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2020 届高三质量检测
数 学 （ 理 科 ） 试 卷
（完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页．满分 150 分.第 Ⅰ 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1.已知集合U =
x x5
，A=
x3x„ 27
，则ðUA = A．
x x „ 3
B．
x x 5
C．
x3 x 5
D．
x x„ 0或3 x 5
2.已知复数z满足z− = ，且z 0 z z = ，则9 z = A．3 B． 3i C． 3 D． 3i 3.已知两个力F1=( )
4, 2 ，F2= −(
2,3)
作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保 持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3= A．(
− − 2, 5)
B．( )
2,5 C．(
− −5, 2)
D．( )
5, 2 4.已知等比数列
an 的前 n 项和为S ，若n a2+a4=2(
a1+a3)
，且a a a =1 3 5 512，则S10 = A.1022 B. 2046 C. 2048 D. 4094 5.如图 1 为某省 2019 年 1~4 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2019 年 1~4 月快递业务收入统 计图，下列对统计图理解错误的是 A．2019 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件 B．2019 年 1~4 月的业务量同比增长率超过 50%，在 3 月最高 C．从两图来看 2019 年 1~4 月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从 1~4 月来看，该省在 2019 年快递业务收入同比增长率逐月增长 6.已知f x( )
=x2+2xf ( )
2 ，则曲线y= f x( )
在点(
1，f( )
1)
处的切线方程为 A． 4x− + = y 9 0 B． 6x+ − = y 1 0 C．10x− − = y 1 0 D． 6x+ + = y 1 07.若
(
1 2− x)
(1+ax)4展开式中 2 x 的系数为 78 ，则整数 a 的值为 A． 3− B． 2− C．2 D．3 8.已知函数 ( ) e x ex f x = − − ，若 0.5 0.6 a= − ，b =log0.50.6，c =log0.65，则 A． ( )f a f b( ) f c( ) B． ( )f c f b( ) f a( ) C． ( )f b f a( ) f c( ) D． ( )f c f a( ) f b( ) 9.如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则该几何体的体积为 A. 4 B. 16 3 C. 32 3 D. 16 10.将曲线 2sin 1 1 2 4 y= x−+ 向左平移4 个单位长度，得到曲线的 对称中心为 A.(
2k, 0 ,)
kZ B. 2 , 0 , 4 k k + Z C. 2 ,1 , 4 k k + Z D. 2k 4 ,1 ,k + Z 11.已知双曲线(
)
2 2 2 2 :x y 1 0, 0 E a b a −b = 的右焦点 F 的坐标为( )
c, 0 ，过 F 作与 E 的两条渐近 线平行的直线l l1,2，若l l1, 2与 E 的渐近线分别交于 ,A B两点，且四边形 OAFB（ O 为坐标原点） 的面积为bc
，则 E 的离心率为 A．3 B．2 C． 3 D． 2 12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边 形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶 点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到 一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三 角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长 为 2 的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积 为 A．16π B．32π 3 C． 8π D． 4π第Ⅱ卷
注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13.已知 3sin tan 8 0, , 2 + = ，则 tan= ______.入下一关，且通过每关相互独立．某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为 _________. 15.已知等差数列
an 的前 n 项和为Sn，且a1+a3=10，S =9 72.数列
bn 的首项为 3，且 1 3 n n b b+ = − ，则a b
10 2020=
________. 16.过点M −(
1, 0)
的直线 l 与抛物线 C ：y2 =4x交于 ,A B两点（ A 在M B, 之间）， F 是 C 的焦点，点 N 满足uuurNF=6uuurAF，则△ABF与△AMN的面积之和的最小值是______.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分． 17.（本小题满分 12 分）
已知△ABC的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，设 7
(
acosB+bcosA)
=ac，且 sin 2A=sinA. （1）求 A 及 a；（2）若b− = ，求 BC 边上的高. c 2
18. (本小题满分 12 分)
如图，四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，且平面 ABCD ⊥ 平面 CDEF ， 90 BAD CDA = = ， 1 2 2 AB=AD=DE= CD= ， M 是 AE 的中点. （1）证明： AC ∥平面 MDF ； （2）求平面 DMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 2019 年 9 月 24 日国家统计局在庆祝中 华人民共和国成立 70 周年活动新闻中 心举办新闻发布会指出，1952 年～2018 年，我国 GDP 查 679.1 亿元跃升至 90.03 万亿元，实际增长 174 倍；人均 GDP 从 119 元提高到 6.46 万元，实际增长 70 倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏， 实现了经济社会的跨越式发展.如图是 全国 2010 年至 2018 年 GDP 总量 y（万 亿元）的折线图. 注：年份代码 1～9 分别对应年份 2010～2018. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与年份代码 t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），并预测 2021 年全国 GDP 的总量. 附注：
参考数据：
(
) (
)
9 9 2 2 1 1 1 1 9 9 582.01, 64.668, 3254.80, i i 345.900 i i i i i i i t t y y y y t y = = = = = = − −
. 参考公式：相关系数(
)(
)
(
) (
)
1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i t t y y r t t y y = = = − − = − −
； 回归方程$
y
= +
$ $
a bt
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为( )(
)
( )
1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t = = − − = −
$ ， a= −y bt $ $ . 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆(
)
2 2 2 2 :x y 1 0 C a b a +b = 过点P( )
2,1 ，且离心率为 3 2 . （1）求C的方程； （2）已知直线l不经过点P，且斜率为1 2，若l与C交于两个不同点 ,A B，且直线PA PB, 的 倾斜角分别为 , ，试判断 + 是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由． 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f x( )
=lnx− +x 2sinx，证明： （1） f x( )
在区间( )
0, 存在唯一极大值点； （2） f x( )
有且仅有 2 个零点. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第 一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分 10 分）选修 4− ：坐标系与参数方程 4 在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为 2 3 2 2 1 2 x t y t = − = + ( t 为参数)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为=4cos+6sin. （1）求 C 的直角坐标方程； （2）设 C 与l交于点 M N， ，点A的坐标为( )
3,1 ，求 AM + AN .已知函数 f x
( )
= 2x− −1 ax+ 1 ,（1）当a = 时，求不等式2 f x
