國中數學3 2 2根式的運算

2−2 根式的運算

◎根式的表示：若 a≠0、b≧0，則 a× b 寫成 a b ； b ÷a 寫成 _ab 或 １_a b 。

例如：5× 3 ＝5 3 ， 7 ÷2＝ _{2 ＝}7 1_{2 7 。} 【觀念釐清】這些帶有根號的數也可以像整數、分數一樣做加、減、乘、除的運算，而且滿足加法、 乘法的交換律、結合律及分配律。 例如： 2 ＋ 2 ＋ 2 寫成 3× 2 或 3 2 ；(－1_{2 )． 2 寫成－}1_{2 2 或－ 2 ；} 2 1.2× 2_{3 寫成 1.2} 2_{3 ； 5 ÷3 寫成 3 或} 5 1_{3 5 。} 練習1：計算下列各式的值。(1) (－2)×2 5 (2) 4 2 ×1_{6 (3)}2_{3 × 3} 3 練習2：計算下列各式的值。(1)3_{5 ×5 2 (2)12 ×(－16) (3)}5 3 7 _{4 ×}1₉ ◎根式的乘法運算：若a≧0、b≧0，則 a × b ＝ ab 。例如： 2 × 5 ＝ 2×5 ＝ 10 。 【說明】因為( 2 × 5 )2_{＝( 2 × 5 )×( 2 × 5 )＝( 2 × 2 )×( 5 × 5 )＝( 2 )}2_{×( 5 )}2_＝2×5＝10 且 2 和 5 都是正數，可知 2 × 5 也是正數，得 2 × 5 也為 10 的正平方根，又 10 的 正平方根為 10 ，所以 2 × 5 ＝ 2×5 ＝ 10 。

練習4：計算下列各式的值。(1) 5 × 11 (2)2 7 ×3 3 (3) _{2 ×}2 _{5 (4)3 6 ×4 6} 5 ◎根式的除法運算：若a≧0、b＞0，則 a b ＝ a b ， a ÷ b ＝ a÷b 。 例如： 35 ÷ 5 ＝ 35 ÷5 ＝ 7 。 【說明】因為( 2 5 ) 2 ＝ 2 5 × 2 5 ＝ 2 × 2 5 × 5 ＝ 2 5 且 2 、 5 都是正數，可知 2 5 也是正數， 得 2 5 為 2 5 的正平方根，又 2 5 的正平方根為 2 5 ，所以 2 5 ＝ 2 5 。 練習5：計算下列各式的值。(1) 35 ÷ 5 (2)(－6 6 )÷(4 3 ) (3) 4_{5 ÷ 15 (4)}2 1 3 ÷ 6 4 練習6：計算下列各式的值。(1) 112 ÷ 14 (2)9 14 ÷(－3 7 ) (3) 33 7 ÷ 11 21 ◎最簡根式：一個數 a b ，其中 a 為整數、分數或小數，b 為正整數，且 b 的標準分解式中質因數的 次數都是 1，則稱 a b 為最簡根式。 例如：3 2 、－7 3 、1_{2 6 、0.5 10 都是最簡根式。} 【觀念釐清】下列幾種情形都不是最簡根式： (1)根號內的數其標準分解式中有質因數的次數大於 1， 例如： 8 ＝ 23 _{、－ 63 ＝－ 3}2_{×7 。} (2)根號內的數為分數或小數，例如： 1_{2 、－ 0.1 。} (3)分數的分母有根式，例如： 1 5 、－ 9 3 、 2 3 。

練習7：下列哪些根式是最簡根式？ 27 36 42 8_{3 15} 7 2 6 11 12 8 ◎根式的化簡：將一個不是最簡根式的數化簡為最簡根式的過程，就稱為根式的化簡。 例如： 8 ＝ 4×2 ＝ 4 × 2 ＝2 2 。 練習8：將下列根式化為最簡根式。(1) 24 (2) 15 × 21 (3) 4×3×18 練習9：將下列根式化為最簡根式。(1) 80 (2) 12 × 20 (3) 6×9×121 ◎分母有理化：將分母化為不帶有根號的過程，稱為分母有理化。 例如： 1_{2 ＝} 1×2_{2×2 ＝ 2}22 ＝ 2 22 ＝ 2 2 (或 1 2 2 )； － 0.1 ＝－ _{10 ＝－}1 _{10×10 ＝－}1×10 ₁₀102 ＝－ 10 102 ＝－ 10 10 ； 1 5 ＝ 1× 5 5 × 5 ＝ 5 ( 5 )2 ＝ 5 5 。 練習10：將下列根式化為最簡根式。(1) 2 10 (2) 0.8 (3) 1 3 ÷ 1 2 練習11：將下列根式化為最簡根式。(1) 3_{7 (2) 7.2 (3)} 1_{5 ÷ 15} 2

