國中數學1 3 1代數式的化簡

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3−1 代數式的化簡

本節課程學習重點: ◎能以文字符號代表數,並知道如何簡記。 ◎能由具體情境中,用x、 y 等符號列出一元一次式。 ◎能將文字符號所代表的數代入代數式中求值。 ◎能運用數的運算規則進行代數式的運算。 ◎能以文字符號列式並化簡。 一、以文字符號列式: 在國中的階段,習慣上使用英文字母 a、b、c、…、x、y、z 等文字來代表數。例如: (1)一杯珍珠奶茶比一杯奶茶貴 5 元。 若一杯奶茶 x 元,則一杯珍珠奶茶(x+5)元;若一杯珍珠奶茶 y 元,則一杯奶茶(y-5)元。 (2)文展每天可以背 10 個英文單字。 若連續背了 a 天,則共背了(10×a)個英文單字;若背了 b 個英文單字,則共背了(b÷10)天。 上述這些文字符號和數字所組成的算式,在數學上稱為代數式。 練習 1 :根據題意在下列空格中填入適當的答案。 (1)一瓶果汁比一瓶汽水貴12元。 若一瓶果汁 a 元,則一瓶汽水為 元。若一瓶汽水 b 元,則一瓶果汁為 元。 (2)簽字筆每枝 60 元。 若買了 x 枝簽字筆,則共需 元。若花了 y 元買簽字筆,則共買了 枝。 ◎代數式的簡記: (1)乘法的簡記:因為乘號「×」和英文字母「x」容易混淆,所以常將數字和英文字母間的乘號「×」 改寫成「.」或省略不寫,而直接把數字寫在英文字母前面。例如:「8×x」可記為「8.x」或 簡記為「8x」。 (2)除法的簡記:因為 3÷5= 35,又 x 代表數,所以 x÷5= 5x,x÷(-5)= -5x【觀念釐清】(1)因為乘法有交換律,則「x×8」也可記為「8.x」或「8x」,習慣上不會寫成「x8」。 (2)因為任何數與 1 的乘積都等於該數,所以 1×x=x,且(-1)x=-x。 (3)因為 -47 = -7 4 =- 7 4,所以 x -5也可以記為 -x 5 、- x 5或- 1 5x。 (4)因為6÷ 2 3=6× 3 2= 6×3 2 ,所以 x÷ 2 3=x. 3 2= 3 2.x= 3 2x,且 3 2x= 3.x 2 = 3x 2。 (5)當算式中含有加減運算時,加號「+」及減號「-」是不可省略的。

練習 2 :簡記下列各式。(1) 18×x (2) (-1)×y (3) 3.5×a (4) (-2.4)×b (5) y×(-23) (6) a× 5

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練習 3:簡記下列各式。(1) x÷3 (2) x÷(-3) (3) x÷1 (4) x÷(-1) (5) x÷(- 5

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練習 4:簡記下列各式。(1) x×(-8)-9 (2) y× 8 3+3 (3) x÷32-5 (4) y÷(- 5 6)+13 練習 5:簡記下列各式。(1) y×18+2.9 (2) x×(-0.7)-1.8 (3) y÷(- 15 2 )- 9 4 (4) 24+x÷ 1 3 ◎以文字符號列式: 在解決數學問題時,常常需要根據題目中的文字敘述寫出相關的代數式再做運算。例如: ◎一元一次式:只含有一種文字符號(一元),且文字符號的次數是 1(一次)的代數式,稱為一元一次式。 例如:x+5、y-3、 a 3均稱為一元一次式。 練習 6 :根據下列各題的題意列出代數式。(1)比x大6的數 (2)比x的6倍大5的數 練習 7 :根據下列各題的題意列出代數式。 (1)已知大揆有 a 元,小易的錢是大揆的 1 4倍,則小易有多少元? (2)爸爸的體重比弘文體重的 3 倍多 2 公斤,若弘文的體重是 x 公斤,則爸爸的體重是多少? (3)已知一枝鉛筆賣 y 元,若一枝原子筆比一枝鉛筆貴 25 元,則買 3 枝原子筆要多少元? 練習 8 :根據下列各題的題意列出代數式。 (1)已知一台電風扇售價 b 元,一台冷氣機售價是一台電風扇的 4.5 倍,則一台冷氣機售價 是 元。 (2)已知地虎身高是 y 公分,若天龍的身高比地虎身高的 2 倍還少 23 公分,則天龍的身高 是 公分。 (3)已知一杯美式咖啡賣 c 元,自備環保杯可退 2 元,若 7 個小矮人各點一杯美式咖啡且均 自備環保杯,則 7 個小矮人合計應付 元。 文字敘述 代數式 比 x 大 5 的數 x+5 比 y 小 3 的數 y-3 x 的 2 3倍 x. 2 3或 2 3x 把 a 分成 3 等分 a÷3 或 a 3 比 c 的 2 倍多 10 c.2+10 或 2c+10

