6.3　　多元函数、复合函数导数求法

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Chap 6－3

多元函数

6.3.1 复合函数的偏导数

) , ( ), , (x y v v x y u u = = 函数 _{在(x,y)存在偏导数 ，} z= f (u,v) 在相应的(u,v)处可微，则复合函数 链法则 )) , ( ), , ( (u x y v x y f z = 存在偏导数 x v v f x u u f x z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ y v v f y u u f y z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ f z : u v x y x v x u x f u f v z′ = ′ ′ + ′ ′ y v y u y f u f v z′ = ′ ′ + ′ ′

例 设 z = eu sinv 2 2 2 , v x xy y y x u = = − + ,而 求 z_x′ ,z′_y 例 设函数 u = f(x,y,z)可微，而 x=x(t),y=y(t), z=z(

t

)均可导，试求复合函数 u = f (x(t), y(t), z(t)) 对t 的导数 有一阶偏导数，求 x z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , ) , , , (x y u v f z = 可微，而 u =u(x, y),v = v(x, y) 例 设 （代入法或链法则） (全导数)

例 设函数 y x ,z z′ ′ 偏导数 例 设函数z=f(x,y)可微，作变换 x = r cosθ, , sinθ r y = 试将 2 2 ) ( ) ( y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 化为以 r,θ 为变量的形式 ，f 是可微函数，求 ) , ( y x y x f z = −

6.3.2 隐函数的偏导数

设函数F 在(x₀,y₀,z₀)邻域内有连续偏导数, 且 0 ) ( 0 ) (x₀,y₀,z₀ = , F′ x₀,y₀ ≠ F _z 则方程F(x,y,z)= 0 在(x₀,y₀,z_{0)邻域内可确定唯一的} 函数 z= f(x,y),满足

)

,

(

,

0

))

,

(

,

,

(

x

y

f

x

y

z

₀

f

x

₀

y

₀

F

≡

=

且有 z y z x F F y z , F F x z ′ ′ − = ∂ ∂ ′ ′ − = ∂ ∂

例 设z=z(x,y)是由方程 所确定的隐函数, 求z’_x ,z’_y x z y x z = (3 + ) + 例 设z=z(x,y)是由方程 z e z y x + + = 2 „ 也可用链法则来求隐函数的偏导数 所确定的隐函数, 求z’_x ,z’_y

„ 一阶全微分形式的不变性 与一元情况类似 对 f =f(u,v),无论u,v是自变量或函数, dv v f du u f df ∂ ∂ + ∂ ∂ = ¾ 在求隐函数所有一阶偏导数时，可以利用 微分形式不变性较简便 例 z=f(x,y)由方程 x y z xe y x z = + − − − 确定， 求dz

H.W 习题6

29 30

27 28 31 32

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Chap 6－4

多元函数的

极值与最值

6.4.1 多元函数的极值与最值

一. 二元函数极值 在点P₀(x₀,y₀)的邻近区域内，当(x,y) ≠(x₀,y₀)时 ) ( ) (x, y f x₀, y₀ f < 称函数 f 在(x₀,y₀)处取得极大(小)值_{，P0(x0,y0)称} 为函数的极大(小)值点 二. 极值的必要条件 f (x,y)在P₀(x₀,y₀)处取得极值，且 f 可微，则 0 ) ( ) ( _{0 0} = ′ _{0 0} = ′ x , y f x , y f_{x y} （满足此式的 点称驻点） ) ) ( ) ( ( f x, y > f x₀ , y₀

¾ 注意 驻点未必是极值点 例 考察函数 f (x, y) = xy 在(0,0)的情况 三. 极值的充分条件 函数在点P₀(x₀,y₀)的邻域内有连续的二阶 偏导数，f_x′(x₀ ,y₀) = f_y′(x₀ ,y₀) = 0, 记 ) ( ) ( ) (x₀,y₀ , B f x₀, y₀ , C f x₀,y₀ f A = _xx′′ = _xy′′ = _yy′′ 则 B2 − AC > 0时，f (x₀, y₀)非极值 时， 0 2 − AC < B ) , ( , 0 f x₀ y₀ A > ⇒ 为极小值 ) , ( , 0 f x₀ y₀ A < ⇒ 为极大值

