4-2-2坐標空間中的平面與直線-空間中的直線方程式

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(1)2-2 空間中的直線方程式【目標】 (i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線，並能處理直線與直線﹑直線與平面的關係。 ◎(ii)除(i)之教材外，再進一步能處理點到直線的距離﹑兩平行線之距離，以及兩歪斜線的距離。【討論】 1. 在坐標空間中，設 O 是原點，當 d  ( , m, n) 是直線 L 的一個方向向量，且 A( x0 , y0 , z0 ) 是 L 上一個定點時，動點 P( x, y, z ) 在直線 L 上的充要條件是 AP  t d ，其中 t 是一個實數，如圖所示，於是 OP  OA AP  OA t d ， ( x, y, z)  ( x0 , y0 , z0 )  t ( , m, n) ，  x  x0  t  即  y  y0  mt ，   z  z0  nt. 這就是直線 L 的參數式。 2..  x  5  2t  設直線 L :  y  3  2t ， t 是實數，平面 E : 3x  y  4 z  2  0 ，  z  1  t. 問直線 L 與平面 E 是否相交？若相交，則交點坐標為何？解答：由直線 L 的參數式知， L 上的點坐標皆為 (5  2t ,  3  2t , 1  t ) 的形式，代入平面 E 的方程式，得 3(5  2t )  (3  2t )  4(1  t )  2  0 ， 4t  12  0 ，得 t  3 ，故直線 L 與平面 E 相交，且交點為 (1, 3,  2) 。在例中，參數 t 有唯一解，故直線 L 與平面 E 相交於一點；倘若 t 無解，則可知 L 與 E 不相交；又若 t 有無限多解，則 L 在平面 E 上。另一方面，可由直線 L 的方向向量 d  (2,  2, 1) 與平面 E 的法向量 n  (3,  1,  4) 是否垂直，判定 L 與 E 的關係。一般而言，直線 L 的方向向量 d 與平面 E 的法向量 n 垂直時， L // E 或 L 在 E 上； d 與 n 不垂直時， L 與 E 相交於一點。. 例中， d  n  (2,  2, 1)  (3,  1,  4)  4  0 ，表示 d 與 n 不垂直，故直線 L 與平面 E 相交於一點。 10.

(2) 3.. 設直線 L 有一方向向量 d  ( , m, n) ，且過點 A( x0 , y0 , z0 ) ，則異於 A 的動點 P( x, y, z ) 在直線 L 上的充要條件是 AP // d ，即 ( x  x0 , y  y0 , z  z0 ) //( , m, n) 。當 , m, n 皆不為 0 時，上述條件即. x  x0. . y  y0 z  z0 ，  m n. 此式稱為直線 L 的對稱比例式，簡稱比例式。比例式中的比值就是參數式中的參數，因為. 4.. x  x0.  x  x0  t  y  y0 z  z0    t   y  y0  mt 。 m n   z  z0  nt. x 1 y  2 z  4 時，   3 1 1  x 1 y  2  3  1  x  3y  7  0 它是兩個方程式的聯立，即  ，亦即  。 y  z  2  0  y2  z4   1 1 在坐標空間中，方程式 x  3 y  7  0 的圖形是平面；同樣的， y  z  2  0 也是平面，而直線 L 正是這兩個平面的交線。. 當一條直線 L 的比例式為. 一般而言，若 E1 : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0, E2 : a2 x  b2 y  c2 z  d2  0 是兩個不平行的平面，相交於直線 L ，  a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 的圖形即為直線 L ， a x  b y  c z  d  0  2 2 2  2. 則聯立方程式 .  a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 。  a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0. 可記為 L :  5.. 當一直線 L 的方向向量 d  ( , m, n) ，其中 , m, n 有一為 0 時， L 不能以比例式表示。  x  1  2t  例如直線 L :  y  3  7t 過點 A(1, 3, 4) ，方向向量為 d  (2,  7, 0) ，  z  4  x 1 y  3   7 。它無法寫成比例式，但可以表為 L :  2 z  4 . 11.