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練習 9:根據下列各題的題意列出代數式。 (1)已知一正方形周長為 y,則此正方形邊長是多少? (2)若甲、乙兩地相距 x 公里,某人由甲地到乙地每小時走 5 公里,回程比去程多花 2 小時, 則回程花了多少小時? (3)已知一箱柳丁有 y 個,若再增加 14 個柳丁就能完全平分給 25 位學生,則每位學生可分得 多少個柳丁? 練習 10:根據下列各題的題意列出代數式。 (1)已知一長方形的面積為 b 平方公分,寬為 83公分,則此長方形的長是 公分。 (2)已知鉛筆一打 x 元,劉三用身上所有的錢買了 7 枝,還剩 5 元,則劉三身上 原有 元。 (3)一盒糖果有 a 顆,若全部平分給 27 個學生,會剩下 5 顆,則每個學生可以 分得 顆糖果。 二、求代數式的值:當代數式中的文字符號都代表數時,這個代數式也代表一個數,稱為代數式的值, 代數式的值是由式子內文字符號所代表的數來決定。 練習11:求下列各代數式的值。 (1)當 x=1 時,-4x= 。 (2)當 x=-0.6 時,-4x= 。 (3)當 x= 12時,15- 23x= 。 (4)當 x=-2 時,15- 2 3x= 。 練習 12:在下表的空格中填入各代數式的值。 x 值 代數式 4 -2 1.4 - 7 5 2x-1 3+(- 5 7x)

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練習 13:日新百貨公司舉辦年終大拍賣,原價為 x 元的衣服都改以( 3 5x-1)元出售。 (1)已知宏嘉買了一件原價 300 元的 T-shirt,應付多少元? (2)已知曉君買了一件原價 750 元的襯衫,應付多少元? 練習 14:當男生身高 x 公分時,他的理想體重是(x-80)×0.7 公斤。若英杰身高 170 公分,嘉興身高 160 公分,則他們的理想體重分別是多少? 三、代數式的運算:(1)做代數式的乘法運算時,可以先把代數式中的各數字相乘,再乘以文字符號。 (2)做代數式的加減運算時,若文字符號相同,可以把相同文字符號前面已知的數 先做加減的運算,再乘以文字符號。 (3)做代數式的加減運算時,可將有相同文字符號x的部分合併在一起化簡,再將 沒有 x 的部分合併在一起化簡。 練習 15:化簡下列各式。(1) (-2).(4x) (2) 3x.(- 2 3) 練習 16:化簡下列各式。(1)(-3).( 4 3y) (2)(- 7 3x).(-2) 練習 17:化簡下列各式。(1) 5x÷(- 4 7) (2)(-6x)÷ 3 5 練習 18:化簡下列各式。(1) 4y÷(- 2 3) (2)(- 5 8y)÷(- 3 4) 練習 19:化簡下列各式。(1)-2x+3x (2) 8y-(-5y) (3) 7x-x (4) 1 2y- 2 3y 練習 20:化簡下列各式。(1)-9y+14y (2)(-a)+(-2a) (3)(-6x)-(-5x) (4) 5 3b+(- 3 4b)

