解題策略使用傾向與錯誤類型分析-以國小數學速度單元為例

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：郭伯臣博士. 解題策略使用傾向與錯誤類型分析以國小數學速度單元為例. 研究生：施怡旭撰. 中華民國一零三年六月.

(2) 摘要本研究旨在探討國小六年級的學生在進行數學單元速度解題時之策略選用、概念/技能與錯誤類型之間的關係，並期望能以受測者所擁有的策略傾向，進行日後的錯誤類型釐清與概念/技能的補救教學，以利達到「因材補救」而取代從頭到尾完整補救的補救教學，藉此提升教學績效與減少學生在補救教學上所耗費的時間。研究結果為：一、本研究發現受測者會因為運用不同解題策略，而使得在缺乏的概念與產生的錯誤類型也出現差異。二、對受測者策略擁有的四種傾向與其在試卷中的八題數學成績得分進行檢定，發現擁有變換時間法與策略均等使用的受測者，其數學成績的平均得分會優於使用變換速度法的受試者；使用變換時間法與策略均等使用受測者其數學成績得分沒有達到顯著差異；使用變換速度法、變換時間法或策略均等使用的受試者的平均得分都會優於策略不明的受測者。三、擁有變換速度法解題策略傾向的受測者，比使用其他策略傾向的受測者容易犯錯誤類型「解題時，忽略速度單位的時間變項」與「使用乘法解決距離與速度或時間的關係」。四、與其他策略傾向的受測者相較之下，擁有使用變換時間法策略傾向的受測者，容易缺少速度單位高低階轉換的概念/技能。. 關鍵詞：速度、多重解題策略、錯誤類型、建構反應題、策略傾向. I.

(3) The Analysis of Tendency of Problem-solving Strategies and the Error Patterns - Take the Unit of Speed for the Elementary School Students an Example. Abstract The research investigates that when students who are sixth grade in elementary schools (called Test taker) solve math questions, we can get students' processing information by constructed-response items. Moreover, using problemsolving strategies, concept analysis and error type analysis to combine error type. analysis and concept analysis of cognition diagnosis. Hence, we can get exact information in students' leaning situations. Through observation, to understand students prefer one strategy of multiple problem-solving strategies or not, in addition, it advantages remedial teaching and teaching strategies in the future. The main findings of this research are as follows: A、 The results show that testers use problem-solving strategies to solve the math questions in the speed unit make the difference in the types of errors also occur with the resulting lack of concept. B、 The research found that the scores of the testers transforming time are better than those transforming speed in the speed unit. C、 The tester has a tendency to use the strategy of transformation speed is easier to make the error pattern" problem-solving, ignored the time of variable speed units "and"useing multiplication to solve the relationship of the distance, speed and time.” than that has different tendency of strategies. D、 The tester has a tendency to use the strategy of transformation time is easier to lack of the skill in high and low level speed units changing than that has different tendency of strategies.. Key words: Speed, Multiple problem-solving strategies, Error pattern , Constructed-response items, Tendency of strategie. II.

(4) 目錄摘要 .........................................................................................................................I Abstract .................................................................................................................. II 目錄 ...................................................................................................................... III 圖目錄 ................................................................................................................... V 表目錄 .................................................................................................................. VI 第一章緒論 ...................................................................................................... 1 第一節研究動機 ........................................................................................... 1 第二節研究目的 ........................................................................................... 3 第三節名詞解釋 ........................................................................................... 4 第四節研究範圍與限制 ............................................................................... 5 第二章文獻探討 .............................................................................................. 7 第一節數學多重解題策略 ........................................................................... 7 第二節速度相關研究 ................................................................................. 9 第三節速度教材地位 ............................................................................... 12 第三章研究方法 ............................................................................................ 15 第一節研究流程及步驟 ............................................................................. 15 第二節研究對象 ........................................................................................ 23 第三節研究工具 ......................................................................................... 23 第四章研究結果 ............................................................................................ 25 第一節各題解題策略對概念及錯誤類型之分析 ..................................... 25 第二節解題策略組型對數學成績之關係探討 ......................................... 37 第三節速度解題策略對概念/技能之關係探討 ....................................... 44 第四節速度解題策略對錯誤類型之關係探討 ......................................... 46 第五章結論與建議 ........................................................................................ 50 第一節結論 ................................................................................................. 50 第二節建議 ................................................................................................. 53 參考文獻 .............................................................................................................. 54. III.

(5) 附錄一自編速度單元診斷測驗命題卡 ............................................................ 58 附錄二速度單元正式施測試卷 ........................................................................ 73. IV.

(6) 圖目錄圖 2-1「速度」單元的教材地位 ........................................ 13 圖 3-1 研究流程圖 ................................................... 16. V.

(7) 表目錄表 2-1 速度單元錯誤類型之相關文獻列表 .................................................. 12 表 3-2 速度錯誤類型列表 .............................................................................. 18 表 3-3 解題策略、概念技能、錯誤類型與試題對應表 .............................. 19 表 3-4 試題 10 命題卡編製 ............................................................................ 20 表 3-5 試題 10 概念/技能 Q 矩陣 .................................................................. 21 表 3-6 試題 10 錯誤類型 Q 矩陣 ................................................................... 21 表 3-7 專家判讀規則 ...................................................................................... 22 表 4-1 試題 1 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 26 表 4-2 試題 2 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 26 表 4-3 試題 3 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 27 表 4-4 試題 4 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 28 表 4-5 試題 11 策略與概念技能和錯誤類型之關係 .................................... 29 表 4-6 試題 12 策略與概念技能和錯誤類型之關係 .................................... 29 表 4-7 試題 5 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 31 表 4-8 試題 6 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 32 表 4-9 試題 7 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 33 表 4-10 試題 8 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 34 表 4-11 試題 9 策略與概念技能和錯誤類型之關係 ...................................... 35 表 4-12 試題 10 策略與概念技能和錯誤類型之關係 .................................... 35 表 4-13 解題策略分析與對應試題及其說明 .................................................. 38 表 4-14 策略分析之實徵資料說明 .................................................................. 39 表 4-15 解題策略使用比例 .............................................................................. 40 表 4-16 策略傾向組型說明表 .......................................................................... 40 表 4-17 策略組型傾向次數表 .......................................................................... 41 表 4-18 變異數同質性檢定 .............................................................................. 41 表 4-19 均等平均數的 Robust 檢定 .............................................................. 42 表 4-20 策略傾向與數學成績之比較：Games-Howell 檢定法 .................... 42 表 4-21 速度概念/技能分析表 ......................................................................... 44 表 4-22 策略傾向與概念/技能交叉表卡方檢定考驗..................................... 45 表 4-23 錯誤類型分析表 .................................................................................. 47 表 4-24 策略傾向與錯誤類型交叉表卡方檢定考驗 ...................................... 47 表 4-25 策略傾向 A 較容易犯錯誤類型 B3 之實徵資料 .............................. 48. VI.

(8) 謝辭我能夠順利的在兩年內，從大家口中很專業的測驗統計研究所畢業，謝謝你、妳還有你們的陪伴與相助！感謝國科會計畫編號 NSC 102-2511-S-142-008-MY3 之經費補助；感謝指導教授郭伯臣老師給予有如燈塔般的研究方向，您清晰的思緒卻又不失風趣幽默，讓我們在研究荒地上的開墾，漸漸擁有長出新芽的收穫喜悅；感謝智為學長與俊彥學長，不辭辛勞的耐心教導需要駑馬十駕的我；感謝芳宜在研究的進度上總是走在尖端又督促著我，讓我能跟隨你的腳步，並且給我許多真心的建議──我放在心上了；家慧，在研究室數不清的夜晚裡，與溫柔可人的理工女一起歡笑、談心與努力的日子──深刻又幸福；明俊主任，若郭老師是燈塔，那您就像小船上的風帆，若少了您，小船無法在瞬息萬變的晴時多雲裡安然靠岸──辛苦了；桂綾老師積極與認真負責的個人魅力──我會像您看齊；在研究室裡豢養與茁壯的測統所金城武及小黑豹，謝謝你們大力相挺的技術支援與真誠的訊息交換，讓研究室充滿信任與歡樂的氣氛──彌足珍貴。最後，還要感謝家人們全力的支持與摯友慧茹與玟菱無條件的待命，謝謝你們總是為我補充繼續向前邁進與衝鋒陷陣的勇氣與提供心靈慰藉！太多的感激與情感無法透過文字一一細膩的表達，只想說──有你們，真好！。. 施怡旭謹誌中華民國一○三年七月. VII.

