3−1 代數式的化簡
本節課程學習重點： ◎能以文字符號代表數，並知道如何簡記。 ◎能由具體情境中，用x、 y 等符號列出一元一次式。 ◎能將文字符號所代表的數代入代數式中求值。 ◎能運用數的運算規則進行代數式的運算。 ◎能以文字符號列式並化簡。 一、以文字符號列式： 在國中的階段，習慣上使用英文字母 a、b、c、…、x、y、z 等文字來代表數。例如： (1)一杯珍珠奶茶比一杯奶茶貴 5 元。 若一杯奶茶 x 元，則一杯珍珠奶茶(x＋5)元；若一杯珍珠奶茶 y 元，則一杯奶茶(y－5)元。 (2)文展每天可以背 10 個英文單字。 若連續背了 a 天，則共背了(10×a)個英文單字；若背了 b 個英文單字，則共背了(b÷10)天。 上述這些文字符號和數字所組成的算式，在數學上稱為代數式。 練習 1 ：根據題意在下列空格中填入適當的答案。 (1)一瓶果汁比一瓶汽水貴12元。 若一瓶果汁 a 元，則一瓶汽水為 元。若一瓶汽水 b 元，則一瓶果汁為 元。 (2)簽字筆每枝 60 元。 若買了 x 枝簽字筆，則共需 元。若花了 y 元買簽字筆，則共買了 枝。 ◎代數式的簡記： (1)乘法的簡記：因為乘號「×」和英文字母「x」容易混淆，所以常將數字和英文字母間的乘號「×」 改寫成「．」或省略不寫，而直接把數字寫在英文字母前面。例如：「8×x」可記為「8．x」或 簡記為「8x」。 (2)除法的簡記：因為 3÷5＝ 35，又 x 代表數，所以 x÷5＝ 5x，x÷(－5)＝ －5x 。 【觀念釐清】(1)因為乘法有交換律，則「x×8」也可記為「8．x」或「8x」，習慣上不會寫成「x8」。 (2)因為任何數與 1 的乘積都等於該數，所以 1×x＝x，且(－1)x＝－x。 (3)因為 －47 ＝ －7 4 ＝－ 7 4，所以 x －5也可以記為 －x 5 、－ x 5或－ 1 5x。 (4)因為6÷ 2 3＝6× 3 2＝ 6×3 2 ，所以 x÷ 2 3＝x． 3 2＝ 3 2．x＝ 3 2x，且 3 2x＝ 3．x 2 ＝ 3x 2。 (5)當算式中含有加減運算時，加號「＋」及減號「－」是不可省略的。練習 2 ：簡記下列各式。(1) 18×x (2) (－1)×y (3) 3.5×a (4) (－2.4)×b (5) y×(－23) (6) a× 5
9
練習 3：簡記下列各式。(1) x÷3 (2) x÷(－3) (3) x÷1 (4) x÷(－1) (5) x÷(－ 5
練習 4：簡記下列各式。(1) x×(－8)－9 (2) y× 8 3＋3 (3) x÷32－5 (4) y÷(－ 5 6)＋13 練習 5：簡記下列各式。(1) y×18＋2.9 (2) x×(－0.7)－1.8 (3) y÷(－ 15 2 )－ 9 4 (4) 24＋x÷ 1 3 ◎以文字符號列式： 在解決數學問題時，常常需要根據題目中的文字敘述寫出相關的代數式再做運算。例如： ◎一元一次式：只含有一種文字符號(一元)，且文字符號的次數是 1(一次)的代數式，稱為一元一次式。 例如：x＋5、y－3、 a 3均稱為一元一次式。 練習 6 ：根據下列各題的題意列出代數式。(1)比x大6的數 (2)比x的6倍大5的數 練習 7 ：根據下列各題的題意列出代數式。 (1)已知大揆有 a 元，小易的錢是大揆的 1 4倍，則小易有多少元？ (2)爸爸的體重比弘文體重的 3 倍多 2 公斤，若弘文的體重是 x 公斤，則爸爸的體重是多少？ (3)已知一枝鉛筆賣 y 元，若一枝原子筆比一枝鉛筆貴 25 元，則買 3 枝原子筆要多少元？ 練習 8 ：根據下列各題的題意列出代數式。 (1)已知一台電風扇售價 b 元，一台冷氣機售價是一台電風扇的 4.5 倍，則一台冷氣機售價 是 元。 (2)已知地虎身高是 y 公分，若天龍的身高比地虎身高的 2 倍還少 23 公分，則天龍的身高 是 公分。 (3)已知一杯美式咖啡賣 c 元，自備環保杯可退 2 元，若 7 個小矮人各點一杯美式咖啡且均 自備環保杯，則 7 個小矮人合計應付 元。 文字敘述 代數式 比 x 大 5 的數 x＋5 比 y 小 3 的數 y－3 x 的 2 3倍 x． 2 3或 2 3x 把 a 分成 3 等分 a÷3 或 a 3 比 c 的 2 倍多 10 c．2＋10 或 2c＋10
練習 9：根據下列各題的題意列出代數式。 (1)已知一正方形周長為 y，則此正方形邊長是多少？ (2)若甲、乙兩地相距 x 公里，某人由甲地到乙地每小時走 5 公里，回程比去程多花 2 小時， 則回程花了多少小時？ (3)已知一箱柳丁有 y 個，若再增加 14 個柳丁就能完全平分給 25 位學生，則每位學生可分得 多少個柳丁？ 練習 10：根據下列各題的題意列出代數式。 (1)已知一長方形的面積為 b 平方公分，寬為 83公分，則此長方形的長是 公分。 (2)已知鉛筆一打 x 元，劉三用身上所有的錢買了 7 枝，還剩 5 元，則劉三身上 原有 元。 (3)一盒糖果有 a 顆，若全部平分給 27 個學生，會剩下 5 顆，則每個學生可以 分得 顆糖果。 二、求代數式的值：當代數式中的文字符號都代表數時，這個代數式也代表一個數，稱為代數式的值， 代數式的值是由式子內文字符號所代表的數來決定。 練習11：求下列各代數式的值。 (1)當 x＝1 時，－4x＝ 。 (2)當 x＝－0.6 時，－4x＝ 。 (3)當 x＝ 12時，15－ 23x＝ 。 (4)當 x＝－2 時，15－ 2 3x＝ 。 練習 12：在下表的空格中填入各代數式的值。 x 值 代數式 4 －2 1.4 － 7 5 2x－1 3＋(－ 5 7x)
練習 13：日新百貨公司舉辦年終大拍賣，原價為 x 元的衣服都改以( 3 5x－1)元出售。 (1)已知宏嘉買了一件原價 300 元的 T-shirt，應付多少元？ (2)已知曉君買了一件原價 750 元的襯衫，應付多少元？ 練習 14：當男生身高 x 公分時，他的理想體重是(x－80)×0.7 公斤。若英杰身高 170 公分，嘉興身高 160 公分，則他們的理想體重分別是多少？ 三、代數式的運算：(1)做代數式的乘法運算時，可以先把代數式中的各數字相乘，再乘以文字符號。 (2)做代數式的加減運算時，若文字符號相同，可以把相同文字符號前面已知的數 先做加減的運算，再乘以文字符號。 (3)做代數式的加減運算時，可將有相同文字符號x的部分合併在一起化簡，再將 沒有 x 的部分合併在一起化簡。 練習 15：化簡下列各式。(1) (－2)．(4x) (2) 3x．(－ 2 3) 練習 16：化簡下列各式。(1)(－3)．( 4 3y) (2)(－ 7 3x)．(－2) 練習 17：化簡下列各式。(1) 5x÷(－ 4 7) (2)(－6x)÷ 3 5 練習 18：化簡下列各式。(1) 4y÷(－ 2 3) (2)(－ 5 8y)÷(－ 3 4) 練習 19：化簡下列各式。(1)－2x＋3x (2) 8y－(－5y) (3) 7x－x (4) 1 2y－ 2 3y 練習 20：化簡下列各式。(1)－9y＋14y (2)(－a)＋(－2a) (3)(－6x)－(－5x) (4) 5 3b＋(－ 3 4b)