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練習 21:化簡下列各式。(1) 3x+5+2x+7 (2) 6x-8-4x-5 練習 22:化簡下列各式。(1) 2x-5-4x+1 (2)-3x+2-2x-3 ◎代數式的四則運算: 練習 23:化簡下列各式。(1)-(x-5) (2)-(4x+3) (3)-(-3x-1) (4)-(-2x+3) 練習 24:化簡下列各式。(1)-(3x+7) (2)-(5x-11) (3)-(-2x-5) (4)-(-4x+9) 練習 25:化簡下列各式。(1) (x+4)×(-4) (2)-3(-12x-5) 練習 26:化簡下列各式。(1) (-3x-7)×(-5) (2)-2(x-20) 練習 27:化簡下列各式。(1) x-6-(-x+5) (2)-2(3x-5)+3(-x-1) 練習 28:化簡下列各式。(1)-4(x+3)+2(2x-1) (2)-7(x-1)-5(x+2) 練習 29:化簡下列各式。(1) 11x-2[3x-(5x-4)] (2) 2x+1 3 - 2-3x 2 (Hint:分子合併前要先加括號) 練習 30:化簡下列各式。(1)6x-2[4x-(-3x+2)] (2) 2x-5 6 + 3x+1 4

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練習 31:右圖為梯形,用含有 x 的代數式,表示梯形的面積與周長。 2x+1 x+5 6 7 (單位:公分) 4x-2 練習 32:用含有 a 的代數式,表示右圖三角形的面積。 3 2(a+5) 練習 33:白米每公斤x元,五穀米每公斤比白米貴16元。若買白米6公斤、五穀米4公斤,則混合後平均 每公斤多少元? 練習 34:小佑的撲滿中有5元、10元硬幣共x個,其中10元的硬幣有32個,則 (1)小佑的撲滿中共有幾個5元硬幣?(以x列式) (2)小佑的撲滿中共有多少元? (3)若小佑撲滿中所有的錢剛好可買5臺價格相同的模型飛機,則每臺模型飛機為多少元? 自我評量 1. 簡記下列各代數式。 (1) x.(-6) (2) (-3.5)×b+4.2 (3) 15+c÷(- 1 2) (4) d×(-2)+ 6 7 (5) x.5+(-6) (6) z÷ 2 5- 3 2 2. 計算下列各代數式的值。 x 值 代數式 2 0.5 -5 - 1 2 (-x)÷6 2x-7

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3. 化簡下列各式。 (1) 3x.(-7) (2) (- 3 4x)÷(- 1 2) (3) (- 5a 3)+ 11 6 a (4) 9a-5+(-4a)+3 (5) y+6-(4y-6) (6) 6(-x+2)-2(-3x-2) (7) 2y+5[2- 1 3(3y-12)] (8) y-1 3 - 3y+1 2 +1 4. 若右圖中所有的角都是直角,則灰色區域的面積為 平方單位。(以 x 列式並化簡) 10 3 4 x-2 5. 幼佳和 9 位同學去看電影,總共付了 x 張壹仟元與 5 張壹佰元鈔票,那麼平均每人要付多少元? 習作 1. 簡記下列各代數式。 (1) x×(-3)= 。 (2) 6×y= 。 (3) (-1 12 )×x= 。 (4) y×2 3 = 。 (5) x÷7= 。 (6) y÷(-9)= 。 2. 依照題意列式。 (1)小萍今年 x 歲,媽媽的年齡是小萍的 3 倍,媽媽今年是