(9) 第一章緒論本研究希望能透過國小六年級學生們在數學速度單元的解題狀況，了解學生在策略選用、概念/技能與錯誤類型之間的關係，並期望此研究結果能給予教師們在教學上及學生們在學習上助力，藉此提升教師教學成效與學生的學習成效。本章分為研究動機、研究目的、研究問題與假設、名詞釋義與研究限制等章節分述說明。. 第一節研究動機因應知識經濟時代的來臨，教育方針已經將主力的發展目標著重於莘莘學子是否具備現在與未來社會所需要擁有的基礎知識和相關技能，即一步步著重於現在與未來的學習成就。近期我國的數學教育在解題能力的培養越來越將之視為重要的技能，如九年一貫課程綱要內，即強調學生擁有「帶著走」的能力是刻不容緩的目標，因此若能使學生擁有分析資料、假設問題、實際驗證與判斷真偽，進而解決問題的能力，將是成為擁有「帶著走」能力的首要指標之一（教育部，2003）。不止我國著重問題解決的能力，美國科學促進學會(American Association for the Advancement of Science)(1994)也提出，促使學習者能成為一位好的解決問題者，應是學校教育的主要目標（李凱雯，2013），這都一再揭示學生的解題能力技能是數學教育裡不可忽略知識技巧。數學解題在認知發展中是屬於一個複雜的心智歷程，而且在數學解題中其多元的解題策略在數學解題過程中也確實存在著，不同能力的學生在進行數學解題時，所使用的解題方法可能也會有所不同（陳慧娟， 2008；楊瑞智，1994）。學生在運用不同的解題策略解題時，所需要的概念與造成的錯誤類型(error pattern)均可能不盡相同。郭丁熒（1992）和 Brown 與 Burton (1978)的研究指出，分析學生在學習時所擁有的錯誤性 1.

(10) 質及類型，會對任課教師設計「有效教學策略」有幫助（湯錦雲， 2002）。因此，若學生在解題時擁有偏向選用某一策略的傾向，在日後的補救教學上，將有助於教師補救學生偏向使用慣用策略中的所需要概念，並且教師可以協助學生因選用多重策略中的某一策略進行解題時，所擁有的錯誤類型與迷思概念，亦即，將所使用的策略、概念/技能與錯誤類型加以分析後所得到的資訊，將有助於減少學生在補救學習上所耗費的時間，並且提升學生的學習成效。在認知診斷測驗越來越趨成熟的時間洪流推進下，透過建構反應題來蒐集學生作答歷程資料，並且透過更精確的分析來診斷學生的學習狀況是時勢所趨，因此，為了獲得學生更多的作答資訊，本研究欲以建構反應題為施測的題型，藉著透過收集學生在建構反應題的作答反應，分析學生所使用的策略、概念/技能與錯誤類型，進一步整合錯誤類型與概念進行分析，期能使在教學現場的教師們獲取學生更精確的能力訊息，增進教師教學與學生學習的成效，降低人力、物力與時間的耗費。建構反應題為非選擇題，需要受測者自己獨立寫出答案而非從已提供的選項中進行選擇，所以相對於選擇題而言，較能測出受測者是否擁有統整相關數據與論證、說明前因後果、驗證自己的理論和能否闡述自己想法等的能力（鄭涵，2010）。一般選擇題僅能得到受測者最終的答案，而建構反應題的優點是能完整紀錄受測者的解題歷程，不僅可以降低教師在施測後閱卷的時間，更可以診斷出受測者所犯的錯誤類型，並降低受測者作答時的因「猜測」而答對的比例，因此，建構反應題可以得到更為精確的評量成效，藉此更能瞭解受測者在答題過程中的思考歷程（莊峰魁、王文卿、劉育隆、郭伯臣，2010）。傳統選擇反應題 (selected-response item)限於測驗比較低層次的教學目標，如記憶性與認知 2.

(11) 性等教學目標，相對於傳統的選擇反應題，其建構反應題 (constructedresponse items)的長處是能夠藉著記錄與收集學生的作答反應進而測驗出學生在「說明、整合、應用、分析、評估和傳達科學資訊的能力」 (National Assessment Governing Board，2004，引自吳任婕，2009)，而且應用思考、解決問題、組織統整和表達想法的能力也能藉由建構反應題測驗出（教育部，2004）。綜上所述，本研究是運用建構反應試題來獲取學生解題歷程的作答反應，探討學生使用多重解題策略進行解題時的作答資訊，並且加以分析學生易犯的錯誤類型與進行所屬的概念/技能的擁有與否，期能有對於學生擁有速度單元的目標概念/技能，並運用學生慣用策略的使用來進行後續的補救教學，以達到「因材施教」之目的。本研究使用 101 學年度南一版出版社國小數學第十一冊「速度」為施測單元，因為速度不是能直接感受到的感官量而為一種工具量，其工具量的特性就是透過實體無法將之表徵出來，因為工具量多是一種相對而非絕對的量感，會因個人感覺、生活事件不同而影響量感（鍾靜， 1994），因為速度屬於抽象的相對量感，所以對於尚處於具體運思期的國小六年級學童而言，在速度概念的建立上是比較需要費心學習，因其上述重要性，所以本研究選定「速度」為施測單元。. 第二節研究目的本研究主要目的在依據建構反應題型獲取學生的更多作答歷程資訊，進行解題策略、所具備的技能與錯誤類型分析的認知診斷，提供教師對於學生學習狀況的精確訊息；為此，本研究的目的為下: 一、探討數學單元速度中各題的解題策略對概念與錯誤類型之影響。二、分析數學單元速度中解題策略組型與數學表現之關係。三、比較數學單元速度中所使用的解題策略組型與錯誤類型之關係。 3.

(12) 四、探究在數學單元速度中解題策略組型與概念之關係。. 第三節名詞解釋基於上述的研究動機與研究目的，且為了使得本研究的意義能更明確，所以下列將界定與說明本研究所涉及的重要名詞，如：解題策略、單一解題策略、多重解題策略、慣用單一策略與策略傾向. 壹、解題策略解題策略為受試者在解答試題時，其所使用的概念或概念的組合，即稱為解題策略。例如：使用解題策略 M9 進行解題時，會使用到概念 S8 和概念 S2，而使用解題策略 M11 會使用到概念 S8、概念 S2 和概念 S6，則解題策略 M9 和 M11 為不同的概念、概念組合及順序，即定義為兩種不同的解題策略。. 貳、多重解題策略同一道數學題目具有不同的解題步驟，而這些解題步驟可能含有不同的概念/技能，但是都能將同一道數學題目進行正確的解題，本研究即稱這些解題步驟為解題策略，而因為同一道試題具有超過一種以上不同的解題策略，所以稱為多重解題策略。例如：試題 8 可以使用解題概念順序為概念 S7 的解題策略 M7，也可以使用其解題概念順序為概念 S3、概念 S4 與概念 S7 的解題策略 M15，來進行解題，所以因為試題 8 具有不同的解題策略，所以稱為多重解題策略。. 參、解題策略單一型單一位受測者在整份試卷中的不同試題，會習慣運用某一單一解題 4.

(13) 策略來進行解題，即稱為多重解題策略單一型。例如：甲學生在具有多重解題策略的十題數學題目中，有超過一半即五題以上的數學題目，均運用解題策略 A 來解題，即稱為「解題策略單一型」。. 肆、解題策略混合型單一位受測者在整份試卷中的不同試題，無習慣運用某一單一解題策略來進行解題，而是以策略混用或交替使用來進行解題，即稱為解題策略混合型。例如：乙學生在具有多重解題策略的十題數學題目中，一題為空白作答，三題使用策略 A，兩題使用策略 B 與四題使用策略 C 進行解題，其無慣性使用解題策略進行整份試卷的解題，即為「解題策略混合型」。. 伍、數學成績指受測者在本研究所編製數學單元速度的試卷中的答對題數，答對題數愈多，表示成績愈佳；反之，答對題數愈少，表示數學表現較不佳。. 第四節研究範圍與限制壹、研究範圍本研究是以台中市及彰化縣共四所學校之國小六年級學生為研究範圍，共計十九個班級的 493 位學生為施測對象，其研究題材訂為數學單元「速度」，研擬進行探討學生在速度單元的試卷中所使用的解題策略、概念/技能及錯誤類型三者間的關係。. 貳、研究限制本研究結果受限於人力、物力與時間，其抽樣的研究對象以中部國小 5.

(14) 六年級學生為主，未能涵蓋全國各縣市，故其代表性有一定的限制，因此不宜過度推論到全國的學生在數學單元速度的全部作答情形。. 6.

(15) 第二章文獻探討本研究欲探討在數學速度單元上，學生進行解題時所選用的解題策略、概念/技能與錯誤類型三者之間的關係，因此本章節將針對與本研究有關的文獻進行整理與分析。本章共分為三節，首先探討的是「數學多重解題策略」，其次探討的是「速度的相關研究」，最後則針對「速度教材分析」作進一步分析。各節內容如下：. 第一節數學多重解題策略數學被稱為一切科學之母，乃因為數學為許多學科的基礎入門知識，數學也是學科學習聽、寫與算的三大基本領域之一，且個人的生活品質與職業生活也深受數學能力的影響(Lerner, 2003)，因此如何加以運用數學來解決生活上的問題是重要的。在國民中小學九年一貫的數學領域裡，教育部強力推廣要讓學生們擁有「帶著走」的能力，即教育應提供機會給學生進行有意義並且有效率的學習，使學生能學好數學領域內重要的數學概念的核心題材（教育部，2008）。數學的解題策略是學習數學成功與否的重要關鍵，因為所有的數學問題都圍繞著如何進行解題而來（張雅俐，2011）。學生所使用的解題策略與解題的成敗有密切關係，亦即，學生若使用正確的解題策略，可成功進行解題；反之，則否(李凱雯，2013)。教師能藉著探討學生所使用的解題策略瞭解學生的學習狀況，更甚者可以進一步改善教學成效 (Kantowski, 1977)。而同一道題有不同的解題步驟，這些解題步驟可能含有不同的概念/技能，但是都能將題目進行正確的解題，我們稱這些解題步驟為解題策略，又因為是同一道試題有不同的解題策略，所以稱為多重解題策略。. 7.

