →− →− →− − − − − + − = = = − − = − − − − + ﹒ 12. 設 f x

( )

為 三 次 多 項 式 函 數 ﹐ 且

( )

1 lim 1 1 x f x x → − = ﹐

( )

2 lim 2 2 x f x x → − = ﹒ (1) 求 f x

( )

﹒ (2) 求

( )

4 lim 3 x f x x → − ﹒ Ans ：(1) f (x)＝ (x － 1)(x － 2)(3x－ 4) ， (2) 48 【 詳 解 】 (1) 因 為 分 式 ( ) 1 f x x− 在 x＝ 1 的 極 限 存 在 ﹐ 且 其 分 母 在 x＝ 1 的 函 數 值 為 0﹐ 所 以 其 分 子 在 x＝ 1 的 函 數 值 為 0﹐ 即 f (1)＝ 0﹒ 同 理 ﹐ 得 f (2)＝ 0﹒ 因 此 ﹐ 三 次 多 項 式 f (x)有 x－ 1 與 x－ 2 的 因 式 ﹒ 於 是 ﹐ 可 設 f (x)＝ (x－ 1)(x－ 2)(ax＋ b)﹒ 由 1 ( ) lim 1 1 x f x x → − = 及 2 ( ) lim 2 2 x f x x → − = ﹐ 可 列 得 ( 1)( ) 1 1 (1)(2 ) 2 2 2 a b a b a b a b − + = + = −   ⇒  _{+ =}  _{+ =}   ﹒ 解 得 a＝ 3﹐ b＝−4﹐ 故 f (x)=(x－ 1)(x－ 2)(3x－ 4)﹒ (2) 4 4 ( ) ( 1)( 2)(3 4) 3 2 8 lim lim 48 3 3 1 x x f x x x x x x → → − − − ⋅ ⋅ = = = − − ﹒

13. 已 知 f x

( )

=3x4−5x+2與

( )

3 4 1 g x = x − ﹐ 求 證 ﹕ 在 0與1之 間 至 少 有 一 實 數 c ﹐ 使 得 f c

( )

=g c

( )

﹒ 【 證 明 】 令 h(x)＝ f (x)－ g(x)﹐ 即 h(x)＝ 3x4_{－ 4x}3_{－ 5x＋ 3﹒} 因 為 h(0)⋅h(1)＝ 3 × (−3)＝ −9＜ 0﹐ 所 以 方 程 式 h(x)＝ 0 在 0 與 1 之 間 至 少 有 一 實 根 c﹒ 也 就 是 說 ﹐ 在 0 與 1 之 間 至 少 有 一 實 數 c﹐ 使 得 h(c)＝ f (c)－ g(c)＝ 0﹐ 即 f (c)＝ g(c)﹒