◎同類方根：將兩個或兩個以上的根式化成形如 a b 的最簡根式後，若根號內的數b相同，就稱它們 是同類方根。 例如：2 2 、 _{2 、－3 2 是 2 的同類方根；} 2 －3 10 、 10 _{2 、0.3 10 是 10 的同類方根。} 練習12：化簡下列根式，並判斷哪些是 6 的同類方根。 12 24 16 2₃ 2 3 13 1 2 二、根式的四則運算： ◎根式的加減運算：根式中的加減運算是將同類方根合併，不同類則不能合併。 例如：2 3 ＋4 6 ＋3 3 －3 6 ＝(2 3 ＋3 3 )＋(4 6 －3 6 )＝5 3 ＋ 6 。 練習13：化簡下列各式。(1) 2 3 ＋3 3 (2) 4 6 －3 6 (3) 3 2 ＋2 3 ＋2 2 － 3 練習14：計算下列各式的值。(1) 7 11 －4 11 (2) 5 7 －3 5 －2 7 ＋4 5 練習15：化簡下列各式。 (1)3 2 ＋ 8 (2) 1_{16 ＋}9 425_{36 (3)} 2 6 － 2 3 6 (4)3 3 ＋2 5 －( 12 － 45 )

練習16：化簡下列各式。(1) 4 3 － 12 (2) 1 2 ＋ 18 (3) 12 ＋ 18 － 27 ＋ 50 【觀念釐清】(1) 1＋_{16 ≠ 1 ＋}9 _{16 ；(2)}9 4＋25_{36 ≠ 4 ＋} 25_{36 。} 【說明】(1) 1＋_{16 ＝}9 25_{16 ＝}5_{4 ， 1 ＋ 16 ＝1＋}9 3_{4 ＝}7_{4 ，}5_{4 ≠} 7_{4 。} (2) 4＋25_{36 ＝} 169_{36 ＝}13_{6 ， 4 ＋ 36 ＝2＋}25 5_{6 ＝}17_{6 ，}13_{6 ≠} 17_{6 。} ◎根式的四則運算：根式也可以像數一樣，進行四則運算。 練習17：化簡下列各式。(1) 6 ÷(3 2 ) (2) 1_{2 ×} 1_{5 ÷} 1_{6 (3)(－4 15 )×(－} 1_{3 )－4 5} 練習18：化簡下列各式。(1) (－ 6 )× 1_{3 ÷(2 2 ) (2) (－} 12_{3 )×(－ 10 )＋}3 1 2 練習19：化簡下列各式。(1) 2 3 ×( 12 － 2 ) (2)(－3 2 ＋ 15 )÷ 3 (3)( 3 ＋ 2 )( 6 －1)

練習20：化簡下列各式。(1) ( 24 －2 3 ＋ 15 )÷ 12 (2) (1＋ 2 )( 2 － 3 ) 練習21：化簡下列各式。(1) ( 3 －2 2 )( 3 ＋2 2 ) (2) ( 3 ＋2 2 )2 (3) ( 2 －2 3 )2 練習22：化簡( 5 ＋2)2( 5 －2)2。 【觀念釐清】要將根式有理化，可利用平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2。 練習23：將下列各式的分母有理化。(1) 1 3 － 2 (2) 1 3 2 －2 3 練習24：將下列各式的分母有理化。(1) 2 5 ＋1 (2) 2 3＋ 2

三、根式化簡的應用： ◎根式的近似值：(先化簡，再查表) (1)乘方開方表能夠列出的數值有限，課本只列出1～100之間的整數，在這些整數之外的數，基本上 還是可以透過根式的化簡，再利用查表計算出平方根的近似值。 例如：利用 2 1.414214≒ ，可以算出 128 ＝8 2 8×1.414214 11.313712≒ ≒ ； 1 2 ＝ 2 2 ≒ 1.414214 2 0.707107≒ ； 20000 ＝100 2 100×1.414214 141.4214≒ ≒ 。 (2)如果要查分數的方根，須先將根式化簡後再查表。 (3)如果要查小數的方根，則須先把小數化成分數，進行化簡後再查表。 練習25：求出下列各數的近似值。(以四捨五入法求到小數點後第 4 位) (1) 1_{3 (2) 8.5 (3)} 3_{2 (4) 7.9} (Hint：查表得 3 ≒1.732051， 850 ≒29.15476， 6 2.449490≒ ， 790 28.10694≒ ) 練習26：利用 2 ≒1.414， 6 ≒2.449，計算 4 6 － 2 的近似值。(以四捨五入法求到小數點後第2位) 練習27：利用 5 2.236≒ ，計算 2 5 －1 的近似值。(以四捨五入法求到到小數點後第2位) 自我評量 1. 下列何者是最簡根式？ (A) 75 (B)2_{9 7 (C)} 3 6 (D) 5 19

