多邊形實心長直光導管的照度分析

國

立

交

通

大

學

光電工程研究所

碩

士

論

文

多邊形實心長直光導管的照度分析

Irradiance Formations in Solid Straight Light Pipes with

Polygonal Shapes

研 究 生：王夢華

指導教授：陳志隆 教授

多邊形實心長直光導管的照度分析

Irradiance Formations in Solid Straight Light Pipes with

Polygonal Shapes

研 究 生：王夢華 Student：Meng-Hua Wang

指導教授：陳志隆 Advisor：Jyh-Long Chern

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to the Institute of Electro-Optical Engineering

National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Electro-Optical Engineering

June 2006

Hsinchu, Taiwan

中華民國九十五年六月

多邊形實心長直光導管的照度分析

學生 王夢華 指導教授 陳志隆

國立交通大學光電工程研究所碩士班

摘要

光導管之形狀對光導管於其出口處之光照度分佈會有不同之結果為一有趣之光學現象

並影響光導管於照明運用上之選擇，但文獻並無載明其產生機制或證明。本論文利用反

射、折射定律，將光在多邊形光導管內的三維能量傳遞投影到二維平面上，並推導出光

在出口處的落點和能量大小的數學式，證明五邊形光導管中心處會有能量集中的現象。

並運用數學軟體 MATLAB 計算出數值解與光學覓跡摹擬軟體 TracePro 模擬比對，然後

和實驗結果相對照。

Irradiance Formations in Solid Straight Light Pipes with

Polygonal Shapes

Student : Meng-Hua Wang Advisors : Dr. Jyh-Long Chern

Institute of Electro-Optical Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

It is known that different geometric shapes of light pipes will lead to different distributions of

irradiance without analytical proof in literarure, except for the case of circular lightpipe. We

deduce the irradiance distributions in polygonal light pipes and prove that the irradiance of the

pentagon light pipes will concentrate in the center of the exit plane, depending on the number

of facets. To verify our analytical derivation, we use MATLAB, the mathematic software, to

calculate the result and also employ TracePro, a simulation package of Monte Carlo ray

tracing, to verify the features. Finally, a series of experiments with different acrylic light

pipes are provided for comparison.

誌謝

在交大光電所的這兩年，我學到了許多東西，很感謝實驗室的學長姊，不管在課業

上或者是生活上都給予很大的幫助，還有實驗室的同學們和學弟妹們，常常帶給我許多

歡樂，我也非常感謝陳志隆老師的指導，讓我學到做研究的方法和態度，並且給我鼓勵

讓我有信心可以將遇到的所有問題都解決，真的非常的感謝陳志隆老師。

最後我要感謝我的家人，尤其是爸爸和媽媽，他們非常辛苦的賺錢培養我唸到研究

所，爸爸八十歲的高齡還常常為我操心，而媽媽非常辛苦的賺錢讓我沒有經濟上的壓力

繼續升學；感謝小豪給了我許多支持和照顧；感謝日隆，當我壓力很大的時候安慰我，

也常常幫我照顧我父親，謹將本論文獻給所有我愛的人以及身邊所有我關心的人。

目 錄

中文摘要

I

Abstract

II

誌謝 III

目錄

IV

圖表目錄

VI

第一章、

緒論

1-1

1-1 前言

1-1

1-2 多邊形長直光導管的能量分布

1-3

1-3 圓形長直光導管的能量分布

1-5

1-4 本論文之架構

1-6

第二章、

原理與方法

2-1

2-1 概論

2-1

2-2 圓形光導管之一維能量傳遞

2-2

2-3 五邊形光導管能量分布的理論推導

2-4

2-3-1 五邊形光導管之二維能量傳遞 2-4

2-3-2 五邊形光管二維傳遞路徑 2-5

2-3-3 光能量計算 2-10

2-4 正方形光導管之二維傳遞路徑 2-14

2-5 小結 2-20

第三章、

計算模擬與實驗結果

3-1

3-1 五邊形光導管能量分布之 MATLAB 計算方法與結果 3-2

3-2 模擬結果 3-5

3-3 實驗結果

3-10

3-3-1 實驗介紹 3-10

3-3-2 實驗結果分析 3-11

3-4 計算、實驗與模擬結果之比較 3-15

3-5 誤差分析

3-18

第四章、

總結

4-1

參考資料

5-1

附錄 A 三角形光導管能量分布 MATLAB 計算程式碼

5-3

附錄 B 正方形光導管能量分布 MATLAB 計算程式碼

5-9

附錄 C 五邊形光導管能量分布 MATLAB 計算程式碼

5-15

附錄 D 六邊形光導管能量分布 MATLAB 計算程式碼

5-22

附錄 E 圓形光導管能量分布 MATLAB 計算程式碼

5-28

附錄 F 實驗與模擬圖片分析與強度立體圖程式碼

5-30

附錄 G 均勻度分析資料處理程式碼

5-31

圖 表 目 錄

表

1-1 光導管相關論文清單 1-2

表

3-1 計算結果 1-2

圖

1-1 三角形光管的能量分布圖 1-3

圖

1-2 正方形光導管的能量分布圖 1-4

圖

1-3 五邊形光導管的能量分布圖 1-4

圖

1-4 六邊形光導管的能量分布圖 1-4

圖

1-5 圓形光導管的能量分布圖 1-4

圖

1-6 多邊形光導管不均勻度分析 1-5

圖

1-7 圓形光管中二維能量傳遞示意 1-6

圖

2-1 (a) 光在圓形光導管中的傳遞路徑

2-2

圖

2-1 (b)

M’平面圖

2-3

圖

2-1 (c) 光線展開圖

2-3

圖

2-2 五邊形光導管三維能量傳遞圖 2-4

圖

2-3 (a) 五邊形光導管二維能量傳遞圖 0°<Φ<-36°，L/R=5 2-4

圖

2-3 (b) 五邊形光導管二維能量傳遞圖 0°<Φ<36°，L/R=5 2-4

圖

2-3 (c) 五邊形光管立體能量分布圖 L/R=5 2-4

圖

2-4 (a) 五邊形光管二維能量傳遞圖 L/R=10 2-5

圖

2-4 (b) 五邊形光管立體能量分布圖 L/R=10 2-5

圖

2-5 (a) 五邊形光管二維能量傳遞圖 L/R=20 2-5

圖

2-5 (b) 五邊形光管立體能量分布圖 L/R=20 2-5

圖

2-6 不同

θ

′

對應的

d 向量 2-6

圖

2-7 路徑長 d 與 L 和

θ

′

的關係 2-6

圖

2-8 五邊形光導管光線路徑分類 2-7

圖

2-9 路徑計算示意圖 2-7

圖

2-10 Lambertian 光源強度和θ 的關係 2-10

圖

2-11 球座標系統面積計算示意圖 2-11

圖

2-12 立體角示意圖 2-12

圖

2-13

TE 波部分折射部分反射示意圖 2-12

圖

2-14

TM 波部分折射部分反射示意圖 2-13

圖

2-15 正方形光導管二維能量傳遞光線鏡射示意圖 2-14

圖

2-16 正方形光導管三維獳量傳遞圖 2-15

圖

2-17 (a)