四. 最值问题 ¾ 可微连续函数的最值应在定义域内部 驻点或边界点取到；原则上需将内部极值和 区域内部取得又驻点惟一，则驻点就是最值点 但在实际问题中，若可以确定最值必在 例 求函数

z

=

x

3

+

y

3

−

3

xy

的极值 边界上的最大、小值均求出作比较 例 在半径为R的圆中求面积最大的内接三 角形边长

在许多极值问题中，函数自变量还要满足 一.问题的提法 一些条件(约束条件)，这样的极值称为条件极值 例如求函数 ) (x, y f u = 在约束条件 0 ) (x, y =

ϕ

下的极值 二. Lagrange 乘数法

6.4.2 条件极值

)

(

)

(

)

(

x

,

y

,

f

x

,

y

x

,

y

L

λ

=

+

λ

ϕ

求出的(x₀,y₀,)是可能的条件极值点 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ′ + ′ = ′ + ′ 0 ) ( 0 0 y , x , f , f y y x x ϕ ϕ λ ϕ λ 引进辅助函数(Lagrange函数) 从其极值的必要条件 一般根据实际问题的最值存在性，确定是否 最大值或最小值

例 制药厂生产甲、乙两种化学制品，产量 分别为 x，y 件，总利润为 x xy y , x U( ) = + 2 生产这两种制品的总费用限定为30万，且甲、乙 产量的比例为2：1，那么如何安排它们的产量？ 且求出相应的利润 H.W 习题6 33 35 36 38

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Chap 6－5

例 某种金属棒的长度随着温度变化，现 测得一组数据如下表 t (℃) 20 30 40 50 60 l（mm） 1000.36 1000.53 1000.74 1000.91 1001.06 若l 与t 的关系估计为线性函数,试求之 这是从一组测定数据 (x₁, y₁),(x₂, y₂),L,(x_n, y_n) 求变量 x,y 之间的函数关系问题，函数通常由经验设为含 有待定常数的y=f(x)(拟合曲线)，通过求 , ] ) ( [ 2 1 i i n i y x f Q =

∑

− = 最小二乘法 的最小值确定f 中的待定常数

bt a l = + 设 ，那么引进

∑

= + − = 5 1 2 )) ( ( ) , ( i i i a bt l b a Q 驻点满足 0 ) ( 2 5 1 = − − − = ∂ ∂

∑

= i i i i a bt t l b Q 0 ) ( 2 5 1 = − − − = ∂ ∂

∑

= i i i a bt l a Q 从中可解出a,b的值，从而得到函数 l = a + bt

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Chap 6 —6

6.6.1 概念

一.例子1 平面薄板的质量 平面薄板位于xy 平面区域D, 其面密度为

μ

_(x,y) 如何求其质量？ 类似一元的处理方法，采用: (1) 分割：将D任意划分成n个 小区域 D , , , , ₂ 1 D Dn D Δ Δ Δ _L ) , , 2 , 1 ( , i n i = L Δσ i D Δ _的面积 记为 (2) 作和：在小区域分得很小时，近似认为质量 , ) , (ξ_i η_i ∈ΔD_i 薄板的质量近似地表达 均匀,任取 i D Δ

二. 例子2 曲顶柱体的体积 (3) 取极限：记

{ }

_{i i} n i d , (d max 1≤ ≤ = λ

∑

= → Δ = n i i i i m 1 0 ( , ) lim μ ξ η σ λ 是小区域

∑

∑

= = Δ ≈ Δ = n i i i i n i i m m 1 1 ) , (ξ η σ μ 直径) 那么若 i D 存在，就给出了薄板的质量 曲面S ：z = f (x, y), 底面是xy 平面上区域D, 如何求 此曲顶柱体的体积？ 柱体的侧面是母线垂直xy 平面的柱面，顶面为 Δ _的

y x z O f(ξ_i,η_i) ΔD_i S D (ξ_i,η_i) (1)分割：用曲线将D 分成小区域 ΔD₁,ΔD₂,L,ΔD_n, i D Δ 而 的面积记为 Δσi (2)求和：区域分得很小时， 用柱体来近似小曲顶柱体的体积， 任取 (ξ_i,η_i)∈ΔD_i ,则总体积近似为

