3-2-1空間中的直線與平面-空間概念

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(1)第三冊 2-1 空間中的直線與平面-空間概念【性質】 1. 空間的基本要素：點、線、面、體。 2. 畫圖時，有時配合上虛線可以增加立體感。 3. 直線通常只畫成有端點的線段。 4. 平面通常畫成有邊界的樣子，以有界的型式表示，便於理解與討論。【問題】 1. 何種條件可決定空間中一直線？解： (1)空間中相異兩點。 2. 何種條件可決定空間中一平面？解： (1)空間中不共線三點。 (2)一直線與不在直線上的一點。 (3)兩相交於一點的直線。 (4)兩平行線。【定義】空間中兩直線平行：空間中兩直線在同一平面上但是不相交。空間中兩平面平行：空間中相異兩平面 E1 與 E 2 沒有共同點時， E1 與 E 2 就不相交，稱不平行，記為 E1 // E 2 。當 E1 與 E 2 有共同點時， E1 與 E 2 恰交於一直線。空間中兩直線互為歪斜：空間中既不平行也不相交的兩直線。【性質】空間中的公理(公設)： 1. 相異兩點可以決定一直線。 2. 不共線的三點可以決定一平面。 3. 如果一直線上有相異兩點在一平面上，則這條直線上所有的點都在這個平面上。 4. 如果兩相異平面有一個共同的點，則它們的所有共同的點構成一直線，稱為它們的直線。 5. 過已知直線外一點，恰有一直線平行此直線。 6. 平行於同一直線的兩直線互相平行。【問題】 1. 空間中相異兩直線相交的可能情形： (1)同平面且不相交(平行)。 (2)同平面且相交(交一點)。 (3)不同平面(歪斜線)。 2. 空間中一直線與一平面相交的可能情形： (1)直線與平面不相交(平行)。 (2)直線與平面恰交於一點。 (3)直線在平面上。 3. 空間中相異兩平面相交的可能情形： 12.

(2) (1)平行。 (2)交一線。【定義】直線方向向量：與直線 L 平行的任意一個非零向量，都稱為直線的方向向量。空間中一直線 L 與平面 E 垂直於點 P ⇔ 平面 E 上過交點 P 的每一直線與 L 垂直。平面的法線：若直線 L 垂直於平面 E ，則稱 L 為 E 的一個法線。直線的法平面：上述中， E 為 L 的一個法平面。平面法向量：上述中，與 L 平行的任意一個非零向量，都稱為 E 的法向量。【定義】兩平面夾角：兩平面相交有四個夾角。二面角(兩半平面所構成的角)：兩半平面 E1 , E 2 相交於直線 L ，在 L 上任取一點 P ，過 P 點分別在半平面 E1 , E 2 上作一射線 L1 , L2 垂直於 L ，則 L1 , L2 的夾角就稱為是 E1 , E 2 所夾兩面角。兩平面的垂直與平行：如果兩平面的夾角為直角，則稱這兩平面互相垂直，以 E1 ⊥ E 2 表示。如果 E1 , E 2 不相交，則稱 E1 , E 2 平行，以 E1 // E 2 表示。【問題】 1. 如何定義一組歪斜線的夾角？解：選擇一點 O (可選在任何地方) 過 O 分別作 L1 , L2 的平行線 L1 ' , L2 ' 規定 L1 ' , L2 ' 之夾角為 L1 , L2 的夾角。【定義】公垂線：與兩歪斜線都垂直相交的直線稱為公垂線。兩歪斜線的距離：公垂線在兩歪斜線間的線段長度，稱為兩歪斜線的距離。【性質】 1. 過線外一點恰可作一直線與已知直線垂直。過線外一點恰可作一直線與已知平面垂直。 2. 過線上一點有無窮多直線與已知直線垂直。過平面上一點恰可作一直線與平面垂直。 3. 平面 E 上與不在 E 上的直線 L 若相交，其交點是唯一的。過此交點的直線有無窮多條，其中至少有一條直線與 L 垂直。 4. 直線 L 垂直於平面 E ：平面 E 上過直線 L 與平面 E 的交點 P 的任意直線 M 都與 L 垂直。(實際上這些直線都在 E 上，且只要有兩條直線與 L 垂直即可。若只有一條則過此條直線的平面不一定是唯一，或者說過兩條直線的交點又與平面上一直線垂直的直線不一定是唯一的。) 13.

(3) 證明：設 L1 , L2 交於點 P 任取 D ∈ L' ，作一直線過 D 交 L1 , L2 分別於 B, C 取異於點 P 之 A, A'∈ L, ∋ PA = PA' 則 AB = A' B, AC = A' C , BC = BC ⇒ ∆ABC ≅ ∆A' BC 又 BD = BD ⇒ ∆ABD ≅ ∆A' BD 則 L' 為 AA' 的垂直平分線 ⇒L⊥E 故得證【問題】 1. 試求邊長分別為 a, b, c 的立方體中兩對角線的夾角為何？ 2. 試求正四面體中任意兩面所夾二面角的大小？ 3. 試求正八面體中任意兩面所夾二面角的大小？ 4. 設金字塔型的各稜長均為 a ，試求兩側面所夾的兩面角為何？一側面與一底面所夾的二面角為何？ 5. 試討論空間中三平面的所有可能的相交情形？共有幾種？解： (1)三平面重合。 (2)兩平面重合，另一平面與之平行。 (3)三平面互相平行。 (4)兩平面重合，另一平面與之相交於一線。 (5)三平面相交於一線。 (6)兩平面平行，另一平面與之各相交於一線，兩線互相平行。 (7)三平面兩兩交於一線，三線兩兩互相平行。 (8)三平面交於一點。 6. 試討論空間中三相異平面的所有可能的相交情形？共有幾種？ 7. 試問正立方體的稜長中可以組成幾組歪斜線？ 8. 試問過正立方體的頂點所形成的直線中可以組成幾組歪斜線？ 9. 一個長方體，以其中不同的頂點當始點與終點可以決定幾個不同向量？稜可以決定幾個不同向量？互相歪斜的稜共有幾個？ 10.設兩平面 E1 , E 2 所夾的兩面角為 θ ，現有線段 AB ∈ E1 ，試問 AB 在平面 E 2 上的投影長度為何？是否為 AB× | cos θ | ？ 11.設兩平面 E1 , E 2 所夾的兩面角為 θ ，現有 ∆ABC 面積為 S ，試問 ∆ABC 在平面 E 2 上的投影面積為何？是否為 S × | cos θ | ？. 14.

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