正方形光導管二維光線路徑分類示意圖 2-15

圖

2-17 (b)

正方形光導管鏡射後的能量強度分布灰階圖 2-15

圖

2-18 正方形光導管光線路徑分類 2-16

圖

2-19 邊界條件示意圖 2-16

圖

2-20 三角形、五邊形和六邊形的展開 2-20

圖

3-1 計算結果 3-2

圖

3-2 五邊形長直光導管的照度分佈計算結果 3-3

圖

3-3 三角形長直光導管的照度分佈計算結果 3-4

圖

3-4 正方形長直光導管的照度分佈計算結果 3-4

圖

3-5 五邊形長直光導管的照度分佈計算結果 3-4

圖

3-6 六邊形長直光導管的照度分佈計算結果 3-5

圖

3-7 圓形長直光導管的照度分佈計算結果 3-5

圖

3-8 (a)

模擬配置圖 3-6

圖

3-8 (b)

模擬光源設定 3-6

圖

3-8 (c)

收光面設定 3-6

圖

3-9 (a)

三角形光導管模擬結果 3-7

圖

3-9 (b)

MATLAB 強度分析 3-7

圖

3-9 (c)

三角形光導管模擬結果強度歸一化分析 3-7

圖

3-10 (a)

正方形光導管模擬結果 3-8

圖

3-10 (b)

MATLAB 強度分析 3-8

圖

3-10 (c)

正方形光導管模擬結果強度歸一化分析 3-8

圖

3-11 (a)

五邊形光導管模擬結果 3-8

圖

3-11 (b)

MATLAB 強度分析 3-8

圖

3-11 (c)

五邊形光導管模擬結果強度歸一化分析 3-9

圖

3-12 (a)

六邊形光導管模擬結果 3-9

圖

3-12 (b)

MATLAB 強度分析 3-9

圖

3-12 (c)

六邊形光導管模擬結果強度歸一化分析 3-9

圖

3-13 (a)

圓形光導管模擬結果 3-10

圖

3-13 (b)

MATLAB 強度分析 3-10

圖

3-13 (c)

圓形光導管模擬結果強度歸一化分析 3-10

圖

3-14 (a)

光源配置 3-11

圖

3-14 (b)

實驗配置圖 3-11

圖

3-14 (c)

壓克力多邊形光導管 3-11

圖

3-15 (a)

三角形光導管實驗結果 3-12

圖

3-15 (b)

MATLAB 強度分析 3-12

圖

3-15 (c)

三角形光導管實驗結果強度歸一化分析 3-12

圖

3-16 (a)

正方形光導管實驗結果 3-12

圖

3-16 (b)

MATLAB 強度分析 3-12

圖

3-16 (c)

正方形光導管實驗結果強度歸一化分析 3-13

圖

3-17 (a)

五邊形光導管實驗結果 3-13

圖

3-17 (b)

MATLAB 強度分析 3-13

圖

3-17 (c)

五邊形光導管實驗結果強度歸一化分析 3-13

圖

3-18 (a)

六邊形光導管實驗結果 3-14

圖

3-18 (b)

MATLAB 強度分析 3-14

圖

3-18 (c)

六邊形光導管實驗結果強度歸一化分析 3-14

圖

3-19 (a)

圓形光導管實驗結果 3-14

圖

3-19 (b)

MATLAB 強度分析 3-14

圖

3-19 (c)