2. 下列何者不是 3 的同類方根？ (A) 12 (B) 6 3 (C) 1 3 24 (D) 16 1 3 3. 計算下列各式的值，並化為最簡根式。 (1) (－3 3 )×4 5 (2) 5_{6 ÷} 21₂ (3) 4＋6 2 －(5 2 －3) (4) 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 (5) ( 3 ＋ 5 )×(2 6 － 2 ) (6) (2 5 － 10 )÷ 15 4. 計算下列各式，並化為最簡根式。 (1) (2 5 －3 2 )(2 5 ＋3 2 ) (2) (2 5 ＋3 2 )2 (3) (2 5 －3 2 )2 5. 將 2 4 － 6 化為最簡根式。 6. 已知 24 4.89898≒ ， 240 15.49193≒ ，求出下列各數的近似值。 (1) 48_{5 (2) 0.24 (以四捨五入法求到小數點後第2位)}

習作 1. 下列敘述正確的打「○」，錯誤的打「×」。 (1) 52＝ (－5)2 (2) (－ 5 )2＝－ 52 (3)－ (－5)2＝5 2. 計算下列各式的值。 (1) 5×(－3 2 ) (2)2 5_{3 ×}9₄ (3) 2 13 ×(4 3 ) (4)6 7_{5 ×}5 7₄ (5) 8 ÷ 2 (6) 21_{5 ÷ 10} 7 (7) 9 10 ÷(3 5 ) (8)2 6_{3 ÷(}4_{9 3 )} 3. 計算下列各式的值，並化為最簡根式。 (1) 126 (2) 24 × 10 (3) 2 5 ÷(－ 2 ) (4)－ 3.6 (5) 8 × 3 × 2 (6) 3 2 ÷(2 3 )× 27 (7) 1_{3 ÷ 6 ×(－ 2 )} (8)2 5_{3 ×(6 6 )÷ 12} 4. 下列各組選項中，化簡後，哪些不是同類方根？ (A) 8 和 18 (B) 0.02 和 72 (C) 3 5 和 5 5 (D) 5 1 3 和 0.3

5. 計算下列各式的值，並化為最簡根式。 (1) 3 7 ＋(－5 7 ) (2) 4＋ 5 － 2 －2 5 ＋3 2 (3) 24 － 6 － 3 6 (4) 2 3 ＋ 12 － 27 (5) (－2 3 ＋ 75 )÷(－ 3 ) (6) ( 21 ＋ 56 )( 7 －1) 6. 設 a＝4 3 ＋ 8 ，b＝4 3 － 8 ，計算下列各式，並將結果化為最簡根式。 (1) a×b＝？ (2) a2＝？ (3) b2＝？ (4)a b ＝？ 7. 將下列各式化為最簡根式。(1) 3 7 ＋1 (2) 2 3－2 2 8. 利用下面的乘方開方表，求下列各數的近似值。(以四捨五入法求到小數點後第 4 位) N N 2 N 10N N N 2 N 10N 2 4 1.414214 4.472136 7 49 2.645751 8.366600 3 9 1.732051 5.477226 8 64 2.828427 8.944272 4 16 2.000000 6.324555 9 81 3.000000 9.486833 5 25 2.236068 7.071068 10 100 3.162278 10.00000 6 36 2.449490 7.745967 11 121 3.316625 10.48809 (1) 2_{5 (2) 0.6}

9. 已知 x＝ 5 6 －1 ，先將 x 有理化後，再求 x 2_{－2x＋3 的值。} 10. 設 a、b 為兩相異正整數，回答下列問題。 (1)有理化 1 a ＋ b 。 (2)利用(1)的結果計算 1 100 ＋ 99 ＋ 1 99 ＋ 98 ＋ 1 98 ＋ 97 …＋ 1 2 ＋ 1 ＝ 。 類題補充 1. 計算 2 1₄.÷ 1 1₄.× 6 2₃.＝ 。 2. 化簡 1 5 ＋ 7 － 2 5 ＋1 ＋ 3 7 ＋1 ＝ 。 3. 若 12 ＋ 75 ＋ 48 ＝ a ，則 a＝ 。

