幾何圖形概念

一、 概念的意義

概念就是有同樣特質之實體(entities)的一個類別， 或者可以 簡單定義為一個人對於物體或事件的心像(mental image)(Gagne, 1970)。Sternberg(1998)認為概念是個人對於事物所產生的觀念 (idea)，是符號知識(symbolic knowledge)的基本單位。Novak(1983) 認為概念是一組事件或物體中可知覺的規律性(perceived

regularity)。概念可用來讓人們判定事物是否可歸為某一簡單類別 (Madin & Smith, 1984)。概念是許多意義綜合(synthesis)，是對一 連串特質或事件的摘要式表達(鍾聖孝，1990)。

以社會科學的觀點來看，概念是指各種不同物體或事物根據其間 共同特色或屬性被分為一類的情形。對實驗者來說，概念可由被試者 對各種刺激的反應來認定。就此觀點而言，引起相同反應的全部刺激 表明單一概念，而其他引起不同反應的刺激則屬於其他概念(楊亮 功，1970）。以心理學的觀點來看，概念是思維形式之一。它反映客 觀事物本質的一種理性知識，人類在認識過程中，把所感知的事物共 同特點抽象出來，加以概括，就成為概念。概念是在實踐和認識過程 中形成的，各門科學知識的成果， 都是首先通過各種概念來加以總 結和概括的（王明良，1982）。

在認知心理學上概念和圖象（images）是有所區別的，概念通常 定義成對物體或事件一個抽象的、一般化的表徵，另一方面，圖象 ( images，特別是視覺圖象)是對物體或事件知覺上的呈現。因為視 覺圖象具有像外延、形狀、位置、大小的空間特性，有時候會被描述 成"心智的圖片"。同時具有知覺的表徵和概念的實體，我們稱為圖形

概念。在這共存關係中，圖形的組成要素提供實際的操作意義：去修 改、取代、切斷、重疊等，知覺的組成要素提供邏輯的意義和一致性。

綜合以上看法，研究者認為概念是代表事物屬性的抽象化，是由 經驗的累積以及學習而來的。一個概括的名稱或符號以代表具有共同 屬性的一類事物的全體時，我們稱此名稱或符號所代表者為概念。人 類在認識過程中，把所感知的事物共同特點抽象出來，加以概括，就 成為概念。一切事物的認識過程都必須透過概念來總結、概括、推論。

不同時空、不同身份的人對同一概念都可能有不同的認知，因此其意 義必須是其所使用的脈絡位置始能決定。

概念的形成是人類行為表現最重要的認知功能之一(Solso, 1991)。研究概念的心理學家透過分類來說明概念的形成：在較低層 次的知覺中，每次將所知覺到的事物作分類，雖然從事物那裡所得到 的知覺很少有完全一樣的，但是當這些知覺被發現有著相似性，則人 們會自然地從這些事物當中抽出這些相似性。例如圖2-1，以 C1、C2…

Cn 代表我們對椅子的多次知覺，將這些知覺的相似性抽出來，以C 表示。

接著再以C、C′、C〞表示由抽象而得到的性質，由這些性質再去抽 象出更多的共同性質，然後再給這些共同的性質一個共同的名稱 Chair，如圖2-2。最後給予這些共同性質的名稱就是所謂的概念。抽 象作用的層次， 也許不只有一、二層，有些概念可能是經由好幾個 抽象作用才得到共同性質的名稱形成概念。

C

C1 C2 C3 Cn

圖 2-1 抽象作用簡圖(Skemp, 1987, p.16)

Chair

C C′ C〞

圖 2-2 第二層次抽象作用簡圖(Skemp, 1987, p.17)

二、 幾何圖形概念

(一)、Duval在幾何的論述

在學生學習幾何知識上，Duval(1995)認為應有三種認知過程，分 別為：

1.視覺(visualization)過程：對於圖形空間表徵的認知，可能僅是純粹 的表象圖形（線條與形狀的組織體），但也可以是幾何意義（角、

平行、垂直、等距、等面積）的洞察，亦可以是根據文字敘述所進 行的圖形再現。

2.作圖(construction)：根據作圖工具對圖形的再製過程，通常這個過 程對於學生去發現圖形中的幾何意義是有幫助。

3.推理(reasoning)：進行論說的過程，例如：說明、證明…等。

在幾何認知的教學方面，Duval 主張：

1.視覺、作圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展。

2.不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。

3.三種認知過程的整合僅在這些區別活動趨於成熟後才有可能(Duval, 1998)解題與論證在數學中是一個重要的核心，學生要以什麼樣的 經驗才能有較好的圖形論證與解題呢？

(二)、Piaget & Inhelder 之兒童的空間概念

Piaget & Inhelder(1967)的影響兒童空間概念的兩個主要論點：

1.空間的表徵是透過兒童在操作系統的原動力和內在行動的前進組 織所構成的，因此空間的表徵並不是空間環境的知覺讀取，而是從

空間環境積極的操作建立的。

2.幾何思想的進步組織，遵循一個明確的次序，這個次序比最原始的 拓樸關係（例如：有連通性、封閉性和連續性）被建立起來，和後 來的投影幾何（直線性）及歐幾里得（角的性質，平行性質和距離）

關係被建立的歷史更符合邏輯。這已被稱為拓樸基本理論。

由 Piaget & Inhelder 對兒童空間概念主要強調是要兒童去體驗而 不是去閱讀，是要去探索、觸摸、感覺、操作，而不是僅僅知識的傳 遞與接受。

從以上的分析可知，幾何圖形的運作結合了不同的理解，而問題 的解答常需要它們的交互作用。從兒童的認知發展來看，知覺和幾何 概念間的關係似乎經歷著某種變遷，對於基本平面圖形的教學，必須 考量學童的認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺、並且 讓兒童去體驗，配合探索、觸摸、觀察、操作、堆疊、組合、著色…

等，讓學童認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢適當的加入簡單 的推理與彼此之間的關係。