探討接受九年一貫數學課程國小學童幾何思考層次

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國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育系

在職進修教學碩士學位班碩士論文

指導教授：吳德邦博士

探討接受九年一貫數學課程國小學童

幾何思考層次

研究生：紀小玉撰

中華民國九十五年六月

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探討接受九年一貫數學課程國小學童幾何思考層次

摘要

本研究主要是以 van Hiele 的幾何層次理論為基礎，來探討接受九年一貫課程國小學童對於基本平面幾何圖形概念的認知。研究對象為臺灣地區隨機抽取之國小學童，一年級 368 人、二年級 388 人、三年級 395 人、四年級 381 人、五年級 339 人、六年級 354 人，共 2225 名。將所蒐集到的資料以描述統計及推論統計的方法依各類圖形的通過率、不同年級、不同性別以及不同地區在 van Hiele 幾何思考層次的分佈情形，進而探討其對幾何圖形所呈現的特徵。本研究以「吳－薛氏幾何概念測驗」為工具，依試題屬性針對三角形、四邊形、圓形此三種簡單平面圖形之概念作因素分析。根據研究目的與資料分析，得到研究結果摘述如下：一、三種基本平面圖形通過率之結果分析，在層次一中以四邊形凹與凸的圖形判別的通過率最低，在層次二中以各四邊形角度關係的認知的通過率最低，在層次三中則對於正方形的對角線互相垂直且平分的認知以及兩圓心間的距離認知的通過率最低。二、各年級在各層次的基本平面圖形通過率中，高年級的表現優於中年級，中年級又優於低年級。顯示 van Hiele 所提出幾何思考層次的發展是循序漸進的，每一個層次的概念一定是來自於前一個層次的概念相符合。三、在基本平面圖形中未達第一層次的學童，並不代表在三角形、四邊形、圓形等思考層次中，全部都是未通過的。其中有些是在某一個幾何圖形中有達到通過率的。四、各年級中的跳躍情形，所佔比例高低順序依序為一年級、四年級、五年級、三年級、二年級、六年級。學童在圖形跳躍情形中，以四邊形產生的人次最多，圓形次之，三角形的人次最少。五、針對學童於九大不同類型圖形（開放與封閉圖形、凹凸圖形、直線與曲線圖形、旋轉圖形、不同大小圖形、鈍角特大圖形、寬圖形與窄圖形、圖形外圍邊線粗細、填滿圖形與中空圖形）的表現，圓形的圖例判別對國小學童是較為簡單，三角形的圖例判別次之，而以四邊形的圖例判別較為困難。六、不同地區的學童，在基本平面幾何圖形及 van Hiele 幾何層次的表現有顯著差異。

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七、不同年級的學童，在基本平面幾何圖形及 van Hiele 幾何層次的表現有顯著差異。

八、不同性別的學童，在基本平面幾何圖形及 van Hiele 幾何層次的表現沒有顯著差異。

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An investigation into the thinking levels towards geometry

of primary school pupils exposed to nine-yaer integrated

mathematics curriculum

CHI-HSIAO YU

Abstract

This research is based mainly on the theory of van Hiele’s levels of geometry, to probe into pupil's cognition of the geometric shapes of primary school for nine-year integrated mathematics curriculum. The Taiwan pupils that were the object of this research were selected at random. There were 368, 1st-grade, 388, 2nd-grade, 395, 3rd-grade, 381, 4th-grade, 339, 5th-grade and 354, 6th-grade, amounting to 2225 students. The collected data was analyzed by has also been

descriptive-Statistics and inferential-Statistics. The data was demonstrated and illustrated through van Hiele’s geometry theory, and various objects have been given to show how those students enacted to and dwelt with geometry.

This research takes " Wu-Shey geometry cognitive development test " as the tool, according to the test question attribute in view of the concept of the triangle, the quadrangle, and the circular the three kinds of simple plane figures makes the factor analysis. The objects of research are students of primary school. According to studies the goal and the data analysis, obtains the findings to pick states as follows:

1. By use of three kinds of geometric shapes analysis result in level 1 is that the concave to pass rate was the lowest with which convex quadrilateral shapes, and the cognitive relation of intersecting diagonal lines in level 2, to square diagonal lines, each vertical and the distance between the centers of two circles the passing rate to be lowest cognitive that divide equally in level 3. 2. The passing rate, in all grades, to understanding all geometric shapes

increased in the higher grades. The higher grades pupil performed better than pupils of middle grades, who performed better than pupils of lower grades. This shows that van Hiele’s geometry theory of development of levels is step by step, every concept of level must be based on the previous levels of concept.

3. The pupils who have not reached level 1 of these geometric shapes, may or may not reach the level of triangle, quadrilateral or circle along. Some have

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reached a passing level in certain geometric objects.

4. Students who skip levels are most likely to be in the first grade, followed by 4th grade, 5th grade, 3rd grade, 2nd grade and 6th grade respectively. Students, who skip levels, were most likely to skip in the area of quadrilateral second being circles and thirdly being triangles.

5. From the performance of students’ dealing with these nine geometric shapes (i.e. open and closed shapes, concave and convex shapes, straight and curved shapes, rotate shapes, large and small shapes, big obtuse angle shapes, narrow and broad shapes, thin-lined and thick-lined shapes, filled and empty shapes). It is comparatively simple that the round legend is. Round shapes are simpler for primary school pupils to understand, second being triangles and quadrangles being the most difficult.

6. There are significant differences in geometric and van Hiele between pupils living different areas.

7. There are significant differences in geometric and van Hiele between pupils in different grades.

8. There are no significant differences of van Hiele levels between male and female pupils.

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目錄

中文摘要--- Ⅰ 英文摘要--- Ⅲ 目錄--- Ⅴ 表目錄--- Ⅶ 圖目錄--- Ⅹ 第一章緒論 --- 1 第一節研究動機與目的--- 1 第二節待答問題--- 6 第三節名詞定義--- 7 第四節研究的限制--- 9 第二章文獻探討--- 11 第一節我國數學課程幾何教材之發展 --- 11 第二節幾何圖形概念--- 14 第三節 van Hiele 幾何發展理論--- 17 第四節幾何思考層次之相關研究--- 21 第三章研究方法與步驟--- 29 第一節研究步驟與流程 --- 29 第二節研究工具 --- 30 第三節研究對象 --- 31 第四節資料處理與分析 --- 33 第四章近年來國民小學數學幾何教材分析 --- 35 第一節 van Hiele 理論應用在國民小學數學 1993 年版幾何教材之情形 --- 35

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第二節 van Hiele 理論應用在國民小學數學九年一貫課程暫行綱要之情形 --- 41 第三節 1993 年平面幾何課程與 2000 年九年一貫暫綱幾何能力指標--- 47 第五章研究結果與討論--- 55 第一節受試者的答題情形選填分析--- 55 第二節受測試題學生整體通過率--- 77 第三節各年級在各層次答題答對率分析 --- 82 第四節各年級學童 van Hiele 幾何思考層次分布情形 --- 88 第五節層次一的各類圖型通過率分析 --- 101 第六節不同地區學童幾何概念得分的差異分析 --- 106 第七節不同年級與性別之學童幾何概念測驗的差異分析--- 112 第六章結論與建議--- 125 第一節結論--- 125 第二節建議--- 128 參考書目--- 131 附錄--- 139 附錄一：Van Hiele 幾何概念測驗施測工具 --- 139 附錄二：測驗工具之試題概念與題號分佈 --- 161

附錄三：Fuys 提出針對 Van Hiele 層次的描述和學生反應的例子 --- 163

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表目錄表 3-1 施測樣本分配 --- 32 表 4-1 1993 年數學平面幾何教材大綱--- 36 表 4-2 實驗版數學平面幾何教材之分析(低年級) --- 37 表 4-3 實驗版數學平面幾何教材之分析(中年級) --- 38 表 4-4 實驗版數學平面幾何教材之分析(高年級) --- 40 表 4-5 九年一貫數學課程康軒版幾何教材大綱(低年級) --- 43 表 4-6 九年一貫數學課程康軒版幾何教材大綱(中年級) --- 44 表 4-7 九年一貫數學課程康軒版幾何教材大綱(高年級) --- 45 表 4-8 1993 年平面幾何課程與九年一貫暫綱第一階段幾何能力指標對應 --- 49 表 4-9 1993 年平面幾何課程與九年一貫暫綱第二階段幾何能力指標對應--- 51 表 4-10 1993 年平面幾何課程與九年一貫暫綱第三階段幾何能力指標對應 --- 52 表 5-1 層次一各題答案選填情形 --- 56 表 5-2 層次二各題答案選填情形 --- 62 表 5-3 層次三各題答案選填情形 --- 68 表 5-4 層次一各題答對人數及通過率 --- 78 表 5-5 層次二各題答對人數及通過率 --- 79 表 5-6 層次三各題答對人數及通過率 --- 80 表 5-7 各層次答對人數及通過率 --- 81 表 5-8 層次一各題答對率 --- 83 表 5-9 層次二各題答對率 --- 85 表 5-10 層次三各各題答率 --- 87 表 5-11 學童在三角形各層次的分布情形--- 89 表 5-12 學童在四邊形各層次的分布情形--- 91