圓形光導管實驗結果強度歸一化分析 3-15

圖

3-20 三角形光導管出口面能量分布結果比較 3-16

圖

3-21 正方形光導管出口面能量分布結果比較 3-16

圖

3-22 五邊形光導管出口面能量分布結果比較 3-17

圖

3-23 六邊形光導管出口面能量分布結果比較 3-17

圖

3-24 圓形光導管出口面能量分布結果比較 3-18

圖

3-25 三角形光導管的實驗與模擬誤差 3-19

圖

3-26 正方形光導管的實驗與模擬誤差 3-19

圖

3-27 五邊形光導管的實驗與模擬誤差 3-20

圖

3-28 六邊形光導管的實驗與模擬誤差 3-20

第一章 緒論

在這個章節裡將介紹光導管的原理以及應用，和前人所提出有關光導管的論文及相關文

章；在 Fischer 和 Tadic-Galeb [1-16]中提及長直光導管的均勻度和幾何形狀有關，在這

章也會有有關此論述的 TracePro 模擬分析；另外圓形實心長直光導管出口面的照度分布

解析解已經被提出[1-15]，本章有概略性的介紹，詳細的介紹將在第二章原理與方法中

提出。

本章目錄：

1-1. 前言

1-2. 多邊形長直光導管的能量分布

1-3. 圓形長直光導管的能量分布

1-4. 本論文之架構

1-1 前言

光導管可以用來收集、傳遞光能量、改變光行進方向和使光能量重新分布，上面幾

種功能廣泛應用在投影機[1-1]、液晶螢幕的背光系統[1-2] 、應用在個人電腦上面例如

光學滑鼠[1-3]、電源指示燈[1-4]，另外汽車儀表板[1-5]還有手機按鍵也常常用到光導管

當作照明元件。因此光導管在照明和顯示系統中扮演一個非常關鍵的角色，如何設計和

製造高效率低損耗的光導管成為非常重要的課題。

光導管由製造的差異可以分成兩種形式：1.使用空心的金屬導管，其原理為金屬的

鏡面反射，2.使用實心的傳遞介質例如壓克力或其他塑膠材料，其原理為利用內全反射

達到傳遞光的效果。通常空心金屬導管的製造會在導管內面針對傳遞光的波段選擇不同

的鍍膜；而實心的傳遞介質通常用塑膠射出成型來製造，鍍膜的價錢較高，射出成型為

較節省人工和成本的方法。但是上述兩種方法各有利弊，金屬的鏡面反射不用考慮內全

反射角，設計上可以比較簡單，但是在每一次反射都會有部分的能量損耗，實心介質雖

然要設計使光線的入射角大於內全反射角，但在設計良好的狀況下傳遞效率較高製造上

方法較為簡單且價格較低。

近十年來有許多光導管設計分析相關的文章被提出， Diemer 等人提出光導管在遠

紅外光上的應用[1-7]，Whitehead 等人則計算了菱形光導管的效能和損耗[1-8] [1-9]，

Gupta 等人提出了用 principle section 設計光導管幾何形狀的概念[1-10]，Siitonen 等人將

LED 光源耦合進光導管[1-11][1-12]，Derlofske 等人建立了光通量限制模型(flux

confinement diagram (FCD) model) 用以探討方形光導管的能量傳遞和角分布[1-13]，Chu

and Chern 發表了無損耗的光導管[1-14]，鄭伊凱和陳志隆提出了圓形光導管的解析解

[1-15]。表 1-1 列出了近年來光導管相關論文的清單，對其性質作了一些分類。

Year Authors / Source Characteristics Light pipe Light guide 2006 S. Siitonen et. al., AO[1-11] Efficiency

Y

2006 Y. Cheng and J. Chern, JOSA A[1-15] Analysis Y 2005 S. Chu and J. Chern, OL[1-14] Analysis Y 2005 X. Yang et. al., OExp[1-17] Design

Y

2004 J. F. V. Derlofske and T A. Hough, OE[1-6] Flux Analysis Y 2004 S. Siitonen et. al., AO[1-12] Efficiency

Y

2004 K. Chien and H. D. Shieh, AO[1-18] Design Y 2001 A. Gupta et. al., AO[1-10] Analysis Y

1999 D. G. Hawthorn and T. Timusk, AO[1-19] Transmittance Y

1998 L. A. Whitehead et. al., AO[1-8] Loss Mechanism Y 1998 L. A. Whitehead et. al., AO[1-9] Transmittance

Y

1997 S. Diemer et. al., AO[1-7] Transmittance Y

光導管之形狀對光導管於其出口之光照度分布會有不同的結果為一有趣的光學現

象，在 Fischer and Tadic 寫的 Optical System Design[1-16]裡面提到正方形、三角形和六

邊形在出口面的能量分布具有良好的均勻性，但圓形和五邊形則有較差的均勻性，故幾

何形狀對光導管均勻性的影響不容小區，這也影響了光導管於照明應用的設計選擇，但

文獻並無載明其產生機制或證明。本論文參考了鄭伊凱和陳志隆提出的圓形光導管的解

析解[1-15]這篇論文，這邊論文推導出空心圓形長直光導管出口面能量分布的數學式，

清楚地證明出圓形光導管的光能量分布會與圓形光導管的半徑成反比，此數學式解釋了

圓形光導管的熱點現象，本論文嘗試提出多邊形光導管能量分布的數學式，並配合實驗

和模擬驗證光導管幾何形狀對出口面照度均勻度的影響。

1-2 多邊形長直光導管的能量分布

光導管通常是利用幾何形狀的實心塑膠材質，以長直光導管而言，光導管的形狀、

長度還有光源的擺放位置對出口面光能量分布的均勻性有很大的影響，當我們固定長度

和光源擺放的位置時，可以看到形狀對於光導管出口面能量分布的均勻性影響很大。

圖 1-1~圖 1-5 是固定多邊形壓克力實心光導管長度為 10mm、光管外接圓半徑為

2mm 用 TracePro 模擬光導管出口面能量分布的結果，也就是長寬比為 5 的情況下。其

中光源的大小為假設為光管外接圓半徑的 1/100，光源距離光導管入口面 0.1mm，用 100

萬條單一波長的光束線模擬實際光源。圖中顯示立體能量分布和能量分布的剖面圖，可

以看到對直的幾何形狀光導管而言，經由正三角形、正方形和正六邊形光導管傳遞後出

口處的光能量分布有很好的均勻性，但正五邊形和圓形光導管的均勻性就很差[1-16]。

圖 1-1 三角形光導管的能量分布圖

圖 1-2 正方形光導管的能量分布圖

圖 1-3 五邊形光導管的能量分布圖

圖 1-4 六邊形光導管的能量分布圖

邊數和不均勻度的關係 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 2 4 6 8 10 12 n邊形 不均 勻度 50 60 70 80 90 100

圖 1-6 多邊形光導管不均勻度分析

E

E

E

n

n i i

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

∑

=1

1

)

(不均勻度

δ

(1-2.1)

圖 1-6 是將多邊形光導管在固定長度、內接圓半徑和光源位置及大小的情況下，用

TracePro 模擬出口面的能量分布，圖中 50~100 代表的是將同樣大小的光導管出口收光

面分成 50X50、60X60、70X70、80X80、90X90、100X100 個取樣點，以求得不同解析

度下的多邊形光導管不均勻度分佈的趨勢，把各別取樣點的光強度減掉所有取樣點光強

度的平均值，全部相加起來後的值除以所有取樣點光強度的平均值和取樣點的個數，就

可以求得不均勻度，此計算可由公式(1-2.1)表示[1-15]，圖中顯示大致上邊數越多出口面

能量分布越不均勻，而五邊形較六邊形不均勻，這個現象本文希望能以數學式子表示出

來。

1-3 圓形長直光導管的能量分布

將 Lambertian 光源放在圓形光導管中心，會在出口面圓心處產生熱點(hot spot) [1-16]，

關於熱點在中空圓形光管的解析解在鄭伊凱和陳志隆的論文中被提出 [1-15]，此解析解

的前提是光源為 Lambertian 點光源。參考圖 1-7，論文中提到由於置於圓心的光源在圓

形光導管中傳遞都會在半徑切面上，故只要分析一個切面上的光能量分布，將光路徑投

影到出口面上，光能量二維平面分布的問題會簡化為一維，最後推導出圓形光導管的出

口能量正比於 1/R，求得熱點存在的解析解。關於圓形光導管解析解的詳細說明將在下

一章

圖 1-7 圓形光管中二維能量傳遞示意[1-15]

