2−1 點、直線、圓之間的位置關係
本節課程學習重點： ◎能理解點、直線與圓的位置關係。 ◎能理解切線、公切線、弦心距的意義及其性質。 ◎能理解圓外切四邊形的兩組對邊和相等。 ◎能理解兩圓位置關係與連心線段長的關係。 ◎知道過圓外一點的兩條切線段等長。 ◎能利用連心線段長與兩圓半徑求公切線段長。 一、點與圓的位置關係： ◎圓的定義：在平面上，與一固定點距離相等的所有點組成的圖形稱為圓， 而此固定點稱為圓心，相等的距離稱為半徑。 【觀念釐清】圓將其所在平面分成圓的內部(包含圓心)與圓周，以及圓的外部。 ◎點與圓的位置關係： 如下表，在平面上，任一點 P 與圓 O 的位置關係，有下列三種情形(設圓 O 半徑為 r)： 點與圓的位置關係 點在圓內 點在圓上 點在圓外 圖示 O r P O r P O r P 點到圓心距離與半徑的比較 OP ＜r OP ＝r OP ＞r 練習1：根據下圖，判斷各點與圓O的位置關係： (1)在圓外的點是： ；在圓上的點是： ；在圓內的點是： 。 (2)若此圓的半徑為 r，分別作 AO 、 BO 、 CO 、 DO 、 EO 五條線段，試比較這五條線段 與 r 的大小關係。(在空格中填入＞、＜或＝) AO r； BO r； CO r； DO r； EO r。 A E D O C B 二、直線與圓的位置關係： ◎點到直線的距離：(最短距離) 線外一點到某直線的垂直線段長，稱為該點到直線的距離。 如右圖， OP 為點 O 到直線 L 的距離，其中 P 點是 O 到 L 的垂足， 若 Q 是 L 上異於 P 的任意一點，則 OQ ＞ OP 。 圓心 內部 外部 L P Q O◎割線與切線： 直線與圓的位置關係 直線 L 與圓 O 不相交 直線 L 為圓 O 的割線 直線 L 為圓 O 的切線 交點個數 0 2 1 圖示 O P L
r
O P L A Br
O P Lr
直線與圓心的距離 OP ＞r OP ＜r OP ＝r 【說明】在平面上，一直線與一圓的位置關係，有下列三種情形： (1)不相交：如上圖左，直線 L 與圓 O 不相交，即 L 上所有的點都在圓 O 外。 (2)相交於兩點：如上圖中，直線 L 與圓 O 相交於 A、B 兩點。此時稱直線 L 為圓 O 的割線。 (3)相交於一點：如上圖右，直線 L 與圓 O 只交於一點 P，即直線 L 與圓 O 相切於 P 點， 此時稱直線 L 為圓 O 的切線，交點 P 為切點。 在平面上，直線 L 與圓 O(半徑 r)的關係，有下列三種情形： (1)直線 L 與圓 O 不相交：如上圖左， OP 為圓心 O 到 L 的距離，其中 P 點為垂足。 因為 P 點在圓 O 外，所以 OP ＞r。 (2)直線 L 與圓 O 相交於兩點：如上圖中，L 與圓 O 相交於 A、B 兩點。 因為 P 點是 O 點到 L 的垂足，所以 OP ＜r。 (3)直線 L 與圓 O 相切於 P 點：如上圖右，L 為圓 O 的切線，P 為切點，由於 P 在圓 O 上， 所以 OP ＝r。又因為 L 上除了 P 點，其餘的點都在圓 O 外， 可知由圓心 O 到 L 上其他點的距離都比 r 大。也就是說， 由圓心 O 到 L 的距離就是 OP ，所以 OP ⊥L。 【觀念釐清】(1)圓心到切線的距離等於圓的半徑，圓心與切點的連線必垂直過此切點的切線。 (2)通過圓 O 上一點 P，且與 OP 垂直的直線，即為此圓的切線。 【說明】如右圖， OP 為圓 O 的半徑，L⊥ OP 。若 Q 為 L 上異於 P 的任意一點， 連接 OQ ，則在直角△OPQ 中， OQ 為斜邊，即 OQ ＞ OP 。 由於 OP 是圓 O 的半徑，又 OQ ＞ OP ，即 Q 在圓外。 因為 L 上除了 P 點，其餘的點都在圓 O 外，所以 L 和圓 O 僅相交於一點 P， 即直線 L 為圓 O 的切線，交點 P 為切點。 