(16) 多重解題策略之主要目的在於以不同的角度來運用所學的知識進行解題，進而挖掘問題中所涉及到的相關知識以及聯繫各知識點間的關係，再運用各種方法來解決同一道問題（祁翔，2007）。不同能力層次的學生使用不同解題策略進行解題，有其特定的精熟技巧存在（林月芳， 2006）。在許多研究中都已經指出學生會使用不同的解題策略進行數學解題，如：陳淑琳（2001）的研究中指出，國小二年級的學生能運用直接表徵、加法運算或乘法運算的解題策略來進行乘法文字題的解題。林月芳（2006）的研究中指出，國小三年級學生在進行四位數整數連續進位與退位的加減法解題時，會選擇以位值計算、填補計算、分割計算與和差算法等多重策略進行解題。在國小領域的數學單元速度中，鄭以仁（2006）的研究指出，學生在進行速度單元的解題時，大約有兩種單位換算的方法，第一種依照題目已知的距離和時間單位先求出速度後，再換算成題目要求的目標速度單位；第二種是學生先依照題目已知的距離和時間單位先換算成題目要求的目標速度單位，再做二階單位的換算以求出速度。綜上所述，本研究欲藉著受試者在國小領域的數學單元速度中，使用兩種單位換算方式延伸而成的多重解題策略，進行策略選用、錯誤類型分析與概念/技能三者關係間的分析與探討，提供教學現場的教師們更多學生學習狀況的豐富訊息，以利增加教師的教學成效與提昇學生的學習成效。. 8.

(17) 第二節速度相關研究本節就速度相關文獻對速度的意義、概念與錯誤類型進行探究，第一部分為速度的意義；第二部分為速度的概念與錯誤類型。. 壹、速度的意義速度為物體在單位時間內的位移，其包含下列三種關係：距離、時間和方向；而速率為物體行進中的單位距離與所耗費時間之比，指的就是在所耗的單位時間內，所經過的平均路徑長度值，為一種不考慮行進方向的純量，因此，速度和速率的實在本質意義是存在區別的（黃怡清， 2010）。在葉建德與劉祥通（2005）的研究中也指出，速率是只講求物體移動的快慢，不談論物體移動的方向，而速度就必須同時考慮物體行進的快慢與方向，因故，速度與速率的意義是不盡相同的。但因為在國民小學階段的學生尚無法辨識速度與速率間存在的差異，所以建議教師在教學時不必特意強調，以免讓學生產生混淆影響學習（台灣省國民學校教師研習會，1997）。因此本研究將不會特別指出速度與速率的區別，而以「速度」統一稱之。速度單元在國民中小學九年一貫課程綱要中，屬於「數與量」主題的「關係」部分，即探討「時間」與「長度」兩量之間的關係為主（鍾靜、盧炳寰、林素微，2001）。時間需要物體移動的速率來進行測定，如：鐘擺的運動、沙漏的運動與原子的震動等來測量時間（吳連鴻， 2003），而速度又非能直接感受到的感官量而是一種工具量，其工具量的特性就是透過實體無法將之表徵出來，因為工具量會因個人感覺、生活事件不同而影響量感，是一種相對而非絕對的量感，（鍾靜，1994），除此之外，速度單元內包含了除法、比例與分數的概念，並且是國小數學領域裡學習內涵量概念中第一個接觸到的二階單位內涵量（鄭以人， 2006）。 9.

(18) 綜上所述，速度是由兩個量衍生出的內涵量所組成的，又加上因為時間是工具量而非感官量，所以數學單元速度對國小學童而言，非常抽象，因故，在習得與精熟速度的概念上，是需要加以釐清並且耗費心力進行學習的重要數學概念。. 貳、速度的概念與錯誤類型一、速度的概念發展最早對學童其速度相關概念的獲取與發展進行系統研究的人是皮亞傑（吳連鴻，2003），杜佳真（1995）和王龍錫（1985）的研究指出，皮亞傑認為學童是先對「距離」的概念進行理解，再透過邏輯思考慢慢擁有「時間」和「速度」的概念（吳連鴻，2003），亦即，皮亞傑認為學童是隨著認知發展始能進一步擁有速度的相關概念。對於國小階段學生而言，直接比較物理概念的物體移動理解以及間接數學比例的概念運算，都是需要習得的速度概念，如：對相同起點與相同時間出發的速度快慢直接進行比較的現象分析、對不同時間或不同地點的速度快慢進行間接比較的一維分析與理解距離、時間和速度三者間相互關係的二維比較（王春奎、鍾靜，2004；鍾靜，1998；杜佳真， 1995）。在蔡枚芳（1999）的研究結果也顯示，兒童在速度概念的發展上依序為：距離→時間→方向→位移→速度，且不論兒童的年級、城鄉背景、性別與概念成熟階段背景因素為何，物體運動時其所花費的時間、地點、速度與距離，都會影響兒童概念發展上的判斷與思考。在陳宗彥（2002）的研究指出，國小六年級學童在速度概念的習得上，大多已能對等時不等距與等距不等時的速度問題進行速度快慢的比較，但是尚無法對不等距不等時的速度問題進行解題。學童在速度概念的發展順序上，會因學童個別能力值的不同而有所差異，但其發展依序為距離概念，其次為速度概念，最後發展的是時間概念，而速度的單位 10.

(19) 又關係到時間與距離的二維單位，所以學童會因為複雜的單位化聚，進而影響到對速度概念的理解（吳連鴻，2003）。綜合上述速度概念的相關研究，國小學童在速度的概念發展順序與學童的認知發展息息相關，可以說是隨年齡的發展而逐漸成熟，而且在釐清距離、時間和速度三者之間的相互關係上，學童會在距離的概念習得後，藉由距離概念進一步對等時不等距與等距不等時的速度問題進行速度快慢的比較。二、速度的相關錯誤類型錯誤類型指的是學生在進行數學解題中所發生系統性錯誤(system error)，此種系統性錯誤可能因為不完全或誤導的學習概念所致使，也可. 能是因為迷思概念所造成的（許志毅，2005）。Von Glasersfeld(1987)亦指出，錯誤類型是由於學生的生活、舊經驗、學習環境及接觸的領域各有不同並有所差異，因而對教師所傳遞的學習訊息進行不適切的組織與轉換而造成的。因此，當學生在數學解題的歷程中擁有錯誤類型，卻沒有進行修正，將會使學生後續的學習受到影響進而使學生的學習成就不佳 (Herson, 1982)。鄭以仁（2006）的研究結果顯示，國小六年級學生容易擁有的錯誤類型如下：對速度概念的定義不清晰，如：對速度單位高低階化聚困難；對平均速度的意義不清楚，如：將平均速度誤用為 A 速度與 B 速度相加再除以 2；易忽略或省略速度單位的時間變項。鍾靜（1998）提出學生容易犯下列這兩種錯誤類型：在時間單位高低階轉換與速度單位高低階化聚的概念不清。另外，也有其他文獻針對速度提出學生容易犯的錯誤類型，如：忽略速度中的時間或距離變項（陳紫婕，2004；董正玲、郭重吉，1992）、使用乘法解決距離與速度或時間的關係（吳連鴻，2003）。本研究茲將上述與速度錯誤類型有關的文獻列於下表，如表 2-1 所示:. 11.

(20) 表 2-1 速度單元錯誤類型之相關文獻列表研究者. 錯誤類型. 鄭以仁（2006）. 1. 對速度概念的定義不清晰。 2. 將平均速度誤用為 A 速度與 B 速度相加再除以 2。 3. 化聚速度單位有困難。 4. 忽略或省略速度單位的時間變項。. 鍾靜（1998）. 1. 時間單位高低階轉換概念不清。 2. 速度單位高低階轉換概念不清。. 陳紫婕（2004） 1. 忽略速度中的時間變項。董正玲、郭重吉 2. 忽略速度中的時間變項。（1992）. 第三節速度教材地位本研究參考 101 學年度南一出版社國小數學第十一冊備課用書的「速度」單元，期許能協助國小六年級學生學習速度相關的數學概念，並引導學生進行有效的解題，藉此提升學收的學習成效。國小學生在學習數學領域第十一冊速度前，已在國小數學領域的第八冊與第九冊分別學習到時間加減的概念與時間乘除的概念，因為學生必須先擁有時間加減乘除的先備經驗後，才能在本研究第十一冊的速度單元進行相關的數學題目解題，所以在九年一貫的國小課程中，學生必須先學習好時間的加減乘除概念，進而學習到如何進行速度相關應用題目的解題，才能有利於銜接國中自然與生活科技領域的相關發展教材。速度的先備經驗、單元教學重點與發展教材，如圖 2-1 所示。 12.

