第五章 研究結果與討論
第一節 受試者的答題情形選填分析
本研究以吳德邦(2003)國家科學委員會專案報告(計劃名稱：國 小學生在 Duval 的知覺性理解、操弄性理解、順序性理解、推論性理 解和 van Hiele 理論關係之研究。計劃編號：NSC92-2521-S-142-004。) 所發展出來的「吳－薛氏幾何概念測驗」為評量工具，探討接受九年 一貫課程學童在三種基本幾何圖形，三角形、四邊形及圓形的受測情 形。
從第一層次到第三層次中，每一層次各有 25 題、20 題、25 題，
而依據 Usiskin（1982）提出在評量 van Hiele 幾何思考層次的基準 中，每一層次各出五個題目，以某一層次的答對題數超過該層次全部 題數的五分之三以上或五分之四以上時，作為達到此一層次之標準。
因此，研究者乃根據 Usiskin（1982）提出之標準，以通過測驗題目 的五分之三(含)以上為通過該層次之標準，亦即每一位學童需在各層 次的題目中達到五分之三(含)以上，才視為通過該層次。以分析學童 在三種基本幾何圖形，三角形、四邊形及圓形中的表現。
本章共分八節，第一節為受試者的答題情形選填分析，第二節為 受測試題學生整體通過率，第三節為各年級在各層次答題答對率分 析，第四節為各年級學童 van Hiele 幾何思考層次分布情形，第五節 為層次一的各類圖型通過率分析，第六節為不同地區學童受測情形的 差異分析，第七節為不同年級與性別之學童幾何概念測驗的差異分 析。
第一節 受試者的答題情形選填分析
本節就各層次的試題，針對受試者對於每一試題的各選項中，學 童集中選填某一選項錯誤較多者或該題答對人數比例未達 60%的試題 做一分析。並針對各年級的受測情形，分析學童的 van Hiele 幾何思 考層次的隸屬情形。
一、 層次一的試題分析
由表 5-1 所示，本層次的答對率除了第 5、11、17、25 題外，其 答對率均在 60%以上，但第 10、12、13、16、18、19、21、23 等題，
在某選項上有集中之情形。茲分述如下：
5.（ ）右圖中，哪些是四邊形？
X甲、丙都是 甲 乙 Y只有甲是
Z只有甲、丁是 丙 丁 [甲、乙、丙、丁都是
X8.85% Y77.84% Z6.92% [5.71% 未填答：0.67% N =2225 此題屬於四邊形凹與凸的圖形判別，在全體受試者中，僅有 6.92%
的學生答對。而選填Y者，則有 77.84%的學童，顯見在四邊形的凹與 凸判別上，對學童而言，是一大困難。一至六年級的學童普遍的均不 認為圖例丁是四邊形。可能和現今小學課程中是不討論凹四邊形有 關。
10（ ）右圖中，哪些是三角形？
X只有甲是
Y只有乙、丙是 甲 乙 Z只有甲、丙、丁是
[甲、乙、丙、丁都是 丙 丁
X6.56% Y13.66% Z3.06% [74.92% 未填答：1.80% N=2225 此題屬三角形旋轉圖形的判別，正確答案為[，答對率 74.92%，
選填Y者，有 13.66%。細長的三角形，在經過不同的旋轉角度後，學 童的判別能力就降低了。
11（ ）右圖中，哪些是四邊形？
X甲、乙、丙、丁都是
Y只有乙是 甲 乙 Z只有甲、丁是
[都不是 丙 丁
X52.45% Y12.31% Z2.56% [31.19% 未填答：1.48% N=2225 此題屬四邊形旋轉圖形的判別，正確答案為X，答對率 52.45%，
選填Y者有 12.31%，選填[者有 31.19%。此題的圖例，沒有方正的 長方形或正方形。由以上的選填結果可知，有很多學童認為長方形或 正方形才屬於四邊形，而不規則的四邊形，對學童而言，在判別上就 有問題。
12（ ）右圖中，哪些是圓形？
X甲、乙、丙、丁都是
Y只有乙是 甲 乙 Z只有丙是
[甲、丙、丁都是 丙 丁 X20.31%Y76.31%Z1.17%[1.62% 未填答：0.58% N=2225
此題屬圓形旋轉圖形的判別，正確答案為Y，答對率 76.31%，選 填X者有 20.31%。由選填的結果得知，學童對於圓形和橢圓形的判別 是有困難的，學童易將橢圓形誤認為圓形。