1-4 本論文之架構

本論文在第一章先介紹了光導管還有多邊形長直光導管在出口面的能量分析模

擬，並且對其均勻度做了簡單的分析，還有圓形光導管的特殊的熱點現象。在第二章裡

面詳細介紹了圓形光導管照度分布的解析解求法，仿照圓形光導管的解析解求法在這章

裡面嘗試求出三角形、正方形、五邊形和六邊形數學式，其中包含了光線落點的位置和

大小，並且在第三章展示計算的結果。最後在第四章的實驗和第五章的總結裡面，將實

驗結果、計算結果與模擬結果加以整合比較，並探討計算的準確性以及分析推論誤差的

來源。

第二章

原理與方法

本章介紹鄭伊凱和陳志隆提出的圓形光導管的解析解[1-15]這篇論文，並將其求解方法

運用在五邊形光導管能量分布的數學式推導上，以圓形光導管的推導脈絡沿用到五邊形

光導管上，將光能量的路徑和能量的大小依照理論去計算出來。本章提出了兩種方法求

解光能量的落點位置，分別以五邊形和正方形為例去推導出數學式，而計算的結果將再

第三章展示。

本章目錄：

2-1. 概論

2-2. 圓形光導管之一維能量傳遞

2-3. 五邊形光導管能量分布的理論推導

2-3.1 五邊形光導管之二維能量傳遞

2-3.2 五邊形光管二維傳遞路徑

2-3.3 光能量計算

2-4. 正方形光導管之二維傳遞路徑

2-5.小結

2-1 概論

本論文主要是依照圓形光導管熱點的解析解求法[1-15]，將光在多邊形光導管中的傳遞

路徑投影到出口面，不同於圓形光導管，多邊形為二維問題，光傳遞路徑可以用數學式

性，和光源經過兩種不同介質會部份反射部分折射的現象，計算出光導管出口面的能量

大小，利用

MATLAB 軟體計算能量量值和其相對應的位置進而求得光能量的分布，最

後將我們的計算結果和模擬結果與實驗結果對照，印證五邊形光導管光能量分布較四邊

形六邊形和三角形不均勻，五邊形光導管的能量分佈為本論文探討之重點。

2-2 圓形光導管之一維能量傳遞

五邊形光導管的能量分布計算，主要是由圓形光導管的解析解求法延伸而來

[1-15]，在圓形光導管的例子中，假設光源從圓柱中心入射，見圖 2-1(a)，入射光傳遞會

在同一個平面

M’上，此平面和 y 軸有個夾角 Φ，光線在 M’上和 z 軸的夾角設為θ ，在

固定

Φ 時所有的光線都在 M’平面上傳遞，此平面投影到出口面為一條直線，所以光線

的傳遞投影到出口面就變成了一維的問題。

在這裡求光線落點，是將光線展開，也就是每碰到一次反射面就將光線和

M’平面

翻轉，光線路徑變為直線進行而不轉折的光線，最後在出口面的落點如圖見圖

2-1(c)所

示，如此可以推導出光線落點數學式(2-2.1)，而光能量可由數學式(2-2.2)來表示，經由

(2-2.3)可求得圓形光導管的能量分布數學式(2-2.4)。

圖

2-1 (a) 光在圓形光導管中的傳遞路徑

E(R)=圓形光導管的能量分布

R=圓形光導管的半徑

D=圓形光導管的直徑

Δ

D=感測器的映像點大小

圖

2-1 (b) M’平面圖

圖

2-1 (c) 光線展開圖

h

(

θ

,

d

)

=

k

+

( ) (

−

1

m'

L

tan

θ

+

d

−

m

'

D

)

(2-2.1)

∑

∞ =

=

1 0

)

cos

(

i i

h

E

θ

(2-2.2)

E

(

h

)

_full−angle

=

E

(

h

)

_+θ

+

E

(

h

)

_−θ

(2-2.3)

)

...].

2

(

2

1

)[

1

(

)

(

_⋅

₊

Δ

₋

Δ

2

₊

Δ

≈

R

D

R

D

R

D

F

R

E

φ

(2-2.4)

由 (2-2.4)這個式子中我們可以看到圓形光導管的能量分布反比於光導管半徑 R，證

明了為何光在圓形光導管中傳遞最後會在出口面形成能量集中的熱點。

下一節，將依照參考資料[1-15]中的方法，推導五邊形光導管光能量分布的數學

式，證明在五邊形光導管鐘傳遞的光能量在出口面會呈現中央能量集中的現象。

2-3 五邊形光導管能量分布的理論推導

2-3-1 五邊形光導管之二維能量傳遞

由圖 2-2 可以看到光線在五邊形光導管內的傳遞，Φ 為入口面上和 y 軸的夾角，

θ

′

則為光線在入射面上與

z 軸的夾角，此角度可由斯乃爾定律求出，光管長度為 L，五邊

形外接圓半徑為

R。圖 2-3 到圖 2-5 是光能量的二維分布，即在導管出口面上看的光路

徑的投影，如此可以將三維問題簡化為二維。

圖

2-2 五邊形光導管三維能量傳遞圖

圖

2-3 (a)五邊形光導管二維能量傳遞圖 0°<Φ<-36°，L/R=5

(b)五邊形光導管二維能量傳遞圖 0°<Φ<36°，L/R=5

(c)五邊形光管立體能量分布圖 L/R=5

(a)

(b)

由於光在五邊形光管的傳遞有規則性，對每一邊而言看到的全反射面都一樣，故可

以只討論光打到一邊的情況，即-36°<Φ<36°；從圖 2-3(a)和圖 2-3(b)可以看到，對於

0°<Φ<36°和-36°<Φ<0°，光的路徑和分布對於五邊形光管出口面是相同的，所以只需看

0°<Φ<36°的光如何傳遞到出口處即可，能量傳遞的問題由 0°<Φ<360°簡化為 0°<Φ<36°。

圖

2-4 (a)五邊形光管二維能量傳遞圖 L/R=10

(b)五邊形光管立體能量分布圖 L/R=10

圖

2-5 (a)五邊形光管二維能量傳遞圖 L/R=20

(b)五邊形光管立體能量分布圖 L/R=20

圖

2-4(a)和圖 2-5(a)是增加光管長度（也就是提高長寬比 L/R）後的二維能量傳遞

圖，與圖

2-3 相比長寬比越大光反射次數越多，光在出口面的分布就越紊亂，推論均勻

性的表現會是圖

2-5>圖 2-4>圖 2-3，由圖 2-3(c)、圖 2-4(b)和圖 2-5(b)我們看到整個能

量分布印證了上述的推論。以上為

TracePro 模擬的結果。

2-3-2 五邊形光管二維傳遞路徑

(a)