(21) 先備經驗. 數學領域第八冊第六單元 ◎時間的加減。第九冊第八單元 ◎時間的乘除。. 數學領域本. 第十一冊第八單元. 單元. ◎能理解速度的概念與應用。 ◎認識速度的普遍單位及換算。 ◎處理相關的計算問題。. 自然與生活科技未來學習. 第十八冊第一單元 ◎1-2 路程和位移（1） ◎1-3 速率和速度（2）. 圖 2-1「速度」單元的教材地位 (引自南一出版社國小數學領域六上備課用書與南一版國民中學九年級自然與生活科技學習領域備課用書). 13.

(22) 14.

(23) 第三章研究方法本章節將以三部分來說明本研究之研究方法，茲將其分述如下：. 第一節研究流程及步驟本研究為了提供教師進一步了解學生在建構反應題型中，數學解題歷程中的解題策略、概念/技能與錯誤類型間三者的關係，進而期望能藉此研究提升教師教學成效與學生的學習成效。因此在確定以國小六年級數學單元速度的多元解題策略、概念/技能與錯誤類型之關係為研究主題後，經參考南一出版社101學年度國小數學六上備課用書、相關文獻與數學教材、學生的預試資料、九年一貫課程綱要、測驗專家與專家教師意見後，建立速度試題與學生在此單元易犯錯的錯誤類型Q矩陣，並據此進行速度試題的編製後，實施預試，並由測驗專家和專家教師依據預試的資料共同編修完成施測試卷，再將編修後的正式試卷進行施測後，收回正試施測試卷以收集受測者的作答反應歷程，藉此判讀受測者所使用的解題策略、概念/技能與錯誤類型，並分析相關數據後撰寫研究報告，上述研究流程與步驟，如下圖3-1所示，其分點敘述如後：. 15.

(24) 確定研究主題. 分析教材與能力指標. 收集與探討相關文獻. 建立試題策略與解題概念、錯誤類型 Q 矩陣. 編製速度診斷測驗. 請資深教師和專家修審題. 預試修正編製成正式試卷. 正式施測回收施測資料. 專家判讀解題策略概念、錯誤類型撰寫報告圖 3-1 研究流程圖. 壹、速度單元認知概念與錯誤類型一、速度單元概念分析換算二階單位時、分與秒是學生的先備知識，故本單元的起點行為是以換算時間的二階單位為主，透過時間的化聚，讓學生能進行時間複名數與單名數互換，就是指將含有小數、分數的時間單位進行化聚，進而 16.

(25) 擁有時速、分速與秒速間的換算能力，之後再藉由解題活動讓學生了解時間、速度與距離之間的關係：距離÷時間＝速度、速度×時間＝距離與距離÷速度＝時間，使學生能擁有速度相關應用的解題，亦包含使用平均速度＝多段總距離÷多段總時間，擁有速度相關的解題應用能力。 101 學年度南一出版社國小數學第十一冊備課用書，將國小六年級數學單元「速度」的教學目標概分為以下四點(引自南一出版社國小數學領域六上備課用書)： 1.時間單名數與複名數的互換。 2.秒速、分速和時速的互換。 3.能進行距離、時間和速度三者關係間的應用解題。 4.擁有平均速度的應用解題能力。本研究經相關文獻與數學教材、預試的作答反應資料與測驗專家教師意見，將數學單元速度的解題概念彙整如表 3-1：表 3-1 速度解題概念列表代號. 速度解題概念. S1. 能利用秒速×60＝分速解決問題。. S2. 能利用分速×60＝時速解決問題。. S3. 能利用時速÷60＝分速解決問題。. S4. 能利用分速÷60＝秒速解決問題。. S5. 能利用平均速度＝多段總距離÷多段總時間解決問題. S6. 運用速度×時間＝距離，解決有關的速度問題。. S7. 運用距離÷速度＝時間，解決有關的速度問題。. S8. 運用距離÷時間＝速度，解決有關的速度問題。. 17.

(26) 二、速度單元錯誤類型本研究為了診斷學生運用多重解題策略進行數學單元速度解題時，是否擁有所屬學習目標的概念/技能，所以本研究將教學目標做細分，經參考 101 學年度南一出版社國小數學第十一冊備課用書、相關數學教材、相關文獻、預試作答反應資料與測驗專家教師意見，將數學單元速度較容易出現的錯誤類型彙整如表 3-2：表 3-2 速度錯誤類型列表代號. 錯誤類型. 文獻出處. B1. 使用除法解決時間單位高階化為低. 鍾靜(1998). 階 B2. 使用乘法解決時間單位低階化為高階. B3. 解題時，忽略速度單位的時間變項. （陳紫婕，2004；董正. B4. 解題時，忽略速度單位的距離變項. 玲、郭重吉，1992）. B5. 使用平均速度=(速度 1+速度 2) ÷2. 葉子雲、劉翔通(2007). B6. 使用乘法解決速度單位高階化為低. 鍾靜(1998). 階 B7. 使用除法解決速度單位低階化為高階. B8. 使用速度÷時間＝距離. 研究者設計. B9. 使用乘法解決距離與速度或時間的. 吳連鴻(2003). 關係. 18.

(27) 三、「速度」解題策略分析列表本研究將多重解題策略定義為：不同受試者解答同一道試題時，可能使用不同的概念、不同的概念組合或不同的概念順序，即稱該道試題具有多重解題策略。據此，本研究將速度單元整份試卷的 12 題試題中，依據不同的概念、不同的概念組合或不同的概念順序編制 M1~M18 的解題策略，並將 M1~M18 的解題策略、概念、錯誤類型與對應題號之關係如表 3-3 所示：表 3-3 解題策略、概念技能、錯誤類型與試題對應表策略代碼. 概念列表. 錯誤類型. 對應試題. M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18. S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S8，S2 S8，S3 S8，S2，S6 S8，S6 S4，S6 S1，S7 S3，S4，S7 S3，S7 S5，S2 S5，S4. B3、B4、B7 B3、B4、B7 B3、B4、B6 B3、B4、B6 B1、B2、B5 B2、B3、B8 B1、B2、B3、B9 B1、B2、B9 B3、B7、B9 B3、B6、B9 B3、B7、B8、B9 B2、B8、B9 B6、B8 B7、B9 B3、B6、B9 B1、B6、B9 B3、B5、B7 B4、B5、B6. 1 2 3 4 11 6 7、8. 貳、建立概念 Q 矩陣表一、編制試題命題卡 19. 9 9 10 5 5 6 7 8 8 11 12.

(28) 本研究依據數學單元「速度」的多重解題策略、概念/技能與錯誤類型進一步來編製試題，以下表 3-4 試題 10 為例，先將該題所包含的概念「S3 能利用時速÷60＝分速解決問題」和「S8 運用距離÷時間＝速度，解決有關的速度問題」列出後，列出受測者可能使用的多重策略與其選用策略所含的概念/技能順序列出，如選用策略 10 所屬的概念/技能順序為 S8→S3，而策略 8 的概念/技能順序為 S8，繼而列出受測者可能會犯的錯誤類型，以及是否同時具有 skill 卻也擁有 bug 的情形。表 3-4 試題 10 命題卡編製概念試題 10. 錯誤類型. 策略 M10 作答歷程錯誤類型. S3 能利用時速÷60＝分速解決問題 S8 運用距離÷時間＝速度，解決有關的速度問題（）噴射客機 2.5 小時飛行 2325 公里，分速是多少？ ① 15.5 公里/分②930 公里/分③5812.5 公里/分④55800 公里/分選項① 選項② 選項③ 選項④ 2325÷2.5＝ 2325×2.5＝ 2325÷2.5＝ 930 5812.5 930 930×60＝ 55800 B3 B9 B6 ◎ 解題時，忽使用乘法解使用乘法解略速度單位決距離與速決速度單位的時間變項度或時間的高階化為低關係階 S8 S3 2325÷2.5＝930 公里/時 930÷60＝15.5 公里/分情況 A ： 930 公里/時. 情況 B： 2325×2.5 ＝5812.5. B3 解題時，忽略速度單位的時間變項 B9 使用乘法解決距離與速度或時間的關係 20. 930 公里/時 ×60＝55800 公里/分. B6 使用乘法解決速度單位高階化為低階.

(29) 策略 M8 作答歷程錯誤類型. S8 2325÷150＝15.5 公里/分. 2.5×60＝150 分 B1 使用除法解決時間單位高階化為低階. B9 使用乘法解決距離與速度或時間的關係. 二、建立試題、解題概念/技能的 Q 矩陣依據受測者進行試題解答時，使用的概念/技能或概念/技能的組合，來建立每題解題策略與概念/技能之 Q 矩陣，以下表 3-5 試題 10 概念/技能與錯誤類型之 Q 矩陣為例，在試題 10 使用的概念/技能的組合為 S8 和 S3，即代表為使用解題策略 M10 進行解題；使用的概念/技能為 S8，即代表為使用解題策略 M8。. 表 3-5 試題 10 概念/技能 Q 矩陣概念. S1. S2. S3. S4. S5. S6. S7. S8. 試題 10 (M10). 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 試題 10 (M8). 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 試題. 另依據受測者解答試題時，使用的概念/技能或概念/技能的組合，來建立每題與錯誤類型的 Q 矩陣，使用解題策略 M10 進行解題的受測者可能出現的錯誤類型為 B3、B6 和 B9；使用 M8 的受測者可能出現的錯誤類型為 B1 和 B9，如表 3-6 所示：表 3-6 試題 10 錯誤類型 Q 矩陣概念. B1. B2. B3. B4. B5. B6. B7. B8. B9. 試題 10 (M10). 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 試題 10 (M8). 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 試題. 21.

