研究動機與目的

本研究主要是以 van Hiele 的幾何層次理論為基礎，來探討接受 九年一貫課程國小學童對於基本幾何圖形概念的認知。本章共分成四 節，分別來探究本研究的研究動機與目的、待答問題、名詞定義與研 究的限制等。

第一節 研究動機與目的

一、研究動機

九年一貫教改到目前為止似乎問題和矛盾叢生，單就現今學童數 學能力低落的情形而言，就有許多的爭議，例如 學生 代數、幾何、邏 輯 3 項數學能力降低(喻文玟，2006)、銜接課程的教學，以及上課時 數的不足(林錫霞，2005)、教科書一綱多本而能力指標卻各有各的詮 釋等。令人注意的是九年一貫課程將學習內容簡單化，令不少人憂心 學生數學能力下降；但負責制定九年一貫數學課程綱要的委員表示現 在的中小學生數學推理能力已優於計算能力，參與課程綱要制定的林 福來表示現在的九年一貫新課程，著重推理、解題、連結、圖形與空 間概念(陳曼玲，2002)。但是究竟真相如何爭論不休！

王富祥(2006)也指出，數學是日常生活中的重要能力之一，過去 台灣人的數學能力表現相當不錯，但九年一貫一綱多本實施後，小學 生的數學能力有降低趨勢，幾何能力又是如何？本論文就是針對台灣 地區接受九年一貫教育學童的幾何思考層次的分布及九年一貫幾何 課程實施現況進行研究。

2000 年九年一貫課程(教育部，2000，2003)與 1933 年數學課程 (教育部，1993)有著較不同的目標。第一項是發展以數學作為明確表

達，理性溝通工具的能力；第二項是培養數學的批判分析能力；第三 項就是培養欣賞數學的能力。為了達成這些目標，數學學習活動，應 讓所有學生都能積極參與討論，激盪各種想法，激發創造力，明確表 達想法，強化合理判斷的思維與理性溝通的能力，期望在社會互動的 過程中建立數學知識。

我們生活的環境中到處都有幾何的圖形，舉凡食、衣、住、行等 各方面都有，當一個幾何圖形呈現在我們眼前時，視覺會將圖形的整 體輪廓、組成要素、要素和要素間的關係在網膜上形成影像。Clements and Battista(1992)指出，幾何是提供我們如何去闡釋與反映外在物 理環境的一種方法，並且可作為學習其他數學和科學題材的工具，尤 其更重要的是加強幾何的空間思考，有助於高層次的數學創造思考。

幾何可以幫助人們有條理的表現和描述生活的世界(NCTM, 1989, P.48)。幾何也可提升問題解決的能力(Burger & Shaughnessy, 1985)，而問題解決正是學習數學的主要理由之一。

對於兒童幾何概念的發展， Piaget 等人 (Piaget, Inhelder &

Szeminska 1960;Piaget & Inhelder, 1967)認為兒童認知幾何性質 有下列漸近之分化︰ (1) 拓樸性 (topological)： 約 3 至 5 歲；

(2)投影性(projective)約 4 至 6 歲；(3) 歐幾里德性(Euclidean) 約 6 至 8 歲。Piaget 認為有關兒童的幾何概念發展主要是與年齡有 關。相對於這個論點， 荷蘭數學教育家 Dina van Hiele-Geldof 和 Pierre M. van Hiele 夫婦共同提出兒童幾何思考的發展層次 van Hieles 模式(van Hiele, 1986)。拫據吳德邦(1998a)指出其層次分 為(1) 視覺的（visual）； (2) 描述的（descriptive）； (3) 理 論的（theoretical）； (4) 形式邏輯的（formal logic）； (5) 邏 輯法則本質的（the nature of logical lows）。van Hiele 認為幾 何思考的發展是與教學因素有關，當學生的能力提升時，思考層次便 會依序地從一個層次移動下一個層次。Piaget 與 van Hiele 有關兒 童幾何概念發展的理論對課程都有很大的影響，1993 年起實施的國 小數學新課程與 2000 年的九年一貫課程，在幾何教材的發展順序，

即是以 van Hiele 理論為主軸。

幾何學習相當重視與生活及其他主題之連結。且除了幾何推理是 幾何課程中必備之主題外，空間感之提升亦是幾何課程之重要目標。

在 NCTM（1989）中指出，空間感是個人對周遭事物的一種直觀的感 覺，要發展良好之空間感，孩子必須要有許多跟幾何有關的具體經 驗，如：方向、辨位、物體在空間中的觀點，圖形物件的大小、形狀 變化的感覺等。而林秀瑾、張英傑（2004）發現我國各時期幾何教材 綱要的內容在空間方位與空間視覺化推理部分均明顯不足，有待加 強。

根據吳德邦(1999)對於台灣中部地區國小學童范析理幾何思考 層次之研究指出，國小三四年級所學幾何圖形的概念對於日後高年級 及中學的幾何學習有很大的影響。對於加強幾何的空間思考，將有助 於高層次數學的創造思考。因此，探討我國國小學童之幾何思考層次 的發展，更顯得重要。

在小學幾何課程中，至少應包含發展空間感與幾何推理兩大主 軸。其中，發展空間感可分成空間定位與空間視覺化兩部分；在幾何 推理方面，傳統教學中，中學幾何課程重點，在描述公理本質；而小 學幾何課程重點，主要強調基本概念的非形式發展，亦即透過非形式 的幾何活動，從簡單的形體辨識活動，到有意義的關係與性質的探 究，培養幾何推理的基礎(林秀瑾、張英傑，2004)。

