van Hiele 幾何發展理論

國小數學課程「圖形與空間」的教材領域，其課程綱要所依據的 就是van Hiele 的幾何思考層次理論。

依據van Hiele的理論，學生在教師合適的教學情境之下，其幾 何知識的建構，將循序經歷以下五個層次，每個層次有其獨特的發展 特徵。對於van Hiele的五個幾何思考層次的說法，國內外研究者有 多種不同的表示法，一部份學者用「層次一、層次二、層次三、層次 四、層次五」來表示van Hiele的五個幾何思考層次(Senk, 1982;

Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Wu, 1994,1995; Wu & Ma, 2005a, 2005b，吳德邦，1997，1998b，2000a，2000b)；另一部份學者用「層 次○、層次一、層次二、層次三、層次四」來表示van Hiele的五個

幾何思考層次(Fuys, 1986; Golinskaia, 1997; 劉湘川&劉好等, 1992, 1993, 1994; 劉好, 1998)。甚至P. van Hiele本人在不同的 年代也採用不同的用法；van Hiele (1986) 曾指出：「在1959的文章 中所謂的第一層次，現在我們稱之為第二層次；以往所謂的第二層 次，現在我們稱之為第三層次...，其餘類推」(引自吳德邦，2004)。

一、 van Hiele 幾何思維層次

層次一：視覺的（visual）層次

屬於這個層次的兒童藉著視覺觀察各種具體事物，從各種實體物 的外形輪廓來辨認圖形。譬如：由從前生活經驗中知道長方形是瘦瘦 長長的，圓圓的東西屬於圓形，像門的形狀為長方形，像太陽的形狀 為圓形，又如◇看起來，不像正方形，兒童認為這不是正方形，此層 次兒童的思考推理，受視覺外觀的影響很大。只要在圖形外表特徵差 異稍大時，就不會將長方形看成正方形；或將橢圓形看成圓形。此層 次的兒童可以透過實體物操作，例如旋轉或移動，就可以辨別圖形之 異同，他們可以使用非數學的術語，知道各種圖形，但是卻無法了解 這些圖形的真實意義。教師應多提供各種機會，讓兒童透過實際的操 作，使其視覺感官進行圖形的分類、描繪、著色、堆積、造形等活動，

來獲得幾何圖形的正確概念。學生能根據圖形的外表，來識別、操弄 圖 形 （ Shape ） （ 例 ： 正 方 形 ， 三 角 形 ） ， 和 其 它 幾 何 構 形 要 素

（Configurations）（例：線，角，網狀格子）。

層次二：描述的（descriptive）層次

這個層次的兒童已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺 來觀察組成圖形的構成要素（頂點、邊、角）與這些要素之間的關係，

分析幾何概念。因此，能夠察覺到圓形沒有邊，正方形有四個邊，而 且每邊都相等；三角形有三個邊，可是卻無法說明這些圖形特徵之間 有何關係存在。例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有何 關係，兒童不一定能夠知道正方形與長方形雖然都有四個邊，當這兩

個圖形邊長不相等時，面積可能相等，此層次的兒童尚無法經由推理 而知悉其道理何在。學生藉由組成元素的名稱，和組成元素之間的關 係來分析圖形。同時，依其經驗建立同一類圖形所具之特性，並且運 用圖形之特性來解題。

層次三：理論的（theoretical）層次

這個層次的兒童，不但能夠了解、掌握、運用構成圖形的各種要 素，並且能夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性（即構成要素間關 係的非形式推理）以及各圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形的 兩雙對邊相等；長方形是平行四邊形的一種，當平形四邊形其中一角 為 90°時，這個四邊形就是長方形。又如，任何三角形的外角，都等 於其相對兩內角的和，多邊形的內角和為 180°（n-2）。這層次的兒 裡開始建構不同類型圖形之間的關係，譬如：正方形、菱形、長方形、