(3) 6.. 設 L:. x 1 y  2 z  4   , A(4, 6,  7) ， 3 1 1. 求點 A 在直線 L 上的投影點坐標及點 A 到直線 L 的距離。解答：《方法一》設投影點為 A(3t  1,  t  2, t  4) ，則 AA  (3t  5,  t  4, t  3) 與直線 L 的方向向量 d  (3,  1, 1) 垂直，即 AA  d  0 ，故 3(3t  5)  (t  4)  (t  3)  0 ， 11t  22  0 ，得 t  2 ，故投影點 A 的坐標為 (5, 4,  6) 。於是， d ( A, L)  AA  1  4  1  6 。《方法二》設直線 L 上的動點 P(3t  1,  t  2, t  4) ， 2. 則 AP  (3t  5)2  (t  4)2  (t  3)2  11t 2  44t  50  11(t 2  4t  4)  6  11(t  2)2  6  6 ， 2. t  2 時， AP 有最小值 6 ，即 AP 有最小值 6 。. 7.. 故投影點為 (5, 4,  6) ，且 d ( A, L)  6 。還有一個方法可求上例中的 d ( A, L) ，取直線 L 上點 B(1, 2,  4) ，及方向向量 d  (3,  1, 1) ，則 BA  (5, 4,  3) ， BA  d  (. 4 3 3 5 5 4 , , )  (1,  4,  7) ， 1 1 1 3 3 1. d ( A, L) 等於 BA 與 d 所張開的平行四邊形面積 | BA  d |. 除以底邊長 | d | 所得的高，如圖所示，所以 d ( A, L)  8.. 12  (4) 2  (7) 2 32  (1) 2  12. . 66 11.  6。. 若 L1 , L2 是空間中兩條歪斜線，設 d1 , d 2 分別是 L1 , L2 的方向向量，則向量 n  d1  d 2 與 d1 , d 2 皆垂直，令平面 E 包含直線 L2 且以 n 為法向量，則直線 L1 與平面 E 不相交。再令 L1 在平面 E 上的投影為直線 L1 ，則 L1 與 L2 交於一點 P  ，設點 P  是 L1 上點 P 的投影，則直線 PP 與直線 L1 , L2 皆垂直，如圖所示，直線 PP 稱為直線 L1 與 L2 的公垂線。. 12.

(4) 9.. 空間中給定兩直線 L1 , L2 ，若 P1 是 L1 上的動點， P2 是 L2 上的動點，則 P1 P2 長度的最小值稱為直線 L1 與 L2 的距離，記為 d ( L1 , L2 ) 。根據此定義，當直線 L1 與 L2 重合或相交時，其距離 d (L1 , L2 )  0 ；當 L1 與 L2 平行時，兩線的距離等於其中一線上一點至另一線的距離；而當 L1 與 L2 歪斜時， L1 與 L2 有一公垂線 L ，設 L 分別交 L1 , L2 於 A, B ，如圖，令 P1 是 L1 上的動點， P2 是 L2 上的動點， 2. 2 2 則 PP 1 2  | PP 1 2 |  | P1 A  AB  BP2 |.  | P1 A |2  | AB |2  | BP2 |2 2( P1 A  AB  AB  BP2  P1 A  BP2 )  | P1 A |2  | AB |2  | BP2 |2 2(0  0  P1 A  BP2 ).  | AB |2  | P1 A |2  | BP2 |2 2 P1 A  BP2 2.  | AB |2  | P1 A  BP2 |2  | AB |2  AB ，. 故 P1 P2  AB ，可知 P1 P2 的最小值為 AB ，因此 AB 之長就是歪斜線 L1 與 L2 的距離。 10. 在上例中，若只要求歪斜線 L1 :. x 3 y  4 z  2 x9 y2 z   , L2    的距離 d ( L1 , L2 ) ， 1 2 1 4 1 2. 則可令 d1  (1,  2, 1), d2  (4,  1, 2) ，得到 d1  d 2  (3, 2, 7) ，這就是公垂線的方向向量，以此向量為法向量，再取直線 L2 上一點 (9, 2, 0) 作平面 E 的點法式 3( x  9)  2( y  2)  7 z  0 ， 3x  2 y  7 z  31  0 ， 3x  2 y  7 z  31  0 ，則平面 E 包含直線 L2 且平行直線 L1 ，於是取 L1 的一點 P1 (3,  4,  2) 時，可得 d ( L1 , L2 )  d ( P1 , E ) . | 9  8  14  31| 9  4  49. 13. . 62 62.  62 。.