練習2：已知圓 O 的半徑 OA ＝r，且直線 L⊥ OA 於 A 點。 依據右圖，在下列各空格中填入適當的答案。 (1)直線 L 與圓 O 有 個交點。 直線 M 與圓 O 有 個交點。 直線 N 與圓 O 有 個交點。 (2)哪一條直線是圓 O 的切線？ 。 哪一條直線是圓 O 的割線？ 。 (3)設圓心 O 到直線 M、N 的距離分別為 r1、r2， 則 r、r1、r2的大小順序為 ＞ ＞ 。 (4)完成下表。 O L Q P A L M N O直線與圓的位置關係 直線與圓不相交 直線是圓的切線 直線是圓的割線 直線與圓的交點數 直線與圓心的距離 (填大於、小於或等於半徑) 練習3：如下圖，A是圓O上一點，試過A作圓O的切線。 O A 練習4：已知圓 O 的直徑為 15 公分，而圓心 O 到四條直線 L、M、N、H 的距離分別為 15 公分、 10 公分、7.5 公分、5 公分，那麼此四條直線分別和圓 O 有幾個交點？哪幾條是切線？ 哪幾條是割線？ (Hint：先確定半徑) 練習5：直線 L 與圓 O 恰好相交於一點 P，已知圓 O 的直徑為 10 公分，求圓心 O 到 L 的距離為多少 公分？ 練習6：如右圖，直線 AB 為圓 O 的切線，切點為 A， 若圓 O 半徑為 5、 OB ＝13，則切線段長 AB 為多少？ 練習7：如右圖，直線 AC 切圓 O 於 A 點， AC ＝4、 OC ＝5， 求圓 O 的半徑長為多少？ ◎圓的切線段長性質： 設 P 為圓 O 外一點， PA 、 PB 分別切圓 O 於 A、B 兩點，則 (1) PA ＝ PB 。(2) PO 平分∠APB。(3) PO 垂直平分 AB 。 A B O A C O P A B O
【說明】(1)如右圖，P為圓O外一點，直線PA 與直線PB為圓O的兩條切線，A、B為切點。 連接 AO 、 BO 與 PO ，在△POA與△POB中， ∵
⎩⎪
⎨
⎪⎧
AO ＝ BO ( 皆為圓 O 的半徑) ∠PAO＝∠PBO＝90° PO ＝ PO (共用邊) ∴△POA≅△POB(RHS全等)， 可得 PA ＝ PB ，故P點到圓O的兩條切線段 PA 、 PB 會等長。 (2)由(1)可知∠APO＝∠BPO(對應角相等)，故 → PO 為∠APB的角平分線。 (3)連接 AB ，交 OP 於M點，如右圖， ∵△PAB為等腰三角形，又 → PO 為角平分線， 故 PO ⊥ AB 且 AM ＝ BM 。 (等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊) 【觀念釐清】若直角三角形的三個內角為30°、60°、90°，則其對應的邊長比為 1： 3 ：2。 練習8：如右圖，P 為圓 O 外一點，直線 PM 與直線 PN 為圓 O 的切線，M、N 為切點。 已知圓 O 半徑為 5 公分、∠MOP＝60°。求 (1)四邊形 OMPN 的周長。 (2)∠MPN 的度數。 (3) MN 的長度。 練習9：如右圖，P 為圓 O 外一點，直線 PM 與直線 PN 為圓 O 的切線，M、N 為切點。 若圓 O 半徑為 9 公分， PM ＝12 公分，則 (1) OP ＝？ (2) MN ＝？ ◎圓外切四邊形：如右圖，若四邊形 ABCD 各邊分別與圓相切於 E、F、G、H 四點，此時這個四邊形 稱為圓外切四邊形。 ◎圓外切四邊形的性質：若一個四邊形為圓外切四邊形，則此四邊形兩組對邊的和會相等。 如右圖，圓外切四邊形 ABCD 中， AB ＋ CD ＝ AD ＋ BC 。 【說明】利用切線段等長的性質，可知 AB ＋ CD ＝( AE ＋ BE )＋( CG ＋ DG ) ＝( AH ＋ BF )＋( CF ＋ DH ) ＝( AH ＋ DH )＋( BF ＋ CF )＝ AD ＋ BC 。 