10- 空間向量
【83-1】設直線 L 的方程式為 3 2 x 1 1 y 2 1 z ，則下列哪一個平面與L 平行？ (A) 2x y z 1 (B) x y z 2 (C) 3x y 2z 1 (D) 3x 2y z 2 (E) x 3y z 1 【解答】(B) 【83-2】下列有關空間的敘述，哪些是正確的？(A)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此 直線垂直 (B)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線平行 (C)過已知平面外 一點，「恰有」一直線與此平面平行 (D)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平 面垂直 (E)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面平行 【解答】(A)(E) 【83-3】設 L 為 x y z 1 與 x y z 1 兩平面的交線，則直線 L 上與點(1，2，3)距離最 近之點的坐標為 。 【解答】(1， 2 5 ， 2 5 ) 【84-1】下圖中 ABCD 為正四面體，M 為CD的中點，試問下列哪些敘述是正確的？ (A)直線 CD 與平面 ABM 垂直 (B)向量
_____
\
AB
與向量_____
\
CD
垂直 (C) AMB > ADB (D)平面 ACD 與平面 BCD 的二面角（銳角）大於 60 (E)BABM 【解答】(A)(B)(C)(D) 【84-2】在空間坐標中，設 xy 平面為一鏡面。有一光線通過點 P (1，2，1)，射向鏡面上的點 O (0，0，0)，經鏡面反射後通過點 R。若OR 2PO，則R 點的坐標為 。 【解答】( 2， 4，2) 【85-1】已知直線 L1，L2交於 (1，0，1)，且相互垂直，其 中L1：
1
1
z
t
y
t
x
，t R，L2：
t
z
t
y
t
x
1
1
， t R。若以 L1為軸將L2旋轉一圈得一平面，則此平面的方程式為何？ (A) x 1 (B) y 0 (C) x y 1 0 (D) x y z 2 (E) x y 3 0 【解答】(C)【85-2】學校蓋了一棟正四面體的玻璃溫室（如下圖）。今欲將一鋼柱橫架在室中，作為吊花 的橫樑。其兩端分別固定在兩面牆ABC 和 ACD 的重心 E，F 處。生物老師要先知
道這個鋼柱多長，才能請工人製作。雖然BD的長度很容易量出，卻很難爬到E，F 點量EF 長。生物老師在上課時說出他的問題，立刻有一位同學舉手說他有辦法。 這位同學在紙上畫出下圖，算出EF ：BD就解決了問題。問EF ：BD 。 【解答】1：3 【86-1】設 P，Q 為平面 ax + by cz 5 上相異兩點，且
PQ
_____
\
(x0，y0，z0 )，則\
_____
PQ
．(a，b，c)為(A)不定值，隨 (x0，y0，z0 ) 而改變(B) 25(C) 5(D) 0(E) 1 【解答】(D) 【86-2】有一正立方體，其邊長都是 1，如果向量 a 的起點與終點都是此正立方體的頂點，且 | a | 1，則共有多少個不相等的向量 a ？(A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 24 (E) 28 【解答】(B)
【86-3】考慮一正立方體六個面的各中心點，則以其中四個中心點為頂點的正方形一共有幾 個？(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 12 【解答】(A) 【86-4】設 為兩平面 2x y 2z 6 與 3x 4z 2 的夾角（取銳角），則 最接近的整數 度數為 。 【解答】82 【87-1】長方體中，互為歪斜線的稜線共有 對。 【解答】24 【87-2】在空間中，下列哪些點可與 A (1，2，3)，B (2，5，3)，C (2，6，4)三點構成一平行 四邊形？(A) (1， 5， 2) (B) (1，1，2) (C) (1，3，4) (D) (3，7，6) (E) (3，9，4) 【解答】(B)(C)(E)
【88-1】下圖為一正立方體，試問下列何者為真？(A)
_____
\
EA
．_____
\
EG
0 (B)\
_____
ED
．_____
\
EF
0 (C)_____
\
EF
EH
_____
\
AC
_____
\
(D)_____
\
EC
．_____
\
AG
0 (E)_____
\
EF
_____
EA
\
EH
_____
\
EC
_____
\
【解答】(A)(B)(C)(E) 【88-2】下圖為一正立方體，A，B，C 分別為所在的邊之中點，通過 A，B，C 三點的平面與 此立方體表面相截，問下列何者為其截痕的形狀？(A)直角三角形 (B)非直角的三角形 (C)正方形 (D)非正方形的長方形 (E)六邊形 【解答】(D) 【88-3】在空間中，連接點 P (2，1，3) 與點 Q (4，5，5) 的線段 PQ 之垂直平分面為 。 【解答】x 2y z 13 【89】空間中有一直線 L 與平面 E：x 2y 3z 9 垂直。試求通過點 (2， 3，4) 且與直線L 垂直的平面方程式。答： 。 【解答】x 2y 3z 8 【91】下圖為一正立方體，被一平面截出一個四邊形 ABCD，其中 B，D 分別為稜的中點， 且EA：AF 1：2。則 cosDAB 。（化成最簡分數） 【解答】 37 1 【92-1】如下圖，ABCD - EFGH 為一平行六面體，J 為四邊形 BCGF 的中心，如果 \ _____
AJ
a _____AB
\ b _____AD
\ c _____AE