13（ ）右圖中，哪些是三角形？
X只有甲、丁是
Y只有甲、乙、丁是 甲 乙 Z只有丙是
[甲、乙、丙、丁都是 丙 丁
X30.79%Y3.24%Z1.84%[63.33% 未填答：0.81% N=2225 此題屬於三角形不同大小圖形的判別，正確答案為[，答對率 63.33%，選填X者有 30.79%。由選填結果可知，學童對三角形大圖形 的辨別是較容易的。將圖形縮小後，有很多學童就不認為是三角形了。
16（ ）右圖中，哪些是三角形？
X只有甲是
Y只有甲、乙是 甲 乙 Z甲、乙、丙、丁都是
[只有丙、丁是 丙 丁
X5.17%Y13.26%Z76.63%[2.70% 未填答：2.25% N=2225
此題屬於三角形鈍角特大圖形的判別，正確答案為Z，答對率 76.63%，選填Y者有 13.26%。圖例乙為較常見的三角形圖案，說明了 為什麼有很多學童選填了Y。而細長的鈍長三角形對學童而言，有將 近一成是辨認困難的。
17（ ）右圖中，哪些是四邊形？
X只有甲、丙是 甲 乙 Y只有丙是
Z都不是 丙 丁 [甲、乙、丙、丁都是
X4.94%Y19.91%Z19.69%[53.35% 未填答：2.11% N=2225 此題屬於四邊形鈍角特大圖形的判別，正確答案為[，答對率 53.35%，選填Y者有 19.91%，選填Z者有 19.69%。由選填結果可知，
四邊形鈍角比三角形的鈍角在判別上，學童更難辨認。在此題中，更 有高達近二成的學童，均不認為大鈍角的四邊形是四邊形。
18（ ）右圖中，哪些是三角形？
X甲、乙、丙、丁都是
Y只有甲是 甲 乙 Z只有甲、乙、丁是
[只有甲、丁是 丙 丁
X69.80%Y12.85%Z4.18%[11.37% 未填答：1.80% N=2225
此題屬於三角形寬圖形與窄圖形的判別，正確答案為X，答對率
69.80%，選填Y者有 12.85%，選[填者有 11.37%。由選填結果可知，
學童在圖形較寬廣的三角形上較容易辨認。答案錯誤的學童，對於圖 例乙更是不認為是三角形。顯見，細長狹窄的三角形，在判別上是較 為困難的。
19（ ）右圖中，哪些是四邊形？
X只有甲是
Y只有乙、丁是 甲 乙 Z甲、乙、丙、丁都是
[只有丙、丁是 丙 丁
X5.62%Y10.97%Z61.12%[19.87% 未填答：2.43% N=2225
此題屬於四邊形寬圖形與窄圖形的判別，正確答案為Z，答對率 61.12%，選填Y者有 10.97%，選填[者有 19.87%。顯然的，大部份 學童對於四邊形的辨認，還是認為方正的四邊形才是四邊形，如正方 形、長方形、菱形等。對於不規則的四邊形，是比較難辨認的。
21（ ）右圖中，哪些是四邊形？
X甲、乙、丙、丁都是 甲 乙 Y只有丁是
Z只有甲、丙是
[只有乙、丁是 丙 丁
X78.25%Y13.98%Z2.34%[3.69% 未填答：1.75% N=2225
此題屬於四邊形外圍邊線粗細的圖形判別，正確答案為X，答對 率 78.25%，選填Y者有 13.98%。有很多的學童不認為邊線粗者的是 四邊形，不管是多粗，有可能是學童在學校中，數學教材很少(甚至 沒有)出現過較粗的邊線。而答案的選項中沒有甲、丁都是，因此，
學童錯誤的選項集中在Y。
25（ ）右圖中，哪些是圓形？
X只有甲是 甲
Y甲、乙、丙、丁都是 乙 Z只有甲、丁是
[只有乙、丙是 丙 丁
X21.03%Y24.31%Z50.43%[ 2.07% 未填答：2.16% N=2225 此題屬於圓形填滿與中空的圖形判別，正確答案為Z，答對率 50.43%，選填X者有 21.03%，選填Y者有 24.31%，選填[者有 2.07%。
由選填可知，有些學童對於填滿的圖形是不認同的。同樣的，也有可 能是國小數學課本很少(或沒有)提及過類似的圖例，以致於學童無法 正確的判別。
二、 層次二的試題分析
層次二的試題包括 26-45 題，受試者為一至六年級學童。層次二 的試題選填分析如下表：
表 5-2 層次二各題答案選填情形
選 1 者 選 2 者 選 3 者 選 4 者 未填答 題號 正