P A B O P M A B O O P M N O P M N A H D E B F C G練習10：如右圖，四邊形 ABCD 為等腰梯形，其中 AD // BC ，且各邊分別與 圓 O 相切於 E、F、G、H 四點，若 AB ＝13 公分、圓 O 半徑為 6 公分， 則等腰梯形 ABCD 的周長、面積分別為多少？ 練習11：如右圖，四邊形 ABCD 各邊分別與圓 O 相切於 E、F、G、H 四點， 若 AB ＝10， CD ＝9，則四邊形 ABCD 的周長為多少？ ◎弦：連接圓上任意兩點所得到的線段稱為弦。 ◎弦的性質：(1)過圓心且與弦垂直的直線，必平分此弦。 (2)過圓心且平分弦的直線，必垂直此弦。 (3)一弦的垂直平分線必通過其所在圓的圓心。 【說明】(1)如右圖， AB 是圓O上的一弦，直線L通過圓心，且垂直 AB 於M點。 連接 OA 、 OB ，在△OMA和△OMB中， ∵
⎩⎪
⎨
⎪⎧
∠OMA＝∠OMB ( L⊥ AB ) OA ＝ OB (圓 O 半徑) OM＝ OM (共用邊) ∴△OMA≅△OMB (RHS全等)， 所以 MA ＝ MB 。 (2)如右圖， AB 是圓O上的一弦，直線L通過圓心及 AB 的中點M。 在△OMA和△OMB中， ∵⎩⎪
⎨
⎪⎧
MA ＝ MB (L 通過 AB 的中點 M) OA ＝ OB (圓 O 半徑) OM ＝ OM (共用邊) ∴△OMA≅△OMB(SSS全等)，可知∠OMA＝∠OMB， 又∠OMA＋∠OMB＝180度，得∠OMA＝∠OMB＝90°，所以L⊥ AB 。 (3)如右圖，因為圓心到弦 AB 的兩個端點A、B等距離(同半徑)， 利用垂直平分線的性質，可知圓心O會在弦 AB 的垂直平分線上， 即弦 AB 的垂直平分線一定通過圓心O。 【觀念釐清】垂直平分線的性質： 一線段的垂直平分線上任一點到此線段兩端點的距離相等。 反之，若一點到某線段兩端點的距離相等，則此點會在該線段的垂直平分線上。 G E A H D B F C O A H D E B F C G O L A B O M O B M A L L A B O M練習12：右圖為某一個圓的部分圓弧，找出此圓的圓心。 ◎弦心距：圓心到弦的距離稱為此弦的弦心距。 如右圖， AB 為圓 O 上一弦， OE 為弦 AB 的弦心距， 此時 OE 垂直平分 AB 。 練習13：如右圖， AB 是圓 O 上一弦， OM 為其弦心距。 已知 OM ＝5 公分、圓 O 的半徑為 13 公分，求 (1) AM 的長。 (2) AB 的長。 練習14：如右圖， AB 是圓 O 上的一弦， ON 為其弦心距。 已知 AB ＝16 公分、圓 O 的半徑為 10 公分，求 (1) ON 的長。 (2)△AON 的面積。 練習15：如右圖， AB 、 CD 分別為圓 O 的兩弦， OE 、 OF 分別為 AB 、 CD 的弦心距，若 CD ＝12、 OF ＝8、 OE ＝5， 則 AB 的長度為何？ 練習16：如右圖， OM 、 ON 分別為弦 AB 、弦 CD 的弦心距， 且 O、M、N 三點共線，已知 OM ＝7、 AB ＝48、 CD ＝30， 求 MN 的長。 O E B A 弦心距 A B M O N A B O O F E A B D C O N M A B C D
◎弦心距的性質：在同一圓中， (1)若兩弦不等長，則愈長的弦，其弦心距愈小；愈短的弦，其弦心距愈大。 (2)若兩弦等長，則其弦心距相等；若兩弦的弦心距相等，則此兩弦等長。 【說明】(1)如下圖左， OM 為 AB 的弦心距， ON 為 CD 的弦心距，直觀可知： 弦愈長，則弦心距愈小；弦愈短，則弦心距愈大。 O N M A B C D O m r n (2)若一圓半徑為 r，其中一弦長為 m，而其弦心距為 n，如上圖右，則在直角三角形中， 由畢氏定理可知 r、m、n 三者的關係可表示為 r2＝n2＋(m2)2。 