練習 21：化簡下列各式。(1) 3x＋5＋2x＋7 (2) 6x－8－4x－5 練習 22：化簡下列各式。(1) 2x－5－4x＋1 (2)－3x＋2－2x－3 ◎代數式的四則運算： 練習 23：化簡下列各式。(1)－(x－5) (2)－(4x＋3) (3)－(－3x－1) (4)－(－2x＋3) 練習 24：化簡下列各式。(1)－(3x＋7) (2)－(5x－11) (3)－(－2x－5) (4)－(－4x＋9) 練習 25：化簡下列各式。(1) (x＋4)×(－4) (2)－3(－12x－5) 練習 26：化簡下列各式。(1) (－3x－7)×(－5) (2)－2(x－20) 練習 27：化簡下列各式。(1) x－6－(－x＋5) (2)－2(3x－5)＋3(－x－1) 練習 28：化簡下列各式。(1)－4(x＋3)＋2(2x－1) (2)－7(x－1)－5(x＋2) 練習 29：化簡下列各式。(1) 11x－2[3x－(5x－4)] (2) 2x＋1 3 － 2－3x 2 (Hint：分子合併前要先加括號) 練習 30：化簡下列各式。(1)6x－2[4x－(－3x＋2)] (2) 2x－5 6 ＋ 3x＋1 4
練習 31：右圖為梯形，用含有 x 的代數式，表示梯形的面積與周長。 2x＋1 x＋5 6 7 (單位：公分) 4x－2 練習 32：用含有 a 的代數式，表示右圖三角形的面積。 3 2(a＋5) 練習 33：白米每公斤x元，五穀米每公斤比白米貴16元。若買白米6公斤、五穀米4公斤，則混合後平均 每公斤多少元？ 練習 34：小佑的撲滿中有5元、10元硬幣共x個，其中10元的硬幣有32個，則 (1)小佑的撲滿中共有幾個5元硬幣？(以x列式) (2)小佑的撲滿中共有多少元？ (3)若小佑撲滿中所有的錢剛好可買5臺價格相同的模型飛機，則每臺模型飛機為多少元？ 自我評量 1. 簡記下列各代數式。 (1) x．(－6) (2) (－3.5)×b＋4.2 (3) 15＋c÷(－ 1 2) (4) d×(－2)＋ 6 7 (5) x．5＋(－6) (6) z÷ 2 5－ 3 2 2. 計算下列各代數式的值。 x 值 代數式 2 0.5 －5 － 1 2 (－x)÷6 2x－7
3. 化簡下列各式。 (1) 3x．(－7) (2) (－ 3 4x)÷(－ 1 2) (3) (－ 5a 3)＋ 11 6 a (4) 9a－5＋(－4a)＋3 (5) y＋6－(4y－6) (6) 6(－x＋2)－2(－3x－2) (7) 2y＋5[2－ 1 3(3y－12)] (8) y－1 3 － 3y＋1 2 ＋1 4. 若右圖中所有的角都是直角，則灰色區域的面積為 平方單位。(以 x 列式並化簡) 10 3 4 x－2 5. 幼佳和 9 位同學去看電影，總共付了 x 張壹仟元與 5 張壹佰元鈔票，那麼平均每人要付多少元？ 習作 1. 簡記下列各代數式。 (1) x×(－3)＝ 。 (2) 6×y＝ 。 (3) (－1 12 )×x＝ 。 (4) y×2 3 ＝ 。 (5) x÷7＝ 。 (6) y÷(－9)＝ 。 2. 依照題意列式。 (1)小萍今年 x 歲，媽媽的年齡是小萍的 3 倍，媽媽今年是
歲； 爸爸的年齡比小萍的 3 倍多 2 歲，爸爸今年是
歲。 (2) a 張一百元與 4 個十元，合起來是
元。 (3)民國 100 年是西元 2011 年，那民國 x 年是西元
年。