(5) 【定義】 1. 空間中直線的參數式：設直線 L 過點 A( x0 , y0 , z0 ) 且以 d  ( , m, n) 為方向向量  x  x0  t  ，則 L :  y  y0  mt ，其中 t 是實數。   z  z0  nt. 2.. 空間中直線的比例式：設直線 L 過點 A( x0 , y0 , z0 ) 且以 d  ( , m, n) 為方向向量，若 mn  0 ，則直線 L 可表為. x  x0. . y  y0 z  z0 ，稱為比例式。  m n. 【方法】 1..  x  x0  t  設直線 L :  y  y0  mt , t 是實數，平面 E : ax  by  cz  d  0 ，  z  z  nt 0 . 將 L 的參數式代入 E 的方程式得 t 的一次方程式 a( x0  t )  b( y0  mt )  c( z0  nt )  d  0 ，當 t 有唯一解﹑無解﹑無限多解時，直線 L 與平面 E 的關係依序為交於一點﹑平行﹑直線 L 在平面 E 上。 2. 3.. 4.. y  y0 z  z0 與線外一點 ( x1 , y1 , z1 ) 所決定的平面可取法向量為  m n ( , m, n)  ( x1  x0 , y1  y0 , z1  z0 ) 。若 E1 : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0, E2 : a2 x  b2 y  c2 z  d2  0 是不平行的平面，則聯立 a x  b1 y c1 z d1 0 方程式  1 表 E1 與 E2 的相交直線，其方向向量可取為 a2 x  b2 y c2 z d2 0 (a1 , b1 , c1 )  (a2 , b2 , c2 ) 。 x  x0 y  y0 z  z0 ◎設點 A( x1 , y1 , z1 ) ，直線 L : ，   m n 則 P( x0  t, y0  mt, z0  nt ) 是 L 上的動點，. 直線. x  x0. . 2. AP  ( x0  t  x1 ) 2  ( y0  mt  y1 ) 2  ( z0  nt  z1 ) 2 是 t 的二次函數， 2. 5.. 6.. 7.. 求出 AP 的最小值 k ，則 d ( A, L)  k 。 ◎設 L1 , L2 是空間中兩直線，則 L1 與 L2 的距離 d ( L1 , L2 ) 如下： (1)當 L1 與 L2 平行時，若 P1 是 L1 上一點，則 d (L1 , L2 )  d (P1 , L2 ) 。 (2)當 L1 與 L2 歪斜時，若其公垂線 L 分別交 L1 , L2 於點 A, B ，則 d ( L1 , L2 )  AB 。空間中兩直線的距離：設 L1 , L2 是空間中兩直線。 (1)當 L1 與 L2 平行時，若 P1 是 L1 上一點，則 d (L1 , L2 )  d (P1 , L2 ) 。 (2)當 L1 與 L2 歪斜時，若公垂線 L 分別交 L1 , L2 於 A, B ，則 d ( L1 , L2 )  AB 。 ◎若 L1 , L2 是歪斜線，點 P1 在 L1 上，平面 E 包含 L2 且平行 L1 ，則 d (L1 , L2 )  d (P1 , E) 。. 14.