(b)

(a)

(b)

圖

2-6 不同θ

′

對應的

d 向量

圖

2-7 路徑長 d 與 L 和θ

′

的關係

當固定 Φ，慢慢增加θ

′

時，可以看到光線會因為反射定律沿固定的路徑分布，在圖

2-6 可以看到不同的θ

′

光在出口面的落點，此落點相對於圓心的向量我們稱之為

d 向量，

而

d 是對於不同的θ

′

光路徑再出口面的投影長度，由圖

2-7 可以推導 d 的量值，推導如

下：

d

L

θ

d

L

θ

m i i m i i

=

∑

′

⇒

=

′

∑

= =

tan

tan

1 1

(2-3.1)

其中 m=內全反射次數+1

(a) 0°<Ф<5.55° (b) 5.55°<Ф<22.39° (c) 22.39°<Ф<26.27° (c) 22.39°<Ф<26.27°

圖

2-8 五邊形光導管光線路徑分類

圖

2-9 路徑計算示意圖

由圖 2-8 我們看到固定

θ

′

=

θ

_max

′

時，慢慢增加

Ф 可以由光打到五邊形光管五個面的

順序將光在五邊形光管內的傳遞非分為四類：

condition 1: 0°<Ф<5.55°，面(1) →面(3) →面(4) →面(5)

當

0

<

d

≤

d

₁

d

v

=

(

d

sin

φ

,

−

d

cos

φ

)

(2-3.2)

當

d

₁

<

d

≤

d

₁

+

d

₂

d

v

=

(

d

sin

φ

,

(

d

−

2

d

₁

)

cos

φ

)

(2-3.3)

當

d

₁

+

d

₂

<

d

≤

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

))

18

sin(

)

(

cos

)

(

),

18

cos(

)

(

sin

)

((

2 1 1 2 2 1 2 1

φ

φ

φ

φ

+

°

−

−

−

−

+

°

−

−

−

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.4)

當

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

<

d

≤

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

+

d

₄

))

54

sin(

)

(

)

18

sin(

cos

)

(

),

54

cos(

)

(

)

18

cos(

sin

)

((

3 2 1 3 1 2 3 2 1 3 2 1

φ

φ

φ

φ

φ

φ

−

°

−

−

−

−

+

°

−

−

−

°

−

−

−

−

+

°

−

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.5)

當

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

+

d

₄

<

d

))

18

sin(

)

(

)

54

sin(

)

18

sin(

cos

)

(

),

18

cos(

)

(

)

54

cos(

)

18

cos(

sin

)

((

4 3 2 1 4 3 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

+

°

−

−

−

−

−

−

°

−

+

°

−

−

+

°

−

−

−

−

+

−

°

−

+

°

−

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.6)

其中

φ

cos

36

cos

1

°

=

R

d

,

d

₂

=

(

x

₂

−

x

₁

)

2

+

(

y

₂

−

y

₁

)

2 ,

d

₃

=

(

x

₃

−

x

₂

)

2

+

(

y

₃

−

y

₂

)

2 , 2 3 4 2 3 4 4

(

x

x

)

(

y

y

)

d

=

−

+

−

.

condition 2: 5.55°<Ф<22.386°，面(1) →面(3) →面(5)

當

0

<

d

≤

d

₁

d

v

=

(

d

sin

φ

,

−

d

cos

φ

)

(2-3.7)

當

d

1

<

d

≤

d

1

+

d

2

d

=

(

d

sin

φ

,

(

d

−

2

d

1

)

cos

φ

)

v

(2-3.8)

當

d

₁

+

d

₂

<

d

≤

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

))

18

sin(

)

(

cos

)

(

),

18

cos(

)

(

sin

)

((

2 1 1 2 2 1 2 1

φ

φ

φ

φ

+

°

−

−

−

−

+

°

−

−

−

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.9)

當

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

<

d

))

18

sin(

)

(

)

18

sin(

cos

)

(

),

18

cos(

)

(

)

18

cos(

sin

)

((

3 2 1 3 1 2 3 2 1 3 2 1

°

−

−

−

−

+

+

°

−

−

°

−

−

−

−

+

+

°

−

+

=

φ

φ

φ

φ

φ

φ

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.10)

其中

φ

cos

36

cos

1

°

=

R

d

,

d

₂

=

(

x

₂

−

x

₁

)

2

+

(

y

₂

−

y

₁

)

2 ,

d

₃

=

(

x

₃

−

x

₂

)

2

+

(

y

₃

−

y

₂

)

2

condition 3: 22.386°<Ф<26.267°，面(1) →面(3) →面(1)

當

0

<

d

≤

d

₁

d

v

=

(

d

sin

φ

,

−

d

cos

φ

)

(2-3.11)

當

d

1

<

d

≤

d

1

+

d

2

d

v

=

(

d

sin

φ

,

(

d

−

2

d

₁

)

cos

φ

)

(2-3.12)

當

d

₁

+

d

₂

<

d

≤

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

))

18

sin(

)

(

cos

)

(

),

18

cos(

)

(

sin

)

((

2 1 1 2 2 1 2 1

φ

φ

φ

φ

+

°

−

−

−

−

+

°

−

−

−

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.13)

當

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

<

d

))

18

sin(

)

(

)

18

sin(

cos

)

(

),

18

cos(

)

(

)

18

cos(

sin

)

((

3 2 1 3 1 2 3 2 1 3 2 1

φ

φ

φ

φ

φ

φ

+

°

−

−

−

+

+

°

−

−

+

°

−

−

−

−

+

°

−

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.14)

其中

φ

cos

36

cos

1

°

=

R

d

,

d

₂

=

(

x

₂

−

x

₁

)

2

+

(

y

₂

−

y

₁

)

2 ,

d

₃

=

(

x

₃

−

x

₂

)

2

+

(

y

₃

−

y

₂

)

2 .

condition 4: 26.267°<Ф<36°，面(1) →面(2) →面(3) →面(5)

當

0

<

d

≤

d

₁

d

v

=

(

d

sin

φ

,

−

d

cos

φ

)