解 人數 比例% 人數 比例% 人數 比例% 人數 比例% 人數 比例%
26 3 128 5.75 36 1.62 1960 88.09 63 2.83 38 1.71 27 4 54 2.43 55 2.47 41 1.84 2032 91.33 43 1.93 28 1 1990 89.44 69 3.10 54 2.43 53 2.38 59 2.65 29 3 33 1.48 44 1.98 2042 91.78 63 2.83 43 1.93 30 4 52 2.34 26 1.17 43 1.93 2057 92.45 47 2.11 31 1 1833 82.38 56 2.52 126 5.66 85 3.82 125 5.62 32 4 538 24.18 381 17.12 157 7.06 1036 46.56 113 5.08 33 4 164 7.37 262 11.78 448 20.13 1256 56.45 95 4.27 34 1 1012 45.48 322 14.47 330 14.83 483 21.71 78 3.51 35 1 1262 56.72 134 6.02 702 31.55 82 3.69 45 2.02 36 2 258 11.60 1261 56.67 232 10.43 193 8.67 281 12.63 37 3 136 6.11 237 10.65 1648 74.07 145 6.52 59 2.65 38 2 423 19.01 1221 54.88 180 8.09 293 13.17 108 4.85 39 4 380 17.08 971 43.64 301 13.53 512 23.01 61 2.74 40 4 745 33.48 204 9.17 132 5.93 1066 47.91 78 3.51 41 3 399 17.93 244 10.97 1144 51.42 371 16.67 67 3.01 42 1 979 44.00 549 24.67 275 12.36 271 12.18 151 6.79 43 2 96 4.31 1808 81.26 91 4.09 154 6.92 76 3.42 44 1 506 22.74 253 11.37 840 37.75 437 19.64 189 8.49 45 2 381 17.12 1082 48.63 434 19.51 182 8.18 146 6.56
由表 5-2 所示，層次二各題答對率在 60%以下的有 32、33、34、
35、36、38、39、40、41、42、44、45 等題，層次二全體通過率偏 低的原因是一到三年級的數學課程，對於層次二討論的部份較少所 致。
茲分述如下：
32（ ）一個三角形的內角和是幾度？
X60 度 Y90 度 Z120 度 [180 度
X24.18%Y17.12%Z7.06%[46.56% 未填答：5.08% N=2225 此題屬於的三角形基本概念，正確答案為[，答對率 46.56%，
選填X者，有 24.18%，選填Y者有 17.12%，選填Z者，有 7.06%。表 示在受測學童中，有一半以上的人無此概念，在九年一貫課程中，到 了五年級上學期才有此概念的教學，所以一到四年級的課程中並沒有 真正去討論此概念，可能導致整體答對率偏低。
33（ ）已知四邊形ㄅㄆㄇㄈ，那麼角ㄅ、角ㄆ、角ㄇ、角ㄈ四 個角加起來是幾度？
X60 度 Y90 度 Z180 度 [360 度
X7.37%Y11.78%Z20.13%[56.45% 未填答：4.27% N=2225
此題屬於四邊形的基本概念，正確答案為[，答對率 56.45%，
選填Z者，有 20.13%，選填Y者，有 11.78%，選填X者，有 7.37%。
九年一貫課程中，四邊形的內角和概念是建立在三角形內角和概念上 的，此題答對率卻高出上一題，顯示學童對正方形、長方形的直角概 念比較熟悉。
34（ ）一個圓周角是幾度?
