比例线段及黄金分割（提高） 巩固练习
【巩固练习】 一．选择题 1.在比例尺为 1︰1 000 000 的地图上，相距 3cm 的两地，它们的实际距离为( ). A．3 km B．30 km C．300 km D．3 000 km 2.已知线段a、b、c、d
满足ab cd
=
把它改写成比例式，其中错误的是（ ）. A.b c d a
:
:
B.a b c d
:
:
C.c b a d
:
:
D.a c d b
:
:
3. （2014•牡丹江）若 x：y=1：3，2y=3z，则 的值是（ ）. A.-5 B.10
3
C.10
3
D.5 4.如图，已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA＞PB，若 S1表示以 PA 为边的正方形的面积，S2表示 长为 AB、宽为 PB 的矩形的面积，那么 S1（ ）S2． A.> B.= C.< D.无法确定 5. 若3 4
x y
，则下列式子中不正确的是（ ）. A.1
4
x y
y
B.y
4
y x
C.2
11
3
x
y
x
D.7
4
x y
y
6. （2016•山西）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学 价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC 的中点 E、F，连接 EF：以点 F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交 BC 的延长线于点 G；作 GH⊥ AD，交 AD 的延长线于点 H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形 ABFE B．矩形 EFCD C．矩形 EFGH D．矩形 DCGH 二. 填空题 7.已知
2
9
2
5
a
b
a b
，则 a：b=______________．8. （2016•奉贤区一模）线段 AB 长 10cm，点 P 在线段 AB 上，且满足 = ，那么AP 的长为 cm． 9.已知三个数 1，2，
3
，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________，（填写一个 即可）． 10.已知若-
= ,
3
=____;
4
x y
x
y
则
y
若 5x-4y=0,则 x:y=________. 11.在△ABC 和△A'B'C'，中，AB BC
' ' ' 'A B B C
= ' 'AC
AC
=2
3
．若△ABC 的周长等于 12，则△A'B'C'的周长等 于________． 12.如图所示，顶角 A 为 36°的第一个黄金三角形△ABC 的腰 AB=1，底边与腰之比为 K，三角形△BCD 为 第二个黄金三角形，依此类推，第 2008 个黄金三角形的周长为____________． 三．综合题 13.如果a
b
c
d
k
b c d a c d a b d a b c
，一次函数y kx m
经过点（-1,2），求 此一次函数解析式. 14.如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2． （1）求∠B 的度数； （2）我们把有一个内角等于 36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边 长与腰长的比）等于黄金比5 1
2
． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； ②求 AD 的长； ③在直线 AB 或 BC 上是否存在点 P（点 A、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点 P，简要说明画出点 P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
15. （2014 秋•重庆校级月考）如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD（AB＞AD）．
（1）若这个矩形的面积等于 99cm2，求AB 的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于 101cm2吗？若能，求出AB 的长度，若不能，说明理由；
【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B 【解析】图上距离︰实际距离=1：1 000 000. 2．【答案】B． 3．【答案】A． 【解析】∵x：y=1：3， ∴设x=k，y=3k， ∵2y=3z， ∴z=2k， ∴ = =﹣5． 故选：A． 4．【答案】B． 【解析】根据黄金分割的概念得：
AP BP
AB AP
， 则 2 1 2×PB
S
AP
S
AB
==1，即 S1=S2．故选 B． 5．【答案】A． 【解析】根据题意，设 x=3k，y=4k，分别代入， A、左边=3
4
1
4
4
k
k
k
，错误； B、左边=4
4
4
3
k
k
k
=4，正确； C、左边=3
8
11
3
3
k
k
k
，正确； D、左边=4
3
7
4
4
k
k
k
，正确．故选 A． 6.【答案】D. 【解析】设正方形的边长为2，则 CD=2，CF=1 在直角三角形DCF 中，DF= = ∴FG= ∴CG= ﹣1 ∴ = ∴矩形DCGH 为黄金矩形 二、填空题7.【答案】a：b=
19
13
. 8.【答案】5 ﹣5． 【解析】设AP=x，则 BP=10﹣x， ∵ = ， ∴ = ， ∴x1=5 ﹣5，x2=﹣5 ﹣5（不合题意，舍去）， ∴AP 的长为（5 ﹣5）cm． 故答案为：5 ﹣5． 9.【答案】23
或3
2
或2 3
3
． 【解析】设所求数为 x．分四种情况： ①如果 x，1，2，3
，这四个数能成比例，那么 x：1=2：3
，x=2 3
3
； ②如果 1，x，2，3
，这四个数能成比例，那么 1：x=2：3
，x=3
2
； ③如果 1，2，x，3
，这四个数能成比例，那么 1：2=x：3
，x=3
2
； ④如果 1，2，3
，x，这四个数能成比例，那么 1：2=3
：x，x=23
． 综上，可知这个数是 23
或3
2
或2 3
3
． 10.【答案】7 4
; .