(2-3.15)

當

d

1

<

d

≤

d

1

+

d

2

d

=

(

d

sin

φ

,

(

d

−

2

d

1

)

cos

φ

)

v

(2-3.16)

當

d

₁

+

d

₂

<

d

≤

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

))

54

sin(

)

(

cos

)

(

),

54

cos(

)

(

sin

)

((

2 1 1 2 2 1 2 1

φ

φ

φ

φ

+

°

−

−

+

−

+

°

−

−

+

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.17)

當

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

<

d

≤

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

+

d

₄

))

54

sin(

)

(

)

54

sin(

cos

)

(

),

54

cos(

)

(

)

54

cos(

sin

)

((

_{1 2 3 1 2 3}

φ

φ

φ

φ

φ

φ

−

°

−

−

−

−

+

°

+

−

−

°

−

−

−

−

+

°

+

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.18)

當

d

₁

+

d

₂

+

d

₃

+

d

₄

<

d

))

18

sin(

)

(

)

54

sin(

)

54

sin(

cos

)

(

),

18

cos(

)

(

)

54

cos(

)

54

cos(

sin

)

((

4 3 2 1 4 3 1 2 4 3 2 1 4 3 2 1

°

−

−

−

−

−

+

−

°

−

+

°

+

−

°

−

−

−

−

−

+

−

°

−

+

°

+

+

=

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

(2-3.19)

其中

φ

cos

36

cos

1

°

=

R

d

,

2 1 2 2 1 2 2

(

x

x

)

(

y

y

)

d

=

−

+

−

,

3 2 2 2 2 3 3

(

x

x

)

(

y

y

)

d

=

−

+

−

,

2 3 4 2 3 4 4

(

x

x

)

(

y

y

)

d

=

−

+

−

上列的

x

₁

~ x

₄

和

y

₁

~ y

₄

是光與五邊形光管各個反射面的交點，參考圖

2-9。

由上面的推導，從公式(2-3.2)~(2-3.19)可以分出對於固定的

φ

改變θ

′

會落在不同的

區段(d1~d4 和>d4)，d 向量可以由公式(2-3.2)~(2-3.19)求得，如此對應不同

φ

和

θ

′

的光能

量落點皆可計算出。

2-3-3 光能量計算

圖

2-10 Lambertian 光源強度和θ 的關係

假設五邊形光導管的折射率為 n，由斯乃爾定律可知θ 與θ

′

的關係為：

1

⋅

sin

θ

=

n

⋅

sin

θ

′

(2-3.20)

由圖

2-10，我們假設在光入射面上，入射光線與 z 軸的夾角為

θ

，Lambertian 光源的強

度和

θ

的關係為：

I

_i

=

I

cos

θ

(2-3.21)

光通量大小為：

d

Φ

=

I

i

d

Ω

⇒

Φ

=

∫

I

i

d

Ω

(2-3.22)

上述

I 為 Lambertian 光源中心處的光源強度大小，Lambertian 光源的特性是光強度隨著

θ 的變化呈

cos

θ

下降，中心光強度強而兩旁弱。光通量大小為光強度對立體角積分，也

就是單位立體角內的光強度加總即為光通量。

圖

2-11 和圖 2-12 顯示單位立體角的計算方法，由圖 2-11 可知：

dA

₌

r

2

sin

θ

d

θ

d

φ

(2-3.23)

圖

2-12 顯示立體角大小為：

θ

d

θ

d

φ

r

dA

d

Ω

=

₂

=

sin

(2-3.24)

圖

2-11 球座標系統面積計算示意圖

圖

2-12 立體角示意圖

若不考慮光導管和空氣界面的能量損耗，在固定

φ

時每隔

Δ

θ

我們發射一條光束線，此

光束線傳遞到光導管出口面我們將之當作一個取樣點，位置如同

2-2-2 所述，由公式

(2-3.21)~(2-3.24)可推導出取樣點的光能量大小應為：

φ

θ

θ

φ

θ

θ

d

d

I

θ

d

d

I

d

I

d

Φ

=

i

Ω

=

i

sin

=

cos

sin

⇒

ΔΦ

=

I

cos

θ

sin

θ

⋅

Δθ

⋅

Δ

φ

(2-3.25)

若將光導管和空氣介面的能量損耗考慮進去，再入口面和出口面各有一個能量損耗的介

面，光導管出口面的能量大小要修正為公式(2-3.25)再乘上兩個穿透係數

(transmittance)，穿透係數的計算在下面將會介紹。

我們知道可見光是電磁波的其中一小段波段，所以光具有電磁波的特性，電磁波可

分為電場垂直入射面的

TE 波(垂直極化)和電場平行入射面的 TM 波(平行極化)，對於

TE 波和 TM 波會有不同的穿透係數，圖 2-13 和圖 2-14 顯示 TE 波與 TM 波在兩個介質

介面的傳導示意[2-1]。

圖

2-13 TE 波部分折射部分反射示意圖

圖

2-14 TM 波部分折射部分反射示意圖

下面為 TE 波和 TM 波穿透係數的推導，其中

t

⊥

和 t 為介質具有線性、等向性和均

勻性的振幅穿透係數(amplitude transmission coefficient)，

T

_⊥

和

T

為介質在不會吸收光

能量的情況下所推導出的穿透係數，我們將入射光當作由一半

TE 波和一半 TM 波所組

成的電磁波，所以入射光的穿透係數可以表示成公式(2-3.30)。

t t i i i i oi ot

n

n

n

E

E

t

θ

θ

θ

cos

cos

cos

2

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

≡

⊥ ⊥

(2-3.26)

2

cos

cos

⊥ ⊥

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

≡

t

n

n

T

i i t t

θ

θ

(2-3.27)

i t t i i i oi ot

n

n

n

E

E

t

θ

θ

θ

cos

cos

cos

2

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

≡

(2-3.28)

2

cos

cos

t

n

n

T

i i t t

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

≡

θ

θ

(2-3.29)

2

T

T

T

=

⊥

+

(2-3.30)

公式(2-3.26)~(2-3.29)中，

n

i

為光入射的介質折射率，

n

t

為光折射的介質折射率，

θ

i

和

θ

_t

分別為入射角和折射角。

由公式(2-3.26)~(2-3.30)我們可以算出在光導管入口面和出口面的穿透係數，我們分

別稱之為

T

_input

和

T

_output

，考慮部分反射部分折射的損耗後公式(2-3.25)應修正為：

ΔΦ

=

T

_input

⋅

T

_output

⋅

I

cos

θ

sin

θ

⋅

Δθ

⋅

Δ

φ

(2-3.31)