X360 度 Y90 度 Z60 度 [0 度
X45.48%Y14.47%Z14.83%[21.71% 未填答：3.51% N=2225
此題屬於圓的圓周角概念，正確答案為X，答對率 45.48%，選 填[者，有 21.71%，選填Z者，有 14.83%，選填Y者，有 14.47%。
此題答對率比前二題為低，顯示學童對於圓周角的度數概念比三角形 和四邊形差，可能和九年一貫課程中此概念的探討較慢所致。
35（ ）直角三角形中，有幾個直角？
X１個 Y２個 Z３個 [４個
X56.72%Y6.02%Z31.55%[3.69% 未填答：2.02% N=2225
此題屬於直角三角形的認識，正確答案為X，答對率 56.72%，
選填Z者，有 31.55％，選填Y者，有 6.02%，選填[者，有 3.69%。
學童對於直角三角形的認識可能和垂直的概念，在五年級時才帶入有 關。在全體受試者中，有四成四的學童對於直角三角形的特性概念不 清。
36（ ）有關正方形的敘述，哪些正確？
ㄅ、對邊互相平行 ㄆ、四個角都是直角 ㄇ、四個邊都相等 ㄈ、對角線互相垂直 X只有ㄅ是對的 Yㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ都對
Z只有ㄅ、ㄆ是對的 [只有ㄆ、ㄈ是對的
X11.60%Y56.67%Z10.43%[8.67% 末填答：12.63% N=2225 此題屬於正方形的特性概念瞭解，正確答案為Y，答對率
56.67%，選填X者，有 11.60%，選填Z者，有 10.43%，選填[者，有 8.67%。未填答者，有 12.63%，比任何一個錯誤選項的選填率為高。
可能在九年一貫數學課程平行、垂直的概念安排在五年級上學期有 關。
38（ ） 已知左圖三角形ㄅㄆㄇ是一個等腰三角形，那 麼下列說法哪一項正確？
X線段ㄅㄆ和線段ㄆㄇ相等 Y線段ㄅㄆ和線段ㄅㄇ相等 Z線段ㄆㄇ和線段ㄅㄇ相等
[線段ㄅㄆ、線段ㄆㄇ和線段ㄅㄇ都相等
X19.01%Y54.88%Z8.09%[13.17% 未填答：4.85% N=2225
此題屬於等腰三角形的兩邊等長測驗，正確答案為Y，答對率 54.88%，選填X者，有 19.01%，選填[者，有 13.17%，選填Z者，有 8.09%。顯示中、低年級學童對等腰三角形的概念不是很清楚。
39（ ）關於長方形的說法，哪一項正確？
X對邊沒有互相平行 Y四個角都相等 Z四個邊都等長 [對角線互相垂直
X17.08%Y43.64%Z13.63%[23.01% 未填答：2.74% N=2225 此題屬於長方形的特性概念瞭解，正確答案為Y，答對率
43.64%，選填[者，有 23.01%，選填X者，有 17.08%，選填Z者，有 13.63%。而選填[者，高達二成多。顯示出不少學童容易將長方形與 正方形的特性概念混淆，尤其中、低年級對角線的認識不清。而此題 也顯示出不少學童對於長方形的特性概不清。
40（ ）一個圓的直徑有幾條？
X１條 Y２條 Z３條 [４條以上
X33.48%Y9.17%Z5.93%[47.91% 未填答：3.51% N=2225 此題屬於圓形直徑的特性概念瞭解，正確答案為[，答對率 47.91，選填%X者，有 33.48%，選填Y者，有 9.17%，選填Z者，有
ㄅ
ㄆ ㄇ
5.93%。而選填X者超過三成，顯示學童對於通過圓周上通過圓心的
5.93%。而選填X者超過三成，顯示學童對於通過圓周上通過圓心的