因為圓的半徑 r 是固定的，因此由上述的數量關係，可知： 若兩弦等長，則其弦心距相等；反之，若兩弦的弦心距相等，則此兩弦也必等長。 【觀念釐清】如果是在半徑相等的兩圓中討論兩弦的弦心距與弦長的關係，可視為在同一圓上討論 (因半徑相等)，故上述性質依然成立。 三、兩圓的位置關係：(以兩圓圓心的距離(連心線段長)變化情形，探討兩圓的位置關係。) ◎連心線：連接兩圓圓心的直線稱為連心線，如下圖，直線 L 是連心線， O1O2 稱為連心線段長。 ◎連心線段長與兩圓半徑的關係：設 r1是圓 O1的半徑，r2是圓 O2的半徑，且 r1＞r2。 (1)外離：如下圖，圓 O1與圓 O2沒有交點，且兩圓都位在彼此的外部，像這樣兩圓的位置關係稱為 外離，此時連心線段長 O1O2 ＞r1＋r2。 L r2 r1 O2 O1 (2)外切：當兩圓圓心 O1、O2沿著 L 繼續接近，且形成如下圖的位置關係時，兩圓交於一點 P， 且 P 在連心線上，像這樣兩圓的位置關係稱為外切，交點 P 稱為切點，此時連心線段長 O1O2 ＝r1＋r2。 L r2 r1 O2 O1 (3)相交於兩點：當兩圓如下圖時，兩圓會交於兩點，從圖中發現 P、O1、O2三點可形成三角形， 且 PO1 ＝r1、 PO2 ＝r2，根據三角形的邊長關係，得到 r1－r2＜ O1O2 ＜r1＋r2。 P Q L r2 r1 O2 O1
(4)內切：當兩圓形成如下圖的位置關係時，兩圓交於一點 P，且 P 在連心線上，像這樣兩圓的位置 關係稱為內切，交點 P 稱為切點，此時連心線段長 O1O2 ＝r1－r2。 L P r2 r1 O2 O1 (5)內離：當兩圓形成如下圖的位置關係時，兩圓不相交，像這樣兩圓的位置關係稱為內離，此時 連心線段長 O1O2 ＜r1－r2。 L r2 r1 O2 O1 當兩圓形成如下圖的位置關係時，兩圓的圓心在同一點，像這樣的兩圓我們稱為同心圓， 而同心圓也是內離的一種。 r2 r1 O2 O1 L 【觀念釐清】兩等圓仍會有外離、外切及相交於兩點，但內切及內離則會不存在，而改為重疊。 練習17：圓 O1與圓 O2的半徑分別為10、5，當連心線段長 O1O2 為下列各長度時，在空格中填入 適當的兩圓位置關係的名稱。 O1O2 ＝3 O1O2 ＝5 O1O2 ＝10 O1O2 ＝15 O1O2 ＝20 練習18：如右圖，圓 O2與圓 O3外切，且兩圓分別與圓 O1內切， 已知圓 O1的半徑為13、圓 O3的半徑為4、 O1O2 ＝6，求 (1)圓 O2的半徑。 (2)△O1O2O3的周長。 O2 O1 O3
練習19：已知圓 O1半徑大於圓 O2半徑，且兩圓外切時， O1O2 ＝20，兩圓內切時， O1O2 ＝6， 試求兩圓的半徑分別為多少？ ◎公切線：(1)當直線與圓恰交於一點時，則此直線為圓的切線。 (2)若某直線同時是兩圓的切線，則稱它為兩圓的公切線。 【說明】如下圖，直線 L、M、H 是圓 O1的切線，直線 L、M、N 是圓 O2的切線，所以直線 L、M 是 圓 O1與圓 O2的公切線，但直線 N、H 不是圓 O1與圓 O2的公切線。 M N L H O2 O1 依照兩圓的位置關係，公切線又可分為外公切線與內公切線。 如下圖，圓 O1與圓 O2均在公切線 M 的同一側，M 就稱為圓 O1與圓 O2的外公切線。 同理，直線 N 也是圓 O1與圓 O2的外公切線。 M N O2 O1 如下圖，圓 O1與圓 O2分別在公切線 L 的兩側，L 就稱為圓 O1與圓 O2的內公切線。 同理，直線 K 也是圓 O1與圓 O2的內公切線。 L K O2 O1 ◎整理：(兩圓的位置與其內、外公切線的數量關係) 兩圓的位置關係 圖示 外公切線的數目 內公切線的數目 外離 O1 L1 L2 M1 M2 O2 2 條 2 條