2-4 正方形光導管之二維傳遞路徑

在

2-3-2 節中提出了一種計算光線落點的方法，在本節中以正方形光導管為例子，提出

另一種計算光線落點的方法用以簡化算則。

依循 2-3 節的方法，將光線在正方形光管中的傳遞路徑投影到光導管出口面，將光

能量三維傳遞簡化為二維。在當光束線在光導管中傳遞時，遇到邊界時光束線會反射，

上一節利用光反射定律去計算光路徑，在這節利用將光導管對反射面鏡射，而光束路徑

延直線進行不轉折，在圖

2-15 是本方法的示意圖，在正方形 A 中顯示了原本光束線在

光導管中進行路徑於光導管出口面投影，當光線碰到光導管邊緣時會反射，將反射線和

光導管對反射面鏡射可以看到光束線直線進行，而反射線在正方形

A 中的相對位置可對

應直線進行不轉折的光束線在正方形

B 中的位置，值得注意的是座標軸也會跟著鏡射，

在圖中的情況是反射一次座標軸會上下顛倒一次。

圖

2-15 正方形光導管二維能量傳遞光線鏡射示意圖

圖

2-16 正方形光導管三維獳量傳遞圖

參考圖 2-16，以下將以 L/R=5（也就是長寬比為 5）的情況做數學推導。

(a) (b)

圖

2-17 (a) 正方形光導管二維光線路徑分類示意圖

(b) 正方形光導管鏡射後的能量強度分布灰階圖

光線隨著 Φ 的變化所走的路徑規則會跟著改變，在圖 2-17(a)以半徑為

L

tan

θ

_max

′ 畫

45°圓弧，以重複鏡射的正方形將圓弧所掃過的面積全部涵蓋，圓弧的涵蓋範圍即為

0°<Φ<45°和 0°<

θ

′ <

θ

_max

′ 所有光束線在光導管的分布情況，在固定 Φ 下慢慢增加

θ

′ 光會

分布在不同的正方形內，依照增加

θ

′ 時光經過不同正方形的順序可以將光線路徑規則分

為四類，後面將會詳細說明。而光線的能量大小可以參考

2-3-3 節，圖 2-17(b)顯示了能

量光和圓弧半徑的關係。此處因為正方形的對稱性所以只討論推導

0°<Φ<45°的光線分

布。

隨著 Φ 的增加，光線路徑會依循不同的規則，圖 2-18(a) ~圖 2-18(a)將光行進路徑

分為四類：

(a) 0°<Ф<11.31° (b) 11.31°<Ф<18.43° (c) 18.43°<Ф<31.63° (d)31.63°<Ф<45°

圖

2-18 正方形光導管光線路徑分類

圖

2-19 邊界條件示意圖

以下為依不同路徑規則所推導的光線落點數學式，P 為特定 Φ 和

θ

′ 的光束線對於正

方形

A 中心的向量，2w 為正方形邊長，A~H 為各個正方形中心的座標，d1~d4 為邊界

條件如圖

2-19 所示。

)

3Rcos45

,

Rsin45

(

F

)

Rcos45

,

Rsin45

(

E

)

5Rcos45

,

(Rsin45

D

)

3Rcos45

,

(Rsin45

C

)

Rcos45

,

(Rsin45

B

)

Rcos45

,

(Rsin45

A

Rsin45

w

)

cos

θ

Ltan

Rsin45

,

sin

θ

Ltan

(Rcos45

P

°

−

°

−

=

°

−

°

−

=

°

−

°

=

°

−

°

=

°

−

°

=

°

°

=

°

=

⋅

′

−

°

⋅

′

−

°

=

φ

φ

)

3Rcos45

,

3Rsin45

(

H

)

5Rcos45

,

Rsin45

(

G

°

−

°

−

=

°

−

°

−

=

condition 1: 0°<

Ф

<11.31

°

，正方形

A →B→C →D→G

當

0

<

d

≤

d

₁

PA

d

v

=

當

d

₁

<

d

≤

d

₂

1)

(1,−

⋅

= PB

d

v

當

d

₂

<

d

≤

d

₃

PC

d

v

=

當

d

₃

<

d

≤

d

₄

)

1

,

1

(

−

⋅

= PD

d

v

當

d

₃

<

d

≤

d

₄

)

1

,

1

(

−

−

⋅

= PG

d

v

其中

φ

cos

45

cos

1

°

=

R

d

,

d

₂

= R

3

cos

45

°

(

1

+

tan

2

φ

)

,

d

₃

= R

5

cos

45

°

(

1

+

tan

2

φ

)

,

)

cot

1

(

45

cos

2 4

= R

°

+

φ

d

condition 2: 11.31°<

Ф

<18.43

°

，正方形

A →B→C →F→G

當

0

<

d

≤

d

1

PA

d

v

=

當

d

₁

<

d

≤

d

₂

)

1

,

1

(

−

⋅

= PB

d

v

當

d

<

d

≤

d

PC

d

v

=

當

d

₃

<

d

≤

d

₄

)

1

,

1

(−

⋅

= PF

d

v

當

d

₃

<

d

≤

d

₄

)

1

,

1

(

−

−

⋅

= PG

d

v

其中

φ

cos

45

cos

1

°

=

R

d

)

tan

1

(

45

cos

3

2 2

= R

°

+

φ

d

)

cot

1

(

45

cos

2 3

= R

°

+

φ

d

)

tan

1

(

45

cos

5

2 4

= R

°

+

φ

d

condition 3: 18.43°<

Ф

<31.63

°

，正方形

A →B→E →F→G

當

0

<

d

≤

d

₁

PA

d

v

=

當

d

₁

<

d

≤

d

₂

PB

d

v

=

當

d

₂

<

d

≤

d

₃

)

1

,

1

(

−

−

⋅

= PE

d

v

當

d

₃

<

d

≤

d

₄

)

1

,

1

(−

⋅

= PF

d

v

當

d

₃

<

d

≤

d

₄

)