幾何的學習，應從學生生活經驗中所熟悉的形體入手，藉由本身 的知覺，經過操作與實測，以察覺、辨識形體的組成要素及其形體之 間的關係，進而能確定空間的基本概念，掌握基本性質，進行簡單的 推理。國小階段的幾何教學活動包含了生活中對圖形的認知，並透過 幾何教具、生活實物的一系列觀察與操作，進而從教學中發展抽象的 幾何觀點。教育部（2000）在《國民中小學九年一貫課程暫行綱要－

數學學習領域》的基本理念中也開宗明義提到：「我們週遭的自然與 社會環境中，到處可見數與形，而各種數與形都有一些規律；而數學 探討的就是這一些規律。」數學課程目標第一條即為「掌握數、量、

形的概念與關係」。教育部（2003）頒布的國民中小學九年一貫課程 綱要中明訂數學學習領域的內容為「數與量」、「幾何」、「統計與 機率」、「代數」和「連結」五大主題，九年一貫課程綱要也說明了 幾何在數學學習領域中的重要份量。同時，美國數學教師協會 NCTM

（1989）課程標準中，明確指出在幾何主題中，所有的學生必須能：

(1)辨識、描述、比較、仿作、繪製並分類二維及三維之幾何形體；

(2)發展空間感；(3)操作研究並預測圖形經過組合、分解及各種變化 之後的結果；(4)理解、應用並推論幾何形體的性質及其關係，包含 全等與相似；(5)發展幾何的應用，作為一種描述並模式化自然世界 的方法；(6)將幾何概念與數字及測量等概念相連結；(7)能在實際生 活中辨識並欣賞幾何形體。

數學教育的主要目標是要發展兒童的數學推理及思考能力，使其 能夠應用所學的數學知識和技能來解決在實際的生活中所遭遇的問 題情境(NCTM, 2000)。而其中幾何教學的目的是要協助學生學習瞭解 以及運用幾何的性質和關係。

在國小階段幾何教材著重在幾何圖形概念的建立。圖形與空間領 域課程為 1993 年國小數學課程標準六大領域之一，且為九年一貫數 學內容五大主題之一，可見其重要性。同時根據 H.S.Moredock 和 N.J.Viglante 指出幾何課程在國小數學課程中的重要性如下（引自 陳梅生、周筱亭譯，1982）：

1.學童們可以更暸解他們周遭的環境，可以看得見空間中的位 置、形狀和大小，因為他們能暸解、使用、控制與操作一些東西來探 討他們周遭的環境。

2.由於幾何為算術的過程提供了幾何的模式，它強化了算術的教 學；因此，幾何能幫助學童培養其他算術上的洞察力(insight)。

3.就實用的觀點而言，小朋友能應用並知道幾何是有用的。

4.小朋友學會欣賞幾何令人喜愛的本質。

5.學習幾何概念能幫助學童暸解實測的概念。

6.學童能清楚的看出數學與其他科學的關係。

7.提早學習幾何能使小朋友獲得洞察力並培養增進創造力與發 問的能力。

因此，教材的設計應以學生日常生活所能輕易接觸到的生活情境 來發展概念，並且能安排適當的教學情境，讓學生獲得充分的學習經 驗，使抽像的概念進而能夠自我內化成具體的數學結果（教育部，

1993）。我國國小幾何課程包含了幾何推理與發展空間感兩大主軸，

是依照 van Hiele 的幾何思考模式為編序的架構。幾何推理課程是 先進行辨識幾何的形體，再發展幾何形體組成要素及其關係，最後發 展幾何形體性質之探究並運用其推理解題。因此學童在完成國小階段 的平面幾何教材課程後，應該具備了各種平面幾何屬性之基本概念。

綜觀上述，研究者認為學生的幾何圖形概念非常重要，在幾何圖 形概念的建構，是將來學習的重要基礎。幾何概念的學習，不僅可以 啟發學童對環境的探討、增進其對環境的暸解、更可以培養洞察力與 增強概念的學習…等。同時，對於接受九年一貫課程的學生，在幾何 能力的表現情形如何也值得研究。

本研究為吳德邦(2003)主持之國家科學委員會專案報告(計劃名 稱：國小學生在 Duval 的知覺性理解、操弄性理解、順序性理解、推 論性理解和 van Hiele 理論關係之研究。計劃編號：

NSC92-2521-S-142-004。)之助理員。本碩士論文為該研究計劃之部 份成果。

本研究是針對接受九年一貫數學課程的國小學童，在簡單的幾何 平面圖形上，接受「吳－薛氏幾何概念測驗」的評量研究。藉以了解 國小學童在簡單平面圖形概念的發展，以提供教師教學時之參考。

二、研究目的

本研究的主要目的有：

(一) 探討近年來國民小學數學幾何教材

1. 分析van Hiele 理論應用在國民小學數學1993年版幾何 教材之情形

2. 分析van Hiele 理論應用在國民小學數學九年一貫課程 暫行綱要之情形

3. 分析1993年平面幾何課程與九年一貫暫綱幾何能力指標 的異同之處。

(二) 探討接受九年一貫數學課程的國小學童，接受「吳－薛氏 幾何概念測驗」之表現情形。

(二) 探討接受九年一貫數學課程的國小學童，接受「吳－薛氏 幾何概念測驗」之表現情形。