外切 L1 L2 M O1 O2 2 條 1 條 相交於兩點 L1 L2 O1 O2 2 條 0 條 內切 L O2 O1 1 條 0 條 內離 O2 O1 0 條 0 條 ◎兩圓的位置關係與公切線數量： 兩圓位置 關係名稱 兩圓相交 情形 圖示 公切線 數目 連心線段長與 r1、r2 (r1＞r2)的關係 外離 不相交 O1 L1 L2 M1 M2 O2 4 O1O2 ＞r1＋r2 外切 交於一點 L1 L2 M O1 O2 3 O1O2 ＝r1＋r2 相交於兩點 交於兩點 L1 L2 O1 O2 2 r1－r2＜ O1O2 ＜r1＋r2 內切 交於一點 L O2 O1 1 O1O2 ＝r1－r2 內離 不相交 O2 O1 0 O1O2 ＜r1－r2
◎外公切線段長：如右圖，圓 O1、圓 O2的半徑分別為 r1、r2， 連心線段長為 O1O2 ，A、B 分別為外公切線 切兩圓的切點，則外公切線段長 AB ＝ O1O2 2 －(r1－r2) 2 。 ◎內公切線段長：如右圖，圓 O1、圓 O2的半徑分別為 r1、r2， 連心線段長為 O1O2 ，A、B 分別為內公切線 切兩圓的切點，則內公切線段長 AB ＝ O1O2 2－(r1＋r2)2。 練習20：如右圖，圓 O1的半徑為15 公分、圓 O2的半徑為8 公分， 且 O1O2 ＝25 公分，A、B 分別為外公切線切兩圓的切點， 則 AB 為多少？ 練習21：如右圖，圓 O1的半徑為18 公分、圓 O2的半徑為10 公分， A、B 分別為外公切線切兩圓的切點，且 AB ＝15 公分， 則 O1O2 為多少？ 【觀念釐清】若有兩外公切線段，則必等長。同理，兩內公切線段也等長。 【說明】如右圖，直線 AB、直線 CD 分別為圓 O1與圓 O2的外公切線， A、B、C、D 均為切點，則 AB ＝ O1O2 2－(兩圓半徑差)2＝ CD 。 即兩外公切線段等長。同理可證兩內公切線段也等長。 練習22：如右圖，若圓 O1的半徑為9 公分、圓 O2的半徑為3 公分， 且 O1O2 ＝15 公分，A、B 分別為內公切線切兩圓的切點， 則 AB 為多少？ B A O2 O1 O1 A B O2 O1 A C B D O2 O1 O2 A B B A O2 O1 C O1 O2 A B C
練習23：如右圖，若圓 O1、圓 O2的半徑分別為9 公分、3 公分， A、B 分別為內公切線切兩圓的切點，且 AB ＝5 公分， 則 O1O2 為多少？ 自我評量 1. 若 A 點為圓 O 外一點，B 點在圓 O 上，C 點在圓 O 內，則此三點與圓心 O 的距離 AO 、 BO 、 CO ， 由大排到小為 ＞ ＞ 。 2. 如右圖， AB 與 AC 分別切圓 O 於 B 點與 C 點， 試說明∠BAC 與∠BOC 互補。 3. 如右圖，直線 PQ 為圓 O 的切線，Q 為切點，圓 O 半徑為 6 公分， 若 OP ＝10 公分，則切線段長 PQ ＝ 公分。 4. 如右圖，若一圓的外切四邊形，其某一組鄰邊等長， 試說明此四邊形為箏形。 5. 如右圖， AB 為圓 O 之一弦， OP 為 AB 之弦心距，若 AB ＝16、圓 O 半徑 OB ＝10，則弦心距 OP 為多少？ O1 B O2 A O C B A P O Q O B A P A D B C
6. 圓 O 與圓 Q 的半徑分別為 9、4，則當連心線段長 OQ 為下列各長度時，在空格中填入適當的兩圓 位置關係的名稱。 OQ ＝15 OQ ＝4 OQ ＝5 OQ ＝13 OQ ＝8 7. 如右圖，直線 AB、直線 CD 分別為圓 O1、圓 O2的公切線， 其中 A、B、C、D 為切點，已知圓 O1、圓 O2的半徑分別 為11 公分和 3 公分，且 O1O2 ＝17 公分，求 (1) AB 的長度。 (2) CD 的長度。 習作 1. 若圓 O 外一點 A 到圓心 O 的距離 OA ＝10，且圓 O 內一點 B 到圓心 O 的距離 OB ＝6，則圓 O 半徑 長 r 的可能範圍為 。 2. 如右圖， PA 、 PB 均與圓 O 相切，∠P 為直角， AB 通過圓心 O， 且 PA ＝6， PB ＝9，則圓 O 的半徑為多少？