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表 5-13 學童在圓形各層次的分布情形--- 93 表 5-14 各年級學童在三角形、四邊形、圓形均未達第一層次人數 --- 95 表 5-15 各年級學童未達第一層次人數統計 --- 95 表 5-16 各年級學童 van Hiele 三角形幾何思考層次跳躍現象人數統計 --- 97 表 5-17 各年級學童 van Hiele 四邊形幾何思考層次跳躍現象人數統計 --- 98 表 5-18 各年級學童 van Hiele 圓形幾何思考層次跳躍現象人數統計 --- 99 表 5-19 學童在各圖形跳躍情形人次統計 --- 100 表 5-20 層次一測驗試題的類型及題號分佈 --- 101 表 5-21 層次一各類型試題的通過率分佈情形 --- 102 表 5-22 層次一各類型圖形的通過率高低次序 --- 105 表 5-23 不同地區學童受測情形變異數分析摘要 --- 106 表 5-24 不同地區學童層次一受測情形變異數分析摘要 --- 107 表 5-25 不同地區學童層次二受測情形變異數分析摘要 --- 107 表 5-26 不同地區學童層次三受測情形變異數分析摘要 --- 108 表 5-27 不同地區學童在層次三受測情形的多重比較 --- 108 表 5-28 不同地區學童三角形圖形受測情形變異數分析摘要 --- 109 表 5-29 不同地區學童在三角形圖形受測情形的事後多重比較 --- 109 表 5-30 不同地區學童四邊形圖形受測情形變異數分析摘要 --- 110 表 5-31 不同地區學童在四邊形受測情形的多重比較 --- 110

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表 5-32 不同地區學童圓形圖形受測情形變異數分析摘要 --- 111 表 5-33 不同地區學童圓形圖形受測情形的事後多重比較 --- 111 表 5-34 不同年級、性別在層次一幾何概念測驗的平均數、標準差之統計摘要 --- 112 表 5-35 年級與性別在層次一幾何概念測驗之變異數分析 --- 112 表 5-36 不同年級在層次一幾何概念測驗得分的事後多重比較 --- 113 表 5-37 不同年級、性別在層次二幾何概念測驗的平均數、標準差之統計摘要 --- 114 表 5-38 年級與性別在層次二幾何概念測驗之變異數分析 --- 114 表5-39 不同年級在層次二幾何概念測驗得分的事後多重比較 --- 115 表 5-40 不同年級、性別在層次二幾何概念測驗的平均數、標準差之統計摘要 --- 116 表 5-41 年級與性別在層次三幾何概念測驗之變異數分析 --- 116 表 5-42 不同年級、性別在三角形幾何概念測驗的平均數、標準差之統計摘要 --- 117 表 5-43 不同年級與性別在三角形幾何概念測驗之變異數分析 --- 118 表5-44 不同年級三角形幾何概念測驗得分的事後多重比較 --- 119 表 5-45 不同年級、性別在四邊形幾何概念測驗的平均數、標準差之統計摘要 --- 120 表 5-46 不同年級與性別在三角形幾何概念測驗之變異數分析 --- 120 表5-47 不同年級四邊形幾何概念測驗得分的事後多重比較 --- 121 表 5-48 不同年級、性別在圓形幾何概念測驗的平均數、標準差之統計摘要 --- 122 表 5-49 不同年級與性別在圓形幾何概念測驗之變異數分析 --- 122 表5-50 不同年級圓形幾何概念測驗得分的事後多重比較 --- 123

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圖目錄

圖 2-1 抽象作用簡圖 --- 15

圖 2-2 第二層次抽象作用簡圖 --- 16

圖 2-3 van Hiele 幾何思考階段的焦點、概念 --- 20

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第一章緒論

本研究主要是以 van Hiele 的幾何層次理論為基礎，來探討接受九年一貫課程國小學童對於基本幾何圖形概念的認知。本章共分成四節，分別來探究本研究的研究動機與目的、待答問題、名詞定義與研究的限制等。

第一節研究動機與目的

一、研究動機九年一貫教改到目前為止似乎問題和矛盾叢生，單就現今學童數學能力低落的情形而言，就有許多的爭議，例如學生代數、幾何、邏輯 3 項數學能力降低(喻文玟，2006)、銜接課程的教學，以及上課時數的不足(林錫霞，2005)、教科書一綱多本而能力指標卻各有各的詮釋等。令人注意的是九年一貫課程將學習內容簡單化，令不少人憂心學生數學能力下降；但負責制定九年一貫數學課程綱要的委員表示現在的中小學生數學推理能力已優於計算能力，參與課程綱要制定的林福來表示現在的九年一貫新課程，著重推理、解題、連結、圖形與空間概念(陳曼玲，2002)。但是究竟真相如何爭論不休！王富祥(2006)也指出，數學是日常生活中的重要能力之一，過去台灣人的數學能力表現相當不錯，但九年一貫一綱多本實施後，小學生的數學能力有降低趨勢，幾何能力又是如何？本論文就是針對台灣地區接受九年一貫教育學童的幾何思考層次的分布及九年一貫幾何課程實施現況進行研究。 2000 年九年一貫課程(教育部，2000，2003)與 1933 年數學課程 (教育部，1993)有著較不同的目標。第一項是發展以數學作為明確表

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達，理性溝通工具的能力；第二項是培養數學的批判分析能力；第三項就是培養欣賞數學的能力。為了達成這些目標，數學學習活動，應讓所有學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期望在社會互動的過程中建立數學知識。我們生活的環境中到處都有幾何的圖形，舉凡食、衣、住、行等各方面都有，當一個幾何圖形呈現在我們眼前時，視覺會將圖形的整體輪廓、組成要素、要素和要素間的關係在網膜上形成影像。Clements and Battista(1992)指出，幾何是提供我們如何去闡釋與反映外在物理環境的一種方法，並且可作為學習其他數學和科學題材的工具，尤其更重要的是加強幾何的空間思考，有助於高層次的數學創造思考。幾何可以幫助人們有條理的表現和描述生活的世界(NCTM, 1989, P.48)。幾何也可提升問題解決的能力(Burger & Shaughnessy, 1985)，而問題解決正是學習數學的主要理由之一。

對於兒童幾何概念的發展， Piaget 等人 (Piaget, Inhelder & Szeminska 1960;Piaget & Inhelder, 1967)認為兒童認知幾何性質有下列漸近之分化︰ (1) 拓樸性 (topological)：約 3 至 5 歲； (2)投影性(projective)約 4 至 6 歲；(3) 歐幾里德性(Euclidean) 約 6 至 8 歲。Piaget 認為有關兒童的幾何概念發展主要是與年齡有關。相對於這個論點，荷蘭數學教育家 Dina van Hiele-Geldof 和 Pierre M. van Hiele 夫婦共同提出兒童幾何思考的發展層次 van Hieles 模式(van Hiele, 1986)。拫據吳德邦(1998a)指出其層次分為(1) 視覺的（visual）； (2) 描述的（descriptive）； (3) 理

論的（theoretical）； (4) 形式邏輯的（formal logic）； (5) 邏

輯法則本質的（the nature of logical lows）。van Hiele 認為幾

何思考的發展是與教學因素有關，當學生的能力提升時，思考層次便會依序地從一個層次移動下一個層次。Piaget 與 van Hiele 有關兒童幾何概念發展的理論對課程都有很大的影響，1993 年起實施的國小數學新課程與 2000 年的九年一貫課程，在幾何教材的發展順序，