4. 若x＝ 17 ＋ 13 ₂ ，y＝ 17 － 13 ₂ ，則x2＋y2的值為多少？ 5. 化簡( 1 2 ＋ 3 ＋ 1 3 ＋ 4 ＋ 1 4 ＋ 5 )( 5 ＋ 2 )＝ 。 6. 若a＝ 13 ＋ 5 ，b＝ 15 ＋ 3 ，c＝ 14 ＋2，則a、b、c的大小關係為 。 7. 設a＝ 7 － 8 ，b＝ 6 － 9 ，c＝ 5 － 10 ，則a、b、c由小而大排列為 。 8. 設x＝ 5 － 3 5 ＋ 3 ，y＝ 5 ＋ 3 5 － 3 ，試求下列各式之值。 (1) x＋y＝ 。 (2) xy＝ 。 (3) x2＋y2＝ 。 9. 若( 2 ＋ 3 )2＝a＋b 6 ，a和b為整數，則a＋b＝ 。

10. 設 x＝ 2 ＋1，y＝ 2 －1，則 _{x ＋} 1 _{y ＝ 。} 1 11. 若a＋b＝5，ab＝4，則 b a ＋ a b ＝ 。 12. 若a＝1＋ 3 ，則(a＋4)(a－4)－2a＋17＝ 。 13. (1)化簡 1 n＋1 ＋ n ＝ 。 (2)若 f(n)＝ 1 n＋1 ＋ n ，則 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(34)＋f(35)＝ 。 14. 已知 x＝2 5 ＋3，則 x2－6x＋9＝ 。 15. 解方程式2x－1＝ 3 x＋5，得x＝ 。

加強練習 1. 下列哪個數與 3不是同類方根？ (A) 12 (B) 6 2 (C) 1 3. (D) 3 2. 2. 下列四個等式中，共有幾個是正確的？    (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4  甲： 2₃.÷ 3₂.＝ 2_{3 乙： 4 ＋ 9 ＝ 13 丙： 2 × 8 ＝4 丁： 5 － 4 ＝1} 3. 下列敘述中哪幾個是對的？    (A)甲、丙 (B)乙、丙 (C)丙、丁 (D)甲、丁  甲：( 7 ＋ 2 )2＝( 7 )2＋( 2 )2 乙： 60 ＝ 30 ×2 丙：( 6 － 2 )( 6 ＋ 2 )＝4 丁： 3 5 和 15 是同類方根 4. 若 x＝ 1 3 ＋ 2 ，y＝ 1 3 － 2 ，則 x 2 ＋y2的值為何？ (A) 10 (B) 2 3 (C) 10－4 6 (D) 6 6 5. 若計算 18 1_{3 ×} 21_{10 ÷x 後可得一整數，則 x 的值不可能為何？ (A) 22 (B)} 7 11_{7 (C)} 11_{14 (D) 154} 1 6. 計算( 3 ＋2)2008_{( 3 －2)}2009_{＝ 。} 7. 若 3 2 －1 2 ＋1 ＝a＋b 2 ，其中a、b為整數，則a＝ ；b＝ 。 8. 計算( 3 ＋ 2 ＋1)( 3 ＋ 2 －1)＝ 。 9. 已知 24 ≒4.89898， 240 ≒15.49193，則 0.024 ≒ 。(以四捨五入法取到小數第二位) 10. 計算 3 5 ＋ 2＋ 3 8 ＋ 5＋ 3 11 ＋ 8＋…＋ 3 98 ＋ 95＝ 。 11. 下列有關根式的運算哪一個是正確的？ (A) 5 ＋ 6 ＝ 11 (B) 3 ＋ 13 ＝4 (C) 2 2 － 2 ＝2 (D) 18 － 8 ＝ 2 12. 若m@n＝(m÷n)－(n÷m)，其中m、n為兩數，則 3 @ 2 ＝ 。 13. 若 a＝ 7 ＋ 5 7 － 5 ，則 a 介於哪兩個連續正整數之間？ 14. 已知將( 10 ＋3 2 )( 10 － 2 )化為最簡根式的結果為 a＋b c ，其中a、b、c皆為整數， 則 a＋b＋c＝ 。 15. 下圖中的甲為正方形、乙為長方形，若正方形甲的邊長¯ AB ＝ 2 －1，且長方形乙的面積為 18 ， 則長方形乙的長邊 ¯ BC ＝ 。 A B C 甲 乙 16. 化簡 3＋ 6 5 3 －2 12 － 18 ＋2 8 ＝？ 17. 若a＝ 7 ＋ 5 ₂ ，b＝ 7 － 5 ₂ ，則 (1) ab＝ 。(2) a2－b2＝ 。(3) _{a ＋} 1 _{b ＝ 。(4) a}1 2＋ab＋b2＝ 。

Ans：1.(D)；2.(B)；3.(C)；4.(A)；5.(B)；6. 3 －2；7. 7，－4；8. 4＋2 6 ；9. 0.15；10. 6 2 ； 11.(D)；12.1 6 6 ；13. 11和12；14. 13；15. 6＋3 2 ；16. 3 ；17. (1) 1 2 ，(2) 35 ，(3) 2 7 ，(4) 6 1 2 心得筆記