4 5
11.【答案】18． 【解析】∵AB BC
' ' ' 'A B B C
= ' 'AC
AC
=2
3
， ∴AB BC AC
' ' ' ' ' 'A B B C AC
=2
3
． ∵△ABC 的周长等于 12， ∴△A'B'C'的周长=12÷2
3
=18． 故答案为：18． 12.【答案】K2007 （K+2）. 【解析】第一个三角形的周长为 K+2； 第二个三角形的周长 K+K+K2 =K（K+2）； 第三个周长为 K2 +K2 +K3 =K2 （K+2）… 所以第 2008 个三角形的周长为 K2007 （K+2）. 三、解答题 13.【解析】∵
a
b
c
d
k
b c d a c d a b d a b c
∴+1=
+1=
+1=
+1= +1
+ +
+ +
+ +
+ +c
a
b
c
d
k
b c d
a c d
a b d
a b
∴+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
= +1
+ +
+ +
+ +
+ +c
a b c d a b c d a b c d a b c d k
b c d
a c d
a b d
a b
则分两种情况：（1）a b c d
+ + + =0
，即k
+1=0
,k
=-1
(2)b c d a c d a b d a b c
+ + = + + = + + = + +
,即a b c d
= = = ,
=
1
3
k
则
所以当k
=-1
，过点（-1,2）时，y x
=- +1
当=
1
3
k
，过点（-1,2）时，=
1
+
7
3
3
y
x
. 14.【解析】（1）∵BD=DC=AC． 则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A． 设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x． 又∠BOC=108°， ∴∠B+∠A=108°． ∴x+2x=108，x=36°． ∴∠B=36°； （2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC． ∵DB=DC，∠B=36°， ∴△DBC 是黄金三角形， （或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°． ∴△CDA 是黄金三角形． 或∵∠ACE=108°， ∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°， ∴∠A=∠ACB． ∴BA=BC． ∴△BAC 是黄金三角形． ②△BAC 是黄金三角形， ∴5 1
2
AC
BC
， ∵BC=2，∴AC=5 1
． ∵BA=BC=2，BD=AC=5 1
， ∴AD=BA-BD=2-（5 1
）=3-5
，③存在，有三个符合条件的点 P1、P2、P3． ⅰ）以 CD 为底边的黄金三角形：作 CD 的垂直平分线分别交直线 AB、BC 得到点 P1、P2． ⅱ）以 CD 为腰的黄金三角形：以点 C 为圆心，CD 为半径作弧与 BC 的交点为点 P3． 15.【解析】解：（1）设 AB=xcm，则 AD=（20﹣x）cm， 根据题意得x（20﹣x）=99， 整理得x2﹣20x+99=0，解得 x1=9，x2=11， 当x=9 时，20﹣x=11；当 x=11 时，20﹣11=9， 而AB＞AD， 所以x=11，即 AB 的长为 11cm； （2）不能．理由如下： 设AB=xcm，则 AD=（20﹣x）cm， 根据题意得x（20﹣x）=101， 整理得x2﹣20x+101=0， 因为△=202﹣4×101=﹣4＜0， 所以方程没有实数解， 所以这个矩形的面积可能等于101cm2； （3）设 AB=xcm，则 AD=（20﹣x）cm， 根据题意得20﹣x= x， 解得x=10（ ﹣1）， 则20﹣x=10（3﹣ ）， 所以矩形的面积=10（ ﹣1）•10（3﹣ ）=（400 ﹣800）cm2．