∑

= Δ n i i i i f 1 ) , (ξ η σ (3)取极限：记 max

{ }

, 1≤i≤n di = λ (d_i是小区域 ΔD_i 的直径),则 体积V 由如下极限给出

∑

= → Δ = n i i i i f V 1 0 ( , ) lim ξ η σ λ

三. 二重积分定义 设D是xy 平面的有界闭区域，函数f(x,y)在D定义， 总有 (其中 I 为实数,若将D任意划分成个小区域 ΔD1,ΔD2,L,ΔDn , 任取(ξ_i,η_i)∈ΔD_i ,(i =1,2,L,n), 作和

∑

= Δ n i i i i f 1 ) , (ξ η σ ₍Δσ_i 表示Δ_Di 的面积₎ I f n i i i i Δ =

∑

= → 1 0 ( , ) lim ξ η σ λ

{ }

_{i i} n i d ,d max 1≤ ≤ = λ 是小区域 ΔD_i 的直径),则称函数 f(x,y)在D上可积，I 称为f(x,y)在D的二重积分 ,记为

∫∫

D d y x f ( , ) σ

被积函数 − ) , (x y f 积分号

∫∫

− _D −积分区域 面积元素 −

σ

d 二重积分的几何意义： 柱体的体积 ) , (x y f z = _{为顶的曲顶} 若函数f(x,y)在有界区域 D 上分片连续有界， 则f(x,y)在D可积 可积的充分条件 以区域D为底，以曲面S:

6.6.2 二重积分的性质

性质1（线性） σ β σ α σ β α f x y g x y d f x y d g x y d D D D

∫∫

∫∫

∫∫

( ( , ) + ( , )) = ( , ) + ( , ) 若α,β 是常数， 性质2（可加性） 两个子区域, 设以下性质中出现的积分均存在

∫∫

∫∫

∫∫

= + 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( D D D d y x f d y x f d y x f σ σ σ 性质3 若积分区域D 分成D₁,D₂ ) ( 1d A_D D 的面积 D =

∫∫

σ

性质4 （单调性）若 性质5 (中值定理_{) 若D是有界闭区域，}

∫∫

∫∫

≤ D D d y x f d y x f ( , ) σ ( , ) σ （1）若 f (x, y)≥ 0, 则

∫∫

( , ) ≥0 D d y x f σ , ) , (x y M f m 推论 （2）

∫∫

∫∫

≤ D D d y x g d y x f ( , ) σ ( , ) σ , ) , ( ) , (x y g x y f ≤ 则 （3）若 ≤ ≤ 则 _D D D f x y d M A A m ≤

∫∫

( , ) σ ≤ , ) , ( , ) ( ) , (x y C D D f ∈ 则存在 ξ η ∈ D D A f d y x f ( , ) σ = (ξ,η)

∫∫

6.6.3 直角坐标系下的计算

设 区域 D ={(x, y) a ≤ x ≤ b,ϕ₁(x) ≤ y ≤ϕ₂(x)} y=ϕ₁(x) O x y=ϕ₂(x) z=f(x,y) y z a A(x) x

∫∫

D dxdy y x f ( , ) z = f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积 利用定积分来求体积 y 二重积分 的值等于以D为底，以曲面 S: _O y=ϕ₂(x) y=ϕ₁(x) a _b D 考虑垂直x 轴过x 处的平面截 曲顶柱体所得截面积 A(x) b ) (dσ = dxdy x 型正 则区域

截面曲边梯形的面积 A(x)

∫

= ( ) ) ( 2 1 ) , ( ) ( A x x f x y dy x ϕ ϕ

⇒

曲顶柱体的体积 dx dy y x f dx x V b a b a x x

∫

∫ ∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ( ) ) ( 2 1 ) , ( ) ( A ϕ ϕ 导出 dx dy y x f dxdy y x f b a x x D