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即是以 van Hiele 理論為主軸。幾何學習相當重視與生活及其他主題之連結。且除了幾何推理是幾何課程中必備之主題外，空間感之提升亦是幾何課程之重要目標。在 NCTM（1989）中指出，空間感是個人對周遭事物的一種直觀的感覺，要發展良好之空間感，孩子必須要有許多跟幾何有關的具體經驗，如：方向、辨位、物體在空間中的觀點，圖形物件的大小、形狀變化的感覺等。而林秀瑾、張英傑（2004）發現我國各時期幾何教材綱要的內容在空間方位與空間視覺化推理部分均明顯不足，有待加強。根據吳德邦(1999)對於台灣中部地區國小學童范析理幾何思考層次之研究指出，國小三四年級所學幾何圖形的概念對於日後高年級及中學的幾何學習有很大的影響。對於加強幾何的空間思考，將有助於高層次數學的創造思考。因此，探討我國國小學童之幾何思考層次的發展，更顯得重要。在小學幾何課程中，至少應包含發展空間感與幾何推理兩大主軸。其中，發展空間感可分成空間定位與空間視覺化兩部分；在幾何推理方面，傳統教學中，中學幾何課程重點，在描述公理本質；而小學幾何課程重點，主要強調基本概念的非形式發展，亦即透過非形式的幾何活動，從簡單的形體辨識活動，到有意義的關係與性質的探究，培養幾何推理的基礎(林秀瑾、張英傑，2004)。幾何的學習，應從學生生活經驗中所熟悉的形體入手，藉由本身的知覺，經過操作與實測，以察覺、辨識形體的組成要素及其形體之間的關係，進而能確定空間的基本概念，掌握基本性質，進行簡單的推理。國小階段的幾何教學活動包含了生活中對圖形的認知，並透過幾何教具、生活實物的一系列觀察與操作，進而從教學中發展抽象的幾何觀點。教育部（2000）在《國民中小學九年一貫課程暫行綱要－數學學習領域》的基本理念中也開宗明義提到：「我們週遭的自然與社會環境中，到處可見數與形，而各種數與形都有一些規律；而數學探討的就是這一些規律。」數學課程目標第一條即為「掌握數、量、

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形的概念與關係」。教育部（2003）頒布的國民中小學九年一貫課程綱要中明訂數學學習領域的內容為「數與量」、「幾何」、「統計與機率」、「代數」和「連結」五大主題，九年一貫課程綱要也說明了幾何在數學學習領域中的重要份量。同時，美國數學教師協會 NCTM （1989）課程標準中，明確指出在幾何主題中，所有的學生必須能： (1)辨識、描述、比較、仿作、繪製並分類二維及三維之幾何形體； (2)發展空間感；(3)操作研究並預測圖形經過組合、分解及各種變化之後的結果；(4)理解、應用並推論幾何形體的性質及其關係，包含全等與相似；(5)發展幾何的應用，作為一種描述並模式化自然世界的方法；(6)將幾何概念與數字及測量等概念相連結；(7)能在實際生活中辨識並欣賞幾何形體。數學教育的主要目標是要發展兒童的數學推理及思考能力，使其能夠應用所學的數學知識和技能來解決在實際的生活中所遭遇的問題情境(NCTM, 2000)。而其中幾何教學的目的是要協助學生學習瞭解以及運用幾何的性質和關係。在國小階段幾何教材著重在幾何圖形概念的建立。圖形與空間領域課程為 1993 年國小數學課程標準六大領域之一，且為九年一貫數學內容五大主題之一，可見其重要性。同時根據 H.S.Moredock 和 N.J.Viglante 指出幾何課程在國小數學課程中的重要性如下（引自陳梅生、周筱亭譯，1982）： 1.學童們可以更暸解他們周遭的環境，可以看得見空間中的位置、形狀和大小，因為他們能暸解、使用、控制與操作一些東西來探討他們周遭的環境。 2.由於幾何為算術的過程提供了幾何的模式，它強化了算術的教學；因此，幾何能幫助學童培養其他算術上的洞察力(insight)。 3.就實用的觀點而言，小朋友能應用並知道幾何是有用的。 4.小朋友學會欣賞幾何令人喜愛的本質。 5.學習幾何概念能幫助學童暸解實測的概念。 6.學童能清楚的看出數學與其他科學的關係。

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7.提早學習幾何能使小朋友獲得洞察力並培養增進創造力與發問的能力。因此，教材的設計應以學生日常生活所能輕易接觸到的生活情境來發展概念，並且能安排適當的教學情境，讓學生獲得充分的學習經驗，使抽像的概念進而能夠自我內化成具體的數學結果（教育部， 1993）。我國國小幾何課程包含了幾何推理與發展空間感兩大主軸，是依照 van Hiele 的幾何思考模式為編序的架構。幾何推理課程是先進行辨識幾何的形體，再發展幾何形體組成要素及其關係，最後發展幾何形體性質之探究並運用其推理解題。因此學童在完成國小階段的平面幾何教材課程後，應該具備了各種平面幾何屬性之基本概念。綜觀上述，研究者認為學生的幾何圖形概念非常重要，在幾何圖形概念的建構，是將來學習的重要基礎。幾何概念的學習，不僅可以啟發學童對環境的探討、增進其對環境的暸解、更可以培養洞察力與增強概念的學習…等。同時，對於接受九年一貫課程的學生，在幾何能力的表現情形如何也值得研究。本研究為吳德邦(2003)主持之國家科學委員會專案報告(計劃名稱：國小學生在 Duval 的知覺性理解、操弄性理解、順序性理解、推論性理解和 van Hiele 理論關係之研究。計劃編號： NSC92-2521-S-142-004。)之助理員。本碩士論文為該研究計劃之部份成果。本研究是針對接受九年一貫數學課程的國小學童，在簡單的幾何平面圖形上，接受「吳－薛氏幾何概念測驗」的評量研究。藉以了解國小學童在簡單平面圖形概念的發展，以提供教師教學時之參考。二、研究目的本研究的主要目的有： (一) 探討近年來國民小學數學幾何教材

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1. 分析van Hiele 理論應用在國民小學數學1993年版幾何教材之情形 2. 分析van Hiele 理論應用在國民小學數學九年一貫課程暫行綱要之情形 3. 分析1993年平面幾何課程與九年一貫暫綱幾何能力指標的異同之處。 (二) 探討接受九年一貫數學課程的國小學童，接受「吳－薛氏幾何概念測驗」之表現情形。 1.分析九年一貫課程實施下，國小學童在幾何概念測驗的答題選填情況。 2.分析九年一貫課程實施下，國小學童在幾何概念測驗中，學生整體通過率。 3.分析九年一貫課程實施下，國小學童在 van Hiele 幾何思考各層次答題答對率情形。 4.分析九年一貫課程實施下，國小各年級學童在 van Hiele 幾何思考層次分布情形。 5.分析九年一貫課程實施下，國小學童在層次一的各類圖型通過率情形。 6.分析九年一貫課程實施下，不同地區國小學童受測情形的差異情形。 7.分析九年一貫課程實施下，不同年級國小學童受測情形的差異情形。 8.分析九年一貫課程實施下，不同性別國小學童受測情形的差異情形。

第二節待答問題

根據上述的研究動機與目的，本研究主要探討下列相關之問題：

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(一) 分析van Hiele 理論應用在國民小學數學1993年版幾何教材之情形為何? (二) 分析van Hiele 理論應用在國民小學數學九年一貫課程暫行綱要之情形為何? (三) 分析 1993 年平面幾何課程與九年一貫暫綱幾何能力指標的異同之處為何? (四)接受九年一貫課程的國小學童，在幾何概念測驗的答題選填情況為何? (五)接受九年一貫課程的國小學童，在幾何概念測驗中，學生整體通過率為何? (六)接受九年一貫課程的國小學童，在 van Hiele 幾何思考各層次答對率情形為何? (七)接受九年一貫課程國小學童的 van Hiele 幾何思考層次分布情形為何? (八)接受九年一貫課程的國小學童，在層次一的各類圖型通過率情形為何? (九)接受九年一貫課程的國小學童，不同地區受測情形的差異情形為何? (十)接受九年一貫課程的國小學童，不同年級受測情形的差異情形為何? (十一)接受九年一貫課程的國小學童，不同性別受測情形的差異情形為何?