(Hint：△AOP 面積＋△BOP 面積＝△ABP 面積)
3. 如右圖，圓 O 的半徑為 10 公分，P 為圓 O 外一點， PA 與 PB 分別切圓 O 於 A、B 兩點，且 PA ＝24 公分， 則 AB 的長度為何？ C D O1 B A O2 A B P O P A B O C
4. 如右圖，四邊形 ABCD 為圓 O 的圓外切四邊形，若¯ AB ＝12 公分、 ¯ CD ＝10 公分，則四邊形 ABCD 的周長為 公分。 5. 如右圖，¯ AB 、 ¯ CD 為圓 O 之兩弦，M、N 分別為兩弦中點。 若¯ AB // ¯ CD ，¯ OM ＝¯ MN ，且¯ AB ＝18、 ¯ CD ＝12，則 (1)¯ OM ＝ 。 (2)圓 O 面積＝ 。 6. 如右圖， AD 、 BC 為圓 O 之兩弦， AD ＝6、 BC ＝8， OM 、 ON 分別為兩弦之弦心距，若 ON ＝3，則 (1)圓 O 半徑長為多少？ (2) AD 之弦心距 OM 的長為多少？ 7. 若兩圓共用一個圓心 O，則稱此兩圓為同心圓。右圖為兩同心圓， 其中 AB 為大圓的一弦且切小圓於 C 點，若大圓半徑為 10， AB 為 16，則 (1)小圓半徑為多少？ (2)大圓與小圓之間的環形區域面積為多少？ 8. 設兩圓半徑分別為 4、6，若兩圓的連心線段長如下表所示，在空格內填入對應的兩圓位置關係及 交點個數。 連心線段長 1 2 3 8 10 12 位置關係 交點個數 A B C D O M N A C B O A D N M B C O A B C D O
B A D M L O1 O2 C C D F A B E O C B A Q O 9. 如右圖，圓 B 與圓 C 外切，並分別與大圓 A 內切， 其中圓 A 的半徑為 10，圓 C 的半徑為 2， AB ＝6，則 (1)圓 B 的半徑為多少？ (2)△ABC 的周長為多少？ 10. 如右圖，已知圓 O1、圓 O2外切於 C 點，其公切線 L 分別切 兩圓於 A、B 兩點，過 C 的切線 M 交 L 於 D 點。已知圓 O1的 半徑為10 公分，圓 O2的半徑為6 公分，求 (1) AB 的長度。 (2) CD 的長度。 11. 如右圖所示，圓 O 分別與△ABC 的三邊相切於 D、E、F 三點， 已知△ABC 的三邊長分別為 AB ＝4 公分， BC ＝9 公分， CA ＝7 公分，則 (1) CF ＝ 公分。 (2) BE ＝ 公分。 (3) AD ＝ 公分。 12. 如右圖，圓 O 及圓 Q 兩等圓外切並分別與直角三角形的其中兩邊相切， 若∠C 為直角， AC ＝8， BC ＝15，且假設圓半徑為 r，則 (1)分別以 r 表示△AOB、△BOC、△COA 的面積。 (2) r 之值為多少？ B A C
類題補充 1. 若圓 O 的半徑為 10 公分，P 為圓 O 外一點， PA 與 PB 分別切圓 O 於 A、B 兩點，且 AB ＝16 公分， 則 PA ＝？ 2. 一圓中互相平行的兩弦，其長都是 18 公分，若這兩弦相距 24 公分，則此圓的半徑為多少公分？ 3. 如圖，在圓 O 中，¯ EF 為圓 O 的直徑，ABCD 是一個正方形， 已知¯ OE ＝5 公分，則正方形 ABCD 的面積為多少平方公分？ 4. 如圖，一個大半圓，直徑¯ AC ＝12，另有兩個相等的半圓， 直徑分別是¯ AB 、¯ BC ，一個小圓 O 與大半圓內切，與兩個 小半圓外切，則圓 O 的半徑長為何？ 5. 若 A 在圓 O 外， ¯ OA ＝13 公分，圓 O 半徑 5 公分，則 A 到圓 O 上的點之最短距離為 公分， A 到圓 O 上的點之最長距離為 公分。 6. 下圖為一拱橋的側面圖，其拱橋下緣呈一弧形，若洞頂為橋洞的最高點，且知當洞頂至水面距離 為90 公分時，量得洞內水面寬為 240 公分，後因久旱不雨，水面下降，使得拱橋下緣呈現半圓， 這時，橋洞內的水面寬度變為 公分。 拱橋 B C E A O D F O C A B