(30) 參、施測及資料分析在編製完數學單元速度的試題後，請五名現職教師與四位測驗專家，依據速度單元 Q 矩陣所列的概念/技能和可能出現的錯誤類型進行審題與修正，藉此以提升本研究欲正式施測試題的內容的效度。正式施測並回收 493 份有效試卷後，本研究依據判讀規則對受測者的作答反應進行建構歷程、選擇題答案、概念有無、錯誤類型的有無及選用的解題策略，請專家教師進行人工判讀，若受測者答對此題則輸入 1，反之，若答錯此題則為 0；若受測者在此題的作答反應空白則為 99，而無法判別其作答反應則輸入 88，依此規則來建立每題的分析資料，其上述判讀規則如表 3-7 所示: 表 3-7 專家判讀規則概念選擇題答案. 建構反應歷程. 錯誤類型有無. 解題策略. 有無對(1). 對(1). 1. 0. M1~M12. 錯(0). 對(1). 1. 0. M1~M12. 對(1). 錯(0). 0/1. 0/1. M1~M12. 錯(0). 錯(0). 0/1. 0/1. M1~M12. 空白(99). 空白(99). 99. 99. 99. 無法判別(88). 無法判別(88). 0. 0. 88. 備註：從作答過程若有證據顯示有概念或錯誤類型則判為 1，沒有則判 0；而從做答歷程無法判別時，判為 88；作答空白時判為 99。. 22.

(31) 第二節研究對象壹、預試樣本本研究的預試對象為台中市一所市區國民小學內的 62 名國小六年級學生。貳、正式施測樣本本研究正式施測是以台中市及彰化縣共四所學校之國小六年級學生為研究對象，其正式施測的測驗時間為 40 分鐘，在正式施測的試卷中共計有 12 題試題，其試題形式均為擁有四個選項的選擇題且附加計算過程欄位，並於試題說明要求受測者寫出完整的解題歷程，而刪除無效樣本後，本研究的有效樣本共計 493 份。. 第三節研究工具回收後的施測試卷資料，本研究先以 Microsoft Office Excel 軟體登錄受試者的作答反應訊息，並整理歸納後，再利用 SPSS 軟體進相關的資料分析。 SPSS（Statistical Package for Social Science）是一套常用且能迅速進行資料處理的統計分析的統計套裝軟體，可用於基礎統計分析，亦可用於大量資料之分析，藉此 SPSS 統計套裝軟體能擁有正確的資料分析結果。. 23.

(32) 24.

(33) 第四章研究結果本研究旨在探討國小六年級學生在進行數學單元「速度」的解題時，受測者所運用的解題策略、概念/技能以及錯誤類型，簡而言之，即為一結合多重解題策略、概念/技能以及錯誤類型之認知診斷。本研究依據研究目的將研究結果依整理成四節如下所示：. 第一節各題解題策略對概念及錯誤類型之分析本研究將各試題所擁有的解題策略進行相關的分析，目的在探討學生所選用的解題策略對其所涵蓋的概念與錯誤類型而言，是否會造成影響？其相關研究結果將分述如下：. 壹、單一概念試題分析本研究編制的數學單元速度試卷共計有 12 題試題，其中試題 1 至試題 4 為分別使用策略 1（M1）至策略 4（M4）擁有單一概念的解題策略的試題，均為速度單位轉換的概念題，又試題 1 是能利用 S1（秒速×60＝分速解決問題），試題 2 是能利用 S2（能利用分速×60＝時速解決問題），皆在評量學生對於速度單位低階轉換為高階的概念題的概念掌握；試題 3 是能利用 S3（時速÷60＝分速解決問題），試題 4 是能利用 S4（能利用分速÷60＝秒速解決問題），皆在評量學生對於速度單位高階轉換為低階的概念題的概念掌握。從表 4-1 至表 4-4 策略與概念技能和錯誤類型之關係顯示出，在擁有單一概念之解題策略的試題 1 至試題 4 中，若使用其他策略的受測者，較分別使用策略 1(M1)至策略 4(M4) ，容易缺乏其所屬策略的各概念技能。又試題 1 與試題 2 通過率優於試題 3 與試題 4，是因為試題 1 與試題 2 是利用速度單位低階轉換為高階乘以 60 的概念進行解題，其相較於高階轉換為低階是除以 60 概念而言簡單，所以試題 1 與試題 2 通過率 25.

(34) 優於試題 3 與試題 4。表 4-1 試題 1 策略與概念技能和錯誤類型之關係試題 1 缺乏的概念技能. S1 B3. 錯誤類型. B4 B7. 答對率. 策略編號. M1. 其他. 總和. 策略使用人數. 429. 64. 493. 個數. 0. 64. 64. 百分率個數百分率個數百分率個數百分率. (0%) 1 (0.2%) 0 (0.0%) 0 (0%). (100%) 47 (73.4%) 10 (15.6%) 6 (9.4%). (13.0%) 48 (9.7%) 10 (2.0%) 6 (1.2%). 個數. 429. 0. 429. (0%). (87.0%). 百分率 (87.0%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數表 4-2 試題 2 策略與概念技能和錯誤類型之關係試題 2 缺乏的概念技能. S2. 錯誤類型. B3. 試題 2. 策略編號. M2. 其他. 總和. 策略使用人數. 408. 85. 493. 個數百分率個數百分率. 0 (0%) 0 (0%). 85 (100%) 24 (28.2%). 85 (17.2%) 24 (4.9%) （續下頁）. 策略編號. M2. 其他. 總和. 策略使用人數. 408. 85. 493. 26.

(35) B4 B7. 試題 2 答對率. 個數百分率個數百分率. 0 (0.0%) 0 (0%). 10 (11.8%) 48 (56.5%). 10 (2.0%) 48 (9.7%) （續下頁）. 策略編號. M2. 其他. 總和. 策略使用人數. 408. 85. 493. 個數. 408. 0. 408. (0%). (82.8%). 百分率 (82.8%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數表 4-3 試題 3 策略與概念技能和錯誤類型之關係試題 3 缺乏的概念技能. S3 B3. 錯誤類型. B4 B6. 答對率. 策略編號. M3. 其他. 總和. 策略使用人數. 397. 96. 493. 個數. 0. 96. 96. 百分率個數百分率個數百分率個數百分率. (0%) 0 (0%) 0 (0.0%) 0 (0%). (100%) 21 (21.9%) 21 (21.9%) 48 (50.0%). (19.5%) 21 (4.3%) 21 (4.3%) 48 (9.7%). 個數. 397. 0. 397. 百分率. (80.5%). (0%). (80.5%). 27.

(36) 表 4-4 試題 4 策略與概念技能和錯誤類型之關係試題 4 缺乏的概念技能. S4 B3. 錯誤類型. B4 B6. 答對率. 策略編號. M4. 其他. 總和. 策略使用人數. 334. 159. 493. 個數. 0. 159. 159. 百分率個數百分率個數百分率個數百分率. (0%) 1 (0.3%) 0 (0.0%) 0 (0%). (100%) 81 (50.9%) 19 (11.9%) 55 (34.6%). (32.3%) 82 (16.6%) 19 (3.9%) 55 (11.2%). 個數. 334. 0. 334. (0%). (67.7%). 百分率 (67.7%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 貳、平均速度概念試題分析試題 11 與試題 12 屬於需要能利用 S5（平均速度＝多段總距離÷多段總時間解決問題）的概念題，在解題策略方面，M5 是利用時間單位高低階間轉換的解題策略，而 M17 與 M18 均是需要利用速度單位高低階轉換的解題策略，從表 4-5 與表 4-6 發現大多數受試者使用 M17 與 M18 進行解題，但進一步探討，發現使用 M17 與 M18 容易發生錯誤類型 B3（解題時，忽略速度單位的時間變項），顯示受測者對於速度單位高低階轉換間的概念不純熟，所以容易犯 B3，反觀使用 M5 的受測者，在概念上的完整性是較好的，所以在答對率方面也較使用 M17 與 M18 得受測者高。. 28.

(37) 表 4-5 試題 11 策略與概念技能和錯誤類型之關係策略編號. 試題 11. 策略使用人數 S2. 缺乏的概念技能 S5 B3 錯誤類型. M5 74. B5 B7. 答對率. 個數百分率. M17 322. 其他. 總和. 97. 493. 162. 97. 280. 個數. 2. (48.6%) (29.1%) 1 97. 百分率個數百分率個數百分率個數百分率. (2.7%) 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%). (0.3%) (100%) 143 1 (44.4%) (1.0%) 0 4 (0%) (4.1%) 11 0 (3.4%) (0%). 個數. 71. 169. 百分率 (95.9%) (52.5%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. (52.5%) (20.3%) 144 (29.2%) 4 (0.8%) 11 (2.2%). 100. 0. 240. (0%). (48.7%). 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 表 4-6 試題 12 策略與概念技能和錯誤類型之關係策略編號. 試題 12. M5 71. 策略使用人數 S4. 缺乏的概念技能 S5. 個數百分率個數. 4. 百分率. (5.6%). M18 323. 其他 99. 總和 493. 135. 99. 280. (41.8%) (100%) 1 98. (47.5%) 103. (0.3%). (20.9%). (99.0%). （續下頁） 29.