\ ，試問下列哪些選項是 正確的？(1) 3 1 b 3 2 (2) a b c 2 (3) a 1 (4) a 2c (5) a b 【解答】(1)(2)(3)(4) 【92-2】設a：x 4y az 10（a 為常數），E1：x 2y z 5 及 E2：2x 5y 4z 3 為 坐標空間中的三個平面。試問下列哪些敘述是正確的？(1)存在實數 a 使得a與E1 平行 (2)存在實數 a 使得a與E1垂直 (3)存在實數 a 使得a，E1，E2交於一點 (4)存在實數 a 使得a，E1，E2交於一直線 (5)存在實數 a 使得a，E1，E2沒有共同 交點 【解答】(2)(3)(5)【92-3】在坐標空間中，通過 O(0，0，0)，N(0，0，1)，P( 4 1 ， 4 11 ， 2 1 )三點的平面與球 面 S：x2 y2 z2 1 相交於一個圓 C，則圓 C 的劣弧
︵
NP
的弧長等於 。 （化成最簡分數）（所謂劣弧NP
︵
是指圓C 上由 N，P 兩點所連接的兩弧中較短的 那一段弧。） 【解答】 3 2 【93-1】在坐標空間中給定兩點 A(1，2，3)與 B(7，6，5)。令 S 為 xy 平面上所有使得向量 \ _____PA
垂直於向量 _____PB
\的P 點所成的集合，則(1) S 為空集合 (2) S 恰含一點 (3) S 恰含兩點 (4) S 為一線段 (5) S 為一圓 【解答】(1) 【93-2】如下圖 O-ABCD 為一金字塔，底是邊長為 1 之正方形，頂點 O 與 A，B，C，D 之 距離均為2。試問下列哪些式子是正確的？(1) _____OA
\ _____OB
\ OC
_____\OD
_____\ __0
\ (2) _____OA
\ _____OB
\ OC
_____\OD
_____\ __0
\ (3) _____OA
\ _____OB
\OC
_____\OD
_____\ __0
\ (4) _____OA
\． _____OB
\ OC
_____\．OD
_____\ (5) _____OA
\．OC
_____\ 2【解答】(3)(4) 【93-3】在坐標空間中，平面 x 2y z 0 上有一以點 P(1，1，1)為圓心的圓，而 Q( 9，9，27)為圓上一點。若過 Q 與圓 相切的直線之一方向向量為(a，b，1)， 則a ，b 。 【解答】5，3 【94-1】假設坐標空間中三相異平面E1、E2、E3皆通過(－1,2,0)與(3,0,2)兩點，試問以下哪 些 點也同時在此三平面上？(1) (2,2,2) (2) (1,1,1) (3) (4,-2,2) (4) (-2,4,0) (5) (−5, −4, −2 ) 【解答】(2) 【94-2】如右圖所示，ABCD-EFGH 為邊長等於 1 之正立方體。 若 P 點在立方體之內部 且滿足 =3 +1 +2 ， 則 P 點至直線 AB 之距離為 。(化成最簡分數)
【95】下圖為一正立方體﹐若 M 在線段AB上﹐BM 2AM ﹐N 為線段BC之中點﹐ 則cos MON ______ 10.（分數要化成最簡分數） 【解答】 4 15 【97-1】設坐標空間中三條直線L1，L2，L3的方程式分別為L1： 3 4 1 6 8 x y z ； 2 L ： 3 4 1 3 4 x y z ；L3： 1 3 4 x y z 。試問下列哪些選項是正確的？ (1) L1與L2相交 (2) L2與L3平行 (3) 點P(0, 3, 4) 與Q(0,0,0)的距離即為點P到L3的最短距離 (4) 直線L： 0 3 4 4 3 x y z 與直線L1，L2皆垂直 (5) 三直線L1，L2，L3共平面 【解答】(1)(2)(4)(5) 【97-2】令A( 1,6,0) ，B(3, 1, 2) ，C(4,4,5)為坐標空間中三點。若D為空間中的一點且滿足3
DA
– 4DB
＋2DC
＝
0 ，則點D的坐標為____________。 【解答】(-7,30,18) 【97-2】設O(0,0,0)為坐標空間中某長方體的一個頂點，且知(2, 2,1)，(2, 1, 2) ，(3, 6,6) 為此 長方體中與O相鄰的三頂點。若平面E：x by cz d 將此長方體截成兩部分，其中 包含頂點O的那一部分是個正立方體，則( , , )b c d ____________。 【98-1】如圖所示，正立方體ABCD EFGH 的稜長等於2（即AB2）， K為正方形ABCD的中心，M ，N 分別為線段BF，EF的中點。 試問下列哪些選項是正確的？(1) 1 1 1 2 2 2 KM
AB AD AE (2)（內積）KM AB
1 (3)KM 3 (4)△KMN為一直角三角 形 (5)△KMN之面積為 10 2 。 【解答】(1)(4)另一點P在xy平面的上方，且與O，A，B，C四點的距離皆等於6。 若x by cz d 為通過A，B，P三點的平面，則( , , )b c d ____________。 【解答】(0,2,8) 【99】坐標空間中，直線 L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點。已知 L 為 平面2x − y = 2 上通過點(2,2,2)的一直線。請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在 L 上的投影點？(1) (2,2,2) (2) (2,0,2) (3)( ,4 2, 0) 5 5 (4) 4 2 ( , , 2) 5 5 (5)( ,8 2, 2) 9 9 9 。 【解答】(1)(3)(5) 【100】H：x y z 2為坐標空間中一平面，L 為平面 H 上的一直線。已知點 P(2, 1, 1)為 L 上距離原點 O 最近的點，則 ( 2, ________, ________ ) 為 L 的方向向量。 【解答】－1，－3