3. 在下表的空格中填入各代數式的值。 a 代數式 －4 － 3 2 4 5 －2.5 a＋5 6a－1 7－2a 4. 當攝氏溫度為 x°C 時，華氏溫度為(9 5 x＋32)°F。那攝氏溫度 30°C 時，華氏溫度是多少°F？ 5. 化簡下列各式。 (1) (－5)．3x．2 (2) 9y÷(－3 2 ) (3)－9－6x＋12 (4) (2y－5)×(－3) (5)－5(2x＋1)÷4 (6)－3(－4x－2)＋(1－x) (7) 4x－[5x－3(2x－1)]－3 (8) －x＋4 3 － 2x－1 2 6. 依照題意列式並寫出化簡過程。 (1)一條繩子折成等長的 4 段後，每一段都比蕙芝的身高多 30 公分。如果蕙芝的身高為 x 公分， 那麼繩子的長是 公分。 (2)四個連續偶數中，若最小的數是 x，則最大的數是 ，這四個連續偶數的和為 。 (3)華華的數學考卷中，有 3 張都得到 x 分，剩下一張是 80 分。華華這 4 張數學考卷的平均分數 是 分。 (4)小華原有(18x＋300)元，若他平均每天用去(2x－15)元，則 5 天後他還剩下 元。
7. 聖涵為某餐廳作促銷企畫案，他提了三個方案： 甲案：先將顧客消費金額打九折，再加收打折後金額的 10%作為服務費。 乙案：先加收顧客消費金額的 10%作為服務費，再將全部金額打九折。 丙案：既不打折也不加收服務費。 則哪個方案對消費者最划算？還是你有別的發現？ 8. 化簡 6 7 { 2 3 [ 7 2 (x＋4)－2]＋6}。 9. 依照題意列式並寫出化簡過程。 (1)一個二位數的個位數字與十位數字的和是 10，設個位數字為 x，則此二位數可表示為 。 若將原數的個位數字與十位數字對調，得到一個新數，則此新數可表示為 。 (2)將一根長 x 公分的竹竿垂直插入水中，已知露出水面的部分為全長的1 5 ，插入泥中的部分比露出 水面的部分多 20 公分，則在水中的部分長為 公分。 水 泥土 類題補充 1. 設 A＝－3x＋4，B＝x－6，C＝7x－4，則 5A－(3B－4C)表示成 x 的算式為 。 2. 化簡下列各式： (1) －(2x－5)＋3(－x－2)＝？ (2) 4×{－[5x－3(2x－1)]}－3＝？ (3)1 3 (4x－6)－ 1 2 [－(3x＋2)]＝？
3. 如右圖，四邊形 ABCD 是一個長方形，則△DEF 的面積以 x 的關係式表示為 平方單位。
A
B
xE
F
D
C
12 6 5 4. 小祥想將手上的 500 元紙鈔換成硬幣，若全換成 50 元硬幣則可換 10 個，但他又想要有一些 10 元 硬幣，所以最後他決定只換 a 個 50 元硬幣，剩下的錢全換成 10 元硬幣，則 10 元硬幣有幾個？ 5. 新生分配宿舍，請依條件回答下列問題： (1)若每 6 人一間宿舍，則有 13 人無宿舍可住。已知學生有 x 人，則宿舍有 間。 (2)若每 8 人一間宿舍，則會剩餘一間宿舍無人住。已知宿舍有 y 間，則學生有 人。 6. 某人開車往返於甲、乙兩地，去程時速為 40 公里，回程時速為 60 公里，若兩地相距 x 公里，則 (1)此人往返甲、乙兩地共費時多少小時？(用 x 表示) (2)此人往返甲、乙兩地的平均時速為多少公里？ 7. 如右圖，試求： (1)四邊形 ABCD 面積為多少？ (2)承(1)，若 x＝6，則四邊形 ABCD 的面積為多少？ 8. 設一個三位數的百位數為 9，末兩位數為 x，若將百位數 9 移至最右邊作為新的個位數，則新數的值 為何？ 9 5 A B 4x＋ 1 C D 2x－5加強練習
1. 若一個二位數 36，現在將 4 放在 36 的左邊，則形成一個三位數 436。同理，若 a 是一個三位數， 現在將 25 放在 a 的左邊，則形成一個五位數，則此五位數應該以下列哪一個式子來表示？
(A) 25a (B) 100a＋25 (C) 2500＋a (D) 25×103＋a