第三節名詞定義

本節將研究中所涉及到的相關名詞，作更進一步的定義與說明，茲分述如下：

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一、國小學童係指 2005 年上學期就讀於台灣地區公立(縣立、市立)國民小學在學學生。本研究在 2005 年 5 月至 6 月間施測，一年級學童接受九年一貫課程正式綱要；二年級至四年級學童接受九年一貫課程暫行綱要；五年級學童則在一、二年級時接受 1993 年版數學課程，三至五年級時接受九年一貫課程暫行綱要；六年級學童則在一、二、三年級時接受 1993 年版數學課程，四至六年級時接受九年一貫課程暫行綱要。二、基本平面幾何圖形本研究中所謂的基本幾何圖形，係指國民小學數學課程中所提到的平面幾何圖形，包括三角形、四邊形、圓形等三種基本幾何圖形。三、幾何概念本研究中的幾何概念包括：三角形、四邊形和圓形三種平面圖形的概念。四、van Hiele 幾何思考層次

本研究所提及的 van Hiele 幾何思考層次，係針對 van Hiele 於 1986 年所提出的五個層次，分別為層次一：視覺的(visual)層次、層次二：描述的(descriptive) 層次、層次三：理論的(theoretical) 層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、以及層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次。而本研究僅針對前三個層次來探究，至於其他二個更高的層次，依據相關的研究指出，二個更高的層次已超出國小學童的幾何能力，所以在本研究中不予探究。

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第四節研究的限制

本研究的主要限制如下： 1.大部分的研究指出，國民小學學生之幾何思考層次僅限於前三層次，本研究的範圍亦僅限於前三個層次。 2.由於研究對象為台灣地區的在學學童，然因台灣地區誓必存在著城鄉差距與語言能力的差異，本研究未將語言能力的差異列入考量，留待後續相關的研究再行討論之，此乃本研究最大的限制。 3.由於經費及人力的限制，本研究樣本為臺灣北區(基隆市、台北縣市、桃園縣市、新竹縣市、苗栗縣市)、中區(台中縣市、南投縣市、彰化縣市、雲林縣)、南區(嘉義縣市、台南縣市、高雄縣市、屏東縣市)等各區之國民小學在學學生，樣本無法擴及全國各縣市之樣本。

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第二章文獻探討

本章分成四節，主要是針對本研究所提到的相關文獻資料作進一步的探討，其中第一節是我國數學課程幾何教材之發展，第二節是幾何圖形概念，第三節是 van Hiele 幾何發展理論，第四節幾何思考層次之相關研究。茲將其內容分述如下：

第一節我國數學課程幾何教材之發展

1929年8月教育局公布「小學課程暫行標準」，這是我國教育史上，明訂課程標準之始。而後經1932年、1936年、1942年、1948年、 1952年、1962年、1968年、1975年、1993年、2000年及2004年先後加以修訂。歷經數次修訂的目的乃希望課程能順應世界潮流，並切合兒童身心發展和國家社會的需要（教育部，1993）。吳貞祥（1976）指出1962年以前的小學算術課程標準偏重於「數」的領域，1962年、1968 年的國民學校算術課程標準是「數」、「量」並重，1968年的算術課程目標中雖沒有「形」的主題，但教材綱要中卻列有關於「形」的內容，此乃是因為「形」的內容比「數」、「量」的內容難處理，所以對「形」的教學不做明確的敘述。1969年修訂的國民小學課程標準是「數」、「量」、「形」並重。往後，國民小學課程標準，相關的幾何圖形在數學課程中，佔有一席之地。在 1969 年的數學課程標準中、指出學生應具有量度的知能 (教育部，1969) : 1.能具有大小、多少、長短、輕重、厚薄、容量、遠近、形狀、快慢、溫度、時間的概念。 2.能具有估量上述各項量數的技能。 3.能具有運用實測工具、量度各種物件的方法。 4.能了解各種度量衡之間可能的關係。 5.能運用量度工具來量度並計算容積、距離、大小、溫度、

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時間、重量面積、體積等。 6.能夠了解常見統計圖表中數量的意義，如體重表、溫度紀錄表/身高、體重與年齡關係圖表。 7.能具有了解角度、縮圖等的能力。 8.能具有了解對平常報章雜誌所登載數量的常識。在 1975 年的數學課程標準中，在預期學習效果中就圖形與空間部份明列(教育部，1975)： 1. 能獲得各種基本圖形如三角形、四邊形，正多邊形。圓、角柱、圓柱、角錐、圓錐、球等概念。 2. 能認識直線、曲線、角、頂點、邊、平面、曲面、圓、半徑等基本圖形的稱成要素。 3. 能瞭解方向、位置的表示方法並獲得座標的初步認識。 4. 能運用各種工具繪製基本圖形。 5. 能做圖形的平行移動、旋轉、反轉等操作。 6. 能瞭解展開圖、縮圖、擴大圖、投影圖的意義並能繪製其簡易圖形。 1993 年數學課程標準，在圖形與空間方面則指出(教育部，1993): 1.能獲得各種基本形體的概念，如三角形、四邊形、多邊形、圓、角柱、角錐、圓錐、球等概念。 2.能瞭解各種基本形體的構成要素及其關係。 3.能瞭解垂直、平行、線對稱、整合、全等等圖形關係。 4.能運用各種工具和方法繪製基本圖形。 5.能認識展開圖、透視圖、縮圖、擴大圖，並能繪製縮圖、擴大圖。 2000年9月30日公布「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」。九年一貫課程採統整原則，不再細分成各科，而是由「語文」、「健康與體育」、「社會」、「藝術與人文」、「數學」、「自然與科技」及「綜合活動」七大學習領域組成，強調學生基本能力的培養，注重生活的實用性。數學學習領域的內容為：「數與量」、「圖形與空間」、

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「統計與機率」、「代數」和「連結」等五大主題。教育部也在2003年頒布了「國民中小學九年一貫課程綱要」，數學學習領域的教學總體目標也修正為(教育部，2003)： 1. 培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。 2. 學習應用問題的解題方法。 3. 奠定下一階段的數學基礎。 4. 培養欣賞數學的態度及能力。其中，國民小學階段的目標為： 5. 在第一階段（一至三年級）能掌握數、量、形的概念。 6. 在第二階段（四至五年級）能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感。 7. 在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。國民中學階段的目標則為： 8. 能理解坐標的表示，並熟練代數的運算及數的四則運算。 9. 能理解三角形及圓的基本幾何性質，並學習簡單的幾何推理。 10.能理解統計、機率的意義，並認識各種簡易統計方法。由第7、8、9條目標明顯看出幾何受到的重視與提升，數學學習領域內容也將暫行綱要中的圖形與空間修改為幾何，變更為：「數與量」、「幾何」、「統計與機率」、「代數和連結」五大主題。九年一貫課程數學課程綱要中指明：為了達成數學教學目標，數學課程的發展應以生活為中心，配合各階段學生的身心與思考的發展歷程，提供適合學生能力與興趣的學習方式，據以發展數學學習活動，並強調連結、統整的能力。九年一貫課程數學學習領域強調生活化、統整化，認為所有學生都應能積極參與數學學習活動與討論，激盪各種想法，明確表達想法，強化推理思考與理性溝通的能力，期能

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在互動的過程中建立能力。這與前述數學教育趨勢是相符的。

第二節幾何圖形概念

一、概念的意義概念就是有同樣特質之實體(entities)的一個類別，或者可以簡單定義為一個人對於物體或事件的心像(mental image)(Gagne, 1970)。Sternberg(1998)認為概念是個人對於事物所產生的觀念 (idea)，是符號知識(symbolic knowledge)的基本單位。Novak(1983) 認為概念是一組事件或物體中可知覺的規律性(perceived regularity)。概念可用來讓人們判定事物是否可歸為某一簡單類別 (Madin & Smith, 1984)。概念是許多意義綜合(synthesis)，是對一連串特質或事件的摘要式表達(鍾聖孝，1990)。以社會科學的觀點來看，概念是指各種不同物體或事物根據其間共同特色或屬性被分為一類的情形。對實驗者來說，概念可由被試者對各種刺激的反應來認定。就此觀點而言，引起相同反應的全部刺激表明單一概念，而其他引起不同反應的刺激則屬於其他概念(楊亮功，1970）。以心理學的觀點來看，概念是思維形式之一。它反映客觀事物本質的一種理性知識，人類在認識過程中，把所感知的事物共同特點抽象出來，加以概括，就成為概念。概念是在實踐和認識過程中形成的，各門科學知識的成果，都是首先通過各種概念來加以總結和概括的（王明良，1982）。在認知心理學上概念和圖象（images）是有所區別的，概念通常定義成對物體或事件一個抽象的、一般化的表徵，另一方面，圖象 ( images，特別是視覺圖象)是對物體或事件知覺上的呈現。因為視覺圖象具有像外延、形狀、位置、大小的空間特性，有時候會被描述成"心智的圖片"。同時具有知覺的表徵和概念的實體，我們稱為圖形