歲; 爸爸的年齡比小萍的 3 倍多 2 歲,爸爸今年是

歲。 (2) a 張一百元與 4 個十元,合起來是

元。 (3)民國 100 年是西元 2011 年,那民國 x 年是西元

年。

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3. 在下表的空格中填入各代數式的值。 a 代數式 -4 - 3 2 4 5 -2.5 a+5 6a-1 7-2a 4. 當攝氏溫度為 x°C 時,華氏溫度為(9 5 x+32)°F。那攝氏溫度 30°C 時,華氏溫度是多少°F? 5. 化簡下列各式。 (1) (-5).3x.2 (2) 9y÷(-3 2 ) (3)-9-6x+12 (4) (2y-5)×(-3) (5)-5(2x+1)÷4 (6)-3(-4x-2)+(1-x) (7) 4x-[5x-3(2x-1)]-3 (8) -x+4 3 - 2x-1 2 6. 依照題意列式並寫出化簡過程。 (1)一條繩子折成等長的 4 段後,每一段都比蕙芝的身高多 30 公分。如果蕙芝的身高為 x 公分, 那麼繩子的長是 公分。 (2)四個連續偶數中,若最小的數是 x,則最大的數是 ,這四個連續偶數的和為 。 (3)華華的數學考卷中,有 3 張都得到 x 分,剩下一張是 80 分。華華這 4 張數學考卷的平均分數 是 分。 (4)小華原有(18x+300)元,若他平均每天用去(2x-15)元,則 5 天後他還剩下 元。

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7. 聖涵為某餐廳作促銷企畫案,他提了三個方案: 甲案:先將顧客消費金額打九折,再加收打折後金額的 10%作為服務費。 乙案:先加收顧客消費金額的 10%作為服務費,再將全部金額打九折。 丙案:既不打折也不加收服務費。 則哪個方案對消費者最划算?還是你有別的發現? 8. 化簡 6 7 { 2 3 [ 7 2 (x+4)-2]+6}。 9. 依照題意列式並寫出化簡過程。 (1)一個二位數的個位數字與十位數字的和是 10,設個位數字為 x,則此二位數可表示為 。 若將原數的個位數字與十位數字對調,得到一個新數,則此新數可表示為 。 (2)將一根長 x 公分的竹竿垂直插入水中,已知露出水面的部分為全長的1 5 ,插入泥中的部分比露出 水面的部分多 20 公分,則在水中的部分長為 公分。 水 泥土 類題補充 1. 設 A=-3x+4,B=x-6,C=7x-4,則 5A-(3B-4C)表示成 x 的算式為 。 2. 化簡下列各式: (1) -(2x-5)+3(-x-2)=? (2) 4×{-[5x-3(2x-1)]}-3=? (3)1 3 (4x-6)- 1 2 [-(3x+2)]=?

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3. 如右圖,四邊形 ABCD 是一個長方形,則△DEF 的面積以 x 的關係式表示為 平方單位。

A

B

x

E

F

D

C

12 6 5 4. 小祥想將手上的 500 元紙鈔換成硬幣,若全換成 50 元硬幣則可換 10 個,但他又想要有一些 10 元 硬幣,所以最後他決定只換 a 個 50 元硬幣,剩下的錢全換成 10 元硬幣,則 10 元硬幣有幾個? 5. 新生分配宿舍,請依條件回答下列問題: (1)若每 6 人一間宿舍,則有 13 人無宿舍可住。已知學生有 x 人,則宿舍有 間。 (2)若每 8 人一間宿舍,則會剩餘一間宿舍無人住。已知宿舍有 y 間,則學生有 人。 6. 某人開車往返於甲、乙兩地,去程時速為 40 公里,回程時速為 60 公里,若兩地相距 x 公里,則 (1)此人往返甲、乙兩地共費時多少小時?(用 x 表示) (2)此人往返甲、乙兩地的平均時速為多少公里? 7. 如右圖,試求: (1)四邊形 ABCD 面積為多少? (2)承(1),若 x=6,則四邊形 ABCD 的面積為多少? 8. 設一個三位數的百位數為 9,末兩位數為 x,若將百位數 9 移至最右邊作為新的個位數,則新數的值 為何? 9 5 A B 4x+ 1 C D 2x-5

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加強練習

1. 若一個二位數 36,現在將 4 放在 36 的左邊,則形成一個三位數 436。同理,若 a 是一個三位數, 現在將 25 放在 a 的左邊,則形成一個五位數,則此五位數應該以下列哪一個式子來表示?