平形四邊形。學生使用公式表示和使用定義，整理先前發現的性質，

給一非正式的討論，並跟著給一演繹上的討論。

層次四：形式邏輯的（formal logic）層次

這 個 層 次 的 學 生 能 夠 經 由 抽 象 推 理 的 過 程 ， 來 證 明 各 種 幾 何 問 題，同時能夠知道證明的方法不只一種。換言之，兒童不必靠記憶公 式來證明幾何問題。此外，他們能夠理解幾何問題之解決，必須具備 的充分或必要條件。例如：不必透過拿實體物來操作，就能夠證明畢 氏定理。譬如：這個層次兒童可以知道菱形也是長方形，又是正方形。

學生能用邏輯推理的方法，來證明幾何的性質。

層次五：邏輯法則本質的（the nature of logical lows）層次 這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的學習者能夠在不同的 公設體系中，建立定理並且分析或比較包括非歐幾何（non-Euclidean Geometry）或比較不同公設系統；同時也能夠了解抽象的幾何概念。

在此層次的學生，能學習不同的幾何公設系統，了解抽象推理幾何，

並能互相比較不同公設系統。

根據van Hiele的實證研究顯示，人類幾何概念的發展，在上述 這五個層次有其次序性，學習者必須具有前一層次的各項概念與能

力，教師才能夠進行更高一層次的幾何教學活動。大體來說，國民小 學低年級學生，其思考層次大都屬於視覺的層次，因此，學生必須透 過實體物的操作，比較拼湊或堆疊，在實際經驗之後，教師才能夠循 序漸進，教導學生逐漸達到更高的層次。

二、 van Hiele 層次的特徵

van Hiele 理論的概念與結果之間的關係可用圖2-3 表示。

演繹系統

的分析 性質間的

演繹系統

性質間

的關係

5.邏輯法 則本質 形體的

性質

4.形式邏輯 形體的分類 3.理論的

形體 2.描述的

1.視覺化

圖2-3 van Hiele幾何思考階段的焦點、概念。(修改自張英傑、

周菊美，2005，p647)

這說明了概念必須要在一個層次中被建立，然後其關係才能在下 個層次中成為焦點。其van Hiele 幾何層次的特徵如下(張英傑、周 菊美，2005)：

1.每一個層次都是連續的。從第一個層次開始，學生必須要通過 先前的層次，才能進入下一個層次。也就是一個人要能先適當 地經驗該層次的幾何思考，並且在心中建立概念或關係，才能 夠進入下一個思考的層次。跳跨層次的情形是很少發生的。

2.層次發展與年齡無關，這和Piaget的發展階段是不同的。一個 三年級學生和一個高中生都有可能停留在第一層次。事實上，

有些學生和大人是永遠留在第二層次的。無疑地年齡也會與我 們所擁有的幾何經驗型態有關。因此，所有幼稚園到二年級的 學生，通常都是屬於第一層次，甚至大部分的三、四年級學生 也都是屬於此層次。

3.幾何經驗是進入下一個思考層次的重大影響因素。允許學生去 探索、討論一些與下一個層次有關的活動，能增加他們在當前 層次的經驗。對孩子們而言，這也是促使他們進入下一個思考 層次的好機會。

4.教學活動或教學時所用的語言若是高於學生現有的思考層次 時，就會產生代溝，此時所達成的學習效果可能只是一些短暫 或外表的成功而已。舉例來說，一個學生可以在沒有建構對正 方形、長方形關係的瞭解前，就去強記正方形是長方形的一種。

而一個學生也可以去記憶一個幾何證明題，但是無法瞭解或寫 出其基本原理的意義。

因此，在教學活動時，教師先要瞭解學生的能力，聽聽學生們的 聲音。教師在實際教學面對不同思維層次的學生時，應該尊重那些來 自於較低層次學生的反應與觀察，並鼓勵他們挑單下一個層次的思 維。而且，教學活動的設計，可由一個特別層次的假設開始，依學生 能力做引導，而逐漸提升或降低層次。