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概念。在這共存關係中，圖形的組成要素提供實際的操作意義：去修改、取代、切斷、重疊等，知覺的組成要素提供邏輯的意義和一致性。綜合以上看法，研究者認為概念是代表事物屬性的抽象化，是由經驗的累積以及學習而來的。一個概括的名稱或符號以代表具有共同屬性的一類事物的全體時，我們稱此名稱或符號所代表者為概念。人類在認識過程中，把所感知的事物共同特點抽象出來，加以概括，就成為概念。一切事物的認識過程都必須透過概念來總結、概括、推論。不同時空、不同身份的人對同一概念都可能有不同的認知，因此其意義必須是其所使用的脈絡位置始能決定。概念的形成是人類行為表現最重要的認知功能之一(Solso, 1991)。研究概念的心理學家透過分類來說明概念的形成：在較低層次的知覺中，每次將所知覺到的事物作分類，雖然從事物那裡所得到的知覺很少有完全一樣的，但是當這些知覺被發現有著相似性，則人們會自然地從這些事物當中抽出這些相似性。例如圖2-1，以 C1、C2… Cn 代表我們對椅子的多次知覺，將這些知覺的相似性抽出來，以C 表示。接著再以C、C′、C〞表示由抽象而得到的性質，由這些性質再去抽象出更多的共同性質，然後再給這些共同的性質一個共同的名稱 Chair，如圖2-2。最後給予這些共同性質的名稱就是所謂的概念。抽象作用的層次，也許不只有一、二層，有些概念可能是經由好幾個抽象作用才得到共同性質的名稱形成概念。 C C1 C2 C3 Cn 圖 2-1 抽象作用簡圖(Skemp, 1987, p.16)

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Chair C C′ C〞圖 2-2 第二層次抽象作用簡圖(Skemp, 1987, p.17) 二、幾何圖形概念 (一)、Duval在幾何的論述在學生學習幾何知識上，Duval(1995)認為應有三種認知過程，分別為： 1.視覺(visualization)過程：對於圖形空間表徵的認知，可能僅是純粹的表象圖形（線條與形狀的組織體），但也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，亦可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。 2.作圖(construction)：根據作圖工具對圖形的再製過程，通常這個過程對於學生去發現圖形中的幾何意義是有幫助。 3.推理(reasoning)：進行論說的過程，例如：說明、證明…等。在幾何認知的教學方面，Duval 主張： 1.視覺、作圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展。 2.不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。 3.三種認知過程的整合僅在這些區別活動趨於成熟後才有可能(Duval, 1998)解題與論證在數學中是一個重要的核心，學生要以什麼樣的經驗才能有較好的圖形論證與解題呢？

(二)、Piaget & Inhelder 之兒童的空間概念

Piaget & Inhelder(1967)的影響兒童空間概念的兩個主要論點： 1.空間的表徵是透過兒童在操作系統的原動力和內在行動的前進組

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空間環境積極的操作建立的。

2.幾何思想的進步組織，遵循一個明確的次序，這個次序比最原始的拓樸關係（例如：有連通性、封閉性和連續性）被建立起來，和後來的投影幾何（直線性）及歐幾里得（角的性質，平行性質和距離）關係被建立的歷史更符合邏輯。這已被稱為拓樸基本理論。

由 Piaget & Inhelder 對兒童空間概念主要強調是要兒童去體驗而不是去閱讀，是要去探索、觸摸、感覺、操作，而不是僅僅知識的傳遞與接受。從以上的分析可知，幾何圖形的運作結合了不同的理解，而問題的解答常需要它們的交互作用。從兒童的認知發展來看，知覺和幾何概念間的關係似乎經歷著某種變遷，對於基本平面圖形的教學，必須考量學童的認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺、並且讓兒童去體驗，配合探索、觸摸、觀察、操作、堆疊、組合、著色… 等，讓學童認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢適當的加入簡單的推理與彼此之間的關係。

第三節 van Hiele 幾何發展理論

國小數學課程「圖形與空間」的教材領域，其課程綱要所依據的就是van Hiele 的幾何思考層次理論。依據van Hiele的理論，學生在教師合適的教學情境之下，其幾何知識的建構，將循序經歷以下五個層次，每個層次有其獨特的發展特徵。對於van Hiele的五個幾何思考層次的說法，國內外研究者有多種不同的表示法，一部份學者用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來表示van Hiele的五個幾何思考層次(Senk, 1982; Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Wu, 1994,1995; Wu & Ma, 2005a, 2005b，吳德邦，1997，1998b，2000a，2000b)；另一部份學者用「層

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幾何思考層次(Fuys, 1986; Golinskaia, 1997; 劉湘川&劉好等, 1992, 1993, 1994; 劉好, 1998)。甚至P. van Hiele本人在不同的年代也採用不同的用法；van Hiele (1986) 曾指出：「在1959的文章中所謂的第一層次，現在我們稱之為第二層次；以往所謂的第二層次，現在我們稱之為第三層次...，其餘類推」(引自吳德邦，2004)。一、 van Hiele 幾何思維層次層次一：視覺的（visual）層次屬於這個層次的兒童藉著視覺觀察各種具體事物，從各種實體物的外形輪廓來辨認圖形。譬如：由從前生活經驗中知道長方形是瘦瘦長長的，圓圓的東西屬於圓形，像門的形狀為長方形，像太陽的形狀為圓形，又如◇看起來，不像正方形，兒童認為這不是正方形，此層次兒童的思考推理，受視覺外觀的影響很大。只要在圖形外表特徵差異稍大時，就不會將長方形看成正方形；或將橢圓形看成圓形。此層次的兒童可以透過實體物操作，例如旋轉或移動，就可以辨別圖形之異同，他們可以使用非數學的術語，知道各種圖形，但是卻無法了解這些圖形的真實意義。教師應多提供各種機會，讓兒童透過實際的操作，使其視覺感官進行圖形的分類、描繪、著色、堆積、造形等活動，來獲得幾何圖形的正確概念。學生能根據圖形的外表，來識別、操弄圖形（ Shape ）（例：正方形，三角形），和其它幾何構形要素（Configurations）（例：線，角，網狀格子）。層次二：描述的（descriptive）層次這個層次的兒童已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成圖形的構成要素（頂點、邊、角）與這些要素之間的關係，分析幾何概念。因此，能夠察覺到圓形沒有邊，正方形有四個邊，而且每邊都相等；三角形有三個邊，可是卻無法說明這些圖形特徵之間有何關係存在。例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有何關係，兒童不一定能夠知道正方形與長方形雖然都有四個邊，當這兩

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個圖形邊長不相等時，面積可能相等，此層次的兒童尚無法經由推理而知悉其道理何在。學生藉由組成元素的名稱，和組成元素之間的關係來分析圖形。同時，依其經驗建立同一類圖形所具之特性，並且運用圖形之特性來解題。層次三：理論的（theoretical）層次這個層次的兒童，不但能夠了解、掌握、運用構成圖形的各種要素，並且能夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性（即構成要素間關係的非形式推理）以及各圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形的兩雙對邊相等；長方形是平行四邊形的一種，當平形四邊形其中一角為 90°時，這個四邊形就是長方形。又如，任何三角形的外角，都等於其相對兩內角的和，多邊形的內角和為 180°（n-2）。這層次的兒裡開始建構不同類型圖形之間的關係，譬如：正方形、菱形、長方形、平形四邊形。學生使用公式表示和使用定義，整理先前發現的性質，給一非正式的討論，並跟著給一演繹上的討論。層次四：形式邏輯的（formal logic）層次這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠知道證明的方法不只一種。換言之，兒童不必靠記憶公式來證明幾何問題。此外，他們能夠理解幾何問題之解決，必須具備的充分或必要條件。例如：不必透過拿實體物來操作，就能夠證明畢氏定理。譬如：這個層次兒童可以知道菱形也是長方形，又是正方形。學生能用邏輯推理的方法，來證明幾何的性質。

層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical lows）層次

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的學習者能夠在不同的公設體系中，建立定理並且分析或比較包括非歐幾何（non-Euclidean Geometry）或比較不同公設系統；同時也能夠了解抽象的幾何概念。在此層次的學生，能學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何，並能互相比較不同公設系統。根據van Hiele的實證研究顯示，人類幾何概念的發展，在上述這五個層次有其次序性，學習者必須具有前一層次的各項概念與能