(38) 策略編號. 試題 12. M18 323 2 (0.6%) 18 (5.6%). 其他 99 1 (1.0%) 0 (0%). 總和 493 5 (1.0%) 18 (3.7%). 個數. 67. 189. 0. 256. (0%). (51.9%). 策略使用人數 B1. 錯誤類型 B6 答對率. 個數百分率個數百分率. M5 71 2 (2.8%) 0 (0%). 百分率 (94.4%) (58.5%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 参、距離、時間和速度三者關係間的應用概念分析試題 5 至試題 10 為擁有距離、時間和速度三者關係間的應用概念題，其解題策略 M9、M10、M11、M13、M14、M15 和 M16 為使用速度單位高低階轉換的概念題，而解題策略 M6、M7、M8 和 M12 為使用時間單位高低階轉換的概念題。試題 5 的策略與概念技能和錯誤類型之關係，如下表 4-7 所示，試題 5 使用解題策略 M11 進行解題的受測者，容易缺乏概念 S2（能利用分速 ×60＝時速解決問題），且較使用 M12 進行解題的受測者容易發生錯誤類型 B3（解題時，忽略速度單位的時間變項）；使用 M12 較使用 M11 進行解題的受測者答對率高。. 30.

(39) 表 4-7 試題 5 策略與概念技能和錯誤類型之關係策略編號. 試題 5 S2 缺乏的概念技能 S6 S8 B3 錯誤類型. B8 B9. 答對率. 總和 493. 策略使用人數個數. 60. 119. 179. 百分率. (99.2%). (36.3%). 個數. (39.0%) 4. 12. 116. 132. 百分率個數. (2.6%) 2. (5.5%) 31. (96.7%) 117. (26.8%) 150. 百分率個數百分率個數百分率個數百分率. (1.3%) (14.2%) (97.5%) 52 1 1 (33.8%) (0.5%) (0.8%) 1 2 1 (0.6%) (0.9%) (0.8%) 0 0 2 (0%) (0%) (1.7%). (30.4%) 54 (11.0%) 4 (0.8%) 2 (0.4%). 個數. 97. M12 219. 其他 120. M11 154. 211. 40. 百分率 (63.0%) (96.3%) (33.3%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 348 (70.6%). 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 下表 4-8 為試題 6 的策略、概念技能和錯誤類型之關係表，可顯示出，試題 6 使用 M13 的受測者較使用 M6 多且答對率也較高；使用 M6 的受測者較使用 M13 的受測者容易發生錯誤類型 B3。. 31.

(40) 表 4-8 試題 6 策略與概念技能和錯誤類型之關係試題 6 S4 缺乏的概念技能 S6 B2 B3 錯誤類型 B6 B8 答對率. 策略編號. M6. M13. 其他. 總和. 策略使用人數. 43. 180. 270. 493. 個數. 10. 270. 280. 百分率. (100%). (56.8%). 111. 132. 個數. 9. (5.6%) 12. 百分率個數百分率個數百分率個數百分率個數百分率. (20.9%) 7 (16.3%) 1 (2.3%) 0 (0%) 2 (4.7%). (6.7%) 0 (0%) 3 (1.7%) 6 (3.3%) 1 (0.6%). (41.1%) 3 (1.1%) 155 (57.4%) 12 (4.4%) 1 (0.4%). (26.8%) 10 (2.0%) 159 (32.3%) 18 (3.7%) 4 (0.8%). 個數. 29. 156. 0. 186. (0%). (37.7%). 百分率 (67.4%) (86.7%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 下表 4-9 為試題 7 的策略、概念技能和錯誤類型之關係表，可由表 4-9 發現試題 7 使用 M14 的受測者，較使用 M12 進行解題的受測者容易發生錯誤類型 B3 且答對率也較高。. 32.

(41) 表 4-9 試題 7 策略與概念技能和錯誤類型之關係策略編號. 試題 7. 其他 45. 總和 493. 個數. 4. 45. 49. 百分率. (100%). (9.1%). 44. 154. (97.8%) (31.2%) 0 14 (1.1%) (2.8%) 2 84 (4.4%) (17.0%) 1 3 (2.2%) (0.6%) 5 12 (11.1%) (2.4%). 策略使用人數 S1. 缺乏的概念技能 S7 B2 B3 錯誤類型 B7 B9 答對率. M14 134. M7 314. 個數. 108. (5.6%) 2. 百分率個數百分率個數百分率個數百分率個數百分率. (34.4%) 14 (4.5%) 82 (26.1%) 0 (0%) 6 (1.9%). (1.5%) 0 (0%) 0 (0%) 2 (1.5%) 1 (0.7%). 個數. 204. 131. 百分率 (65.0%) (97.8%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 14. 336. (2.2%). (68.2%). 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 試題 8 的策略與概念技能和錯誤類型之關係，可經由下表 4-10 發現，試題 8 擁有 M7、M15 和 M16 的多重解題策略，其受測者不管使用哪一種策略進行解題，缺乏概念 S7（運用距離÷速度＝時間，解決有關的速度問題）的百分率均超過 50%；使用 M7 的受測者較其他受測者容易犯錯誤類型 B3。. 33.

(42) 表 4-10 試題 8 策略與概念技能和錯誤類型之關係. 試題 8. S3 缺乏的概念技 S4 能 S7 B1 B3 錯誤類型 B6 B9 答對率. 策略編號. M7. M15. M16. 其他. 總和. 策略使用人數. 112. 186. 42. 153. 493. 個數. 1. 0. 126. 127. 百分率個數百分率. (0.5%) 4 (2.2%) 97. (0%). 個數百分率個數百分率個數百分率個數百分率個數百分率個數. 65. 21. (58.0%) (52.2%) (50.0%) 0 0 2 (0%) (0%) (4.8%) 36 18 0 (32.1%) (9.7%) (0%) 0 0 1 (0%) (0%) (2.4%) 0 66 1 (0%) (35.5%) (2.4%) 112. 186. 42. (82.4%) (25.8%) 153 159 (100%) (32.3%) 153 (100%) 0 (0%) 1 (0.7%) 2 (1.3%) 2 (1.3%). 336 (68.2%) 2 (0.4%) 55 (11.2%) 3 (0.6%) 69 (14.0%). 153. 205. 百分率 (46.4%) (48.9%) (50.0%) (26.8%) (41.6%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 下表 4-11 與 4-12 分別為試題 9 與試題 10 的策略、概念技能和錯誤類型之關係表，可藉由表 4-11 與 4-12 發現，使用速度單位高低階轉換概念的 M9 和 M10 之受測者，較使用時間單位高低階轉換概念進行解題的 M8 策略選用者，容易發生錯誤類型 B3，但是使用 M8 進行解題的受測者答對率較高，上述分析，如下表 4-11 與 4-12 所示。 34.

(43) 表 4-11 試題 9 策略與概念技能和錯誤類型之關係策略編號. 試題 9. M9 358. 其他 55. 總和 493. 個數. 1. 55. 63. 百分率. (87.3%) (12.8%) 55. 244. M8 80. 策略使用人數 S2. 缺乏的概念技能 S8 B2 B3 錯誤類型 B7 B9 答對率. 個數. 80. (1.6%) 109. 百分率個數百分率個數百分率個數百分率個數百分率. (100%) 4 (5.0%) 1 (1.3%) 1 (1.3%) 0 (0%). (30.4%) 0 (0%) 94 (26.3%) 8 (2.2%) 0 (0%). (100%) 4 (7.3%) 1 (1.8%) 0 (0%) 1 (1.8%). (49.5%) 8 (1.6%) 96 (19.5%) 9 (1.8%) 1 (0.2%). 個數. 72. 260. 8. 340. 百分率 (90.0%) (72.6%) (14.5%) (69.0%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數表 4-12 試題 10 策略與概念技能和錯誤類型之關係策略編號. 試題 10. M8 145. M10 283. 其他 65. 總和 493. 65 (87.3%). 63 (31.6%). 4. 91 (1.6%) 4. (2.8%). (1.4%). 策略使用人數 S3. 個數百分率. S8. 個數百分率. 缺乏的概念技能. 35. 63 71 (96.9%) (14.4%) （續下頁）.

(44) 策略編號. 試題 10. 個數百分率個數百分率個數百分率個數百分率. M8 145 0 (0%) 0 (0%) 0 (0%) 2 (1.4%). M10 283 0 (0%) 57 (20.1%) 15 (5.3%) 2 (0.7%). 其他 65 2 (3.1%) 2 (3.1%) 0 (0%) 6 (9.2%). 總和 493 2 (0.4%) 59 (12.0%) 15 (3.0%) 10 (2.0%). 個數. 139. 199. 0. 338. (0%). (68.6%). 策略使用人數 B1 B3. 錯誤類型 B6 B9 答對率. 百分率 (95.9%) (70.3%) 備註:1.「其他」是指策略無法判斷或是作答空白. 2.各概念缺乏與錯誤類型發生的百分率=發生個數∕各策略使用人數 3.概念缺乏與錯誤類型發生的總和百分率=發生總個數∕策略使用總人數. 肆、本節結果與說明綜上所述各試題之間的策略、概念技能和錯誤類型之關係分析，發現受測者會因為運用不同解題策略，而使得在缺乏的概念與產生的錯誤類型也出現差異。. 36.