(A) 25a (B) 100a+25 (C) 2500+a (D) 25×103+a

2. 若 x 是奇數,下列各數何者是奇數? (A) x+x (B) 2x-1 (C) 2x2 (D) 3x+1 3. 已知橘子 3 公斤的價錢等於柳丁 5 公斤的價錢,設柳丁每公斤 x 元,則買橘子 6 公斤及柳丁 5 公斤 共需多少錢? (A) 15x (B) 9x (C) 11x (D) 14x 4. 如右圖,甲、乙、丙、丁都是正方形,甲的周長是 2x,乙的周長是 8, 丙的周長是 x+12,則丁的周長是多少? (A) x-20 (B) x-16 (C) x-24 (D) x-32 5. 王先生一家到餐廳用餐,結帳時有三個服務生前來: 甲服務生:我幫您結帳,可以先打九折,再加一成服務費。 乙服務生:我幫您結帳,可以加完一成服務費後,再全部打九折。 丙服務生:我幫您結帳,雖然不打折,但是可以不加服務費。 則下列何者正確? (A) 給甲結帳最貴 (B) 給乙結帳最貴 (C) 給丙結帳最貴 (D) 給甲、乙、丙結帳,價錢都一樣 6. 有一對父子現在的年齡和為 a 歲,則十年前父子的年齡和為 歲。 7. 若 xa-10=0,求 x2a+x3a= 。 8. 有一套精裝書籍,若以每套 x 元的價格出售則會賠 10%,如果想賺 10%,則該套書籍應該 賣 元。(以 x 表示) 9. 有一個二位數的十位數字為 x,個位數字為 3,若在 x 與 3 之間插入數字 8 而成為三位數, 則此三位數可用下列哪一個式子表示? (A) x+8×10+3×100 (B) x×100+3×100+8 (C) x+3×10+8×100 (D) x×100+8×10+3 10. 阿杰段考七科總平均 x 分,若數學考 75 分,則其他六科平均是 分。 11. 兄弟兩人共有 600 元,其中兄有 x 元,若兄再給弟 80 元,則弟有多少元? (A) 600+x+80 (B) 600+x-80 (C) 600-x+80 (D) 600-x-80 12. 化簡 2x+13-3x+22 的結果為何? (A) 13x-4 (B) 13x+8 (C) 13x-46 (D) 13x+86 13. 已知目前地面溫度為 27°C,若離地面高 x 公尺處的溫度為(27- x 100×0.6)°C,則離地面高 500 公尺 處的溫度為 °C。 14. 右圖為一長 40 公分、寬 30 公分的長方形紙板,今沿著四邊 分別剪裁掉寬度為 1 公分、2 公分、3x 公分和 4x 公分的長條 紙板後,則剩餘的長方形紙板(灰色部分)的周長為何?(用 x 表示) 15. 已知 A=3x-5,B=-x+2,C=4x-1,則 (1) 2A-3B+C=? (2) 3A 4 - 2B 3 - C 6=? (3) A-{2B-[3C+4(A-B)-(3C-4B)]}=? 16. 甲、乙、丙三人共有 3000 元,若甲有 x 元,且乙的錢是甲的 2 倍少 80 元,則 (1)丙有多少元? (2)乙的所有錢的 1 4比丙所有錢的 1 5多幾元? 17. 把 100 分成甲、乙、丙三數,若乙數為 y,且甲數比乙數的 3 倍少 6,則 (1)丙數為多少? (2)甲數的 1 3比丙數的 1 2大多少? 18. 教室中,由一男生的眼中見到男生人數比女生人數的 2 倍少 5 人,若女生有 x 人,則男生有幾人? 19. 五個連續奇數,若最大的數是 x,則這五個連續奇數的和是 。 甲 乙 丙 丁 40 2 1 4x 3x 3 0

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Ans:1.(D);2.(B);3.(A);4.(A);5.(C);6. a-20;7. 1100;8.11 9 x ;9.(D);10. 7 75 6 x− ;11.(C); 12.(C);13. 24;14. (134-14x)公分;15.(1) 13x-17,(2) 9 4x- 59 12,(3) 17x-29; 16.(1) 3080-3x(元),(2) 11 10x-636(元);17.(1) 106-4y,(2) 3y-55;18. (2x-4)人;19. 5x-20。 心得筆記

數據

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參考文獻

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