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力，教師才能夠進行更高一層次的幾何教學活動。大體來說，國民小學低年級學生，其思考層次大都屬於視覺的層次，因此，學生必須透過實體物的操作，比較拼湊或堆疊，在實際經驗之後，教師才能夠循序漸進，教導學生逐漸達到更高的層次。二、 van Hiele 層次的特徵 van Hiele 理論的概念與結果之間的關係可用圖2-3 表示。演繹系統的分析性質間的演繹系統性質間的關係 5.邏輯法則本質形體的性質 4.形式邏輯形體的分類 3.理論的形體 2.描述的 1.視覺化圖2-3 van Hiele幾何思考階段的焦點、概念。(修改自張英傑、周菊美，2005，p647) 這說明了概念必須要在一個層次中被建立，然後其關係才能在下個層次中成為焦點。其van Hiele 幾何層次的特徵如下(張英傑、周菊美，2005)： 1.每一個層次都是連續的。從第一個層次開始，學生必須要通過先前的層次，才能進入下一個層次。也就是一個人要能先適當地經驗該層次的幾何思考，並且在心中建立概念或關係，才能夠進入下一個思考的層次。跳跨層次的情形是很少發生的。 2.層次發展與年齡無關，這和Piaget的發展階段是不同的。一個三年級學生和一個高中生都有可能停留在第一層次。事實上，

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有些學生和大人是永遠留在第二層次的。無疑地年齡也會與我們所擁有的幾何經驗型態有關。因此，所有幼稚園到二年級的學生，通常都是屬於第一層次，甚至大部分的三、四年級學生也都是屬於此層次。 3.幾何經驗是進入下一個思考層次的重大影響因素。允許學生去探索、討論一些與下一個層次有關的活動，能增加他們在當前層次的經驗。對孩子們而言，這也是促使他們進入下一個思考層次的好機會。 4.教學活動或教學時所用的語言若是高於學生現有的思考層次時，就會產生代溝，此時所達成的學習效果可能只是一些短暫或外表的成功而已。舉例來說，一個學生可以在沒有建構對正方形、長方形關係的瞭解前，就去強記正方形是長方形的一種。而一個學生也可以去記憶一個幾何證明題，但是無法瞭解或寫出其基本原理的意義。因此，在教學活動時，教師先要瞭解學生的能力，聽聽學生們的聲音。教師在實際教學面對不同思維層次的學生時，應該尊重那些來自於較低層次學生的反應與觀察，並鼓勵他們挑單下一個層次的思維。而且，教學活動的設計，可由一個特別層次的假設開始，依學生能力做引導，而逐漸提升或降低層次。

第四節幾何思考層次之相關研究

現今國小幾何教材的編排，在圖形概念的形成上，由正方形、長方形等圖形的認識，到了解梯形、平行四邊形、箏形、菱形等為四邊形的圖形，著重在圖形的辨認、分類以及描述性的敘述。對於van Hiele幾何思考之理論不斷的有相關研究提出，以下分別就國內外部分的相關研究報告說明如下：

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三、國內相關研究 (一)、三角形之相關研究 1. 張英傑（2001）國科會整合型計劃「兒童幾何形體概念調查及診斷教學之研究」所做的筆試分析發現：邊長比例差距較大時，學生的通過率都不高，對於邊已成彎曲狀的非三角形，一、二年級的小朋友容易把它當作三角形。 2. 毛連塭等（1993）國民小學學生幾何概念評量與診斷系統之研究發現，在三角形方面，三年級以上的小朋友99.1﹪對於三角形有三個邊的性質，都有完整的概念，97.8﹪的小朋友都知道三角形有三個角。但問等腰三角形有幾個角，通過率則降低到77.2﹪，可能原因是學童對等腰三角形較不熟悉。 3. Wu 和 Ma(2006)研究一到六年級學童在平面幾何思考層次的分佈情形中，從台灣地區二十三個縣市中隨機抽取5,581位ㄧ到六年級的小學生為施測樣本，測驗工具為吳-薛氏幾何測驗 (Wu＇s Geometry Test 簡稱WGT)。該測驗總共有70題選擇題，包含van Hiele平面幾何思考層次一、層次二、層次三的題目。在三角形幾何概念中，學童受測的答題情形如表2-4： 2-4 三角形概念在 van Hiele 幾何思考層次的分佈表 三角形總計未達層次一層次一層次二層次三年級一人數 472 438 0 0 910 年級的百分比 51.9% 48.1% .0% .0% 100.0% 二人數 341 571 0 0 912 年級的百分比 37.4% 62.6% .0% .0% 100.0% 三人數 151 494 239 0 884 年級的百分比 17.1% 55.9% 27.0% .0% 100.0% 四人數 78 448 359 0 885 年級的百分比 8.8% 50.6% 40.6% .0% 100.0% 五人數 68 262 449 96 875 年級的百分比 7.8% 29.9% 51.3% 11.0% 100.0% 六人數 53 189 514 197 953 年級的百分比 5.6% 19.8% 53.9% 20.7% 100.0% 總計總人數 1163 2402 1561 293 5419 全部年級的百分比 21.5% 44.3% 28.8% 5.4% 100.0%

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由Wu 和 Ma（2006）的研究發現，在三角形的概念中，一年級的學童達層次一的佔 48.1﹪。二年級的學童達層次一的佔 62.6﹪。三年級的學童達層次一的佔55.9﹪、達層次二的佔27.0 ﹪。四年級的學童達層次一佔50.6﹪、達層次二佔40.6﹪。五年級的學童達層次一佔29.9﹪、達層次二佔51.3﹪、達層次三佔11.0 ﹪。六年級的學童達層次一佔19.8﹪、達層次二的佔53.9﹪、達層次三的佔20.7﹪。在全部受試的學生中，達層次一佔44.3﹪、達層次二的佔28.8﹪、達層次三的佔5.4﹪。 (二)、四邊形之相關研究 1.張英傑（2001）研究發現：正方形也是長方形這個包含關係學生的通過率都不高，而有些學生會將平行四邊形視為長方形，可能受形狀「長長的」影響，而忽略了「直角」的性質。 2.吳德邦(2000a)研究我國中部地區國小學生在幾何思考的發展情形發現，學生在正方形圖形的幾何思考層次上，大部分一至三年級的兒童均分配在van Hiele 幾何思考層次一的程度。 3. Wu 和 Ma(2006)研究一到六年級學童在平面幾何思考層次的分佈情形中，在四邊形幾何概念中，學童受測的答題情形如表2-5：

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表 2-5 四邊形概念在 van Hiele 幾何思考層次的分佈表四邊形總計層次一層次一層次二層次三未達一人數 627 283 0 0 910 年級的百分比 68.9% 31.1% .0% .0% 100.0% 二人數 488 424 0 0 912 年級的百分比 53.5% 46.5% .0% .0% 100.0% 三人數 288 330 225 0 843 年級的百分比 34.2% 39.1% 26.7% .0% 100.0% 四人數 127 263 443 0 833 年級的百分比 15.2% 31.6% 53.2% .0% 100.0% 五人數 86 84 441 113 724 年級的百分比 11.9% 11.6% 60.9% 15.6% 100.0% 六人數 75 63 454 192 784 年級年級的百分比 9.6% 8.0% 57.9% 24.5% 100.0% 總計總人數 1691 1447 1563 305 5006 全部年級的百分比 33.8% 28.9% 31.2% 6.1% 100.0% （引自 Wu & Ma, 2006）由 Wu 和 Ma（2006）的研究發現，在四邊形的概念中，一年級學童達層次一的佔 31.1﹪。二年級學童達層次一的佔 46.5 ﹪。三年級學童 3 達層次一的佔 9.1﹪、達層次二的佔 26.7﹪。四年級學童達層次一的佔 31.6﹪、達層次二的佔 53.2﹪。五年級學童達層次一的佔 11.6﹪、達層次二的佔 60.9﹪、達層次三的佔 15.6﹪。六年級學童達層次一的佔 8.0﹪、達層次二的佔 57.9 ﹪、達層次三的佔 24.5﹪。在全部受試的學生中，達層次一的佔 28.9﹪、達層次二的佔 31.2﹪、達層次三佔 6.1﹪。 (三)、圓形之相關研究 1. 張英傑（2001）研究發現：圓的通過率較其他圖形高，而圓的大小仍會影響小朋友的辨識，正多邊形若邊數增加一年級學生會忽略它的角而當作圓來看。 2. 毛連塭等（1993）研究國小三、四、五年級發現，三~五年級平均有89.5﹪ 知道一個圓只有一個圓心，77.4 ﹪ 知道圓心到圓周的距離叫半徑。對於連接通過圓心而兩端接於圓周的