(45) 第二節解題策略組型對數學成績之關係探討整份試卷共 12 題，將其細分成上述 18 個策略後，為使分析更具意義，本研究經參考 101 學年度南一出版社國小數學第十一冊備課用書、相關文獻與數學教材、測驗專家教師意見與 493 位受測者的 12 題建構反應題中，將 12 道試題中的策略區合併統整一致性的兩種解題策略組型「變換速度法」與「變換時間法」。. 壹、解題策略組型分析一、變換速度法解題策略「變換速度法」是利用轉換速度單位的高低階而進行解題，即速度單位的高階轉換為低階是除以 60 的關係，反之，速度單位的低階轉換為高階則乘以 60 的關係，例：「時速是 60 公尺換算成分速是多少？」，時速轉換為分速是從速度單位的高階轉換為低階，所以時速 60 公尺除以 60 即為分速 1 公尺。二、變換時間法在運用解題策略「變換時間法」時，學生要先進行距離、速度和時間三者間的關係，才能在進行數學單元速度相關的應用解題後，運用已習得之先備知識秒、分和時的二階單位換算後，再進行時間單位的高低階轉換解題，以本研究速度單元為例：「若有一列子彈列車行駛的速度是 100 公尺/秒，請問此列車行駛 18000 公尺要花幾分鐘？」，學生運用解題策略「變換時間法」解題時，可先運用距離÷速度＝時間的關係，解出此列子彈列車行駛需要 180 秒，再將時間單位秒換算為分，進行二階單位轉換進行解題，即時間單位低階轉換為高階是除以 60 的關係，解出此列子彈列車行駛需要 3 分鐘。. 37.

(46) 據上所述，本研究將 M1 至 M18 的解題策略中，將含有速度單位高低階轉換的概念 S1 至 S4 的解題策略分類為 A「變換時速度法」，而含有時間單位高低階轉換的策略分類為 B「變換時間法」。研究者發現試題 1 至 4 題僅可使用策略 A 來求得答案，試題 5 至 12 題可使用策略 A 或策略 B 來求得答案，亦即試題 5 至 12 題是擁有「共同解題策略」的試題。將上述解題策略整理其所對應題號於下表 4-13 所示：表 4-13 解題策略分析與對應試題及其說明類別. 策略類別. 試題. 策略說明. 代碼 M9、M10、M11、 1，2，3，4，5， A. 變換. 利用速度單位的高 M13 、 M14 、. 速度法. 低階轉換進行解題。 M15 、 M16 、. 6，7，8，9，10， 11，12 M17、M18 利用時、分與秒二階 M5、M6、M7、變換 B. 單位換算，進行時間 M8、M12. 5，6，7，8，9，. 單位的高低階轉換. 10，11，12. 時間法解題。. 以試題 7 的實徵資料為例，將學生使用 A「變換速度法」與 B「變換時間法」解同一道題(試題 7)，進一步分析解題策略與解題策略所涵蓋的概念/技能，並將其說明列於表 4-14：. 38.

(47) 表 4-14 策略分析之實徵資料說明試題 7 （）7.有一列子彈列車行駛的秒速是 100 公尺/秒，請問行駛 18000 公尺要花幾分鐘？ ①3 分②180 分③10800 分④1800000 分學生作答反應 1. 學生作答反應 2. 策略說明. 策略說明. 變換速度法：利用速度單位的高低階轉換進行解題. 100m/s=6000 m/s S1：能利用秒速× 60＝分速解決問題。 18000÷6000=3 S7：運用距離÷速度＝時間，解決有關的速度問題。. 變換時間法：利用時、分與秒二階單位換算，進行時間單位的高低階轉換解題。. 18000÷100=180 S7：運用距離÷速度＝時間，解決有關的速度問題。 180s=3min 秒與分二階單位換算，進行時間單位的高低階轉換解題。. 貳、擁有策略組型進行解題本研究經參考 101 學年度南一出版社國小數學第十一冊備課用書、相關數學教材、測驗專家教師意見與 493 位受測者的十二題建構反應題中，擁有多重策略解題的試題 5 到試題 12 共八題的建構題反應資料進行分析。本研究因為速度單元的特性之因，其解題策略主要是以變換速度法或變換時間法為主要解題策略，而受測者容易因為試題中的敘述、數字的大小或是與其時間和速度單位是否運用乘法或除法進行高低階轉換，而選擇不同解題策略，以致於受測者在本研究的速度單元中，受測者運用解題策略單一型進行解題比例不高，如表 4-15 所示： 39.

(48) 表 4-15 解題策略使用比例解題策略解題策略單一型-變換速度法解題策略單一型-變換時間法混合策略策略不明總和. 次數. 百分比(%). 13. 2.64%. 2. 0.41%. 427 51 493. 86.61% 10.34% 100.00%. 因為上述單元特性的原因，本研究隨之探討 493 位受測者在擁有多重策略題的試題 5 到試題 12 共八題中，若受測者在此八題中，使用變換速度法進行解題的題數大於或等於四題，即稱為擁有解題策略組型傾向 A；使用變換時間法進行解題的題數大於或等於四題，即稱為擁有解題策略傾向 B；使用解題策略傾向次數 A 等於 B，即稱為擁有解題策略組型傾向 C 混合法；單一策略僅使用三次以下、大部分試題空白或亂作答，使得無法判斷受測者所使用的策略，就歸類為此類──D 策略不明。如下表 4-16 所示：表 4-16 策略傾向組型說明表解題策略組型. 說明. A變換速度法. 使用 M1 解題的題數大於或等於四題. B變換時間法. 使用 M2 解題的題數大於或等於四題. C策略均等使用. 使用策略傾向的次數 M1 等於 M2 等於四題. D策略不明. 無法判別是否具有 M1、M2 或 M3 的策略傾向. 經過分析後，發現在 493 位受測者中，有 267 位受測者傾向使用 M1 變換速度法進行解題，73 位受測者傾向使用 M2 變換時間法進行解題， 33 位受測者傾向使用 M3 混合法進行解題，123 位受測者的解題策略傾向 40.

(49) 無法判別，此結果可能與本單元所強調的教學目標特性有關，因為本單元速度，主要強調是能以進行速度相關應用的解題為主，所以教師在教學時會比較著重在新概念的建立，所以受測者容易傾向使用新習得的 M1 變換速度法進行解題，即受測者比較會傾向使用速度單位的高低階轉換進行速度的解題。其相關策略傾向次數與百分比如表 4-17 所示：表 4-17 策略組型傾向次數表解題策略組型. 人數. 百分比(%). A變換速度法. 267. 54.16%. B變換時間法. 73. 14.81%. C策略均等使用. 33. 6.69%. D策略不明. 120. 24.34%. 總和. 493. 100.00%. 参、解題策略組型與數學成績之分析對有效樣本為493份的四類解題策略組型傾向與受測者在此試卷中的八題數學成績進行檢定，其變異數同質性檢定達顯著(0.000<0.05)，亦即為四組變異數同質，如表4-18所示：表 4-18 變異數同質性檢定 Levene 統計量 12.053. 分子自由度 3. 分母自由度 489. 顯著性 .000. 因為變異數同質，因此進行均等平均數的 Robust 檢定，其統計分析結果策略傾向與數學成績得分達顯著水準(0.000<0.05)，如表4-19所示，因此進行Games-Howell法檢定，以比較各組策略傾向的差異。. 41.

(50) 表 4-19 均等平均數的 Robust 檢定統計量(a). 分子自由度. Brown-Forsythe 201.000 a Asymptotically F distributed.. 分母自由度. 3. Sig。. 314.244. .000. 在Games-Howell 檢定的多重比較表中，使用B的受測者在八題數學成績的平均得分會優於使用A的受試者；使用C的受測者在八題數學成績的平均得分會優於使用A的受試者；使用B跟C的受測者其數學成績的得分沒有達到顯著差異；使用A、B或C的受試者的平均得分會優於使用D的受測者，如表4-20所示。表 4-20 策略傾向與數學成績之比較：Games-Howell 檢定法 (I) (J) 策略組型策略組型. (I-J) 平均差異. 標準誤. A. B -.92786(*) C -1.70412(*) D 3.74588(*) B A .92786(*) C -.77626 D 4.67374(*) C A 1.70412(*) B .77626 D 5.45000(*) D A -3.74588(*) B -4.67374(*) C -5.45000(*) * 在 .05 水準上的平均差異很顯著。. .24847 .25017 .19411 .24847 .29799 .25276 .25017 .29799 .25443 .19411 .25276 .25443. 顯著性 .002 .000 .000 .002 .052 .000 .000 .052 .000 .000 .000 .000. 95% 信賴區間下界上界 -1.5742 -2.3648 3.2445 .2816 -1.5566 4.0163 1.0434 -.0041 4.7787 -4.2472 -5.3312 -6.1213. -.2816 -1.0434 4.2472 1.5742 .0041 5.3312 2.3648 1.5566 6.1213 -3.2445 -4.0163 -4.7787. 本研究數學單元「速度」的多重解題策略在進行上述分析後，顯示出使用策略組型傾向B「變換時間法」的受測者，優於使用策略組型傾向A 42.