7. 如下圖，正方形 ABCD 的邊長為 8，¯ AD 為圓 O 的弦，¯ BC 與圓 O 相切，圓 P 與弦¯ AD 、弧 AD 均相切，︵ 則小圓 P 的面積為 。 A D O P B C 8. 如右圖，半徑分別為 4cm、6cm 的兩外切圓，兩圓相切於 E 點，¯ AB 、¯ CD 為 外公切線，A、B、C、D 為切點，則¯ AD ＋¯ BC 為 cm。 9. 如右圖，O 為圓心，¯ AB 為直徑，¯ CA 與¯ CD 分別切圓 O 於 A、D， 若¯ AB ＝38，△ODE 周長為 76，則¯ CD ＝ ，△ACE 之周長為 。 10. 如下圖，等半徑三圓兩兩相切，且半徑為 4，則灰黑色區域的面積為 。 11. 如下圖，已知¯ AC ＝5cm、¯ BC ＝12cm，分別以△ABC 各邊為直徑的三個半圓圍成的兩個新月形 (灰黑色區域)的面積和為 cm2。 A B C 12. 如右圖，四邊形 ABCD 中，圓 O 為內切圓，若¯ AD ＝5，¯ AB ＝10，¯ BC ＝12， 則△AOB 面積與△COD 面積的比值為何？ A D E B C A D E B C B C A D O
13. 如右圖，某食品公司在半徑 20 公分的圓形禮盒內，設計裝置四個大小相同的 月餅，為了讓月餅的半徑為最大，該月餅的半徑為多少公分？ 14. 如圖，將一半徑為 9 的半圓摺疊，使 AB 的中點 P 與圓心 O 重合， ︵ 則 ¯ CD ＝？ 15. 如圖，圓 O1半徑為1，圓 O2半徑為2，兩圓交於 A、B 兩點， ∠O1AO2＝90°，求公弦¯ AB ＝？ 16. 如下圖，△ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，半圓之圓心 O 在¯ BC 上，並與¯ AC 相切於 D 點，和¯ BC 交於 B、E 兩點。已知¯ AC ＝10、¯ BC ＝8，請問半圓面積為 。 B E C A O D 17. 長方形 ABCD 中，兩個大小相同的圓彼此外切，且兩圓分別與長方形 的兩邊相切，如右圖。若 ¯ BC ＝50，圓半徑為 13，則¯ AB ＝？ 18. 如下圖，直線 L 分別與圓 O1、圓 O2切於 A、B 兩點，且圓 O1和圓 O2的半徑分別為10、5， ¯ O1O2 ＝25，則¯ AB ＝ ，△OAO1周長＝ 。 B A O L O1 O2 O P A B D C B A O1 O2 A D B C
19. 如下圖，圓 A 與圓 B 外切於 C，公切線 ¯ ED 、¯ FG 、¯ MN 交點為 M、N，切點為 F、G、D、E、C， 若∠FAD＝120°，且圓 A 半徑為 6，則△CDE 的面積為 ，四邊形 DEGF 的周長為 。
B C D N E G M F A 20. 如下圖，四邊形 ABCD 為等腰梯形，¯ AD //¯ BC ，¯ AB ＝¯ CD ，¯ MN 為其中線，圓 O 為其內切圓。 已知¯ MN ＝10，圓 O 的半徑為 4，則¯ AD ＝ 。 B C D N M A O 21. 如右圖，圓弧 AC 與︵ BC 是分別以 B、A 為圓心，¯︵ AB 為半徑所畫之弧， 又存在一圓同時與 AC ，︵ BC 及¯︵ AB 相切，若¯ AB ＝12，試問此圓的圓周長？ 22. 右圖為一梯形及其內切圓，若此圓的半徑為 5，梯形的周長為 52， 則此梯形的面積為何？ 23. 如右圖，梯形 ABCD 為圓 O 的外切四邊形，若 AB ＝8 公分， 梯形 ABCD 的面積為 72 平方公分，則 CD 的長度為何？ 24. 如右圖，P 為圓 O 內部一點，若 OP ＝5，圓 O 半徑長為 13， 則圓 O 內過 P 點的最短弦長度為多少？最長弦的長度為多少？ (Hint：最短弦為過 P 點與 OP 垂直的弦，最長弦為直徑。) B C A A D B C P O A B C D O