(6) 【思考】平面上的直線是利用直線的傾斜程度(斜率)、方向向量或法向量來描述的，再加上直線上一點，就可以求出直線方程式。那麼空間中的直線是如何來描述的？是否也可以用傾斜程度、方向向量或法向量，然後再加上直線上一點以求出直線方程式？【定義】 1. 直線方向向量：與直線 L 平行的任意一個非零向量，都稱為直線的方向向量。 2. 直線方程式-參數式：  設 v  (l, m, n) 為直線 L 的方向向量，且 A( x0 , y 0 , z 0 ) 為 L 上一點，  x  x0  lt 則  y  y0  mt , t 為實數，稱為直線 L 的參數式，其中 t 稱參數。  z  z  nt 0 .   . 註：. O P  O A  A P  ( x0 , y0 , z 0 )  t (l , m, n)  ( x0  lt , y0  mt , z 0  nt) 。  v A P L. O 3.. 直線方程式-對稱比例式(點向式)：  設 v  (l, m, n) 為直線 L 的方向向量，其中 l , m, n 均不為 0 ，且 A( x0 , y0 , z0 ) 為 L 上一點， x  x0 y  y0 z  z0 則稱為直線 L 的對稱比例式。   l m n  x  x0. y  y0 m 。  z  z0  0. (1)若 n  0 且 l, m 均不為 0 時，直線 L 可表示為  l. .  x  x0  l t (2)若 m  n  0 且 l 不為 0 時，直線 L 可表示為  y  y  0 。 0 z  z  0 0  . 4.. 直線方程式-兩面式：設兩相異平面 E1 : a1x  b1 y  c1z  d1  0 , E2 : a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 不平行，. a x  b1 y  c1 z  d1  0 則 1 表示兩平面 E1 與 E2 的交線， a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0 依此可求出交線的參數式或對稱比例式。. 15.

(7) 直線方程式-兩點式：過 A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) 兩點之直線方程式為  x  x1  ( x2  x1 )t x  x1 y  y1 z  z1  或  y  y1  ( y2  y1 )t , t  R 。 L:   x2  x1 y2  y1 z2  z1   z  z1  ( z2  z1 )t 【問題】 1. 直線的參數式、對稱比例式、兩點式與兩面式之間是否可以互相轉換？ x  y  2 z  0  2.  x  2 y  z  1 是否表示空間中的直線？  2x  y  z  1  5.. x  y  0 是否表示空間中的直線？ x  y  0. 3. . x  0 是否表示空間中的直線？ y  0. 4. .  x  1  2t , t  R 是否表示空間中的直線？  y  3  4t. 5. .  x  1  2t  6.  y  3  4t , t  R 是否表示空間中的直線？  z4  7. 2x  3 y  6  0 是否表示空間中的直線？【問題】 1. 試問如何判斷空間中兩直線 x  x1 y  y1 z  z1 x  x2 y  y2 z  z2 的交點為無限多點(重 L1 :   , L2 :   a1 b1 c1 a2 b2 c2 合)、一點(共平面)或無交點(歪斜或平行)？解： (1)若兩直線方向向量平行，則表示兩直線平行或重合。接著判別 L1 上的點是否在 L2 上，即可分辨出為平行或重合。 (2)若兩直線方向向量不平行，則個別設參數後，判斷為沒有交點或是交一點，即可分辨歪斜或交一點。 2. 試問如何判斷空間中直線是在平面上？直線與平面交於一點？直線與平面沒有交點(平行)？解： (1)若直線的方向向量與平面的法向量平行，則表互相垂直，故交一點。 (2)若直線的方向向量與平面的法向量垂直(內積為零)，則表互相平行或直線在平面上，接著判別直線上的點是否在平面上，即可辨別出平行或直線在平面上。 (3)若直線的方向向量與平面的法向量的內積不為零，則表示有交點，再利用直線的參數式代入平面可求出交點。. 16.