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直線，選直徑的有79.6 ﹪選半徑的有9.2﹪，顯示學生對直徑、半徑有迷失概念。有80﹪以上的學生知道半徑、直徑有無限多條。 3. 吳德邦(2000a)研究發現，學生在圓形圓形圖形的幾何思考層次方面的通過人數百分率，以層次一為最高，層次三最低。 4. Wu 和 Ma(2006)研究一到六年級學童在平面幾何思考層次的分佈情形中，在四邊形幾何概念中，學童受測的答題情形如表2-6：表 2-6 四邊形概念在 van Hiele 幾何思考層次的分佈表圓形總計未達層次一層次一層次二層次三一人數 220 690 0 0 910 年級的百分比 24.2% 75.8% .0% .0% 100.0% 二人數 97 815 0 0 912 年級的百分比 10.6% 89.4% .0% .0% 100.0% 三人數 58 285 546 1 890 年級的百分比 6.5% 32.0% 61.3% .1% 100.0% 四人數 20 132 717 2 871 年級的百分比 2.3% 15.2% 82.3% .2% 100.0% 五人數 22 35 644 159 860 年級的百分比 2.6% 4.1% 74.9% 18.5% 100.0% 六人數 14 38 631 270 953 年級年級的百分比 _1.5% _4.0% _66.2% _{28.3% 100.0%} 總計總人數 431 1995 2538 432 5396 全部的百分比 8.0% 37.0% 47.0% 8.0% 100.0% （引自 Wu & Ma, 2006）由 Wu 和 Ma（2006）的研究發現，在圓形的概念中，一年級學童達層次一的佔 75.8﹪。二年級學童達層次一的佔 89.4﹪。三年級學童達層次一的佔 32.0﹪、達層次二的佔 61.3﹪、達層次三的佔 0.1﹪。四年級學童達層次一的佔 15.2﹪、達層次二的佔 82.3﹪、達層次三的佔 0.2﹪。五年級學童達層次一的佔 4.1 ﹪、達層次二的佔 74.9﹪、達層次三的佔 18.5﹪。六年級學童達層次一的佔 4.0﹪、達層次二的佔 66.2﹪、達層次三的佔 28.3

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﹪。在全部受試的學生中，達層次一的佔 37.0﹪、達層次二的佔 47.0﹪、達層次三的佔 8.0﹪。 (四)、其他相關研究 1.劉湘川、劉好、許天維（1993）以國小學生中年級學生為研究對象，來進行個別的訪談，發現學生在六項基本何概念的思考模式與 van Hiele 的理論是一致的。 2.吳德邦、馬秀蘭(2001)以van Hiele所發展出來的五階段學習模式（five-phase learning model）來發展圖形與空間之教學，以提昇國小一年級學生van Hiele幾何思考層次之成效。 3.吳德邦、馬秀蘭(2004)使用 van Hiele 五階段學習模式開發九

年一貫課程第一階段圖形與空間教材教法之詮釋性研究，探討藉由使用 van Hiele 五階段學習模式 (five-phase learning model)，來詮釋九年一貫制課程第一階段圖形與空間之教材教法。最後，發展第一階段（國小一至三年級）圖形與空間之教材教法。 4.吳德邦(1995) 研究van Hiele模式對師院生在非歐幾何學的學習成就和幾何思考層次發現，非歐幾何教學上，採用van Hiele 五階層學習模式教學法，比採用傳統講授式教學法，更能產生較高的幾何思考層次及學習成就。二、國外相關研究 (一)、三角形之相關研究 Mary（1999）在「幼兒幾何圖形理解之發展」研究中發現，在三角形的測驗中，幼兒對於雖然有3 個邊但若有邊太長了，它就不是三角形，他們比較無法接受原型以外不同變化的三角形，例如：不同比例、對稱、方位…等變化的三角形。

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(二)、四邊形之相關研究 Clements 等人(1999)研究發現：大部分的兒童都傾向選擇長的平行四邊形或者直角梯行是長方形，他們比較少選擇短的以及非平行四邊形是長方形。研究顯示兒童有長的長方形之原型，對角的垂直感覺很弱。 (三)、其他相關之研究 1.Burger 和 Shaughnessy(1986)針對幼稚園生到大學生做晤談觀察發現，所有學生呈現的幾何思考與van Hiele層次的描述一致、不同幾何題材表現出不同的van Hiele層次、van Hiele 幾何思考層次間是動態的、連續性的。 2.Mason(1997)研究數學表現優異的學童在van Hiele幾何思考層次上的表現，發現35.8﹪的學童在van Hiele思考層次上有跳躍現象。 3.Bell(1998) 研究教學環境對學童的基本知識、測量能力與van Hiele幾何思考層次的相關性發現，使用動態幾何軟體可提昇學童的基本幾何知識、測量能力與van Hiele幾何思考層次，但無法證明歸納可增進學童的測量能力。 4.Lee(1999)研究學院學生的幾何理解和證明能力與van Hiele 幾何思考層次相關性之質與量的分析發現，在量的研究中呈現無顯著差異，卻發現層次一的學生可提昇到層次二，但層次二的學生卻停留在原層次。從以上分析，大部份研究顯示，van Hiele幾何思考層次理論對於提昇學童的幾何概念是有所幫助的，能夠引導學童的學習能力。同時根據以上分析，在國內外的研究中，不是針對單一類的幾何圖形（如三角形群組或四邊形群組）來做研究，就是針對單一年級或單一年段來做幾何研究，很少以所有國小一～六年級為研究對象的相關研究。因此，研究者乃以台灣地區國小學童，並根據國小課程中出現過的基本幾何圖形為中心，來進行幾何學上的相關研究。

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第三章研究方法與步驟

本章主要根據研究的動機、目的及文獻資料來探究研究之設計與實施方式，內容共分為五節。第一節為研究步驟與流程、第二節為研究工具、第三節為研究對象、第四節為資料處理與分析。各節的內容茲分述如下：

第一節研究步驟與流程

本研究的實施步驟如圖 3-1 所示，依次為：分析幾何概念相關文獻、文獻探討、擬定研究計劃、編擬測驗試題、選取試測對象、抽樣進行試測、修正測驗試題、選取施測對象、進行正式施測、答題資料建檔、進行資料分析、歸納結論、撰寫論文報告。分析幾何概念相關文獻文獻探討擬定研究計劃撰寫論文報告進行資料分析抽樣進行施測圖 3-1 研究實施步驟

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第二節研究工具

本研究工具乃採用吳德邦 (2003)國家科學委員會專案報告 (計劃名稱：國小學生在 Duval 的知覺性理解、操弄性理解、順序性理解、推論性理解和 van Hiele 理論關係之研究。計劃編號： NSC92-2521-S-142-004。 )所發展出來的「吳－薛氏幾何概念測驗」。測驗目的在於暸解學童的幾何思考層次，其中題目內容包括有三角形、四邊形和圓形等幾何圖形。由於研究者本身亦為該項專案研究計畫之助理研究員，故工具的使用乃經由該項專案計畫的主持人同意後使用。本測驗全部為單一選擇題，每一個題目都有 4 個選項，每題都只有一個是正確的答案。全部試題共計 70 題，包含了三角形、四邊形和圓形。一年級至四年級測驗題目為 1-45 題；五、六年級測驗題目為 1-70 題。 1-25 題屬於 van Hiele 層次一的範圍； 26-45 題屬於 van Hiele 層次二的範圍； 46-69a 題屬於 van Hiele 層次三的範圍。每一個層次的範圍均包含了三角形、四邊形、圓形的幾何圖形問題。本施測問卷計分方式為每對一題得一分。在各層次的分配上，則以該層次的五分之三為達到標準（例如第一層次有 25 題，若學生答對 15 題以上者，表示該學生在平面幾何思考達到第一層次）。若達第二層次者，表示該學生需要達到第一層次，同時也達到第二層次，依此類推。對於一個測驗工具的好壞，測量工具本身的準確程度是否有區別能力？測量的結果是否穩定一致？穩定一致的程度如何？測量工具是否可以測出研究者想要了解的某種特質？能夠測出的程度為何？是很重要的。因此郭生玉 (1989）指出信度與效度是一個測驗重要的指標，這兩個指標須視試題的品質優劣而定，而試題的品質可透過試題的分析來了解。以下分別就信度和效度進行分析。