2. 若 x 是奇數，下列各數何者是奇數？ (A) x＋x (B) 2x－1 (C) 2x2 (D) 3x＋1 3. 已知橘子 3 公斤的價錢等於柳丁 5 公斤的價錢，設柳丁每公斤 x 元，則買橘子 6 公斤及柳丁 5 公斤 共需多少錢？ (A) 15x (B) 9x (C) 11x (D) 14x 4. 如右圖，甲、乙、丙、丁都是正方形，甲的周長是 2x，乙的周長是 8， 丙的周長是 x＋12，則丁的周長是多少？ (A) x－20 (B) x－16 (C) x－24 (D) x－32 5. 王先生一家到餐廳用餐，結帳時有三個服務生前來： 甲服務生：我幫您結帳，可以先打九折，再加一成服務費。 乙服務生：我幫您結帳，可以加完一成服務費後，再全部打九折。 丙服務生：我幫您結帳，雖然不打折，但是可以不加服務費。 則下列何者正確？ (A) 給甲結帳最貴 (B) 給乙結帳最貴 (C) 給丙結帳最貴 (D) 給甲、乙、丙結帳，價錢都一樣 6. 有一對父子現在的年齡和為 a 歲，則十年前父子的年齡和為 歲。 7. 若 xa－10＝0，求 x2a＋x3a＝ 。 8. 有一套精裝書籍，若以每套 x 元的價格出售則會賠 10%，如果想賺 10%，則該套書籍應該 賣 元。(以 x 表示) 9. 有一個二位數的十位數字為 x，個位數字為 3，若在 x 與 3 之間插入數字 8 而成為三位數， 則此三位數可用下列哪一個式子表示？ (A) x＋8×10＋3×100 (B) x×100＋3×100＋8 (C) x＋3×10＋8×100 (D) x×100＋8×10＋3 10. 阿杰段考七科總平均 x 分，若數學考 75 分，則其他六科平均是 分。 11. 兄弟兩人共有 600 元，其中兄有 x 元，若兄再給弟 80 元，則弟有多少元？ (A) 600＋x＋80 (B) 600＋x－80 (C) 600－x＋80 (D) 600－x－80 12. 化簡 2x＋13 －－3x＋22 的結果為何？ (A) 13x－4 (B) 13x＋8 (C) 13x－46 (D) 13x＋86 13. 已知目前地面溫度為 27°C，若離地面高 x 公尺處的溫度為(27－ x 100×0.6)°C，則離地面高 500 公尺 處的溫度為 °C。 14. 右圖為一長 40 公分、寬 30 公分的長方形紙板，今沿著四邊 分別剪裁掉寬度為 1 公分、2 公分、3x 公分和 4x 公分的長條 紙板後，則剩餘的長方形紙板(灰色部分)的周長為何？(用 x 表示) 15. 已知 A＝3x－5，B＝－x＋2，C＝4x－1，則 (1) 2A－3B＋C＝？ (2) 3A 4 － 2B 3 － C 6＝？ (3) A－{2B－[3C＋4(A－B)－(3C－4B)]}＝？ 16. 甲、乙、丙三人共有 3000 元，若甲有 x 元，且乙的錢是甲的 2 倍少 80 元，則 (1)丙有多少元？ (2)乙的所有錢的 1 4比丙所有錢的 1 5多幾元？ 17. 把 100 分成甲、乙、丙三數，若乙數為 y，且甲數比乙數的 3 倍少 6，則 (1)丙數為多少？ (2)甲數的 1 3比丙數的 1 2大多少？ 18. 教室中，由一男生的眼中見到男生人數比女生人數的 2 倍少 5 人，若女生有 x 人，則男生有幾人？ 19. 五個連續奇數，若最大的數是 x，則這五個連續奇數的和是 。 甲 乙 丙 丁 40 2 1 4x 3x 3 0
Ans：1.(D)；2.(B)；3.(A)；4.(A)；5.(C)；6. a－20；7. 1100；8.11 9 x ；9.(D)；10. 7 75 6 x− ；11.(C)； 12.(C)；13. 24；14. (134－14x)公分；15.(1) 13x－17，(2) 9 4x－ 59 12，(3) 17x－29； 16.(1) 3080－3x(元)，(2) 11 10x－636(元)；17.(1) 106－4y，(2) 3y－55；18. (2x－4)人；19. 5x－20。 心得筆記