加強練習
1. 兩圓半徑分別為 2、5，若兩圓的公切線數為 4，則兩圓的連心線段長不可能為多少？ (A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16
2. AB 為圓 O 內一弦， OM 為 AB 的弦心距，若 AB ＝48，弦心距 OM ＝10，則圓 O 半徑為多少？ 3. 平面上有一圓 O，圓心 O(0 , 0)，半徑 4。若 A(1 , 2)，B(2 , 3)，C(3 , 4)，則上述點中有幾點在圓外？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)無法判斷 4. 下列敘述，何者錯誤？ (A)圓的外切矩形必為正方形 (B)圓的內接矩形必為正方形 (C)若兩圓有兩條內公切線，則此兩圓外離 (D)兩圓外切時只有一條內公切線，兩圓內切時只有一條外公切線 5. 如圖，一棵高 5 公尺的樹，當陽光自其左側以 60°角照射，請問： 此樹向右側倒下的過程中，影長最長為多少公尺？
6. 如圖，兩圓 O1、O2交於 A、B 兩點，若 O1在圓 O2上，O2在圓 O1上，
且直線 O1O2另交圓 O1於 C，交圓 O2於 D。若圓 O1及圓 O2的半徑為4， 求四邊形 ACBD 的面積＝？ 7. 如下圖左，三個圓的圓心分別為 A、B、C，圓 A 與圓 B 外切，且圓 A 與圓 B 同時和圓 C 內切，已知圓 A 的半徑為 5，圓 B 的半徑為 6，圓 C 的半徑為 15， 則△ABC 的周長為 單位。 B C A D C B A O1 O2 O4 O3
8. 如上圖中，正方形 ABCD 中有 4 個兩兩相切的等圓 O1、O2、O3、O4，在圖中所示的位置再放四個
相等的小圓，並使小圓與大圓外切、與正方形內切。若小圓半徑為1，求正方形 ABCD 的面積為？ 9. 如上圖右，ABCD 為一梯形，圓 O 與梯形的四邊都相切。 已知¯ AB ＝9、¯ CD ＝11，圓 O 的半徑為 5，則梯形面積是多少？ 10. 如右圖，兩圓 O1、O2外切，直線 AB 為兩圓的外公切線，切點為 A、B。 若 ¯ O1O2 ＝25，四邊形 ABO2O1的面積為300，且圓 O1的半徑為 a， 圓 O2的半徑為 b，其中 a＜b，則 b－a＝？ 11. 如右圖，圓 O1、O2分別為四邊形 ABCD、CDEF 的內切圓， 且 C、D 分別在¯ BF 、¯ AE 上。若¯ AB ＝14，¯ CD ＝7，¯ EF ＝4， 則四邊形 ABFE 的周長為何？ 12. 如下圖，有一個十元硬幣與一元硬幣，兩個硬幣緊密靠在 一起，十元硬幣半徑為2 單位，一元硬幣半徑為 1 單位， 若十元硬幣不動，一元硬幣繞著十元硬幣圓周緊密轉動 一圈(過程沒有滑動情形)，則一元硬幣共轉動了 圈。 13. 如右圖，矩形 ABCD 中，¯ AB ＝1，¯ BC ＝2，以 B 為圓心， ¯ BC 為半徑畫弧交¯ AD 於 F，交¯ BA 的延長線於 E， 則灰黑色區域面積為 。 60° 倒下 5 公 尺 B C D A O1 O2 A B O1 O2 A B O1 O2 E F C D A D B C O B C D E F A
Ans：1.(A)；2. 26；3.(A)；4.(B)；5. 10 公尺；6. 24 3 ；7. 30；8. 256；9. 100；10. 7；11. 50；12. 3； 13. 23 π－ 2 。 3