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一、信度分析本研究試題根據薛建成 (2002)所測驗的α信度（ alpha reliability）分別為：甲卷（ 1-25 題）為 .871698（ p＜ .01），乙卷（ 1-45 題）為 .881643（ p＜ .01），丙卷（ 1-69a 題）為 .944702（ p＜ .01）顯示此份工具的信度相當高。甲卷施測對象為低年級（一、二年級），乙卷施測對象為中年級（三、四年級），丙卷施測對象為高年級（五、六年級）。本次施測信度，依據受測結果分為層次一、層次二、層次三。其信度分別為 .8769(p<.001)、 .8296(p<.001)、 7265(p<.001)，顯示信度相當高。二、效度分析本測驗工具之效度與吳德邦（ 1999）所編之「吳氏 van Hiele 幾何思考層次測驗」求效標效度，其相關係數為 0.5338。而吳德邦所編之「吳氏 van Hiele 幾何思考層次測驗」工具共有 60 題，分屬三個不同層次，每一層次有 20 題，整份測驗的信度為 0.8105。而本測驗工具三個分測驗對總測驗的一致性分別為： 0.5492、 0.7619、 0.7222 （ P<.01）顯示三個分測驗與總測驗的一致性相當高。

第三節研究對象

本研究主要是以紙筆測驗為主，針對 van Hiele 所提出的幾何思考模式，使用吳 -薛氏所發展出來的測驗工具，以量的分析（ quantitative analysis）來探討國小學童在三角形、四邊形和圓形等三種基本幾何圖形之 van Hiele 幾何思考層次。施測的對象隨機抽取台灣北區 (基隆市、台北縣市、桃園縣市、新竹縣市、苗栗縣市 )、中區 (台中縣市、南投縣市、彰化縣市、雲林縣 )、

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南區 (嘉義縣市、台南縣市、高雄縣市、屏東縣市 )等地區縣市國小之一～六年級各一班學童來進行施測。本研究的母群體主要是以臺灣北中南地區 1994 年第二學期在學的國小學童為主，其中並不包括私立國小、特殊學校以及特殊班級的學生。發出樣本計 3122 份，收回樣本數 2865 份，去除無效樣本 640 份外，取得有效樣本數為 2225 人。其樣本數分配如表 3-1 所示：表 3-1 施測樣本分配區域北區中區南區總計男 44 79 66 189 女 43 73 63 179 一年級小計 87 152 129 368 男 49 80 75 204 女 45 75 64 184 二年級小計 94 155 139 388 男 58 81 66 205 女 40 80 70 190 三年級小計 98 161 136 395 男 50 80 61 191 女 44 75 71 190 四年級小計 94 155 132 381 男 48 63 56 167 女 51 60 61 172 五年級小計 99 123 117 339 男 46 71 65 182 女 29 74 69 172 六年級小計 75 145 134 354 總計 547 891 787 2225

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第四節資料處理與分析

將所收集到的學生測驗資料，先以 Excel 軟體分別建入電腦中，並配合本研究的目的及相關之待答問題，利用 SPSS 10.0 for windows 軟體來進行資料的分析與探討。資料建檔流程如下： 2005 年 5 月寄發問卷，由各班級級任老師進行施測 (監考者 )，教師不做任何提示； 6 月至 7 月持續回收有效問卷 2225 份 ;八月至九月由研究者 (批閱者 )將回收資料以 Excel 軟體建檔處理。茲將第五章各節資料的處理方式分述如下：一、在九年一貫課程實施下，國小學童在幾何概念測驗的答題選填分析。本節之相關資料主要是用 Excel 軟體以百分率統計的方式，來進行相關資料的分析。並針對答題情形較為特異的題目，做簡單分析。二、在九年一貫課程實施下，國小學童在幾何概念測驗中，學生整體通過率。本節之相關資料主要是用 Excel 軟體以百分率統計的方式，來進行相關資料的分析。三、在九年一貫課程實施下，各年級在各層次答對率分析本節之相關資料主要是用 Excel 軟體以百分率統計的方式，來進行相關資料的分析。並針對答題情形較為特異的題目，做簡單分析。四、在九年一貫課程實施下，各年級學童 van Hiele 幾何思考層次分布情形。本節之相關資料主要是用 Excel 軟體以百分率統計的方式，來進行相關資料的分析。五、在九年一貫課程實施下，各區層次一的各類圖型通過率分析本節之相關資料主要是用 Excel 軟體以百分率統計的方式，來進行相關資料的分析。六、在九年一貫課程實施下，不同地區學童幾何概念測驗得分的差

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異分析本節主要依據學童受測所得資料，利用 SPSS 軟體進行統計分析。採用單因子變異數 (ANOVA)分析不同地區差異情形。七、在九年一貫課程實施下，不同年級與性別之學童幾何概念測驗得分的差異分析本節主要依據學童受測所得資料，利用 SPSS 軟體進行統計分析。採用二因子變異數分析差異情形。

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第四章近年來國民小學數學幾何教材分析

幾何的學習課程中應提供學生機會去探索、感覺、觀看建造和分解，以及觀察他們生活週遭的形狀，學生的幾何知識應該藉由探索、研究與討論教室中的形體來加以擴充，充分使用他們的幾何概念，熟練地描述、表徵與操縱他們的環境。這些學習經驗與探索活動需不斷地在不同層次中發生，進而探索形體的要素、發現性質找出形體間的關係，讓有趣的實作學習活動，促使學生更了解這個幾何世界，讓幾何思維的能力更為完備。本研究施測的時間在2005年5月至6月間，學生所接受的課程內容為九年一貫暫行綱要(2003年11月正式頒佈國民中小學九年一貫課程綱要，2005年由國小一年級和國中一年級開始實施)。劉好（1993）針對國小的教材分析，說明我國的幾何課程是依van Hiele 幾何思考模式編排：低年級教材屬層次一視覺層次，中年級教材屬層次二描述的層次，高年級教材屬層次三理論的層次。因此，將有關van Hiele 層次理論應用在我國國民小學數學幾何教材的情形，在1993年版課程標準的幾何教材及2000年九年一貫暫行綱要中，分述如下：

第一節 van Hiele 理論應用在國民小學數學1993年版幾何

教材之情形

1993年版之國民小學數學課程標準中，其幾何教材大綱如下表（教育部，1993）。

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表4-1 1993年數學平面幾何教材大綱年級平面圖形一 1、複製實物的面、分辨類似三角形、四邊形及圓等圖形板之圖形。 2、觀察實物與圖形，辨別直線與曲線 3、利用竹籤、釘板等構成簡單的平面圖形。二 1、利用圖形板、拼排圖形，數出各圖形的數量。 2、利用相同的數量，全等的圖形板，拼排不同形狀的圖形。 3、利用不同的數量，全等的圖形板，比較圖形的大小。 4、透過摺紙、剪紙、鏡射等活動，觀察線對稱的現象。 5、利用以公分為刻度的直尺，畫出指定長度的線段。三 1、透過製作的活動，瞭解三角形、四邊形的構成要素：角、邊、頂點及其個數；並認識周長。 2、做出或畫出滿足部份條件（指定一邊或二邊的長度，周長或一些頂點）的三角形或四邊形。 3、透過摺紙製作直角，並在生活情境或圖形中辨認直角。 4、利用直角，瞭解長方形、正方形、直角三角形的特性。 5、角的初步概念。四 1、使用量角器量角度及畫角。 2、透過製作的活動，瞭解等腰三角形、正三角形的特性，並做圖。 3、透過製作的活動，瞭解圓心、半徑、直徑、圓周。 4、透過直角認識直線的垂直與平行。 5、由邊長的相等或垂直與平行的觀點，把四邊形分類並命名。 6、由此認識長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形。 7、使用圓規。五 1、透過圖形的疊合，認識全等的多邊形。 2、透過實測活動，認識圓周率。六 1、透過操作活動，認識線對稱圖形 2、透過操作活動，瞭解縮圖與擴大圖的關係 3、瞭解比例尺的意義及表示方法，並應用於地圖的閱讀（教育部，1993，頁101）討論： 1. 在低年級的幾何教材中，強調具體操作，以瞭解簡單的幾何圖形(三角形、四邊形、圓形)。例如，使用竹籤、釘板，實際摺紙。 2. 中年級則更深入探討四邊形，已將四邊形擴大認識長方形、