(8) 3. 試問如何求出空間中兩平面的交線？解： (1)利用兩平面法向量外積，求出直線的方向向量。 (2)令 z  0 ，任取兩平面上之任一共同點，即直線上之點。 (3)寫出直線參數式。【定義】 1. 歪斜線： x  x1 y  y1 z  z1 x  x2 y  y2 z  z2 空間中兩直線 L1 : 既不平行   , L2 :   a1 b1 c1 a2 b2 c2 也沒有交點，稱此兩直線互為歪斜線。 2. 公垂線：與兩歪斜線都垂直相交的直線稱為公垂線。註：設 P  L1 , Q  L2 且 PQ  d ( L1 , L2 ) ，則直線 PQ 即是公垂線。 3. 兩歪斜線的距離：公垂線在兩歪斜線間的線段長度，稱為兩歪斜線的距離。註：設 L1, L2 為不平行且不相交的兩直線，則在 L1, L2 上分別有一點 A, B 使直線 AB 為 L1, L2 的公垂線，此時 AB 即為 L1, L2 兩線間的距離。【方法】 1. 點到直線的距離：  x  x0  at  空間中點 P( x1 , y1 , z1 ) 到直線 L :  y  y0  bt ( t 為實數)的距離求法有如下幾種：  z  z  ct 0  (1)(求交點法)(平面適用) 求過點 P 且與直線 L 垂直的直線 L' ，再求兩直線的交點 Q ，求出 PQ 即可。 (2)(配方法)(平面及空間都適用) 求出直線 L 上的點 Q 的參數，再配方(或用微分)求出 PQ 的極小值即可。 (3)(面積法)(平面及空間都適用) 若 Q, R 為直線上任兩相異點，.            . 則以 P Q , P R 所圍成的三角形面積為 1 | P Q |2  | P R |2 ( P Q  P R ) 2 ， 2 故 d ( P, L ) . | P Q |2  | P R |2  ( P Q  P R ) 2.   . | PQ  PR |. 。  | QR | | QR | (4)(商高定理法)(平面及空間都適用)  QP  u | Q P |2 (  ) 2 即是所求，其中 Q ( x0 , y0 , z0 ) 為直線上的任一點。 |u |. 17.

(9) (5)(夾角法)(平面及空間都適用)  若 Q 為直線上任一點，方向向量 v  (a, b, c) ，  求出 P Q , v 的夾角  ，.         . 則 | P Q | sin  即是所求。 (6)(內積法)(平面及空間都適用)  若 Q 為直線上任一點，方向向量 v  (a, b, c) ，  求出使 P Q  v 的參數 t ，則 | P Q | 即是所求。 (7)(外積法)(空間適用) 若 Q, R 為直線上任兩相異點，求出 Q R  Q P 即表示所圍成平行四邊形的面積，則. QR  QP. 即是所求。 | QR | (8)(平面法)(空間適用) 求過點 P 且與直線 L 垂直的平面 E ，再求出直線 L 與平面 E 的交點 Q ，求出 PQ 即可。 2. 兩歪斜線的距離： x  x1 y  y1 z  z1 x  x2 y  y2 z  z2 空間中兩歪斜線 L1 : 的距離   , L2 :   a1 b1 c1 a2 b2 c2 求法有如下數種： (1)分別假設公垂線與兩直線的交點 P, Q 的參數式 ( x1  a1 s, y1  b1 s, z1  c1 s) 與 ( x2  a2 t , y 2  b2 t , z 2  c2 t ) ，. . 則 P Q 與兩直線的方向向量都要垂直，如此可以求出兩個參數值，進而得出公垂線與兩直線的交點 P, Q 。 (2)求包含 L1 且與 L2 平行的平面 E 的方程式，再求 L2 上任一點到平面 E 的距離即是。. 18.

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