∫ ∫

∫∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ( ) ) ( 2 1 ) , ( ) , ( ϕ ϕ 写成

∫ ∫

∫∫

= b a x x D dy y x f dx dxdy y x f ( ) ) ( 2 1 ) , ( ) , ( ϕ ϕ

若积分区域 } ), ( ) ( ) , {(x y ₁ y x ₂ y c y d D = ψ ≤ ≤ψ ≤ ≤ y 型正 则区域

∫

∫

∫∫

= ( ) ) ( 2 1 ) , ( ) , ( y y d c D dx y x f dy dxdy y x f ψ ψ c d ) ( 1 x x=ψ _{( )} 2 x x=ψ 则有 x y 对于一般区域的二重积分 可将其分成若干个正则子区域， 利用积分的可加性，分别在各子区域积分后求和

例 计算二重积分

∫∫

+ D dxdy y x 2 ) ( 其中

D

=

{

0

≤

x

≤

2

,

0

≤

y

≤

x

2

}

∫∫

D xydxdy 例 计算二重积分 例 计算二重积分 =

∫∫

D dxdy y y I sin 其中D是由抛物线 y2 = x 与直线 y = x 所围区域 其中D是由抛物线 y2 = x 与直线 y = x − 2 所围区域

例 交换以下累次积分的次序 dy y x f dx

∫

x

∫

0 2 1 0 ( , ) ) 1 ( dx y x f dy dx y x f dy

∫

y

∫

∫

y

∫

− − + 2− 0 2 1 1 1 0 1 0 ( , ) ( , ) ) 2 ( 2 例 利用二重积分计算下列曲线围成区域 的面积：

y

2

=

x

,

y

2

=

4

x

,

x

=

4

H.W 习题6 43 44 45 (1) (3) „ 当积分区域关于x 轴或y 轴对称时，注意被 积函数是否有奇偶性从而使积分简化 例 计算二重积分 =

∫∫

+ D dxdy x y y I ( 2 sin3 ) 其中D是上半圆域 {(x, y) x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0}

极坐标系下的计算公式

* 当积分区域的边界曲线或被积函数用极坐标表 示较为简单时，二重积分有时可用极坐标来计算 我们来考虑面积元素 y x O r r+Δr Δσ σ Δ 在极坐标下的形式 用r为常数所表示的圆周族 和

θ

为常数所表示的射线族分割 区域D

，

θ θ θ σ = + Δ Δ − Δ = Δ + Δ Δ Δ [2 ( ) ] 2 1 ] ) [( 2 1 _{2 2 2} r r r r r r

θ

σ

rdrd d = ⇒ θ θ θ +Δ 那么小区域面积

从直角坐标变换为极坐标时的二重积分的 变换公式 θ θ θ r rdrd r f dxdy y x f D D

∫∫

∫∫

( , ) = ( cos , sin ) } , ) ( ) ( ) , {( ＝ _r θ _r1 θ ≤ _r ≤ _r2 θ α ≤θ ≤ β D 若区域 O r=r₂(θ) α βr=r1(θ) D θ θ θ r rdrd r f D

∫∫

( cos , sin )

∫

∫

= ( ) ) ( 2 1 ) sin , cos ( θ θ β α θ θ θ θ r r f r r rd d 二重积分化为累次积分

∫∫

D dxdy y x f ( , ) 化为极坐标系下的累次积分，其中D为 1) 由直线 y=x，上半圆周 x2 + y2 = 4x, 及 x y x2 + 2 = 8 _围成 2）由直线 y = x, y = 0 和x = 1所围成 例 计算二重积分 =

∫∫

+ D dxdy y x I ( )2 其中区域 _{ 2 2 _{2 }} x y x D = + ≤ 例 计算二重积分

例 求球体 2 2 2 2 R z y x + + ≤ 被圆柱面 Rx y x2 + 2 = 所割下部分的体积 V y x z R 例 求积分 I =

∫

+∞ e−x dx 0 2 H.W 习题6 47 (1) (2)