(51) 「變換速度法」的數學成績。因為學生能發展出策略 A「變換速度法」這種解題方式，務必是學生先擁有換算時間二階單位的概念後，才能利用此法進行數學解題，不僅如此，學生還要能正確釐清換算時間二階單位與換算速度單位的關係，才能正確擁有此種 A「變換速度法」的策略進行正確解題的策略。就學生的認知而言，在習得新解題策略A時，容易受舊知識的解題策略B干擾，因而使用M1解題學生的數學成績比使用M2受試者的容易受到影響，因為，對學生的認知歷程而言，秒、分和時間的二階單位換算是屬於已經擁有的先備知識，而秒速、分速與時速之間的換算則是屬於新概念的帶入，學生在使用解題策略「變換速度法」進行解題時，可能會發生順攝抑制(proactive inhibition, PI)，亦即剛學習到的概念被已經學過的舊經驗干擾而擁有錯誤的解題。以速度單元為例：「4小時是幾分鐘？」和「時速是4公尺換算成分速是多少？」學生容易產生混淆，因為「時換算為分，是乘以60的關係」此時間單位換算是學生先備經驗，而「時速換算成分速，是除以60的關係」此速度單位的換算是學生新習得的概念，故學生若僅仰賴秒、分和時之間二階單位換算的先備知識解題，容易與速度單位的換算解題混淆。就上述檢定結果而言，使用A、B或C的受測者的平均得分會優於使用D無法判別策略傾向的受測者，因為擁有D的受測者在進行速度單元的解題時，其解題策略的選用沒有特定的傾向，相較於A、B或C的受測者有選用策略的傾向而言，D紊亂的選用策略傾向會增加思考歷程的負載程度，因為不同的策略是由不同的概念組合而成的，紊亂的選用會使受測者容易在解題時因為需要過多的概念資訊而容易作答錯誤，所以使用A、 B或C的受測者的數學成績會優於使用D無法判別策略傾向的受測者。 43.

(52) 第三節速度解題策略對概念/技能之關係探討壹、概念/技能的分佈情形進一步探討各概念的使用的比例，發現在 493 位受測者中，其中具備 S1 至 S9 概念/技能的比例多有達百分之七十以上，如表 4-21 所示:. 表 4-21 速度概念/技能分析表概念代號具備人次具備比例（%）. S1. S2. S3. S4. S5. S6. S7. S8. 445. 408. 397. 334. 421. 424. 352. 461. 90.26. 82.76. 80.53. 67.75. 85.40. 86.00. 71.40. 93.51. 貳、解題策略傾向與概念/技能的關係本研究期藉著探討解題策略傾向與概念/技能的關係，給予教師在教學上有益的建議，進而提升學生的學習成效。藉著策略傾向與概念/技能交叉表卡方檢定考驗，如下表4-22所示，發現受測者擁有不同的策略傾向進行解題，會與概念/技能S1至S4有顯著的關係。進一步再由表4-22中的百分比發現，使用策略傾向B變換時間法，容易缺少概念/技能S3，使用策略傾向B變換時間法與C混合策略的受測者，容易缺少概念/技能S1（能利用秒速×60＝分速解決問題）與S2（能利用分速×60＝時速解決問題）。使用策略傾向B變換時間法，容易缺少概念/技能S3（能利用時速÷60＝分速解決問題）與S4（能利用分速÷60＝秒速解決問題）。 44.

(53) 表 4-22 策略傾向與概念/技能交叉表卡方檢定考驗解題策略組型. 概念. S1. S2. 18.0%. 8.0%. 106. 8. 4. 80.9%. 6.1%. 3.1%. 49. 36. 9. 26.2%. 19.3%. 4.8%. 218. 37. 24. 71.2%. 12.1%. 7.8%. 31. 37. 11. 18.8%. 22.4%. 6.7%. 236. 36. 22. 72.0%. 11.0%. 6.7%. 45. 39. 1. 24.2%. 21.0%. .5%. 222. 34. 32. 百分比. 72.3%. 11.1%. 10.4%. 6.2% 100.0%. 百分比. 61.3%. 16.3%. 7.8%. 14.6% 100.0%. 百分比百分比百分比個數. 0 S3. 百分比個數. 1. 百分比個數. 0. 百分比個數. S4 1. 131. 44.5%. 百分比. 個數 1. 13. C 29. 個數 0. 總和. B 65. 個數 1. D 107. A 161. 個數 0. P 362 .000* 29.6% 100.0% 9.9% 100.0% 93. 187 .000* 49.7% 100.0% 27. 306. 8.8% 100.0% 86. 165 .000* 52.1% 100.0% 34. 328. 10.4% 100.0% 101. 186 .000* 54.3% 100.0% 19. 307. 從表4-15得知，使用策略傾向B變換時間法進行解題的受測者，在493人中有73人其百分比為14.81%，低於使用A變換速度法的54.16%，即當試題擁有多重解題策略時，多數的受測者會選用A變換速度法，又從表4-22中發現，在少數選用B變換時間法的受試者中，容易缺少概念/技能 S1至S4，而S1至S4均為速度單位高低階轉換的概念/技能。教師應該多加留心辨別其解題策略傾向為B變換時間法的受測者，是否為不具備S1~S4的速度單位高低階轉換的概念/技能，因此才選用以先備知識時、分和秒二階轉換為基礎的B變換時間法。. 45.

(54) 第四節速度解題策略對錯誤類型之關係探討壹、錯誤類型的分佈情形進一步探討受測者犯某錯誤類型的發生的比例，如下表 4-23 所示，在 493 位受測者中，其中 B1 使用除法解決時間單位高階化為低階和 B2 使用乘法解決時間單位低階化為高階，均是時間單位的二階轉換，但受測者在 B1 犯錯比例會低於 5%的原因，推斷視因為 B2 是以乘法解題，而 B1 是以除法進行解題，而對學生而言，乘法是比除法簡單的概念，且乘法較除法在計算過程中不易犯錯，所以犯 B2 的比例會大於 B1。而受測者所犯 B3 解題時忽略速度單位的時間變項的比例，為全部錯誤類型中的最高比例(72.01%)，因為學生在進行速度的相關解題時，有時並不是因為缺乏速度高低階轉換的概念而勇以錯誤類型，取而代之的是因為粗心，而忽略速度單位的時間變項就直接進行解題，所以 B3 出現的比例高。 B5 使用平均速度=(速度 1+速度 2) ÷2 的比例低於 5%的原因，推斷為可能出現 B5 的題目過少，僅有試題 11 與 12 有可能出現 B5，除此之外，部分學生使用平均速度=(速度 1+速度 2)而非預設的錯誤類型 B5，也有可能是受測者犯 B5 比例低於 5%的原因。 B8 使用速度÷時間＝距離和 B9 使用乘法解決距離與速度或時間的關係，均為應用速度相關公式進行解題，但受測者所犯 B8 的比例 (2.03%)低於 B9 的比例(18.46%)，除了可能出現 B8 的試題僅有兩題，低於可能出現 B9 的試題五題外，受試者在解題時，容易選擇數字大的數當成被除數，而在此份試卷的相關題目的速度、時間與距離中的數字，均是距離為最大的數字，所以在 B8 使用速度÷時間＝距離學生較少犯此錯誤類型。 46.

(55) 表 4-23 錯誤類型分析表 Bug. B1. B2. B3. B4. B5. B6. B7. B8. B9. 次數. 9. 32. 355. 50. 4. 117. 68. 10. 91. 2.03. 18.46. 比例 1.83 （%）. 6.49. 72.01 10.14. 0.81. 23.73 13.79. 貳、解題策略傾向與錯誤類型的關係將受測者所偏向使用的策略與錯誤類型加以分析後所得到的資訊，有助於提供教師更多學生的學習資訊，不僅如此，更有助於教師使用對學生慣用的策略傾向進行教學，並且更能讓教師直接對學生所擁有的錯誤類型進行補救，大大減少學生在補救學習上所耗費的時間，可以更進一步提升學生的學習成效。據此，本研究將速度單元所屬的策略傾向A至D與錯誤類型B1至B9進行交叉表卡方檢定考驗，並且列出策略傾向與錯誤類型達顯著性的分析結果，發現受測者使用不同的解題策略組型，會與錯誤類型B3和B9的關係達顯著，如表4-24所示：表 4-24 策略傾向與錯誤類型交叉表卡方檢定考驗解題策略組型. 概念 0 B3 1 0 B9 1. 個數百分比個數百分比個數百分比個數百分比. A 79 47.3% 188 57.7% 206 51.2% 61 67.0%. B 38 22.8% 35 10.7% 68 16.9% 5 5.5% 47. C 20 12.0% 13 4.0% 32 8.0% 1 1.1%. P D 30 18.0% 90 27.6% 96 23.9% 24 26.4%. 總和 167 .000* 100.0% 326 100.0% 402 .002* 100.0% 91 100.0%.