1

,

1

(

−

−

⋅

= PG

d

v

其中

φ

cos

45

cos

1

°

=

R

d

)

cot

1

(

45

cos

2 2

= R

°

+

φ

d

)

tan

1

(

45

cos

3

2 3

= R

°

+

φ

d

)

tan

1

(

45

cos

5

2 4

= R

°

+

φ

d

condition 4: 31.63°<Ф<45°，正方形 A →B→E →F→H

當

0

<

d

≤

d

₁

PA

d

v

=

當

d

₁

<

d

≤

d

₂

)

1

,

1

(

−

⋅

= PB

d

v

當

d

₂

<

d

≤

d

₃

)

1

,

1

(

−

−

⋅

= PE

d

v

當

d

₃

<

d

≤

d

₄

)

1

,

1

(−

⋅

= PF

d

v

當

d

₃

<

d

≤

d

₄

PH

d

v

=

其中

φ

cos

45

cos

1

°

=

R

d

)

cot

1

(

45

cos

2 2

= R

°

+

φ

d

)

tan

1

(

45

cos

3

2 3

= R

°

+

φ

d

)

cot

1

(

45

cos

3

2 4

= R

°

+

φ

d

這個方法雖然比較簡化，但是五邊形不適用此法，其原因乃是五邊形無法成功地鏡

射而不互相重疊，而三角形和六邊形是可以使用此方法求光導管落點的，如圖

2-20 所

示。

圖

2-20 三角形、五邊形和六邊形的展開

2-5 小結

在本章提出推導多邊形光導管在出口面的能量分布，希望可以將多邊形光導管的能量分

佈以數學式表達之，在前面的推導中將光導管的長寬比設定為

5，而光導管為折射率 1.49

的塑膠材質，分別以五邊形和正方型光導管為例提出了兩個計算方法，目的希望能夠簡

化算則，並且證明五邊形光導管能量分布是不均勻的，而正方形是均勻的，在第三章將

會列出三角形到六邊形還有圓形長直光導管的能量分布計算結果，這個結果將與模擬和

實驗結果相對照。

第三章 計算、模擬與實驗結果

本章將第二章的理論推導數學式用數學軟體 MATLAB 來將數學式計算出結果，並將結

果用 excel 畫出統計分析圖，並且用 TracePro 做光束模擬，將模擬出的 RGB 影像放進

MATLAB 做影像處理取出模擬圖片中的強度大小，最後實際做出與模擬和計算尺寸還

有符合模擬條件的光源做實驗，將實驗所得的影像用數位相機拍下並且用 MATLAB 做

影像處理，最後將計算、模擬與實驗結果相比較，並且就一些差異和出乎意料之外的現

象做討論。

本章目錄：

3-1. 五邊形光導管能量分布之 MATLAB 計算方法與結果

3-2. 模擬結果

3-3. 實驗結果

3-3-1 實驗介紹

3-3-2 實驗結果分析

3-4. 計算、實驗與模擬結果之比較

3-1 五邊形光導管能量分布之 MATLAB 計算方法與結果

圖 3-1 計算面積

position (mm) 光能量 (W) irradiance (W/mm^2) area (mm^2) position (mm) 光能量 (W) irradiance (W/mm^2) area (mm^2) position (mm) 光能量 (W) irradiance (W/mm^2) area (mm^2) 0.25 79.35843 101.0421 0.7854 3.75 211.0909 17.91791 11.781 7.25 426.7585 18.73638 22.777 0.75 101.1201 42.91659 2.3562 4.25 219.6104 16.44775 13.352 7.75 390.1002 16.02252 24.347 1.25 121.6108 30.96786 3.927 4.75 231.2853 15.49858 14.923 8.25 295.5589 15.75558 18.759 1.75 143.26 26.05769 5.4978 5.25 242.1267 14.68057 16.493 8.75 169.0554 16.13432 10.478 2.25 154.7147 21.8876 7.0686 5.75 253.5248 14.03481 18.064 9.25 89.86417 15.81197 5.6833 2.75 168.8534 19.54457 8.6394 6.25 297.3176 15.14222 19.635 9.75 27.85149 15.62496 1.7825 3.25 266.79 26.13026 10.21 6.75 325.3774 15.34365 21.206

表 3-1 計算結果

五邊形長直光導管的能量分布

250

300

350

400

450

500

550

0

2

4

6

8

10

12

R

ir

ra

d

ia

n

ce

loss

lossless

圖 3-2 五邊形長直光導管的照度分佈計算結果

這節以五邊形光導管為例，由第二章推導數學式算出能量大小，將能量轉換為照

度，而照度(irradiance)=能量(power)/面積(area)，用數學式計算的能量相加除以面積就可

以求得照度。圖 3-1 即計照度所需要用到的面積，此面積即是五邊形和圓環交集的面積，

在這裡將五邊形的能量分布當成圓對稱所以以這種方式計算，從表一可以看到五邊形光

管照度的計算結果。圖 3-2 為計算出的五邊形光導管照度分布圖，其中分為兩條曲線，

一條是有計算入口面和出口面的能量損耗，另一條則沒有，這裡是為了看出能量的損耗

對出口面的能量分布有什麼影響，兩者之間分布趨勢差異不大，都可以看出中央能量集

中而中段減弱之後又變強。以上的計算是用 MATLAB，每 0.5 度取一點，Φ 從 0 度到

36 度而 θ 由 0 度到 39 度，共有約兩萬個取樣點，增加取樣點各數可以增加計算的精確

度。

圖 3-3~圖 3-7 是三角形、正方形、五邊形、六邊形和圓形長直光導管的計算結果，

假設外接圓半徑皆為 2cm，長度皆為 10cm，也就是固定長寬比為 5 時對各種幾何形狀

的光導管作計算，計算方法如同上一章，這裡的分析都是將各個光導管的能量分布當成

圓對稱，能量分為 20 個區間，故每個區間的能量為每個區域範圍內個別的平均值。

三角形長直光導管的能量分布

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

2

4

6

8

10

d

nor

m

al

iz

e

d

ir

radi

ance

圖 3-3 三角形長直光導管的照度分佈計算結果

正方形長直光導計算結果

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

2

4

6

8

10

d

n

o

rm

alize

d

irradia

n

ce

圖 3-4 正方形長直光導管的照度分佈計算結果

五邊形長直光導管計算結果

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

2

4

6

8

10

12

d

nor

m

al

iz

e

d

ir

radi

ance

圖 3-5 五邊形長直光導管的照度分佈計算結果